Khoá luận tốt nghiệp mô hình garch và ứng dụng

Mô hình này được sử dụng rộng rãi trong các phân tích kinh tế, đặc biệt là trong phân tích chuỗi thời gian tài chính, chẳng hạn như các nghiên cứu của Bolleslev, Chou, Kroner thực hiện v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 30 thảng 4 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thanh Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài này là do em thực hiện, đó là kết quả quá trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên, đề tài này không trùng với các kết quả của tác giả khác

Hà Nội, ngày 30 thảng 4 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thanh Thảo

M Ụ C L Ụ C

LỜI MỞ Đ À U 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cú n 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cú n 1

4 Phương pháp và công cụ nghiên c ứ u 2

5 Cấu trúc khóa lu ậ n 2

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN Q U A N 3

1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SU Ấ T 3

1.1.1 Biến ngẫu nhiên một chiều 3

1.1.2 Biến ngẫu nhiên hai chiều 3

1.1.3 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 4

1.2 CÁC THAM SÓ ĐẶC TRITNG c ủ a b i ế n n g ẫ u n h i ê n 6

1.2.1 Kỳ vọ n g 6

1.2.2 Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn 6

1.2.3 Hiệp phương s a i 7

1.2.4 Hệ số tương q u a n 7

1.3 MỘT SÓ QUY LUẬT PHÂN PHỐI THƯỜNG G Ặ P 7

1.3.1 Phân phối ch u ẩn 7

1.3.2 Phân phối S tu d en t 8

1.3.3 Phân phối m ũ 8

1.4 MÔ HÌNH HỒI QUY 8

1.4.1 Mô hình hồi quy tuyến tính 8

1.4.2 Hàm hồi quy tổng th ể 9

1.4.3 Hàm hồi quy m ẫu 10

1.4.4 Phương pháp ước lượng O L S 11

1.5 CHUỎI THỜI GIAN 12

1.5.1 Định nghĩa chuỗi thời gian 12

1.5.2 Tính dừng của chuỗi thời g ia n 13

1.5.3 Nhiễu trắng 14

1.6 HÀM T ự TƯƠNG Q U A N 15

1.6.1 Tự tương q u an 15

1.6.2 Hàm tự tương quan 16

1.6.3 Hàm tương quan riêng 16

1.7 MÔ HÌNH A R M A 16

1.7.1 Mô hình tự hồi quy A R 16

1.7.2 Quá trình trung bình trượt M A 16

1.7.3 Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy ARM A 17

1.8 MÔ HÌNH A R C H 17

1.8.1 Rủi ro 17

1.8.2 Mô hình A R C H 18

Chương 2: MÔ HÌNH GARCH VÀ ỨNG D Ụ N G 19

2.1 MÔ HÌNH G A R C H 19

2.1.1 Mô h ìn h 19

2.1.2 Dự báo phương s a i 21

2.2 CÁC DẠNG MÔ HÌNH GARCH K H Á C 23

2.2.1 Mô hình GARCH tích hợp (IGARCH) 23

2.2.2 Mô hình G A R CH -M 24

2.2.3 Mô hình TGARCH 25

2.2.4 Mô hình GARCH dạng mũ (EGARCH) 27

2.2.5 Mô hình hợp phần GARCH (COMPONENT ARCH M O D EL) 32

2.3 ỨNG DỤNG MÔ HÌNH GARCH TRONG PHÂN TÍCH RỦI R O 34

2.3.1 Số liệu và nguồn gốc số liệ u 34

2.3.2 Kiểm định tính dừng của chuỗi lợi suất 35

2.3.3 Lược đồ tự tương quan của chuỗi LSBBC 382.3.4 Kiểm định sự thay đổi trong lợi suất và trong sự dao động của cổphiếu B B C 39KẾT L U Ậ N 41DANH MỤC TÀI LIỆU THAM K H Ả O 42

LỜI MỞ ĐÀU

1 Lí do chọn đề tài

Trong thị trường tài chính vấn đề quản lí rủi ro luôn đóng vai trò quan trọng Đe đo lường rủi 1*0 của các tài sản và danh mục đầu tư, người ta thường sử dụng phương sai và hiệp phương sai của chúng Tuy nhiên, do phương sai của các tài sản và danh mục thường biến động theo thời gian, nên việc đo lường gặp 1'ất nhiều khó khăn Trong thực tế người ta thường

sử dụng lóp mô hình GARCH là các mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi để phân tích về độ rủi 1*0 của tài sản Mô hình này được sử dụng rộng rãi trong các phân tích kinh tế, đặc biệt là trong phân tích chuỗi thời gian tài chính, chẳng hạn như các nghiên cứu của Bolleslev, Chou, Kroner thực hiện vào năm 1992 và Bolleslev, Engle, Nelson năm 1994 Mô hình GARCH được áp dụng rộng rãi trong các bài toán dự báo kinh tế, tài chính Từ đó, giúp các nhà phân tích thị trường có thể xác định được mức

độ rủi ro của việc nắm giữ tài sản, thấy được sự biến động của giá cổ phiếu trên thị trường chứng khoán để đưa ra được những dự báo cũng như các kết luận nên đầu tư vào loại cổ phiếu nào thì đem lại lợi nhuận cao và ít rủi ro nhất Vì vậy, với lòng yêu thích và mong muốn tìm hiểu sâu về vấn đề này trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp, em đã lựa chọn nghiên cún đề

tài: “Mô hình GARCH và úng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu mô hình GARCH, các lớp mô hình GARCH và một số ứng dụng của nó trong dự báo giá cổ phiếu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cửu

- Đối tượng nghiên cúoi: Mô hình GARCH

- Phạm vi nghiên cứu: Các lóp mô hình GARCH: IGARCH, GARCH-M, TGARCH, EGARCH, mô hình hợp phần GARCH và ứng dụng cụ thể của nó trong bài toán phân tích rủi 1*0.

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tổng họp tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm với dữ liệu thực tế

- Sử dụng các phần mềm: Eviews 4.0, Excel

5 Cấu trúc khóa luận

Nội dung của khóa luận bao gồm 2 chương:

- Chương 1 “Một số kiến thức liên quan”.

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong chương sau

- Chương 2 “Mơ hình GARCH và ứng cỉụrig”.

Chương này trình bày về các lớp mô hình GARCH và thử nghiệm vận dụng các mô hình này trong phân tích rủi ro

C h ư ơ n g 1

M Ộ T SỐ K IẾ N T H Ứ C L IÊ N Q U A N

Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết xác

suất, về chuồi thời gian và một số dạng mô hình sẽ được sử dụng ở chương sau khi nghiên cứu về mô hình GARCH và ứỉĩg dụng của nó.

1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHÓI XÁC SUẤT 1.1.1 Biến ngẫu nhiên một chiều

Định nghĩa 1.1 Cho (n , F, P) là một không gian xác suất Neu X

là một ánh xạ đo được từ Q vào M thì X được gọi là một biến ngẫu nhiên

(hoặc một đại lượng ngẫu nhiên)

Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên Q sao

cho với mỗi JCGÌ thì e Q : X (&>) < xỊ e F.

Đ ịnh nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu và xác định như sau: Fx (x) = pịco: X(cò) < x}, X gM .

Như vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất p lên lớp các khoảng ( -00,x) của đường thẳng thực E Đe cho gọn ta sẽ ký hiệu F(jc) = P ( X < x ) ,x g M

1.1.2 Biến ngẫu nhiên hai chiều

Trong nhiều trường họp chúng ta cần xét các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian 2-chiều, tức là xét các điếm ngẫu nhiên trên mặt phang

Đ ịnh nghĩa 1.3 Cho không gian xác suất (Q, F, p ) và hai biến ngẫu nhiên X và Y xác định trên nó Khi đó hệ V = (X ,Y ) được gọi là một biến ngẫu nhiên 2-chiều, tức là V là một ánh xạ từ Q vào M2 sao cho với

mỗi coeQ thì V(có) = (X(có),Y(co)).

Định nghĩa 1.4 {Hàm phân phối đẳng thời) Hàm phân phối xác suất đồng thời của một biến ngẫu nhiên 2-chiều V = ( X , Y ) được định nghĩa

là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tương ứng X và

Y Các hàm này gọi là các hàm phân phoi biên của V

Định nghĩa 1.6 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập với

nhiên này, với mỗi &>eQ, ta có thể làm phép tương ứng với một điểm

X(cò) = [ X ](cò),X2(cò), ,Xn(cở)) của không gian ơ-cơ -lít H-chiều.

Ánh xạ Q —»IR" lập bởi các biến ngẫu nhiên X j,X2, ,X n được gọi

là một biến ngẫu nhiên /2-chiều hoặc một véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều

Đ ịnh nghĩa 1.8 (Hàm phân phối xác suất đồng thời) Hàm phân

phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên n-chiều được định nghĩa như sau:

F(xv x1, ,xn) = P [ ( X l < x , ) ( X 2 < x 2) ( X „ < x „ ) ]với (—00 < X < +oo) (i = ì , n )

Định nghĩa 1.9 (Các hàm phân phổi biên)

• Hàm phân phối biên của một biến

Hàm phân phối xác suất của biến X là

;•(*,.) = /> [(* , < -K o )(x2 < -Ko) (x, < + c» ) (x n < +oo)]

= lim F ( x ]9x 2, ,xn) với

• Hàm phân phối biên của một số biến

Hàm phân phối biên của các biến Xị và X j và X k là

r* i, ị,k

Đ ịnh nghĩa 1.10 Các biến ngẫu nhiên X Ì9X 7, ,X được gọi là độc

lập nếu tại mọi điểm (x ,,x2, ,x;ỉ) của R 7Ỉ ta đều có:

F ( x ì , x 2, , x „) = F](x])F2(x2) Fn(xn)

1.2 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

1.2.1 Kỳ vọng

Định nghĩa 1.11 (Kỳ vọng toán của biến ngâu nhiên một chiều)

Trên không gian xác suất (Q, F, p ) cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F(x) Kỳ vọng toán của X là một số ký hiệu là E(X) và được

định nghĩa như sau:

E ( X ) = \ x d F ( x )

Qvới giả thiết là J|x |í/F (x ) tồn tại

D

Định nghĩa 1.12 (Kỳ vọng toán của hàm hai biến ngẫu nhiên)

Nếu R = ọ ( X , Y) trong đó X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì

1.2.2 Phương sai và độ lệch tiêu chuấn

Định nghĩa 1.13 Phương sai của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là

v ( x ) (hoặc var(X) - viết tắt từ tiếng Anh: variance) và được định nghĩa như sau:

- E (X )] P(Xị) với X rời rạc

V ( X ) = ju 2 = ct 2( X ) = E [ X - E ( X ) ^ =

' \ [ x - E ( X ) } 2 f { x ) d { x ) với X liên tục

Do V(X) có đon vị đo lường là bình phương của đon vị đo lường của biến ngẫu nhiên X nên trong thực tế để biểu thị độ phân tán của các giá trị của X quanh E(X) một cách dễ hình dung hơn người ta còn dùng căn bậc hai của phương sai và gọi tham số này là độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X với ký hiệu và công thức định nghĩa như sau:

ơ ( X ) = J v ( X )

1.2.3 Hiệp phương sai

Định nghĩa 1.14 Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y được ký hiệu là cov(X,Y) và được định nghĩa như sau:

Đ ịnh nghĩa 1.15 Hệ số tương quan tuyến tính giữa hai biến ngẫu

nhiên X và Y được ký hiệu và định nghĩa như sau:

, co W(X,Y)

1.3 M ỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHÓI THƯỜNG GẶP

Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu một số quy luật phân phối được sử dụng trong chương sau.

1.3.1 Phân phối chuẩn

Định nghĩa 1.16 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là tuân theo

quy luật phân phối chuẩn với hai tham số là JU và ơ 2 nếu hàm mật độ xác

suất của nó có dạng như sau:

1 u-//)2

1 ->_2

(-00 < X < +00)

Quy luật này được ký hiệu là N (ju ;ơ 2).

1.3.2 Phân phối student

Định nghĩa 1.17 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là tuân theo

quy luật phân phối Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó

có dạng:

Quy luật này được ký hiệu là T (n ), với n là số bậc tự do của phân

phối

1.3.3 Phân phối mũ

Định nghĩa 1.18 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân

phối mũ tham số Ầ > 0 nếu hàm mật độ xác suất xác định như sau:

1.4 MÔ HÌNH HỒI QUY

1.4.1 Mô hình hồi quy tuyến tính

Giả sử Y và X là hai biến số thể hiện một tổng thể nào đó, mô hình hồi quy tuyến tính hai biến thể hiện mối quan hệ phụ thuộc giữa biến Y và

biến X có dạng như sau:

Hàm phân bố xác suất

nếu X > 0 nếu X < 0

Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến bao gồm các thành phần sau:

• Cức biến so: mô hình hồi quy gồm hai loại biến số:

- Biến phụ thuộc: là biến số mà ta đang quan tâm đến giá trị của nó, thường ký hiệu là Y và nằm ở vế trái của phương trình Biến phụ thuộc còn được gọi là biến được giải thích (explained variable) hay biến phản ứng.

- Biến độc lập: là biến số được cho là có tác động đến biến phụ thuộc, thường ký hiệu là X và nằm ở vế phải của phương trình Biến độc lập còn được gọi là biến giải thích (explanatory variable) hay biến điều khiển (control variable).

• Sai so ngâu nhiên

Sai số ngẫu nhiên, thường được ký hiệu là u, là yếu tố đại diện cho

các yếu tố có tác động đến biến Y, ngoài X Trong mô hình (1.1) chúng ta

không có các quan sát về nó, vì thế đôi khi u còn được gọi là sai số ngẫu nhiên không quan sát được Do đó, để hàm hồi quy có ý nghĩa, cần đưa ra

giả thiết cho thành phần này Giả thiết được đưa ra là: tại mỗi giá trị của X thì kỳ vọng của u bằng 0: E[u |x) = 0.

• Các hệ số hồi quy, bao gồm /?, và , thế hiện mối quan hệ giữa

biến X và Y khi các yếu tố bao hàm trong u là không đổi.

còn được gọi là hàm hồi quy tổng thể (PRF - population regression

function) Khi đó các hệ số hồi quy /?, và P2 còn được gọi là các tham số

của tổng thể, có ý nghĩa như sau:

• Các hệ số hồi quy:

- /?, được gọi là hệ số chặn, nó chính bằng giá trị trung bình của biến

phụ thuộc Y khi biến độc lập X nhận giá trị bằng 0.

- p 2 được gọi là hệ số góc, thể hiện quan hệ giữa biến độc lập và giá trị trung bình của biến phụ thuộc: khi biến độc lập X tăng (giảm) một đơn

vị thì giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y tăng (giảm) P2 đơn vị Hệ số

p i có thể nhận giá trị dương, âm hoặc bằng 0

1.4.3 Hàm hồi quy mẫu

Giả sử có mẫu ngẫu nhiên kích thước n bao gồm các quan sát của

biến Y và biến X: (Yị, Xi), i= l, 2, n Từ mẫu ngẫu nhiên này chúng ta sẽ

xây dựng các ước lượng cho các hệ số hồi quy tổng thể /?, và P2, ký hiệu

là /?ị và P2 tương ứng Khi đó gọi biểu thức (1.3) dưới đây là hàm hồi quy

mẫu (SRF: sample regression function) cho hàm hồi quy tổng thể (1.2):

1.4.4 Phương pháp ước lượng OLS

Phương pháp ước lượng OLS lần đầu tiên được giới thiệu bởi Gauss

vào nhũng năm cuối thế kỷ 18 (Haper (1974-1976)) và được sử dụng rộng

rãi trong nhiều lĩnh vực Tuy trong phân tích kinh tế lượng nói chung vàphân tích hồi quy nói riêng, người ta đã phát triển thêm các phương phápước lượng mới, nhung OLS vẫn là một phương pháp thông dụng do các ưu

việt của nó Ngoài ra, ước lượng thu được từ OLS thường được chọn làm

cơ sở khi đánh giá chất lượng của ước lượng thu được từ các phương pháp

Ký hiệu , yẩ, là các ước lượng cần tìm của /?ị, p i với thông tin từ

mẫu trên, khi đó ta có thể viết hàm hồi quy mẫu như sau:

Gọi sai lệch giữa giá trị thực tế Y j và giá trị ước lượng tương ứng từ

hàm hồi quy mẫu Y là phần dư (residuals), ký hiệu bởi e,:

Chúng ta muốn xác định các giá trị /?,, P2 sao cho sai lệch tổng họp

giữa các giá trị thực tế Yị và giá trị ước lượng tương ứng từ hàm hồi quy

mẫu (1.5) là nhỏ nhất có thể được Sai lệch này có thể được định nghĩa bởi:

n

(1) Tổng các phần dư

(2) Tổng các giá trị tuyệt đối của phần dư ẹ I

(=1/?

(3) Tổng bình phương các phần dư ^ e f

(=1Trong phạm vi khóa luận này chúng ta sẽ sử dụng phần mềm Eviews

để hỗ trợ cho việc xác định các ước lượng OLS

1.5 CHUỖI THỜI GIAN

1.5.1 Định nghĩa chuỗi thời gian

Chuỗi thời gian là một tập họp các quan sát của một hay nhiều biến được sắp xếp theo thứ tự thời gian Chuỗi thời gian có thể có các tần suất khác nhau, ví dụ như theo năm, quý, tháng, tuần, ngày, giờ, Các ví dụ

về chuỗi thời gian phố biến trong kinh tế - tài chính bao gồm: tổng sản phẩm quốc nội (GDP), chỉ số tiêu dùng (CPI), cung tiền (M2), chỉ số chứng khoán (VN-index), doanh số bán lẻ,

Chuỗi thời gian thường được kí hiệu với chỉ số dưới t Ví dụ, nếu gọi

Y là GDP của Việt Nam trong giai đoạn 2001-2012 thì chuỗi số này được

kí hiệu như sau:

Y' với t = 1, 2, .,12

trong đó t — 1 với năm 2 0 0 1, t = 2 với năm 2002 và t = 12 với năm 2 0 1 2

Biến trễ s thời kỳ của Yt được ký hiệu là Yt_ hay F ( - s )

Phân tích số liệu chuỗi thời gian thường phức tạp vì các quan sát kinh tế hoặc tài chính thường phụ thuộc lẫn nhau theo thời gian Tức là, giá trị quan sát được của một biến tại thời điểm bất kỳ nào đó thường phụ thuộc vào giá trị của chính nó trong quá khứ Do vậy, bên cạnh những quy tắc chung của một mô hình kinh tế lượng, các hồi quy áp dụng với chuỗi thời gian cần phải tính đến đặc điếm này Ngoài ra, do các chuỗi số liệu theo thời gian thường tuân theo những quy luật mùa vụ hoặc thể hiện xu

hướng dài hạn nhất định nên việc xử lý số liệu là điều cần thiết trước khi đưa vào các mô hình ước lượng.

Mục tiêu của việc phân tích chuỗi thời gian là phải chỉ ra được các đặc tính của chuỗi số liệu, xác định được những xu hướng nhất định theo thời gian và những thành phần có thể dự báo Tiếp theo, chúng ta có thể mong muốn thực hiện kiếm định các giả thuyết kinh tế-tài chính, ví dụ như liệu hai chuỗi cung tiền và lạm phát có quan hệ vói nhau hay không, và nếu

có thì quan hệ như thế nào Mục tiêu cuối cùng, và có lẽ là quan trọng nhất, của phân tích chuỗi thời gian đó là dự báo Tuy nhiên, thật không may, ngay cả các mô hình chuỗi thời gian hiện đại và phức tạp nhất cũng thường xuyên đưa ra các dự báo sai

Một chuỗi thời gian có xu hướng dài hạn không tăng cũng không

giảm thì chuỗi đó được gọi là chuỗi dừng theo giá trị trung bình.

1.5.2 Tính dừng của chuỗi thời gian

Lưu ý rằng một trong những giả thuyết quan trọng của hồi quy cổ điển là các biến trong mô hình hồi quy phải tuân theo quy luật phân phối chuẩn Tuy nhiên, các số liệu trong thực tế, đặc biệt là chuỗi thời gian, lại hầu như không có được đặc tính này do chúng thường có xu hướng hoặc biến thiên không có giới hạn quanh giá trị trung bình Bản chất của sự biến thiên không có giới hạn này được gọi là tính không dừng (non-stationarity) của chuỗi số Do vậy, để áp dụng được kỹ thuật phân tích hồi quy truyền thống với chuỗi thời gian, chúng ta phải biến đổi các chuỗi thời gian sao cho chúng có tính dừng

Tính dừng (stationarity) là một giả định quan trọng trong kỹ thuật phân tích chuỗi thời gian Ý tưởng cơ bản của nó là chúng ta chỉ có thế mô hình hóa chuỗi số nếu nó độc lập với thời gian (có tính dừng), hay các thuộc tính thống kê của nó là không thay đổi theo thời gian Do vậy, nói

một cách tổng quát, một chuỗi thời gian được gọi là có tính dừng nếu trung bình, phương sai và hiệp phương sai của chuỗi không thay đổi theo thời gian Khái niệm này là tương đồng với khái niệm phương sai sai số không đổi (homoscedasticity) trong phân tích số liệu chéo Giá trị dự báo và các suy diễn thống kê của phương trình hồi quy chỉ có ý nghĩa khi số liệu có phương sai sai số không đổi, và khái niệm tính dừng đáp ứng được yêu cầu này.

Nói tóm lại ta có thể định nghĩa tính dừng như sau:

Định nghĩa 1.19 Một chuỗi thời gian Yt được gọi là dừng với mọi t

nếu nó đồng thời thỏa mãn 3 điều kiện sau:

i) E(Y') = J U < oo (trung bình cố định và hữu hạn)

ii) Var(Yt) = E[ut - j u f = cr2 < oo (phương sai cố định và hữu hạn) iii) Cov(Yt, Yt_k) = E(Y' - ju)(Yt_k —ju) = ỵk (hiệp phương sai độc lập

với thời gian, chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thời gian k)

1.5.3 Nhiễu trắng

Tính dừng là một giả định yếu hơn so với giả định về phân phối chuẩn Tuy nhiên, hồi quy với các chuỗi dừng thường cho ta các thống kê đáng tin cậy Khi số quan sát tăng lên thì độ tin cậy càng lớn Do vậy, sai

số ut trong phương trình hồi quy chuỗi thời gian không nhất thiết phải tuân

theo phân phối chuẩn miễn là mẫu quan sát đủ lớn Thay vào đó, ut được giả định là nhiễu trắng (white noise) Nói một cách chính xác, ut là nhiễu

trắng khi nó đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

i) Trung bình bằng không, E [ut ] = 0

ii) Phương sai không đổi, Var(ut ) = E[ut ]2 = Ớ1

iii) Hiệp phương sai bằng không, E[utus] = 0 với t ^ s

Có thể thấy nhiễu trắng là một trường họp đặc biệt của chuỗi dừng Các

điều kiện này hàm ý rằng, chúng ta không thể dự báo được nhiễu trắng từ những giá trị trong quá khứ của chính nó Neu U( có tự tương quan thì điều

đó có nghĩa là còn có nhũng thông tin ẩn chứa trong ut mà chúng ta có thể

khai thác để cải thiện các mô hình hồi quy

Ngoài tồn tại dưới dạng sai số ở các phương trình hồi quy, nhiễu trắng còn tồn tại trong thực tế Khi ta quan sát sự thay đổi của một số biến, đặc biệt là trên thị trường tài chính - tiền tệ như sự thay đổi thị giá cổ phiếu

và tỉ giá hối đoái, thì thấy rằng chúng ít nhất là rất giống với nhiễu trắng

Do vậy, việc dự đoán sự thay đổi của các biến số này tại thời điểm t bất kỳ

dựa trên các thông tin trong quá khứ là gần như không thể

1.6 HÀM TỤ TƯƠNG QUAN

1.6.1 Tự tương quan

“Tự tương quan” được hiểu như là sự tương quan giữa các thành phần của dãy số thời gian hoặc không gian

Trong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển, ta giả định rằng không có

tương quan giữa các sai số ngẫu nhiên Uị, nghĩa là:

1.6.2 Hàm tự tương quan

Một trong những cách đơn giản để kiểm định tính dừng là dùng hàm

tự tương quan (ACF) ACF với độ trễ k, kí hiệu bằng p k, được xác định

như sau:

A C F (k) = p k = C o r r ịỵ ,Y ,.k) = ^ = , k = 0, 1, 2,

Đối với quá trình dừng thì Ỵk - ỵ_k ; p k - p_k

1.6.3 Hàm tương quan riêng

Hàm tương quan riêng (PACF) là hệ số tương quan không điều kiện

giữa Yt và Yt_k, nó không tính đến ảnh hưởng của các quan hệ trung gian,

1.7.1 Mô hình tự hồi quy AR

Quá trình tự hồi quy bậc p có dạng như sau:

trong đó ut là nhiễu trắng.

Điều kiện để quá trình AR(p) dừng là nghiệm của phương trình đặc trung nằm trong vòng tròn đơn vị

1.7.2 Quá trình trung bình trượt MA

Quá trình trung bình trượt - MA(q) - bậc q là quá trình có dạng:

Yt = ut + ỡịUt_ị + + ỡpYt-ọ , t = 1, 2, ., n

trong đó ỈÍỊ là nhiễu trắng.

Điều kiện để chuỗi có khả nghịch là: -1 < 0i < \ , \ = 1 ,2 , q, haynghiệm của phương trình đặc trưng nằm trong vòng tròn đon vị.

1.7.3 Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy ARMA

Cơ chế để sản sinh ra Y không chỉ là AR hoặc MA mà có thể kết hợp

cả hai yếu tố này Khi kết hợp cả hai yếu tố, mô hình được gọi là mô hình

trung bình trượt tự hồi quy ARMA Yt là quá trình ARM A(1,1) nếu Y có thể

biểu diễn dưới dạng:

ý Đôi khi người ta gặp phải biến cố ngoài ý muốn gây tổn thất ngoài dự kiến - điều này cũng có nghĩa là họ đã gặp rủi ro Vậy rủi ro là gì?

“Rủi ro là những khả năng xảy ra tôn thất ngoài clự kiến”

Rủi ro là một nhân tố quan trọng trong phân tích kinh tế, trong lựa chọn các chiến lược phát triển Trong quản lí các quỹ đầu tư, định giá tài sản, đầu tư chứng khoán, giao dịch quyền chọn, vấn đề rủi ro được xem xét một cách nghiêm ngặt, nếu thiếu thông tin về rủi ro thì không thế đề xuất được chiến lược đầu tư Rủi ro được đo bằng phương sai có điều kiện của lợi suất một loại tài sản cơ bản