Khoá luận tốt nghiệp lý thyyết chuyển pha loại II trong mô hình ginzbur landau hai tham số trật tự

Những ví dụ hàng ngày về hiện tượng chuyển pha có thể được kể tới bao gồm sự bay hơi của chất lỏng, sự hình thành của các khối băng, lớp nước dạng lỏng trên các bề m ặt, sự chế tạo các v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2 » » » •

LỜI C Ả M ƠN

Tôi xin bảy tỏ lòng biết ơn chân th à n h và sâu sắc tới T i ế n sĩ N g u y ễ n T r í L â n - Viện Vật lý thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Thầy đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên chỉ bảo giúp đỡ, động viên, tạo môi trường làm việc tốt n hất cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài

Tôi xin chân th à n h cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội II, các thầy cô trong khoa vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp

Xin cảm ơn các thầy cô trong Viện Vật Lí đã giúp đỡ, đóng góp, cung cấp cho tôi những kiến thức bổ ích về vấn đề nghiên cứu

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người th ân trong gia đình và bạn bè đã cổ vũ động viên, tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tậ p vả làm khóa luận

H à N ội, tỉiáng 05 năm 20 ỉ 5

Tác giả

Vũ Thị Lan

LỜI C A M Đ O A N

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến

sĩ Nguyễn Trí Lân Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác

H à N ội, tháng 05 năm 2015

Tác giả

Vũ Thị Lan

Lời cảm ơ n i

Lời cam đ o a n ii

Mục l ụ c ii

Mở đầu 1 Lý do chọn đề t à i 1

Mục đích nghiên c ứ u 2

Nhiệm vụ nghiên c ứ u 2

Đối tượng nghiên c ứ u 3

Phương pháp nghiên c ứ u 3

Tổng quan về hiện tượng chuyển pha 4 1.1 Hiện tượng chuyển pha 4

1.2 Phân loại chuyển pha 7

1.3 Các lý thuyết chuyển pha 8

1.3.1 Lý thuyết chuyển pha của Landau 9

1.4 Lý thuyết chuyển pha trong hệ phức hợp 13

1.4.1 Lý thuyết Landau trong hệ phức hợp 13

1.4.2 Lý thuyết Ginzburg - Landau 16

Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau 18 2.1 Tham số trật t ự 18

2.2 Phiếm hàm Ginzburg - Landau một tham số trật t ự 19

2.2.1 Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg Landau .20

2.3 Phiếm hàm Ginzburg - Landau hai tham số trật t ự 25

2.3.1 “ Một hàm sóng vĩ mô” 25

2.3.2 Trật tự tầm xa ngoài đường chéo và các trạng thái kết h ợ p 27

2.3.3 Tính chất cứng pha và tính siêu chảy (Phase rigidity and super flow) 31

2.3.4 Các xoáy và tính on định tôpô của siêu chảy (Vortices and topological stability of s u p e r f l o w ) 33

2.4 Một số ứng dụng của lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau hai tham

số trật tự đối vói các hệ phức hợp 35

Lí do chọn đề tài

Hiện tượng chuyển pha có thể được tìm thấy khắp nơi trong tự nhiên Các pha khác nhau

của nước HọO (hơi nước, lỏng và băng) được biết đến thường xuyên n hất cũng với sự

biến đổi qua lại giữa các pha này trong các vận động của tự nhiên Những thay đổi của các pha (lược gọi là chuyên pha Các hiện tượng chuyên pha có ý nghĩa quan trọng không chỉ trong các quá trình vận động của tự nhiên, mả còn trong cả các ngliảnh công nghiệp Những ví dụ hàng ngày về hiện tượng chuyển pha có thể được kể tới bao gồm sự bay hơi của chất lỏng, sự hình thành của các khối băng, lớp nước dạng lỏng trên các bề m ặt, sự chế tạo các vật liệu khác nhau trong công nghiệp luyện kim

Nghiên cứu chuyển pha lả một chủ đề có tầm quan trọng đặc biệt cung cấp các hiểu biết sâu sắc về tự nhiên và về xã hội Trong nhiều th ậ p k}r, các nỗ lực nghiên cứu đã, đang và sẽ được thực hiện nhằm p h á t triển và thúc đẩy nhận thức về hiện tượng chuyển pha trong các khoa học truyền thống và trong các khoa học liên ngành mới nổi trên các khía cạnh lý thuyết vả thực nghiệm

về m ặt lịch sử các nghiên cứu về hiện tượng chuyên pha được bắt đầu từ những nghiên cứu vật lý Sự hiểu biết mang tính vi mô tiên phong về hiện tượng chuyển pha được thiết lập bởi Van Der Waals, người đã vào năm (1873) đã trình bày một lý thuyết nguyên thủy

về sự chuyển pha khí - lỏng Trong luận án tiến sĩ của mình, ông đã trình bày phương trình trạng th ái Van Der Waals, và liên kết các thông số của phương trình với một mô hình phân tử Mặc dù đó mới chỉ là nỗ lực đầu tiên, nghiên cứu của Van Der Waals đặt

ra những ý tưởng cơ bản m à sự hiểu biết lý thuyết hiện đại lấy làm nền tảng Sau đó, Landau (1937) đã đề x u ấ t một cách tiếp cận (không hoàn toàn vi mô) đặc biệt có ý nghĩa đồi với việc hiểu biết về chuyển pha bậc hai và đối với sự p h á t triển sau này của lý thuyết chuyên pha Một bước p hát triển tối quan trọng được (lưa ra do Wilson (1971) và những người khác, những người đã p h á t triến một tậ p hợp m ạnh mẽ và thống n h ấ t các khái niệm (về cơ bản, ý tưởng về mở rộng quy mô gần điểm tới hạn và nhóm tái chuẩn hoá) đối với chuyển pha bậc hai

Vê m ặt lý thuyết vi mô, chuyển pha bậc một chưa có được những hiểu biết đầy đủ như chuyển pha bậc hai, và các nghiên cứu hiện tại hầu như chỉ dựa trên lý thuyết trường trung bình, mà trong khuôn khổ cuả luận văn sẽ chỉ được đề cập trong lý thuyết chung

về chuyển pha.

Hiện tượng chuyển pha bậc hai xảy ra khi một trạng thái mới với đối xứng rú t gọn phát triển một cách liên tục từ trạng thái m ất trậ t tự tại Iihiệt độ cao P h a trậ t tự mới hình

tự phát Theo hình thức luận Landau, để mô tả trạng thái tr ậ t tự, một vài tham số trậ t

tự vĩ mô được định nghĩa nhằm phản ánh các đặc trưng và cường độ của tính đối xứng

bị phá vỡ Hệ thức năng lượng tự do phụ thuộc vào th am số tr ậ t tự, do vậy, được gọi là

và Ginzburg trong lý thuyết chuyên pha bậc hai

rắn trong các vật liệu hai chiều, tinh thể lỏng, Những nghiên cứu gần đây trong các khoa học liên ngành và vật lý hệ phức hợp cũng đã chỉ ra tính hiệu quả của các ứng dụng

chuyển pha và tính tới hạn không chỉ trong các khoa học tự nhiên m à còn cả trong các

tiếp với vật lý

Một cách tổng quát, các hiện tượng chuyến pha của hệ phức hợp trong vật lý nói riêng

và trong tự nhiên và xã hội nói chung (tòi hỏi được mô tả một cách đồng thời bởi nhiều tham số trậ t tự (vô hướng và có hướng), phản ánh nhiều pha trậ t tự đồng x uất hiện và đồng tồn tại trong các hệ phức hợp Do vậy, việc nghiên cứu lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau với nhiều tham số tham số t r ậ t tự được đặt ra như một đòi hỏi

t ấ t yếu của sự p h á t triển lý thuyết tổng quát về chuyển pha

Vì những lí do trên, đề tài ”L ý t h u y ế t c h u y ê n p h a loại h ai tr o ng m ô hỉnh

G i n z b u r g - L a n d a u h a i t h a m s ố t r ậ t t ự ” được chọn làm khóa luận tốt nghiệp của

sinh viên Vũ Thị Lan

Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu m ột cách tổng quát về lý thuyết chuyển pha

nghiên cứu các hệ phức hợp nói chung và các hệ vật lý nói riêng

Nhiệm vụ nghiên cứu

hợp

• Thực hiện một số tính toán giải tích đồi với phiếm hàm Ginzburg Landau hai tham số t r ậ t tự tổng quát.

Đối tượng nghiên cứu

• Tính tới hạn và các hiện trượng tậ p thể trong các hệ phức hợp

Phương pháp nghiên cứu

• ứ n g dụng các công cụ vật lý lý thuyết hiện đại như lý thuyết hệ nhiều hạt, lý thuyết các hệ phức hợp, vật lý thống kê,

• Sử dụng các phần mềm tính số và xây dựng đồ thị thể hiện các kết quả giải tích thu được trong và sau quá trình tính toán giải tích đồi với các đối tượng thuộc phạm vi nghiên cứu

• Thảo luận, trao (toi với những nhà nghiên cứu cỏ cùng đối tượng nghiên cứu nhằm

làm rõ và nâng cao nhận thức và kỹ năng trong lĩnh vực nghiên cứu

Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.

- SECTION 1.1

-Hiện tượng chuyển pha.

Nghiên cứu hiện tượng tới hạn và sự chuyển pha là một phần quan trọng trong vật lý vật

sự thay đối của những tham số bên ngoài như nhiệt độ (lẫn điện Đặc biệt, sự chuyến pha lượng tử là sự chuyến tiếp khi nhiệt độ giảm đến nhiệt độ nào đó thì (tiện trở của hệ tiến về 0, và quá trình chuyển pha của hệ được biểu diễn bằng một hàm Hamilton Qúa trình chuyển pha của hệ khi đi qua điểm tới hạn, thì có một số tính chất của chúng như độ dài tương quan (correlation length), độ dài kết hợp, nhiệt dung riêng và độ cảm từ trỏ lên phân kỳ Sự chuyển pha liên tục của hệ được miêu tả trong lý thuyết G inzburg-Landau.Đầu tiên chúng ta nghiên cứu về hiện tượng chuyển pha từ chất khí sang chất lỏng ( hay còn gọi là hiện tượng ngưng tụ của chất khí ) Các giai đoạn chuyển pha của hiệntương này được mô tả bằng biểu đồ pha như hình vẽ

Trong đồ thị (P , T ), hiện tượng chuyên pha được mô tả theo đường cong có (lạng một nửa hình Parabol và đi qua điểm tới hạn có tọa độ là (TC, P C).

Hình 1.1.1.: Chuyển pha Lỏng - Khí

Hình 1.1.2.: Chuyển pha Lỏng - Khí

tức là ,

pl ->• pg,

giống như ,

Đường đẳng nhiệt là đường biểu diễn sự phụ thuộc của áp suất vào thể tích sẽ thẳng

hơn nếu ở gần T c Điều này có nghĩa

1 ỠV k,T = - — — ,

V d P

cũng như

T T Ị

Làm thế nào để phân biệt giai đoạn chuyển pha trong chất thuận từ và trong chất sắt

từ trong Sắt Những vật liệu này sẽ trở th à n h nam châm tự nhiên khi nó ở nhiệt độ Curie

”7V’ Đường biểu diễn cường độ từ trường đi qua điểm này bằng 0, giống với đường đắng

nhiệt Moomen từ trường M ( H ) có nhiều điểm chung giống như hiện tượng ngưng tụ Hình dạng của biêu đồ pha rất đơn giản bởi vì các (tối xứng H — y —H ta biết rằng có điểm tới hạn khi H c = M c = 0.

Bằng trực giác ta thấy rằng chuyến pha sắt từ và chuyến pha lỏng khí là khác nhau

Chuyển pha sắt từ mà chúng ta quan sát được là chuyển pha loại I I , khối lượng m đóng

vai trò là tham số trậ t tự, hiện tượng chuyển pha diễn ra liên tục trong quá trình chuyển pha Mặt khác, khi chúng t a đun sôi nước ta thấy nước chuyển đổi từ chất lỏng sang chất khí gọi lả chuyển pha loại / , th am số tr ậ t tự là m ật độ xác định và m ật độ tại điểm tới

hạn, p — pc có bước nhảy tại điểm tới hạn và kèm theo một nhiệt lượng (entropy của hệ

rnoornen từ tăn g liên tục từ 0 Đây là chuyến pha loại I I

Còn đối với chất lỏng nhiệt độ không phụ thuộc vào áp suất m à phụ thuộc vào m ật độ

Đây là chuyển pha loại I

- SECTION 1.2

-Phân loại chuyển pha.

pha kia Có hai loại chuyến pha, lả chuyển pha loại m ột và chuyến pha loại hai

Chuyển pha loại I: Chuyển pha loại một là chuyển p h a trong đó có các đại lượng quảng

tính như thể tích, nội năng, entropy, biến đổi gián đoạn Vì các đại lượng như thế đều

là đạo hàm bậc nhất của các hàm thế nhiệt động lực nên cũng có thể nói chuyển pha loại một là chuyển pha trong đó đạo hàm bậc nhất của các hàm thế nhiệt động lực là gián đoạn, còn bản th â n các hàm thế thì vẫn liên tục Sự tan chảy của băng hoặc nước

từ trạng thái lỏng sang trạng thái hơi đều là chuyển pha loại ỉ

Chuyển pha loại I I : Các loại chuyển pha mà khi năng lượng của hệ thay đổi liên tục

nhưng đạo hàm của năng lượng theo nhiệt độ thay đổi kliông liên tục Nhớ rằng nhiệt

dung Cy vả Cp lả đạo hàm của năng lượng theo nhiệt độ.

và

r = ( d - ị \ ,

p \ ỹ T ) 'p

Vì thế chuyển pha loại I I là nhiệt dung ( hoặc nhiệt dung riêng ) không liên tục.

Hình 4 chuyến pha loại 1 và chuyển pha loại 2

T hí dụ đặc trưng nhất về chuyển pha loại hai lả chuyến pha từ chất (lẫn điện thường sang chất siêu clẫn Như chúng ta đã biết, ở nhiệt độ đủ thấp, trong rất nhiều kim loại xảy ra hiện tượng chuyển pha sang rạng thái mới, trạng thái siêu dẫn Ớ trạng thái này các tính chất nhiệt động và điện tử của kim loại khác xa so với tính chất của nó ở trạng thái thường Có thể hầu hết các vấn đề này là, khi kim loại bị làm lạnh xuống dưới một nhiệt độ tới hạn xác điịnh nào đó, nó chấm dứt ngay lập tức sự có m ặt của điện trở đối với dòng điện , không có sự tiêu hao năng lưựng xảy ra khi dòng đi qua vật siêu dẫn

Chuyển pha từ trạng thái thường sang trạ n g thái siêu dẫn là chuyển pha loại I I với đặc

trưng là nhiệt dung của kim loại có bước nhảy tại nhiệt độ chuyến pha

- SECTION 1.3

-Các lý thuyết chuyển pha.

Các định luật đơn lẻ trong vùng lân cận của điểm tới hạn được đặc trưng bởi tập hợp các hàm số mũ Các hàm số mũ mô tả hiện tượng chuyển pha là các hàm tích phân nhiệt động lực học Đáng chú ý là một số quá trình chuyên pha khác nhau như chuyến pha chất

lỏng sang chất khí và chuyển pha sắt từ có thể được mô tả bằng cùng một hàm mũ tổng quát.

Hàm mũ xác định luật tới hạn có thể được xác định bằng lý thuyết xác suất thống kê Đầu tiên ta xét hàm m ật độ xác suất theo hàm số mũ như sau:

-Ánh hưởng của thế nhiệt động học:

Tại điểm tới hạn (là điểm ở đó xảy ra liiện tượng chuyển pha liên tục vói tham số không gian) các tham số biến m ất trong quá trình liên tục, khi đó cấu trúc của quá trình chuyển

pha đối xứng Trong lý thuyết Landau tham số t r ậ t tự tp được coi là một biến vĩ mô, mô

tả một trạng th ái cân bằng chưa đầy đủ giá trị cân bằng được tìm thấy nhỏ đúng bằng thế nhiệt động học

Xét hệ kín tại điểm giới hạn thì các tham số trậ t tự là nhỏ nhưng xa điểm tới hạn hệ

có thể được giả định là một hàm đồng nhất và thế nhiệt động lực học là hàm của các tham số th ứ tự và các biến trạng thái Thế nhiệt động lực học được khai triển bằng hàm của tham số t r ậ t tự và các biến số trạng thái ban đầu là nhiệt độ và áp suất như sau:

G (p , T, ip) = Go (P , T ) + a<p + A ( f2 + C(p:i + B ( f 4 + (1.3.1)

Gibbs biến đối Trong biếu thức th ứ ba dành cho quá trình chuyên pha liên tục, quá trình chuyển pha liên tục tồn tại trong cả biểu thức thứ hai và thứ tư Đe đảm bảo tồn tại quá

t r ì n h c â n b ằ n g t h ì B > , và, m ặ c d ù h à m c ủ ap và T đ ư ợ c coi là k h ô n g đổi với A > 0 giá

trị tối thiểu của 2.3.1 là (p = 0 Tuy nhiên trong trường hợp A < 0 Kì dị không biến

m ất mà ở giữa hai giá trị tối thiểu Đường biểu diễn giá trị A — 0 là đường đi qua điểm

chuyển pha Các giá trị nằm trên đường chuyển pha biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ là

A = a ( T — Tc).

- SUBSUBSECTION 1.3

-Tham số sắt từ:

Y tưỏng cơ bản của lý tlmyen Landau (lược chứng minh trong các ví (lụ về chuyến pha

sắt từ Biếu hiện từ hóa bằng m nhấn m ạnh đó là th a m số t r ậ t tự biếu biễn giá trị của

quá trình từ hóa cân bằng Trong đó có mối liên hệ:

đại lượng fi, — h(T, m) là đạo hàm của thế nhiệt động lực học theo các tham số t r ậ t tự

tự của năng lượng tự do phụ thuộc và T và m Fsyÿ = F SÿS(T, m ) Thế nội năng Gibbs

hàm sắt từ là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của các th am số trật tự:

Chọn m nhỏ

G : ỒGỊỗĩìì, = ỖFsyaỊ ỏ m — ụ,0V H = Ị-I q V ỉĩ — fi0V H —>■ 0.

Trong quá trình cân bằng chúng ta có h (T, m ) = H và trong đó m = m (T, H ) = M ì ầ

moomen từ hóa trong quá trình cân bằng và lấy đạo hàm ta được kết quả

Năng lượng phụ thuộc vào tham số t r ậ t tự m =1 711 I Khi đó có thế I11Ở rộng F

F (T, m) = Ftì (T ) + a 2 (T ) m 2 H— ữ 4 (T) m 4 + (1.3.6)Gỉa sử

Mối quan hệ được xác định bằng hàm mũ giới hạn Ị3, nó mô tả tham số tr ậ t tự ọ giống

như hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tham số tr ậ t tự vào nhiệt độ của điểm tới hạn

Như vậy, trong lý thuyết Landau ß =

tại điểm có giá trị M 0 như sau

Lý thuyết L andau tập trung vào miền ĩp nhỏ, khai triển năng lượng tự do của hệ nhiều

hạt như một đa thức đơn giản:

• Năng lượng tự do Landau mô tả sự phụ thuộc chủ yếu của năng lượng tự do toàn

trong đó f n là năng lượng của ’’trạng thái thường” không kể đến tr ậ t tự tầm xa.

• Đối với th a m số tr ậ t tự Ising, cả ham iltonian và năng lượng tự do đều là hàm chẵn

(1.3.13)

vì vậy khi T < Tc, có hai cực tiểu của hàm năng lượng tự do Lưu ý rằng

• Nếu chúng ta làm lạnh hệ trong một trường ngoài nhỏ, dấu của tham số tr ậ t tự cho biết dấu của trường :

N hánh cắt này dọc theo trục nhiệt độ của giản đồ pha, là một ví dụ về điều kiện biên

chuyển pha loại một Điểm T — Tc , h — 0 ở đây nằm ở cuối đường cắt nhánh gọi là

” điểm tới h ạ n ”

Nếu u < 0 năng lượng tự do trở nên không bị giới hạn bên dưới Đế xử lí vấn đề này, năng lượng tự do Landau phải đưực khai triển theo ĩị) tới bậc sáu:

Khi u < 0 đường cong năng lượng tự (lo tiến triển ba cực tiếu và sự chuyến pha trở

th àn h loại một; (tiếm đặc biệt tại r = ÌI = u = 0 lả m ột tụ (liếm của các điếm tới hạn gọi

là điểm ba

I - SECTION 1.4

-Các hàm nhiệt động lực học khác có thê lấy (tược từ các hàm phân bố tương ứng

Kí hiệu / D m ( x ) dùng để chỉ tích phân phiếm hàm

Ị D m ( x ) Z [ m { x ) , ỡ m ] — lim I dmi z[mi , { m i+1 — n i ị ) / a , ].

Trong vùng lân cận điểm tới hạn m là nhỏ và ta xác định được giá trị của m bằng cách

chỉ việc giữ lại năng lượng th ấp nhất của sự khai triển của / ( m ,/z ) phụ thuộc nhạy cảm vào dấu của t

1, Đ ối với t > 0, cực t i ể u x ả y r a k h i m — h t, m —)• o k h i h —»■ 0 b á o h iệ u đ â y là h à n h

là hằng số (lương chưa biết, phụ thuộc vào tính chất vật liệu của hệ

T ừ tính: giá trị trung bình của từ tính 77/, có thể tìm được trong điều kiện tĩnh:

df_

dm

till + 4urn - h.

Trong trường không tĩnh chúng ta tìm

sự biến động của nhiệt Điều này là bởi vì trong cơ học thống kê các e tương tác với nhau

rất phức tạp Do đó có thể sử dụng hạt thô m nhỏ hơn rát nhiều so với khoảng cách giữa các nút mạng Định nghĩa m ( x ) đặc trưng cho giá trị tru n g bình của các spin nguyên tố

trong vùng lân cận điếm X Trong I11Ô tả các loại chuyến pha vị trí của m ( x ) (tược chỉ ra

n — 2 chuyển pha siêu dẫn, siêu chảy, nam châm hai chiều,

n = 3 nam châm đẳng hướng.

Hàm Ham ilton phụ thuộc vào cường độ từ trường được thế hiện qua hàm građien:

Đối xứng quay: Nếu không có từ trường ngoài, hàm Harnilton đắng hướng trong không

gian và khi đó nó bất biến khi quay m —> R nm

Lý thuyết Ginzburg - Landau.

(<1 = 2)

ßH[ 111] =

Tịnh tiến và đối xứng quay trong x: cuối cùng dẫn đến một hàm Hamilton:

Phương trình (1.4.2) được biểu diễn như trên là hàm Hamilton Ginzburg - Landau.

Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau

I - SECTION 2.1

Tham số trật tự

Ý tưởng các hiện tượng chuyển pha liên quan đến sự tiến triển của một tham số trậ t tự

m à nó làm suy yếu hoặc phá vỡ tính đối xứng của hệ là một trong những ý tưởng đẹp

Landau đã đưa ra khái niệm tham số tr ậ t tự năm 1937 như một phương tiện để xácđịnh sự biến đối đầy ấn tượng của vật chất trong sự chuyên pha Những ví dụ về sự biến đổi như thế có rất nhiều: một bông tuyết hình th à n h khi nước đóng băng;

Hình 5: sự hình th àn h th am số trậ t tự

Sắt trở nên có từ tính khi các spin electron sắp hàng th àn h một hướng; tính siêu lỏng

và siêu dẫn p h á t triển khi các chất lỏng lượng tử được làm lạnh và boson hay íermion