VỀ một số PHƯƠNG TRÌNH hàm TRÊN tập số NGUYÊN

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRèNH HÀM TRấN TẬP SỐNGUYấN Phan Ngọc Thỏi Trường THPT Chuyờn Nguyễn Tất Thành - Yờn Bỏi Phương trỡnh hàm trờn tập số tự nhiờn là một dạng toỏn khú, để giải được cỏc ph

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRèNH HÀM TRấN TẬP SỐ

NGUYấN

Phan Ngọc Thỏi

Trường THPT Chuyờn Nguyễn Tất Thành - Yờn Bỏi

Phương trỡnh hàm trờn tập số tự nhiờn là một dạng toỏn khú, để giải được cỏc phương trỡnh hàm loại này, chỳng ta cần nắm rừ khụng những cỏc kỹ thuật giải phương trỡnh hàm mà cũn cần cỏc tớnh chất

và cỏc đặc trưng cơ bản của số nguyờn (tớnh chia hết, đồng dư…) Trong bài viết này, chỳng ta sẽ đề cập đến một số dạng phương trỡnh hàm trờn tập số nguyờn dựa trờn tớnh tuần hoàn và tớnh đồng dư

Bài 1 Tỡm tất cả cỏc hàm số f :  *   * thỏa món đồng thời hai điều kiện sau:

*

1 f (f (n)) n 2k

f (n 1) f (n)



Với n v k à k cho trướ cho tr ớ c

2 Với n

Lời giải: Giả sử cú hàm f thoả món cỏc điều kiện (1) và (2) Ta chỳng minh hàm f là một đơn ỏnh Thật vậy

Với mọi m n  , *và m n , nếu cú f m( ) f n( ) thỡ do (1) suy ra

f f m f f n  m k n  k  m n (vụ lý)

Suy ra f là đơn ỏnh

Do (2)  f n(  1)  f n( ) với mọi n * suy ra

( ( 1)) ( ( ) 1) 1 ( ( ))

( ( 1)) 1 ( ( ))

    với mọi n *

( ( 1)) ( ( ) 1)

f f n f f n

    với mọi n *

( 1) ( ) 1

    với mọi n * ( do f là đơn ánh)

    với mọi n 2 ; n  *

Truy hồi ta được

( ) 1 (1)

    với mọi n *

( ( )) ( 1 (1)) 2 2 (1)

2 2 2 (1)

     với mọi n *

   với mọi n *

Suy ra f n( )    n 1 k 1 với mọi n *

( )

f n n k

   với mọi n *

Thử lại: f n( )  n k với mọi n * thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) Vậy: Các hàm f cần tìm thỏa mãn đề bài là:

( )

f n  n k với n *

Bài 2 Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1 f (f (n)) n 4

f (2013) 2016



 Víi n

2

Lời giải: Giả sử có hàm f thoả mãn các điều kiện (1) và (2)

Từ điều kiện (1) ta dễ dàng chứng minh được f là một đơn ánh

Từ (1) ta suy ra f f f n( ( ( ))) f n(  4) với mọi n 

    với mọi n  (3) Với n  4k r với k  ; r {0,1,2,3}

Từ (3) ta suy ra f(4k r ) 4 4   k f r( ) với mọi k  

+ Tính f(1)

Do 2013 4.503 1   nên f(20013) 2012   f(1) 2016   f(1) 4  + Tính f(0)

( (0)) 4 (1) (0) 1

f f  f  f  (do f là đơn ánh)

+ Tính f(2) và f(3)

Giả sử f(2) 4  m r với m  và r {0,1,2,3}

Do (1) mà ta có: f f( (2)) 6 2 4   

 f f( (2)) f(4m r ) 4  m f r( ) 6  ; f r ( ) 0

 m 0 hoặc m 1

Với m 0, thì f r ( ) 6 và f f( (2)) f r( )  f(2) r

Với m 1, thì f r ( ) 2 và f(2) 4  r

*)Trường hợp 1: Xét m  0 f (r) 6f (2) r r {0,1,2,3}

víi









+ Với r 0  thì f (0) 6f (2) 0 



 vô lý do f (0) 1 

+ Với r 1  thì f (1) 6f (2) 1 



 vô lý do f (1) 4 

+ Với r 2  thì f (2) 6f (2) 2 



+ Với r 2  thì f (2) 6f (3) 2 



Vậy khi m = 0 ta có f (0) 1;f (1) 2;f (2) 3;f (3) 6    

*)Trường hợp 2: Xét m 1  f (r) 2f (2) r 4 r {0,1,2,3}

víi







 + Với r 0  thì f (0) 2  vô lý do f (0) 1 

+ Với r 1  thì f (1) 2  vô lý do f (1) 4 

+ Với r 2  thì f (2) 2f (2) 6 



+ Với r 2  thì f (2) 7f (3) 2 



Vậy khi m =1 ta có f (0) 1;f (1) 4;f (2) 7;f (3) 2    

Suy ra

f (n)

nÕu n 0 nÕu n 1 nÕu n 2 nÕu n 3









 Thử lại: f (n) thỏa mãn đồng thời các điều kiện (1) và (2) nên f (n)là các hàm cần tìm

Bài 3 Tìm tất cả các hàm số f :    * thỏa mãn điều kiện sau:

f (n) f (n 1) f (n 1).f (n 3)   =   víi n    (1)

Lời giải: Giả sử có hàm f thoả mãn các điều kiện (1) Ta lập dãy

n

(a ) với mỗi n   ta đặt a n  f (n) khi đó (1) trở thành

a n  a n 2 =a n 1 n 3a  víi n    (2)

Thay n n 2   trong phương trình (2) ta được

a n 2  a n 4 =a n 3 n 5 a  víi n    (3)

Trừ từng vế của (3) và (2) ta được :

a   a =a  ( a  - a  ) víi n   

Thay nlần lượt bởi 0,1,2,3, ta có:

a a a (a a )

a a a (a a )

a a a (a a )

a a a a a a (a a )

Ta chứng minh rằng a n 4  a n víi n   

f (n 4) f (n)

Hay f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 4

Thật vậy: Giả sử tồn tại số *

0

n   mà a n 04  a ; n n n 0  0

n

a   với    n nên a n04  a n0  1 suy ra

a  a  a a a a  (a   a ) a a a a  

Do a n  a n 2  a a n 1 n 3  với    n , nên với 4 số liên tiếp

0 0 0 0

a  ,a ,a ,a  phải có ít nhất một số lớn hơn 1

Do đó khi n  thì a a a a 3 4 5 n 02   suy ra a n04  a n0   (vô lý)

Suy ra: a 4  a 0   0 a 4n  a n  0 với    n

 f (n 4) f (n)   với r {0,1,2,3} 

trong đó f là hàm tuần hoàn chu kỳ 4 Hàm f được xác định khi ta tính được f (0) a ;f (1) a ;f (2) a ;f (3) a  0  1  2  3 bởi vì từ (2) ta có

a a a a a a a a a a



a 1 a 1 a a a a 1







Suy ra: a 0  1 a  2  1  a 1  1 a  3  1  2 (6)

Do đó có các khả năng xẩy ra:

Khả năng 1.

a 1 a 1 2

hoÆc a hoÆc a hoÆc a hoÆc a





Suy ra

   

f (0);f (1);f (2);f (3) a ;a ;a ;a

1;2;5;3 , 1;3;5;2 , 5;2;1;3 , 5;3;1;2





Ta tìm được 4 hàm cần tìm với f (n) với f (n) xác định bởi

f (1) mod 4

f (n)

víi n 0 víi n 1 víi n 2 víi n 3



















(7)

đều thỏa mà điều kiện 1

Khả năng 2    

a 1 a 1 1

a 1 a 1 0







a ;a ;a ;a 2;2;2;2

Suy ra f (n) 2  với mọi n  

Khả năng 3    

a 1 a 1 2

a 1 a 1 0





 Lập luận tương tự như khả năng 1 ta được

   

f (0);f (1);f (2);f (3) a ;a ;a ;a

2;1;3;5 , 3;1;2;5 , 2;5;3;1 , 3;5;2;1





ta được 4 hàm f (n)cần tìm và cả 4 hàm đều thỏa mãn điều kiện (1)

Vậy có 9 hàm f thỏa mãn là nghiệm của phương trình (1)

Bài 4 Tìm tất cả các hàm số f :  *   thỏa mãn điều kiện sau:

f (m n) f (mn 2001)  =  víi m, n    , mn 2011  (1)

Lời giải: Giả sử có hàm f thoả mãn các điều kiện (1)

Trong phương trình (1) cho m 1  ta có

f (n 1) f (n 2011) f (n 1 2012)       với    n *, n 2011  (2)

Ta chứng minh rằng f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2012 Thật vậy trong (2) thay n bởi k 2011  với k   * ta có

f (k 2012) f (k)   (3) Trong (2) lấy n k 2011   với k   * và kết hợp với (1) ta có

f (k) f (k 2012) f (k2012 2011)

f (k2012 - 2012 1)

f ((k 1)2012 1)

= = =f(1)



Suy ra f (k) f (1)  với    k *

Đặt f (1) c  (c là hằng số) suy ra f (n) c 

Thử lại ta có f (n) c  thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Vậy phương trình có nghiệm f (n) c  với    n *

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TẬP Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f :  *   thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

*

1 f (n) f (m) f (m n)

2 f (1) f (2) f (2010) 0 f (2011) 1

f(2011.2 víi n





Bài 2 Tìm tất cả các hàm số f :  *   thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

*

1 f (1) 0

2 f (p) 1

3 f (m.n) mf (n) nf (m) m,

víi p lµ sè nguyªn tè





Bài 3 Có bao nhiêu hàm số f :  *   * thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

1 f (1) 1

2 f (n)f (n 2) f (n 1)

+2011 víi n



của 2012 thì tồn tại nghiệm

Bài 4 Cho hàm số f :    thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

 2

1 f (0) a a 1

3 3 f (n) f (n)

2 f (n 1)

2

víi cho tr íc

Chứng minh rằng f là hàm tuần hoàn

Bài 5 Cho hàm số f :    thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau

*

1 f (n) 0

2 f (n)

f (n).f (n 1) 3f (n) 2f (n 1)

víi n

lµ hµm bÞ chÆn

3 f(n+2)= víi n



 





Chứng minh rằng f là hàm tuần hoàn