Phương trình phương pháp giải và một số cách sáng tạo ra đề toán mới

Mæn To¡n cán l cæng cö cõa nhi·u ng nh khoa håc k¾ thuªt, câ nhi·u ùng döng tolîn trong íi sèng.. Trong ch÷ìng tr¼nh mæn To¡n ð nh tr÷íng phê thæng, nëi dungd¤y håc v· ph÷ìng tr¼nh l mët

HO€NG THÒY LINH

PH×ÌNG TRœNH PH×ÌNG PHP GIƒI V€ MËT SÈ CCH

SNG T„O RA — TON MÎI

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

Chuy¶n ng nh: ¤i sè

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc

ThS PH„M L×ÌNG BŒNG

H€ NËI - 2015

LÍI CƒM ÌN

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn tèt nghi»p,

em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi Th¤c s¾ Ph¤m L÷ìng B¬ng,ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n º em câ thº ho n th nh khâa luªn tètnghi»p n y

Em công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº th¦y,

cæ gi¡o trong khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ d¤yb£o em tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa

Nh¥n dàp n y em công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîigia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn b¶n em, ëng vi¶n, gióp ï em trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p n y

Xu¥n Háa, ng y 30 th¡ng 4 n«m 2015

Sinh vi¶n

Ho ng Thòy Linh

LÍI CAM OAN

Em xin cam oan · t i n y l  do em thüc hi»n, â l  k¸t qu£cõa qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu s¡ch vð, t i li»u cõa em d÷îi süh÷îng d¨n cõa Th¤c s¾ Ph¤m L÷ìng B¬ng, · t i n y khæng tròngvîi c¡c k¸t qu£ tr÷îc â cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c

Xu¥n Háa, ng y 30 th¡ng 4 n«m 2015

Sinh vi¶n

Ho ng Thòy Linh

I KI˜N THÙC CÌ BƒN 9

II MËT SÈ PH×ÌNG PHP GIƒI V€ MËT SÈ CCH SNG

1 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh 13

1.1 Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng 13

1.2 Ph÷ìng ph¡p °t ©n phö ÷a v· ph÷ìng tr¼nh t½ch 16

1.3 Ph÷ìng ph¡p sû döng h» sè b§t ành 19

1.4 Ph÷ìng ph¡p ÷a v· h» 22

1.5 Ph÷ìng ph¡p h m sè 27

1.6 Ph÷ìng ph¡p h¬ng sè bi¸n thi¶n 31

1.7 Ph÷ìng ph¡p sû döng ành lþ Lagrange 34

1.8 Ph÷ìng ph¡p h¼nh håc 38

1.9 Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc 39

2 Mët sè c¡ch s¡ng t¤o ra · to¡n mîi 45 2.1 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành 45 2.2 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p ÷a v· h» 47 2.3 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p h m sè 51

2.4 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p h¬ng sè

bi¸n thi¶n 552.5 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh xu§t xù tø h¼nh håc 592.6 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng b§t

¯ng thùc 622.7 Mët sè h÷îng s¡ng t¤o c¡c ph÷ìng tr¼nh a thùc bªc cao 692.7.1 Sû döng nhúng ph÷ìng tr¼nh chån tr÷îc 692.7.2 Sû döng cæng thùc l÷ñng gi¡c 702.7.3 Sû döng nhà thùc Niu-tìn 732.8 Mët sè h÷îng s¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh ph¥n thùc húu t¿ 752.9 Mët sè h÷îng s¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh væ t¿ 802.9.1 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh væ t¿ tø c¡c ¯ng thùc 802.9.2 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh væ t¿ tø c¡c h» èi xùng

lo¤i II 852.9.3 S¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh væ t¿ düa v o t½nh ìn

i»u h m sè 88

LÍI MÐ †U

1 L½ do chån · t i

Trong nh  tr÷íng phê thæng, mæn To¡n giú mët và tr½ h¸t sùc quantrång, gióp håc sinh r±n luy»n v  bçi d÷ïng t÷ duy lægic, t½nh linhho¤t, c©n thªn, còng vîi nhi·u n«ng lüc tr½ tu» kh¡c Mæn To¡n cán

l  cæng cö cõa nhi·u ng nh khoa håc k¾ thuªt, câ nhi·u ùng döng tolîn trong íi sèng

Trong ch÷ìng tr¼nh mæn To¡n ð nh  tr÷íng phê thæng, nëi dungd¤y håc v· ph÷ìng tr¼nh l  mët nëi dung quan trång, nâ khæng nhúng

l  èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa ¤i sè m  cán l  cæng cö ­c lüc cõa Gi£it½ch

Trong d¤y håc to¡n, ngo i vi»c £m b£o cung c§p ¦y õ ch½nh x¡c,

câ h» thèng nhúng ki¸n thùc cì b£n th¼ mët i·u quan trång hìn c£ l 

l m sao h¼nh th nh cho håc sinh ph÷ìng ph¡p chung º gi£i c¡c d¤ngto¡n, tø â gióp c¡c em t½ch cüc ho¤t ëng, ëc lªp s¡ng t¤o º d¦n

ho n thi»n k¾ n«ng, k¾ x£o, ph¡t triºn n«ng lüc t÷ duy v  ho n thi»nnh¥n c¡ch

èi vîi nëi dung ph÷ìng tr¼nh trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng,

câ r§t nhi·u nhúng b i to¡n a d¤ng Ng÷íi gi¡o vi¶n c¦n ph£i n­mb­t ÷ñc nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i, nhúng h÷îng i phong phó º tø

â x¡c ành cho håc sinh con ÷íng n o gi£i quy¸t b i to¡n nhanhchâng v  ch½nh x¡c nh§t, khæng nhúng th¸ gi¡o vi¶n cán ph£i bi¸t x¥ydüng s¡ng t¤o c¡c · to¡n º l m t i li»u cho vi»c gi£ng d¤y, vîi möc

½ch ÷a ¸n cho håc sinh nhúng · to¡n v· ph÷ìng tr¼nh hay, mîim´, nh¬m cõng cè r±n luy»n óng nëi dung ki¸n thùc c¦n n­m

Vîi nhúng l½ do tr¶n còng vîi láng say m¶ nghi¶n cùu v  ÷ñc sügióp ï tªn t¼nh cõa Th¤c s¾ Ph¤m L÷ìng B¬ng, em ¢ chån · t i:

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

- èi t÷ñng nghi¶n cùu: ph÷ìng tr¼nh

- Ph¤m vi nghi¶n cùu: ph÷ìng tr¼nh væ t¿, ph÷ìng tr¼nh a thùc,ph÷ìng tr¼nh ph¥n thùc húu t¿, ph÷ìng tr¼nh mô v  lægarit

4 Nhi»m vö nghi¶n cùu

6 C§u tróc khâa luªn

- Nëi dung khâa luªn cõa em gçm:

Ph¦n 1: Ki¸n thùc cì b£n

Ph¦n 2: Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i v  mët sè c¡ch s¡ng t¤o ra

· to¡n mîi v· ph÷ìng tr¼nh

Ch÷ìng 1 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh

Ch÷ìng 2 Mët sè c¡ch s¡ng t¤o ra · to¡n mîi

- Ph¦n 1, em tr¼nh b y l¤i nhúng ki¸n thùc cì b£n v· ph÷ìng tr¼nhbao gçm: kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh, tªp x¡c ành, nghi»m, tªp nghi»m,gi£i ph÷ìng tr¼nh l  g¼, ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng v  ph÷ìng tr¼nh h»

- Ph¦n 2, l  nëi dung ch½nh cõa khâa luªn chia l m 2 ch÷ìng:Trong ch÷ìng 1, em tr¼nh b y 9 ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh,trong â câ c¡c ph÷ìng ph¡p r§t quen thuëc nh÷: bi¸n êi t÷ìng

÷ìng, °t ©n phö ÷a v· ph÷ìng tr¼nh t½ch, V  mët v i ph÷ìngph¡p hay, kh¡ mîi m´ trong thíi gian g¦n ¥y nh÷ ph÷ìng ph¡p sûdöng ành lþ Lagrange, ph÷ìng ph¡p h¼nh håc, ph÷ìng ph¡p h¬ng sèbi¸n thi¶n

Trong ch÷ìng 2, em tr¼nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p s¡ng t¤o ra

b i to¡n mîi v· ph÷ìng tr¼nh tr¶n cì sð xu§t ph¡t tø ph÷ìng ph¡pgi£i V½ dö, s¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh: gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p ÷a v· h»,gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p h m sè, Ph¦n ti¸p theo, em tr¼nh b y mët sèph÷ìng ph¡p s¡ng t¤o ra ph÷ìng tr¼nh a thùc bªc cao, nh÷ ph÷ìngph¡p: sû döng nhúng ph÷ìng tr¼nh chån tr÷îc, sû döng cæng thùcl÷ñng gi¡c, sû döng nhà thùc Niu-tìn Sau â l  möc s¡ng t¤o ph÷ìngtr¼nh ph¥n thùc húu t¿ Cuèi còng, em tr¼nh b y mët sè h÷îng s¡ngt¤o ra ph÷ìng tr¼nh væ t¿: s¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh væ t¿ tø c¡c ¯ngthùc, s¡ng t¤o ph÷ìng tr¼nh væ t¿ tø c¡c h» èi xùng lo¤i II, s¡ng t¤oph÷ìng tr¼nh væ t¿ düa v o t½nh ìn i»u h m sè

KI˜N THÙC CÌ BƒN

Ta th÷íng vi¸t ph÷ìng tr¼nh d÷îi d¤ng f(x) = g(x) v  hiºu tªp x¡c

ành D cõa ph÷ìng tr¼nh n y : D = x ∈ Rn|f (x), g(x) tçn t¤i v nhúng i·u ki»n cõa x m  ph÷ìng tr¼nh y¶u c¦u

°c bi»t, n¸u n = 1 th¼ ph÷ìng tr¼nh f (x) = g (x) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh mët ©n

b) ành ngh¾a

Cho ph÷ìng tr¼nh f (x) = g (x) câ tªp x¡c ành l  D, n¸u câ a ∈ Dsao cho m»nh · "f (a) = g (a)" óng th¼ a ÷ñc gåi l  mët nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh Gi£i ph÷ìng tr¼nh l  vi»c t¼m tªp nghi»m S cõa nâ.N¸u S = φ th¼ ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m

2 Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng v  ph÷ìng tr¼nh h» qu£

a) ành ngh¾a

Cho hai ph÷ìng tr¼nh

Chó þ: Hai ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m luæn t÷ìng ÷ìng.

= (g (x))2n, ∀n ∈ N∗+ N¸u f(x) v  g(x) còng d÷ìng ho°c còng ¥m tr¶n D th¼

(1) ⇔ (f (x))2n = (g (x))2n, ∀n ∈ N∗

MËT SÈ PH×ÌNG PHP GIƒI V€ MËT SÈ CCH SNG T„O

RA — TON MÎI V—

PH×ÌNG TRœNH

Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng

tr¼nh

1.1 Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng

Chóng ta sû döng mët sè ph²p bi¸n êi cì b£n sau:

- èi vîi ph÷ìng tr¼nh chùa c«n thùc:

• pf (x) = pg (x) ⇔ f (x) = g (x) ≥ 0 ( vîi i·u ki»n f (x) , g (x) cângh¾a)

• pf (x) = g (x) ⇔

(

g (x) câ ngh¾a v  g (x) ≥ 0

f (x) = g2(x)(khæng c¦n i·u ki»n f (x) ≥ 0)

- èi vîi ph÷ìng tr¼nh logarit: º chuyºn ©n sè ra khäi loga ng÷íi

ta câ thº mô hâa theo còng mët cì sè c£ hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh.Chóng ta l÷u þ c¡c ph²p bi¸n êi sau:

• logaf (x) = logag (x) ⇔

(

0 < a 6= 1

f (x) = g (x) > 0

• logaf (x) = b ⇔ f (x) = ab.

B i to¡n 1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh x −√2x + 3 = 0

Gi£i Ph÷ìng tr¼nh vi¸t l¤i d÷îi d¤ng:

√

2x + 3 = x ⇔

(

x ≥ 02x + 3 = x2 ⇔

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = 3

B i to¡n 2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh √x + 4 −√

1 − x = √

1 − 2x.Gi£i i·u ki»n −4 ≤ x ≤ 1

2.Ph÷ìng tr¼nh vi¸t l¤i d÷îi d¤ng:

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = 0

B i to¡n 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh logx x2 + 4x − 4
= 3

Gi£i i·u ki»n

Ta sû döng ph²p bi¸n êi: 3 = logxx3.

Khi â ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng

B i to¡n 4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

3

2log14(x + 2)2 − 3 = log1

4(4 − x)3 + log1

4(x + 6)3 (1)Gi£i Ta th§y

−2 < x < 44x + 8 = −x2 − 2x + 24

Vªy (1) câ hai nghi»m x = 1 −√33 v  x = 2.

dö nh÷:

u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1) (v − 1) = 0hay

au + bv = ab + vu ⇔ (u − b) (v − a) = 0Ngo i ra cán nhi·u d¤ng kh¡c núa

B i to¡n 1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

2√

1 − x −√

1 + x + 3√

1 − x2 = 3 − x.Gñi þ Chån α, β sao cho

2 .K¸t hñp vîi i·u ki»n ÷ñc tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l 

(3

5, −

√32

)

B i to¡n 2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh √1 + x − 1
√

Vªy ta câ x = u2 − 1 =  1

5

2

− 1 = −24

25 (thäa m¢n i·u ki»n (1))

B i to¡n 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2x2−5x+6+ 21−x2 = 2.26−5x + 1

Gi£i Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh d÷îi d¤ng:

B i to¡n 4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh √3

x + 1 +√3

x + 2 = 1 +√3

x2 + 3x + 2H÷îng d¨n Ta th§y (x + 1) (x + 2) = x2 + 3x + 2 n¶n °t

¦u ta rót ÷ñc mët c«n thùc qua c«n thùc cán l¤i Vªy ta câ h÷înggi£i nh÷ sau.

t (t − 1) 2t2 − 4t + 3
= 0 ⇔ t ∈ {0; 1}

Tø â suy ra x ∈ {0; 1}

1.3 Ph÷ìng ph¡p sû döng h» sè b§t ành

Ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành l  ch¼a khâa gióp ta ph¥n t½ch, t¼m

÷ñc líi gi£i cho nhi·u lo¤i ph÷ìng tr¼nh Trong ph¦n n y, ta s³ t¼mhiºu ph÷ìng ph¡p n y thæng qua mët sè b i to¡n sau ¥y, ð â câph¦n tr¼nh b y þ t÷ðng v  c¡c gñi þ c¡ch l m

B i to¡n 1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh:

5px(2x + 1) +√2x + 1 − 3√

x = 8x + 1 (1)

Þ t÷ðng Ph÷ìng tr¼nh (1) khi¸n ta bèi rèi v¼ n¸u thüc hi»n ph²plôy thøa º gi£m bît c«n thùc th¼ s³ g°p nhi·u khâ kh«n Mët suyngh¾ tü nhi¶n l  ta s³ biºu di¹n 8x + 1 theo hai biºu thùc n¬m trongc«n l  2x + 1 v  x V  c¡ch tèt nh§t l  h» sè b§t ành:

Ta t¼m α, β sao cho

8x + 1 = α (2x + 1) + βx ⇔

(2α + β = 8

Ta câ líi gi£i

i·u ki»n: x ≥ 0 Khi â:

(1) ⇔ 5px (2x + 1) +√2x + 1 − 3√

x = (2x + 1) + 6x (2)

x = 0 (3)

1 −√

2x + 1 + 2√

x = 0 (4)Gi£i (3): (3) ⇔ √2x + 1 = 3√

x ⇔ 2x + 1 = 9x ⇔ x = 1

7(thäa i·u ki»n)

⇔ x = 0.(thäa i·u ki»n)

Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l : x = 0, x = 1

(6x + 10 = a (3x + 4) + b (x + 2)10x + 14 = c (3x + 4) + d (x + 2)

⇔

(6x + 10 = (3a + b) x + (4a + 2b)10x + 14 = (3c + d) x + (4c + 2d)

(

c = 3

d = 1

Líi gi£i i·u ki»n: x ≥ −4

3 Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìngvîi:

⇔ x =

√7

2 .(thäa m¢n i·u ki»n)Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l : x = ±

√7

2

B i to¡n 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh: 2x2 − 11x + 21 − 3√3

4x − 4 = 0.Gñi þ Dòng h» sè b§t ành ta t¼m α, β, γ sao cho

u + v = 3 + uv

⇒ (3 + uv)2 − 2uv = 9

B i to¡n 2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh √4

B i to¡n 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh √3x + 1 = −4x2 + 13x − 5.

Gi£i i·u ki»n 3x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1

3. (*)Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh d÷îi d¤ng:

Khi â ph÷ìng tr¼nh ÷ñc chuyºn th nh h» :

• Vîi x = y thay v o (1) ÷ñc:

4x2 − 15x + 8 = 0 ⇔ x = 15 −

√97

8 (do i·u ki»n (*) v  (**))

• Vîi 2y = 5 − 2x thay v o (1) ÷ñc:

4x2 − 11x + 3 = 0 ⇔ x = 11 −

√73

8 (do i·u ki»n (*) v  (**))Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m x = 15 −

√97

8 , x = 11 −

√73

8 L÷u þ T¤i sao ta l¤i câ ph²p °t −2y + 3 = √3x + 1 ?

Thªt vªy, èi vîi ph÷ìng tr¼nh chùa c«n thùc, gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p

÷a v· h» nh÷ tr¶n ta câ 2 h÷îng cì b£n sau:

D¤ng 1 Ph÷ìng tr¼nh chùa c«n bªc hai v  lôy thøa bªc hai

√

ax + b = c(dx + e)2 + αx + βvîi d = ac + α v  e = bc + β (∗)

(c(dy + e)2 = acx + bc (1)c(dx + e)2 = (ac − d) x + dy + bc (2)L§y (2) trø (1) theo v¸, ta ÷ñc:

d (x − y) h (x, y) = 0 ⇔

"

x = y (3)

h (x, y) (4)

• Vîi (3) thay v o (1) ta ÷ñc mët ph÷ìng tr¼nh bªc hai theo x

• Vîi (4) thay v o (1) ta ÷ñc mët ph÷ìng tr¼nh bªc hai theo x.Nhªn x²t º sû döng ÷ñc ph÷ìng ph¡p tr¶n c¦n ph£i kh²o l²o bi¸n

êi ph÷ìng tr¼nh ban ¦u v· d¤ng thäa m¢n i·u ki»n (∗)

D¤ng 2 Ph÷ìng tr¼nh chùa c«n bªc ba v  lôy thøa bªc ba

3

√

ax + b = c(dx + e)3 + αx + βvîi d = ac + α v  e = bc + β

Ph÷ìng ph¡p gi£i:

dy + e = √3

ax + bKhi â ph÷ìng tr¼nh ÷ñc chuyºn th nh h»:

⇔

(c(dy + e)3 = acx + bc (1)c(dx + e)3 = (ac − d) x + dy + bc (2)L§y (2) trø (1) theo v¸, ta ÷ñc:

d (x − y) h (x, y) = 0 ⇔

"

x = y (3)

h (x, y) (4)

• Vîi (3) thay v o (1) ta ÷ñc mët ph÷ìng tr¼nh bªc ba theo x

• Vîi (4) thay v o (1) ta ÷ñc mët ph÷ìng tr¼nh bªc ba theo x

1.5 Ph÷ìng ph¡p h m sè

Sû döng c¡c t½nh ch§t cõa h m sè º gi£i ph÷ìng tr¼nh l ph÷ìng ph¡p kh¡ quen thuëc Ta câ ba h÷îng ¡p döng sau:

- Vîi x < x0 ⇔ f (x) < f (x0) = k, do â ph÷ìng tr¼nh vænghi»m

Vªy x0 l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh

sè l  ìn i»u (gi£ sû l  çng bi¸n)

B÷îc 3 Khi â f (u) = f (v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ Df

B i to¡n 1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh √3x + 1 +px +√

7x + 2 = 4

Gñi þ Vîi b i to¡n n y, n¸u gi£i theo c¡ch thæng th÷íng nh÷ b¼nhph÷ìng hay °t ©n phö th¼ s³ g°p nhi·u khâ kh«n Tuy nhi¶n, n¸utinh þ mët chót chóng ta s³ th§y ngay v· tr¡i l  mët h m çng bi¸n

v  x = 1 l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh N¶n theo ành l½ 1, ta câ

÷ñc x = 1 l  nghi»m duy nh§t Vªy ta câ líi gi£i nh÷ sau:

Líi gi£i i·u ki»n D =

(

x ∈ R|x ≥ 7 −

√572

).X²t h m sè f (x) = √3x + 1 +px +√

2px +√

7x + 2

> 0 n¶n h m sè f(x) luæn çngbi¸n

Vªy x = 1 l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho

B i to¡n 2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

câ °c iºm l  x + 2 = (x + 1) + 1 v  2x2+ 1 = (2x2) + 1 Do vªy, n¸u

t3 + 1 + t l  mët h m li¶n töc v  çng

bi¸n tr¶n tªp x¡c ành cõa nâ N¶n theo ành l½ 1 ta d¨n ¸n mëtph÷ìng tr¼nh ìn gi£n hìn l  u = v.

Líi gi£i Tªp x¡c ành D = R °t u = √3

x + 1, v = √3

2x2 th¼ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:

3

√

u3 + 1 + u = √3

v3 + 1 + v ⇔ f (u) = f (v).trong â ta d¹ th§y f (t) = √3

32x3−x+2 − 3x3+2x = − 2x3 − x + 2
+ x3 + 2x
(2)

⇔ 32x3−x+2+ 2x3 − x + 2
= 3x3+2x+ x3 + 2x

⇔ f 2x3 − x + 2
= f x3 + 2x
, vîi f (t) = 3t + t (3)

H m sè f çng bi¸n tr¶n R v¼ f0(t) = 3tln 3 + 1 > 0, ∀t ∈ R Vªy

(3) ⇔ 2x3 − x + 2 = x3 + 2x ⇔ x3 − 3x + 2 = 0 ⇔

"

x = −2

x = 1

Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ hai nghi»m x = −2, x = 1

B i to¡n 4 (HSG Th¡i B¼nh n«m håc 2010-2011) Gi£i ph÷ìng tr¼nh:

log3 2x − 1(x − 1)2 = 3x

2 − 8x + 5 (1)Gñi þ Ta c¦n t¼m α, β, γ sao cho

ln 3 + 1 > 0, ∀t > 0 n¶n f çng bi¸n tr¶n (0; +∞), tø (3)câ

2x − 1 = 3(x − 1)2 ⇔ 3x2 − 8x + 4 ⇔ x ∈



2, 23

(thäa i·u ki»n).Tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) l  S =



2, 23



1.6 Ph÷ìng ph¡p h¬ng sè bi¸n thi¶n

X²t ph÷ìng tr¼nh ©n x, tham sè m: f (x; m) = 0 Tuy nhi¶n, trongph÷ìng ph¡p n y ta l¤i coi ©n l  m, tham sè l  x Gi£i m theo x rçiquay l¤i ©n x Ta th÷íng dòng ph÷ìng ph¡p n y khi tham sè m câm°t vîi bªc hai v  bi»t thùc ∆ cõa ph÷ìng tr¼nh bªc hai ©n m â l 

sè ch½nh ph÷ìng (∆ l  b¼nh ph÷ìng cõa mët biºu thùc) Trong mët

sè tr÷íng hñp, ta cán câ thº coi sè l  ©n ¥y l  mët ph÷ìng ph¡pr§t °c bi»t, sü hi»n di»n cõa ph÷ìng ph¡p n y ¢ gâp th¶m nhúnglíi gi£i ëc ¡o cho c¡c b i to¡n

B i to¡n 1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh (x + 1)2

+√

x + 6 = 5 (1)Gi£i Ph÷ìng tr¼nh vi¸t l¤i: (1) ⇔ p(x + 1) + 5 = 5−(x + 1)2

Vªy ph÷ìng tr¼nh 2 câ nghi»m: x = −1 −

√21

2 , x = −3 +

√172

B i to¡n 2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

x3 +

√68

x3 = 15

x . (1)L÷u þ N¸u sû döng bi¸n êi (1) ⇔ x6 − 15x2 + 2√

17 = 0 °t

x2 = t > 0, ta câ ph÷ìng tr¼nh t3− 15t + 2√17 = 0 â l  mët ph÷ìngtr¼nh bªc ba Khæng câ nhªn x²t v· o¡n nghi»m væ t¿ n¶n vi»c o¡nnghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh n y º bi¸n êi v· ph÷ìng tr¼nh t½ch v¨ncán khâ kh«n Ta ngh¾ ¸n vi»c sû döng ph÷ìng ph¡p h¬ng sè bi¸nthi¶n Líi gi£i nh÷ sau:

Líi gi£i i·u ki»n: x 6= 0

• x l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) khi v  ch¿ khi

x3 +

√68

x3 = 15

x ⇔ x3 + 2

√17

x3 = 17 − 2

xSuy ra √17 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh sau vîi ©n l  a:

B i to¡n 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh x + p11 +√x = 11 (1)

L÷u þ Khi câ sü l°p cõa sè mô ð lôy thøa vîi c¡c cì sè kh¡c nhauho°c câ sü l°p cõa c¡c h¬ng sè d÷îi c¡c c«n thùc câ bªc kh¡c nhauth¼ b¤n câ thº ngh¾ ¸n ph÷ìng ph¡p h¬ng sè bi¸n thi¶n Theo dãi líigi£i sau ¥y:

Líi gi£i i·u ki»n 0 < x < 11 (*)

Vîi i·u ki»n (*) ta câ

x + 1, a2 = x −√

x Do â,(3) ⇔

√41

2 (thäa m¢n i·u ki»n)(5) ⇔ x −√

√5

2 (thäa m¢n i·u ki»n)Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  S =

1.7 Ph÷ìng ph¡p sû döng ành lþ Lagrange

¥y l  mët ph÷ìng ph¡p °c bi»t mîi xu§t hi»n thíi gian g¦n ¥y

Cì sð cõa ph÷ìng ph¡p n y l  ành l½ sau:

ành lþ (ành l½ Lagrange): N¸u h m sè y = f (x) li¶n töc tr¶n o¤n[a; b] v  câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a; b) th¼ tçn t¤i mët sè c sao cho

f (b) − f (a) = f0(c) (b − a).Sau ¥y ta s³ tr¼nh b y mët v i d¤ng ph÷ìng tr¼nh ÷ñc gi£i b¬ngc¡ch vªn döng ành lþ Lagrange Tuy nhi¶n, cán nhi·u d¤ng kh¡c núach÷a ÷ñc · cªp ¸n, º gi£i chóng ta c¦n nhªn ra ÷ñc °c thò cõa

ành lþ Lagrange ÷ñc che gi§u trong ph÷ìng tr¼nh

f (a) = f (b) ⇔ f (a) − f (b) = 0

Theo ành lþ Lagrange, tçn t¤i c ∈ (b; a) sao cho

f (b) − f (a) = f0(c) (b − a) ⇒ f0(c) = 0

Tø ¥y t¼m ÷ñc x sau â thû l¤i º chån nghi»m

B i to¡n 1 (· nghà Olympic 30/04/2010) Gi£i ph÷ìng tr¼nh

3cos x− 2cos x = cos x (1)Gi£i D¹ th§y x = 0 l  mët nghi»m cõa (1) Gi£ sû α l  mët nghi»mb§t k¼ cõa (1) Khi â, 3cos α − 2cos α = cos α ⇔ 3cos α − 3 cos α =

2cos x − 2 cos α (2) X²t h m sè f (t) = tcos α − t cos α, vîi t > 1 H m

sè f li¶n töc tr¶n (1; +∞) v  câ f0(t) = cos αtcos α−1− cos α Tø (2) ta

câ f (2) = f (3) H m f li¶n töc tr¶n o¤n [2; 3] v  câ ¤o h m tr¶nkho£ng(2; 3), do â tçn t¤i b ∈ (2; 3) sao cho

f (3) − f (2) = f0(b) (2 − 3) ⇔ f0(b) = 0 ⇔ cos α.bcos α−1 − cos α = 0

αlog3 7 = 2log3 α+ log3α5

⇔ 7log3 α− 2log3 α = (7 − 2) log3α

⇔ 7log3α− 7log3α = 2log3 α − 2log3α (2)

X²t h m sè f(t) = tlog3α− tlog3α, vîi t > 0 Khi â, tø (2) ta câ

f (7) = f (2) ⇔ f (7) − f (2) = 0

H m sè f li¶n töc tr¶n o¤n [2; 7] v  câ ¤o h m

f0(t) = (log3α) tlog3 α−1− log3α = tlog3 α−1− 1
log3α

Theo ành lþ Lagrange, tçn t¤i c ∈ (2; 7) sao cho

f (7) − f (2) = f0(c) (7 − 2) ⇒ f0(c) = 0,ngh¾a l 

"

α = 1

α = 3

Thay x = 1, x = 3 v o (1) th§y thäa m¢n Vªy tªp nghi»m cõa (1) l {1, 3}.

B i to¡n 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh 7cot x − 11cot x = 12 cot x

H÷îng d¨n i·u ki»n x 6= kπ, k ∈ Z Gi£ sû α l  mët nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh ¢ cho Khi â,

7cot α− 11cot α = 3 (11 − 7) cot α

⇔ 7cot α + 3.7 cot α = 11cot α + 3.11 cot α

Rçi x²t h m sè f (t) = tcot α + 3t cot α

D¤ng 2 Ph÷ìng tr¼nh (a + d)h(x)

− ah(x) = (b + d)h(x) − bh(x),vîi 0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1, b > a, d > 0, h(x) x¡c ành tr¶n [b; a]Ph÷ìng ph¡p

X²t h m sè bi¸n t: f (t) = (t + d)h(x)

− th(x) Tø ph÷ìng tr¼nh ¢cho ta câ f (a) = f (b) ⇔ f (a) − f (b) = 0 Theo ành l½ Lagrange,tçn t¤i c ∈ (b; a) sao cho f (b) − f (a) = f0(c) (b − a) ⇒ f0(c) = 0 Tø

¥y ta t¼m ÷ñc x, sau â thû l¤i º chån nghi»m

B i to¡n 4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh 1

x

=  13

x

− 421

x

⇔  5

14 +

17

x

− 514

x

=  4

21 +

17

x

− 421

x

(1)Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = α Tø (1) ta câ

 5

14 +

17

α

− 514

α

=  4

21 +

17

α

− 421

α

(2)X²t h m sè f (t) =



t + 1

α

− tα, vîi t > 0 Tø (2) ta câ

f  514

α−1

− tα−1

#,

∀t ∈  4

21;

514

.Theo ành lþ Lagrange, tçn t¤i c ∈ 4

21;

514

sao cho

⇔ 8log5α+ 4log5 α = 5log5 α+ 7log5 α

⇔ 8log5α− 5log5α = 7log5 α− 4log5α (1)

X²t h m sè f (t) = (t + 3)log5α

− tlog5α, vîi t > 0 Khi â, tø (1) ta câ

f (5) = f (4) ⇔ f (5) − f (4) = 0

H m f li¶n töc tr¶n o¤n [4; 5] v 

Sû döng k¸t qu£ r§t quen thuëc: N¸u ÷íng th¯ng ∆ i qua iºm

M (x0; y0) v  câ vectì ch¿ ph÷ìng −→u = (a; b) th¼ ∆ câ ph÷ìng tr¼nhtham sè:

(

x = x0 + at

y = y0 + bt (t ∈ R)K¸t qu£ væ còng ìn gi£n tr¶n l¤i cho ta mët ph²p °t ©n phö r§t

µp công nh÷ mët c¡ch s¡ng t¡c · to¡n r§t nhanh châng (s¡ng t¡c

· to¡n s³ ÷ñc · cªp ð ch÷ìng 2)

V½ dö √x3 + 8 + 3√

12 − x3 = 10 (*)Gi£i i·u ki»n

Cëng (i) v  (ii) theo v¸ ta ÷ñc

20 = 1 + 6t + 9t2 + 9 − 6t + t2 ⇔ 10t2 = 10 ⇔

"

t = 1

t = −1 (lo¤i)Vªy √x3 + 8 = 4 ⇔ x3 + 8 = 16 ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 (thäa m¢n i·uki»n)

L÷u þ B½ quy¸t n o d¨n ¸n ph²p °t √x3 + 8 = 1 + 3t ? â ch½nh

l  tø ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ng ∆ X²t ÷íng th¯ng ∆

i qua iºm A (1; 3) v  câ v²c-tì ch¿ ph÷ìng −→u = (3; −1) Th¼ ph÷ìngtr¼nh têng qu¡t cõa ∆ l 

(x − 1) + 3 (y − 3) = 0 Chån x = √x3 + 8, y =√12 − x3, th¼ ta ÷ñcph÷ìng tr¼nh

p

x3 + 8 − 1

+ 3p12 − x3 − 3= 0

⇔ px3 + 8 + 3p12 − x3 = 10Nh÷ vªy, º gi£i ph÷ìng tr¼nh ta °t √x3 + 8 = 1 + 3t èi vîi b ito¡n tr¶n cán câ c¡ch gi£i kh¡c, â l  °t p = √x3 + 8,

câ mèi li¶n h» ch°t ch³ vîi nhau Ch¯ng h¤n khi chùng minh mët b§t

¯ng thùc, ta c¦n dü o¡n d§u b¬ng x£y ra khi n o, i·u n y d¨n tîit¼m mët nghi»m n o â cõa ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh Qua ¥yth§y r¬ng vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh thüc sü câ þ ngh¾a.Bði vªy, trong qu¡ tr¼nh gi£i to¡n b§t ¯ng thùc s³ n£y sinh nhu c¦ut¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh Nhi·u b i to¡n v·

ph÷ìng tr¼nh h» ph÷ìng tr¼nh l¤i l  sü che d§u cõa mët b§t ¯ng thùc

n o â D§u hi»u cõa nhúng ph÷ìng tr¼nh n y l  sè ph÷ìng tr¼nh ½thìn sè ©n, ph÷ìng tr¼nh r§t phùc t¤p, khæng m¨u müc, mang bângd¡ng cõa mët b§t ¯ng thùc n o â Mët i·u °c bi»t cõa ph÷ìngph¡p n y l  n¸u o¡n ÷ñc nghi»m s³ gâp ph¦n r§t lîn v o th nhcæng cõa líi gi£i

Ta c¦n l÷u þ mët sè b§t ¯ng thùc quen thuëc sau:

1 |A| = | − A| ≥ 0 D§u "=" x£y ra ⇔ A = 0

2 |A| ≥ A D§u b¬ng x£y ra ⇔ A ≥ 0

3 a2 ≥ 0, ∀a D§u "=" câ khi: a = 0

4 |a| ≥ a, ∀a D§u "=" câ khi: a ≥ 0

5 |a| + |b| ≥ |a + b| D§u "=" câ khi: ab ≥ 0

6 |a| − |b| ≤ |a − b| D§u "=" câ khi:

a1a2 anD¤ng 3 (a1 + a2 + + an

n )

n ≥ a1a2 anD§u "=" câ khi: a1 = a2 = = an

12 B§t ¯ng thùc Bunhiakovsky: