Khoá luận tốt nghiệp sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose einstein

Những nỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí Bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose - Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên,

TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

Ngưòi hưóng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và nghiêm khắc hướng dẫn

em để em có thể hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới cácthầy cô trong tố lý thuyết, khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Xin chân thành cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề: “Ngưng tụ Bose - Einstein” , những người đã cùng em san sẻ kiến thức, hun đúc quyết

tâm và cộng tác hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận

Một lần nữa em xỉn chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Phạm Thanh Nhàn

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận và những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy TS Nguyễn Văn Thụ Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2

Vì vậy em xin cam đoan nội dung của đề tài Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein” là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng em Các kết quả trong đề tài là trung thực, không có sự trùng lặp vói các đề tài khác

Hà Nội, thảng 5 năm 2015

Sinh viên

Phạm Thanh Nhàn

MỤC LỤC

MỞ Đ Ầ U 1

C H Ư Ơ N G 1: LÝ TH U Y ẾT C HUNG VỀ N G Ư N G TỤ BOSE - E IN S T E IN 31.1 Hệ hạt đồng nhất 31.2 Thống kê Bose - Einstein 41.3.Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lý tưởng 81.4 Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein.15

C HƯƠNG 2: SỨC CĂNG M Ặ T NG O À I CỦA N G Ư N G TỤ BOSE-

E I N S T E I N 162.1 Hệ phương trình Gross - Pitaevskii hai thành phần 162.2 Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách

m ạnh 182.3 Khái niệm về sức căng mặt ngoài 242.4 Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phântách m ạnh 28KÉT L U Ậ N 33TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

M Ỏ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài

Vàođầu thế kỉ 20, Bose gửi một bài báođến Einstein về thống kê lượng tử của lượng tửánh sáng Einstein sau đó mởrộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất trong hai bài báo sau đó Những nỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả

về khái niệm khí Bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose - Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson.Nóđã tạo ra một bước ngoạt mới trong nghiên cứu hệ lượng tử Khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose-Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất cơ bản của nó

Ke từ đó tiên đoán của Einstein đã đượcứng dụng giải thích các hiện tượng vật lý như hiện tượng siêu dẫn, siêu chảy, và thu hút được rất nhiều nhà vật

lý trên thế giới quan tâm Cho đến nay, có tất cả 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ.Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl

W ieman đã giành Giải Nobel Vật lí cho việc tạo ra ngưng tụ Bose-Enstein đầu tiên Nguyên tố mới nhất được làm ngưng tụ làerbium, lầnđầu tiên được tạo ra ở Innsbruck Những phát minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học

Chính vì những lí do trên màtôi chọn đề tài“ Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứusức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein

3 Đối tượng nghiên cứu

-Ngưng tụ Bose - Einstein trong khí một thành phần và hai thành phần

4 Phưong pháp nghiên cứu

- Đọc, tra cứu tài liệu

-Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

5 Bố cục của khóa luận

- Chương 1: Lý thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein

- Chương 2: Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein

2

C H Ư Ơ N G 1: LÝ TH UYẾT CHUNG VÊ N G Ư N G TỤ BOSE -

Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học lượng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất:

Trong hệ các hạt đổng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đôi khỉ đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau.

Dựa vào tính chất có spin nội tại người ta chia hệ hạt đồng nhất thành hai nhóm cụ thể là:

Hệ fecmion: hệ này bao gồm các hạt fecmi, đó là các hạt có spin bán

1 3

nguyên ví dụ như electron, proton, neutron, Hệ này bị chi phôi

bởinguyên lý loại trừ Pauli: “hai fermion cùng loại không bao giờ được tìm thấy ở tại cùng một vị tr í” Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng

của hàm sóng của các Fermion

Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên 1,2, ;

ví dụ như photon, phonon, Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấyở cùng một vị trí

Do hệ Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein nên người ta đãáp dụng thống kê Bose - Einstein tìm được tính chấtđiển hình của boson là ngưng tụ Bose - Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò như nhau như một hạt - điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm được

1.2 Thống kê Bose - Einstein.

Trong khi tìm các phân bố chính tắc lượng tử và phân bo Maxwell - Bolzoman lượng tử chúng ta chưa chúý đến toàn bộ đặc tính của hệ lượng tử như tính đồng nhất như nhau của các hạt vi mô, tính đối xứng của hàm sóng Neu chúý đến toàn bộ đặc tínhđó chúng ta sẽ tìm ra loại thống kê quan trọngđó là thống kê Bose - Einstein

Đe tìm ra loại thống kêđó sẽ xuất phát từ phân bố chính tắc lượng tử:

trong âỏEk là năng lượng của hệở trạng thái k, Vị/ và0 là các thông số của phân

bố, Qỵ là độ suy biến của mức năng l ư ợ n g ^

Neu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có:

trong đó Eị là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, 71/ là số chứa đầy tức là

s ố hạt trong hệ có thế nhận các giá trị từ 0—>00 Độ suy biếng^ trong

công thức (1.6) sẽ tìm được bằng cách tìm số các trạng thái khác nhau về

phương diện vật lýứng với cùng một giá trị năng ẢuợngEk, đó chính là số các

hoán vị của các hát tương ứng với các trạng thái mới Vì số hạt trong hệ

không phải là bất biến nên tương tự như trong thống kê cổđiển, thay thế cho

phân bố chính tắc lượng tử ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử

Nhận xét: Một là vế phải của (1.6) có thể coi là hàm củaП/ nên ta có thểđoán

nhận công thứcđó như là xác suất để cho nó córiQ hạt nằm trên mức£o, П/ hạt

nằm trên m ức£ / nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy; do đó ta có thể tìm

được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng:

v v „ > V V f í 2 + 2 / = 0 n ( < > - 3 ) 1 4

n k = 2^ 2_ , w (n0' n i - ) = 2j Z j exp I -в - Ị G(no " i •••)

(1.7)

Hai làđại lượ n gG (n o,rii ) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới khi hoán vị( về tọa độ) các hạt Đối với hệ các hạt Boson

và các hạt Fermion được mô tả bởi hàm sóng đối xứng và phản đối xứng thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào của hệ, khi

đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử Nên, đối với hệ các hạt Boson

9k ~ ĩiQinil Ị Ị

Thay giá trịđó củagỵ vào (1.5) ta thu được (1.9).

Đe tính trị trung bình của các số chứa đầy ta gắn cho đại lượng// trong công thức (1.10) chỉ số 1, nghĩa là ta coi rằng hệ ta xét hình như không phảichỉ có một thế hóa học// mà có cả một tập hợp các thế hóa họcỊẦV Và cuối phép toán ta sẽ đặt tất cả các/Ẩị bằng nhau và bằng//.

Khi đó ta cóđiều kiện chuẩn hóa:

6

nếu trong biếu thức (1.6) ta đặt//j = Jiỉ, thì theo (1.9), vế phải của công thức

(1.13) cóý nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầyttk, nghĩa là:

d í ì

n k =

Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (O^-oo) và

G(ĩiQ,ni ) = 1, cho nên theo (1.12) ta có:

1.3.Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lý tưởng.

Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC - Bose-Einstein condensation) là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối ( hay rất gần giá trị 0 K hay -2 7 3 ° c ) Dưới những điều kiện này, một tỷ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở mức độ vĩ mô Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô Hiện tượng này được Einstein dự đoán vào năm

1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ hà hấp thụ của các vật đen tuyệt đối Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất Những lỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí Bose trong khuôn khố lý thuyết thống kê Bose-Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson

Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau Einstein chứng minh rằng khi lành lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất.

Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau

Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu

Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell

và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuấn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên

tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk) Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghiiej Massachusetts tạo ra được ngưng

tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ Vì vậy

mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001

Hình 1.1: Trạng thải ngưng tụ Bose-Einstein của các boso, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidỉ Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyên động của các nguyên tử theo từng vị trí Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyên động nhanh, màu xanh và trang chỉ nguyên tử chuyên động chậm Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein Ớ giữa là ngay sau khi ngưng tụ Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn ơ trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên

tử cố cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.

Ởnhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất gióng nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Macxoen- Bonzoman (bởi cả thống kê B-A

và thống kê F-D đều tiệm cận đến thống kê M-B ở nhiệt độ phòng) Có thế khắng định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hắn khí Fermion ( chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại) Thật vậy vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả đều có năng lượng £- = 0, do đó trang thái cơ bản của tất cả chất khí

là trạng thái có E = 0 Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T = 0°K

các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermion, do

đó năng lượng của cả hệ khác không (E # 0).

Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không ( ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn, ) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose Đối với khí Bose lý tưởng, theo công thức của thống kê Bose - Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từe đếns + de là bằng:

d N ( è )

d n (e ) = M e ) d N ( s ) - ' — - ( ị 20)

e x p P f * j - 1

trong đó dN(è) là số các mức năng lượng trong khoảng từ £ đến 8 + ds.

Ta hãy tìmđiV(<£•) Theo quan điểm lượng tử, các hạt Bose chứa trong thể tích V có thể xem như các sóng dừng De Broglie Vì vậy có thể xác định

p 2dp = \l 2 m 3s d s , (1.25)

do đó theo (1.4) ta được

2 n ti

Bởi vì các hạt có thể định hướng spin khác nhau, nên số trạng thái khả

dĩ ứng với cùng giá trị của spin s của hạt g = 2s + 1 Do đó, số các mức năng lượng trong khoảng ^ đ ế n £ + d s bằng

VÌ số hạt toàn phần là N, cho nên ta có phương trình sau đây

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học / / T a xét một số tính chất tổng quát của thế hóa học //đ ố i với khí boson lí tưởng Đầu tiên ta chứng minh rằng

/ / < 0 ( 1 3 0 )

Thực vậy, hạt trung bình dn (s ) chỉ có thế là một số dương, do đó theo (1.28),

điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.28) là luôn luôn dương (nghĩa là khi

JLỈ < 0, để cho exp j —— — Ị, luôn luôn nhỏ hơn 1 với mọi giá trị của £)

12

Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng, ỊẤ giảm dần khi nhiệt độ

tăng lên Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy vi phân các hàm ẩn vào (1.29), ta được

Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống ỊUCỎ thế tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn

hơn (nhưng vẫn âm) và có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không ( ỊẤ = 0), từ

Đối với tất cả các khí boson quen thuộc, nhiệt độ đó là rất nhỏ N hư đối với

4He , ngay cả đối với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m3 ta được T q = 2,19 K.

Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào đó

thấp hơn nhiệt độ tới hạn To, nghĩa là

Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên // = 0 Nhưng khi đó, với ớ < ớ 0điều

kiện (1.29) chỉ có thế thỏa mãn khi số hạt N ' < N Thực vậy, với ỡ < 6 () và

jU = 0 điều kiện (1.29) có dạng phương trình (1.14), từ đó

N ' ( <9ỵV2

(1.36)

N

Do số hạt trong hệ được bảo toàn, vì vậy kết quả vừa thu được phải được

chấp nhận Điều mà N ' < N khi 6 < 6 0 chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có

một phần số hạt N ' có thể phân bố theo mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.20) tức là

'‘'4 I - 1

Còn các hạt N — N r,cần phải được phân bố khác đi, chẳng hạn tất cả các số

đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng nằm ở một pha khác

mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.

Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn To một phần các hạt của khí boson sẽ nằm ở

mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật

(1.38)exp § - 1

Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí boson chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí boson phân bố

14