Một số bài toán hình học không gian và phương pháp giải

Chứng minh rằng sáu trung điểm của sáu cạnh AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ và A’A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.. Nếu hai khối chóp có d

MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I.ĐẶT VẤN ĐỀ:

a) Lí do chọn đề tài:

Hình học không gian là một trong môn học khó đối với nhiều học sinh Để học tốt môn học này, ngoài khả năng tư duy trìu tượng không gian tốt; kỹ năng biểu diễn hình, kỹ năng phân tích và khả năng vận dụng nhiều công cụ Toán học phối hợp để giải toán Hình Học

không gian của người học Việc phân dạng bài tập hình không gian theo từng chủ đề cụ thể của người thầy giáo rất cần thiết nhằm:

• Giúp học sinh nắm vững các kiến thức, kỹ năng trong các vấn đề đã học

• Làm quen với nhiều phương pháp giải toán khác nhau

• Biết xử lí các bài tập mang tính tổng hợp

• Giúp học sinh nâng cao khả năng tự học, tự giải quyết các dạng toán hình học không gian thường gặp trong các kì thi vào đại học; thi học sinh giỏi toán

b) Mục đích của đề tài :

Trên cơ sở về những kinh nghiệm giãng dạy của mình và thực tiễn học tập của học sinh, kết Hợp với các nội dung có trong chương trình hình học bậc THPT; bản thân tôi đúc kết, hệ thống lí thuyết xem như chuyên đề nâng cao dạy cho các đối tương học sinh cũng như luyện thi đại học

c) Phạm vi nghiên cứu:

Pham vi nghiên cứu xoay quanh các bài toán hình học không gian thường gặp bao gồm: Chứng minh tính đồng phẳng của các điểm Xác định và tính khoảng cách giữa các yếu tố Điểm, đường thẳng, mặt phẳng Tính thể tích khối đa diện Các bài toán xác định thiết diện Các bài toán cực trị hình học …

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

4) Cho điểm A và đường thẳng a thì có duy nhất một mặt phẳng (P) qua A mà (P)

vuông góc với đường thẳn a

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

Bài tập 1:Cho tứ diện ABCD; P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Hai điểm

M và N lần lượt chia đoạn thẳng BC và AD theo cùng một tỉ số k

Chứng minh bốn điểm P,Q,M,N nằm trên một mặt phẳng

Q M

Bài tập 2: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng sáu trung điểm của sáu cạnh

AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ và A’A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau

Giải:Gọi M, N, I, J, K, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CC’,C’D’,D’A’,A’A của

khối hộp ABCD.A’B’C’D’, còn O là tâm của khối hộp này Dễ thấy ba đường thẳng

MN, EI và KJ đôi một song song Hai mặt phẳng (MNIE) và (IEKJ) cùng đi qua EI và song song với mặt phẳng (ACD’) mà EI // (ACD’) nên chúng trùng nhau Vậy sáu điểm

M, N, I, J, K, E cùng nằm trên một mặt phẳng ta kí hiệu là ( )α

Mặt phẳng ( )chia khối hộp thành hai khối đa diện, khối thứ nhất có các đỉnh

M,N,I,J,K,E,A,C,D,D’,khối thứ hai có các đỉnh M,N,I,J,K,E,C’,A’,B,B’.Phép đối xứng qua tâm O biến tập hợp đỉnh của khối đa diện thứ nhất thành tập hợp đỉnh của khối đa diện thứ hai Suy ra hai đa diện đó bằng nhau và do đó chúng có thể tích bằng nhau

A M B

N

D E C

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông ,SA ⊥( ABCD )

Gọi B’, C’, D, thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD

Từ gt ta có BC ⊥(SAB)⇒BC ⊥ AB'

Mặt khác SB⊥ AB' nên AB'⊥(SBC)⇒ AB'⊥SC (1)

lại có AC'⊥SC(2) từ (1) và (2) suy ra SC ⊥(AB C' ')

hoàn toàn tương tự ta cũng có SC ⊥(AD C' ') Qua điểm A có hai mặt phẳng cùng

vuông góc với nên chúng phải trùng nhau do đó bốn điểm đồng phẳng

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

Dạng 2: Tính khoảng cách d(a;b) giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Cơ sở lí thuyết:

1.Xác định đoạn vuông góc chung IJ của a và b thì d a b( ); =IJ

2.Xác định mặt phẳng ( )Q qua b song song với đường thẳng a thì d a b( ); =d a Q( ;( ) )

với u v, là các véc tơ chỉ phương của a và b còn A a B b∈ , ∈

Chú ý: Nếu a⊥b thì nên chọn phương pháp 1 Việc tìm đoạn vuông góc chung như

K H

Bài tập 4:Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và SA a=

Tính khoảng cách d BD SD( ; )

Giải: Nhận xét BD⊥(SAC) nên BD⊥SC

Gọi O BD= ∩(SAC)⇒O BD= ∩AC Trong mặt phẳng (SAC)kẻ OK ⊥SC K SC, ∈

thì OK là đoạn vuông góc chung của BD v SCà

Lưu ý: có thể tính OK từ hai tam giác vuông đồng dạng SACv DKOà

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại C SA⊥(ABC) biết

AC a BC b SA h= = = , D là trung điểm của cạnh AC

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng AC và SD; BC và SD

+ Vậy ( ; ) 2 2

chứa SD và song song với BC nên d BC SD( ; )=d BC SDE( ;( ))=d C SDE( ;( ))=CK với

CK là đường cao của tam giác SEC kẻ từ C Tam giác vuông SAE tính được

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

1

42

Chú ý: có thể giải bài toán nay bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình

đường thẳng AC qua A(0;0;0) nhận véc tơ j =(0;1;0)làm vtcp

đường thẳng SD qua S(0;0;h) nhận véc tơ v=2SD=(b a; ; 2− h)làm vtcp

Ta có j v, = −( 2 ;0;h −b); , j v AS = −bh;j v,  = 4h2 +b2

4,

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và AB BD a= = Hình

chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy là trọng tâm G của tam giác ABD, góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 45o

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

O G B

C S

Cho hình chóp S.ABC với SA là đường cao, tam giác ABC vuông tại B.Gọi G là

trọng tâm của tam giác ABC, biết SA AB a BC a= = , = 3

Tình thể tích khối chóp S.GBC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC)theo a

Giải: Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 1 . 1 .

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

suy ra BC ⊥(SAB)⇒BC⊥ AH(2) từ (1) và (2) ta có AH ⊥(SBC) Vậy

M N

2 Nếu hai khối chóp có chiều cao bằng nhau thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy tương ứng,

3 Nếu hai khối chóp có diện tích đáy bằng nhau thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai chiều cao tương ứng,

4.Cho ', ', 'A B C thứ tự là các điểm tương ứng thuộc các đường thẳng SA SB SC, ,của khối chóp S ABC nhưng không trùng với S

Ta có: ' ' '

.

' ' '

Chú ý: Nếu việc xác định chiều cao khối chóp hoặc tính diện tích đáy khó khăn, ta

chọn cách tính thể thể tích gián tiếp bằng cách áp dụng 2,3,4 hoặc chia khối cần tính thể tích ra từng khối chóp nhỏ mà việc tính thể tích các khối này dễ dàng

Bài tập 8:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a ,AD = a 2,

SA ⊥(ABCD),SA = a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC và I là giao điểm của BM với AC

2 ) VANIB=V N AIB. Gọi K là trung điểm của đoạn AC ⇒NK // SA ,mà

SA ⊥(ABCD) nên NK ⊥(ABCD) và NK =

AI = AB + AM =a +a ⇒ = ; xét tam giác vuông AIB ta có

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

D A

S

M N

Bài tập 9: Cho khối chóp S.ABC với

;AS 60 ,BSC 90 ,CSA 120

Chứng minh rằng Tam giác ABC là tam giác vuông và tính thể tích khối chóp theo a

Giải: Từ giả thiết suy ra AB a BC a= , = 2,CA a= 3

AB +BC =a + a = a =AC ⇒ ∆ABC vuông tại B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

( ) à

SH ⊥ ABC v SA SB SC= = ⇒HA HB HC= = ⇒H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

mà tam giác này vuông tại B nên H là trung điểm của cạnh huyền AC

Bài tập 10: Cho khối chóp S.ABCD có SA x= , các cạnh còn lại đều bằng 1

Tính thể tích V của khối chóp này

Giải: Từ gt suy ra tứ giác ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 Gọi O là tâm hình thoi thì O

là trung điểm của AC và BD và AC ⊥BD(1)

mặt khác SO⊥BD(2) Từ (1) và (2) ⇒BD⊥(SAC) (SAC) (⊥ ABCD)= AC(3)

Kẻ đường cao SH của tam giác SAC do (3) nên SH ⊥(ABCD)

Vậy SH là đường cao khối chóp S.ABCD do đó 1( )

+

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =

2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 Trên cạnh

SA lấy điểm M sao cho AM = 3

hạ SH⊥BM,H∈BM do BC (⊥ SAB) (≡ SMB)⇒BC ⊥SH

Vậy SH ⊥ (BMNC) ⇒SH là đường cao của khối chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 0 2 AB 1

B

S H

C N

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

Tính thể tích khối chóp theo a b c, ,

Giải: Trên các tia SB,SC lần lượt lấy các điểm B’,C’ sao cho SB' =SC' =a

Theo kết quả bài tập 9 thì

3

' '

312

BAD B= =D =α < <α Tính thể tích của khối hộp này

Giải: Khối hộp đã cho và khối chóp A’.ABD có cùng chiều cao, diện tích đáy chóp

bằng nữa diện tích đáy hộp nên thể tích V của khối hộp bằng 6V A ABD'. =6V A A BD '

Mặt khác A A BD ' là khối chóp đều có các cạnh bên bằng a , cạnh đáy

Cho tứ diện ABCD có AB x CD y= , = các cạnh còn lại đều bằng 1

Tính thể tích khối tứ diện này

Giải: Gọi M và N thứ tự là trung điểm các cạnh AB và CD các tam giác ABC và

ABD cân chung đáy AB nên CM và DM bằng nhau và cùng vuông góc với AB suy

ra AB⊥(CMD)

Goị V là thể tích khối tứ diên ABCD thì

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

Tam giác CMD cân tại M nên 1

V = xy − x + y

Bài tập 16:Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình vuông cạnh a tâm O, SA⊥(ABCD)

và SA = a Điểm M trên cạnh SB sao cho SM = 1

Giải: MN ⊥(ABCD) nên mặt phẳng (MNO) ⊥(ABCD)=NP Gọi E =AD∩NP và H là hình

chiếu của A trªn EP thì AH⊥(MNO).Do SA // MN nên SA // (MNO),do đó khoảng cách từ

S đến mặt phẳng (MNO)bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (MNO)và bằng AH

1 .3

⇒ = S MNPQ =S MNOQ +S QOP; do MN//SA⇒MN//(SAC) nên MN // QO,

vậy MNOQ là hình thang vuông tại N và O Ta có MN = 2a/3, OQ = a/2 ;

S MNPQ

a

Dạng 5: Dựng thiết diện do một mặt phẳng ( ) α căt hình đa diện T

*Dựng thiết diện là một bài toán dựng hình, nhưng chỉ trình bày phần dựng và phần

biện luận (nếu có)

*Đỉnh của thiết diện là giao điểm của mặt phẳng ( ) α với các cạnh của hình đa diên T

*Cạnh của thiết diện là các đoạn giao tuyến của ( ) α với các mặt của T Do đó thực

chất

của bài toán dựng thiết diện là giải bài toán dựng giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng và dựng giao tuyến của hai mặt phẳng

1)Phương pháp giao tuyến gốc : Để dựng thiết diện của ( ) α với T, trước tiên hãy tìm

cách xác định 1 giao tuyến của ( ) α với một mặt phẳng chứa một mặt của T, trên mặt

phẳng này, lấy giao điểm của giao tuyến vừa tìm được với những đường thẳng chứa cạnh của T Từ các giao điểm mới tìm được sẽ dựng được giao tuyến của ( ) α với các mặt khác của T Với các giao tuyến này lặp lại quá trình cho đến khi tìm được thiết

diện Giao tuyến đầu tiên gọi là giao tuyến gốc

Bài tập 17: Cho hình chóp S ABCD. với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau A’ là điểm nằm trên cạnh SA không trùng với S và A Hãy xác định thiết diện do mặt phẳng

(A CD' ) cắt hình chóp

Giải: Gọi K là giao điểm của AB với CD thì giao tuyến của mặt phẳng (A CD' ) với mặt phẳng (SAB)là đường thẳng A’K ( giao tuyến gốc ) Trên mặt phẳng (SAB)lấy

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

giao điểm của A’K với SB suy ra giao tuyến của (A CD' ) với các mặt phẳng

(SAD) (, SBC) (, SCD)là các đường thẳng A’D, B’C, CD

S

Thiết diện cần tìm là tứ giác A’B’CD

Chú ý: Có thể dùng kiến thức cơ sở là hoạt động 6 SGK NC 11 trang 47

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ Gọi O là giao điểm của AC và BD thì ba đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng quy

Từ kết quả này ta suy ra ba trong bốn điểm A’, B’, C’, D’ đã biết thì điểm còn lại hoàn toàn xác định được

Gọi I là giao điểm của SO với CA’( O = AC∩BD) Trong mặt phẳng (SBD) đường thẳng DB cắt SB tại điểm B’,ta có A’B’ là giao tuyến gốc do mặt phẳng (A CD' ) cắt mặt phẳng (SAB), các giao tuyến còn lại xác định như cách trên để có thiết diện là tứ giác A’B’CD

1) Phương pháp xác định thiết diện khi ( ) α cho bởi các tính chất song song

a) ( ) α đi qua đường thẳng a và song song với đường thẳng b chéo với a

bước 1 Xác định mặt phẳng ( ) β chứa b sao cho cắt a,tìm giao điểm A của chúng

bước 2 Trong mặt phẳng ( ) β qua A kẻ đường thẳng a’//b thì ( ) α là mặt phẳng chứa a

và a’

Bài tập 18: Điểm H nằm trong cạnh SC của hình chóp tứ giác S.ABCD Dựng thiết

diện do mặt phẳng ( ) α qua AH, song song với BD cắt hình chóp

Giải: Gọi O = AC ∩ BD Đường thẳng AH cắt mặt phẳng (SBD) tại giao điểm I của AH

và SO Đường thẳng qua I, song song với BD sẽ thuộc ( ) α

Gọi M , N là các giao điểm của đường thẳng đó với SB và SD, tứ giác AMHN là

thiết diện cần đựng

b) ( ) α đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d , d1 2

Để dựng ( ) α , trước tieenhayx xét hai mặt phẳng (M, d , M, d 1) ( 2) Trong mỗi mặt phẳng này dựng một đường thẳng qua M , song song với d , d1 2 Khi đó ( ) α là mặt

phẳng chứa hai đường thẳng cần dựng

N I

O

B

D S

M

H

Bài tập 19: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành M là trọng tâm tam giác

SBD Xác định thiết diện do mặt phẳng ( ) α qua M , song song với AC và BD

Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD Do ABCD là hình bình hành nên trọng tâm M của tam giác SBD nằm trên SO Mặt phẳng (M,SB) (≡ SBD) Trong mặt phẳng này,

đường thẳng qua M, song song với SB sẽ cắt SD tại N, cắt BD tại K

S

Do M ∈ SO ⇒(M, AC) là mặt phẳng (SAC) Do đó đường thẳng qua M, song song với

AC cắt SA và SC tại P và I Vậy α là mặt phẳng chứa hai đương thẳng NK, PI Mặt

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

phẳng này có chung với đáy ABCD điểm K vá nó song song với AC nên cắt mặt phẳng

đáy theo giao tuyến EF qua K song song với AC với E ∈ AB, F ∈ BC Ngũ giác EFINP

là thiết diện cần tìm

2) Phương pháp xác định thiết diện khi ( ) α cho bởi các tính chất vuông góc

a) ( ) α đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng a

Ta xác định hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với a trong đó có ít nhất một

đường qua M mặt phẳng qua hai đường thẳng đó chính lá mặt phẳng ( ) α cần xác định

Bài tập 20: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết

AB =a, BC = b ,AA’ = c ( c2 ≥a2 +b2 ) (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với CA’

Xác định thiết diện do (P) cắt lăng trụ và tính diện tích của thiết diện theo a , b , c

Giải: Trong (ACC’A’) kẻ AE⊥CA’,E∈CC’.Kẻ đường cao BK của tam giác ABC

kẻ AI //BK cắt BC tại I, từ gt⇒ BK⊥(ACC’A’)⇒AI⊥(ACC’A’) nên AI⊥CA’

Mặt phẳng (P)là mặt phẳng (AEI),EI cắt BB’ tại F.Vì c2 ≥a2 +b2nên AA’≥AC,nên E nằm

A' C'

C A

Bài tập 21: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng

3 M, N là trung điểm các cạnh AB ,AC Xác định thiết diện do mặt phẳng ( ) α đi qua

MN , vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Giải: Lấy I là trung điểm của cạnh BC và H là trung điểm của SI Do S.ABC là hình

chóp đều nên BC ⊥(SAI)⇒ BC ⊥ AH.(1)

M

H F P

Q

Ngô Quang Việt THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

Trong tam giác đều ABC ta có : AI AB 3 2. 3 3

= = = Vậy AI = AS Suy ra ÁI là tam giác cân , và SI ⊥ AH.(2) Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥(SBC).Vậy ( ) α là mặt phẳng qua MN, song song với AH Thiết diện là hình thang MNPQ (MN / /PQ / /BC) với E là trung điểm của AI, EF//AH (F ∈ SI)

sánh đại lượng F với một đại lượng cố định

Bài tập 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, có ba kích thước

AB=a, AD=b, AA '=c Một điểm M di động trên cạnh AA’

Xác định giá trị nhỏ nhấtcủa diển tích thiết diện do mặt phẳng (MBD') cắt hình hộp đã cho

Giải: Thiết diện do mặt phẳng (MBD’) cắt hình hộp là hình bình hành BMD’N có diện

H0 A

A'

D

C' B'

D'

K

M0 M

2 2 2

2 2 a b c

của hai đường thẳng AA’ và BD’, khi đó M ≡M0 và min

2 2 2

2 2 a b c

a)Có thể dùng phương pháp véc tơ để chứng minh 4 điểm M,N,I,J đồng phẳng

b)Dễ thấy thiết diện là một lục giác MINFJ có từng cặp cạnh đối diện đôi một song

song Gọi l là chu vi của nó thì l=2(IM +ME +EJ)

Trải các mặt ABCD, DCC’D’ lên mặt phẳng (AA’D’D)

Vì IM +ME +EJ IJ≥ ⇒ ≥l 2IJ Đẳng thức xãy ra khi I,M,E,J thẳng hàng, suy ra M

và N thứ tự là trung điểm của AD và BB’

l nhỏ nhất bằng 2IJ = 3a 2