Tính compact, liên thông của tập nghiệm một số phương trình vi, tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM PHẠM KIM KHÁNH TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI, TÍCH PHÂN... Thầy là người đã động viên, giúp đỡ, chỉ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

PHẠM KIM KHÁNH

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM MỘT

SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI, TÍCH PHÂN

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng kính gửi đến PGS-TS Lê Hoàn Hoá, người thầy hết lòng vì học

trò của tôi, tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Thầy là người đã động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô của khoa Toán – Tin học Đại học Sư

phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy để tôi có được những kiến thức quý báu làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học, trường Đại

Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về các thủ tục hành chính trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là các thầy, cô trong tổ

toán, trường THPT Trưng Vương Tp Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn này

Lời cuối cùng, tôi cũng không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tất

cả bạn bè tôi, những người đã luôn ở bên tôi động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này

Phạm Kim Khánh

LỜI MỞ ĐẦU

Định lý điểm bất động dạng Krassnosel’skii đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát sự tồn tại nghiệm các phương trình vi, tích phân Vấn đề này được nhiều nhà Toán học quan tâm khảo cứu chẳng hạn [1], [3], [5] Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng định lý điểm bất động dạng Krassnosel’skii trong không gian lồi địa phương để chứng minh sự tồn tại nghiệm, cũng như tính compact liên thông của tập nghiệm các phương trình sau :

u  f t u u t , ,t    0, 0  t 1

Luận văn được trình bày trong 3 chương Chương 1 trình bày định lý điểm bất động dạng

Krassnosel’skii trong không gian lồi địa phương, và kiến thức chuẩn bị cho các chương sau Chương 2 dành cho việc trình bày tính không rỗng, compact, liên thông của tập nghiệm phương trình tích phân,

và chương 3 là phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm

Do điều kiện bị hạn chế nên việc khảo sát các tính chất tương tự đối với tập nghiệm yếu của một số phương trình sóng, chưa được trình bày trong khoá luận này

CHƯƠNG I: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG DẠNG KRASNOSEL’SKII TRONG

KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

I.2 Mệnh đề ( Nguyên lý hội tụ của Solomon Leader)

Giả sử q Z: 2 0;  là một hàm số sao cho :

q m n , q m k ,     q k k, q k n, (1.1) m n k, , Z

Khi đó q m n ,  0 khi m n,  nếu và chỉ nếu:

    0, r N và   0 sao cho với m n Z q m n,  ,  ,    ta có

q m r n r  ,   (1.2)

I.3 Định lý

Giả sử X là không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D là một tập con đầy đủ theo dãy của

X, U là toán tử liên tục đều trên D(i.e với p P và   0, tồn tại   0sao cho

p x y   p U x U y 

Giả sử U thoả điều kiện (A) trên tập con  của X Khi đó toán tử   1

I U  được định nghĩa tốt và liên tục trên 

Chứng minh :

Ta chứng minh qua hai bước:

Bước 1: Với bất kỳ a, toán tử U acó duy nhất 1 điểm bất động trên D gọi là  a , và dãy lặp

 

 n 

a n

U x hội tụ về  a ,  x D Hơn nữa ,ánh xạ a a là đơn ánh

Chứng minh: Từ (A.2) ta suy ra với bất kỳ a và p P ,  k Zvới tính chất:

      lim    rn    

b n

0

12

p  a U  a  (1.6) Bây giờ ta chứng minh (1.4) đúng khi n=1, nghĩa là :   , r    

Cho n , ta nhận được:

      lim    rn     2

b n

Giả sử X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả sử U

và C là toán tử trên X sao cho:

i U thoả điều kiện A trên X

ii Với bất kỳ p P  , k 0 (phụ thuộc theo p) sao cho:

p U x  U y  k x y   x y X, 

iii Tồn tại x0X với tính chất :    p P r N, và 0,1

(r và  phu thuộc theo p) sao cho:

Vì U thoả điều kiện ( A) trên X, nên (I-U) là một tự đồng cấu trên X do đó chỉ còn phải chỉ ra rằng tồn tại một tập con lồi đóng bị chặn của D sao cho với bất kỳ x thuộcD, điểm bất động duy nhất của

Và D p x X p x z :   oR3p

D p P D p Khi đó z0D và D là lồi đóng và bị chặn

Với mỗi x D và p P , chúng ta xét hai trường hợp:

Nếu p x z  0R1p, thì theo (1.7)    0 0  0 2 3

12

I.5 Định lý (Krasnoselskii – Perov)

Cho E là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn và T D: E là ánh xạ compact Giả sử T thoả điều kiện sau:

( i) Với   0, tồn tại ánh xạ compact T sao cho T x   T x  với  x D và phương trình

 

x T x  b có nhiều nhất một nghiệm nếu b 

(ii) T không có điểm bất động trên D và degI T D , , 0 0 Khi đó tập các điểm bất động của T

là tập compact liên thông

Chứng minh:

Ta có : deg I T D , , 0 degI T O , , 0 1  degI T O , 2 , 0

Ta sẽ chứng minh degI T O , , 0 1  degI T O , 2 , 0 0 và như vậy mâu thuẫn với giả thiết

Do điều kiện (i) nên phương trình  x  0 có nhiều nhất một nghiệm

Do  x1  0 nên  x không triệt tiêu trên O2 Suy ra :

deg,O2 , 0 0 hay degI T O , 2 , 0 0

Tương tự do NO2   nên cũng có degI T O , , 0 1  0

Vậy degI T D , , 0 0, điều này vô lý

Do đó N là tập liên thông

I.6 Định lý

Cho X và Y là hai không gian Banach, D là tập mở trong X và f D: Y liên tục Khi đó với   0, tồn tại f D : Y lipsit địa phương sao cho : f x  f x   với mọi x và f D co f D 

Vậy  lipsit trên D 

Do V,   là phủ mở hữu hạn địa phương nên chỉ có hữu hạn   sao cho x V  và như vậy chỉ có một số hữu hạn   sao cho  x  0 Vậy  x hoàn toàn xác định Hơn nữa  x  0

nếu x V  và  lipsit địa phương 

Với mỗi  , chọn a V D Định nghĩa :

Với mỗi x D , tồn tại   để x V  và tồn tại xD để V x Khi đó : x a, V x nên

Cho X là không gian metric, M là tập con khác rỗng của X, Y là không gian định chuẩn và f M: Y

là toán tử liên tục Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục g X: Y thoả điều kiện :

(i), g x co f M , co f M  là bao lồi của f M 

(ii),g x  f x , với mọi x M

I.8 Định lý

Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách được P, D là tập con lồi, đóng, bị chặn trên X Cho C D: X là ánh xạ hoàn toàn liên tục, U D: X liên tục đều và thoả điều kiện (A2) trên C D  Giả sử:

U x C y D , x y D,  (1.8)

Thì U+C có điểm bất động trong D

Chứng minh:

Vì D đóng, từ điều kiện (1.8) suy ra U D C D D vì vậy U thoả điều kiện (A1) trên C D , do đó

U thoả điêù kiện (A) trên C D  Theo định lý I.3,   1

I U  liên tục trên C D  Do C là hoàn toàn liên tục và D bị chặn nên C D  là tập compact, suy ra   1  

I U  C D là compact trong D Vì vậy

Một tập S trong X0 C  0; ,E là tập compact tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi n , S là liên tục đồng bậc trên  0; n và tập x t  x S t ,  0;n là compact tương đối trong E

I.10 Định lý (Leray – Schauder nonlinear alternative)

Cho E là không gian Banach, là một tập con mở và bị chặn của E với 0  Giả sử T: E là tóan tử hòan tòan liên tục Khi đđó, hoặc tồn tại x sao cho Txx, với một số  nào đó mà

CHƯƠNG II: TÍNH COMPACT LIÊN THÔNG CHO TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRÌNH TÍCH PHÂN

II.1 Định lý

Cho E là không gian Banach với chuẩn . và X là không gian các hàm liên tục trên 0;  vào tôpô E,

 p n n là họ nửa chuẩn định bởi: với mọi x X

1

n n

Ở đây  là hàm liên tục từ 0;  vào E , f g, thoả các điều kiện sau:

 II.1 f : 0;    E E là ánh xạ liên tục sao cho tồn tại hằng số k 0 thoả :

  đều theo  t s, trên tập con bị chặn của  2

Rõ ràng U x  và C x  liên tục trên 0;  Để chứng minh định lý này chúng ta cần các kết quả hỗ trợ của các bổ đề sau

Bổ đề 1: Cho f thoả (II.1) và U được định nghĩa bởi (2.1 ) Thế thì với mỗi a 0 và với bất kỳ z X

t z

U x t U x t z t  f s x s ds z tnên

Khi đó C là ánh xạ hoàn toàn liên tục trên không gian Banach X a C  0, ,a E với chuẩn

Rõ ràng C X: a X a Trước hết ta chứng minh C liên tục

Cho  x n n là một dãy trong X a sao cho lim n 0

n x x

  Đặt Bx s s n :  0, ,a n Ta thấy B là tập compact trong E Thật vậy, xét x t n i i iB Giả sử rằng lim i 0

0, a B nên   0 sao cho

Chứng minh C hoàn toàn liên tục

Cho  là tập con bị chặn của X a Đặt Ax s :x ,s  0,a thì A bị chặn trong E Vì g hoàn toàn liên tục, nên tập   2 

Vì g t ,.,., liên tục đều theo t trên  2

0, a A và vì   2 

0,

g a A bị chặn (vì nó là tập compact tương đối ), nên bất đẳng thức trên cho thấy C  liên tục đồng bậc trên  0, a

Theo kết quả của Ambrosetti, C  là tập compact tương đối trong X a

Vậy C hoàn toàn liên tục trên X a

Bây giờ chúng ta trở lại chứng minh định lý II.1

Điều này có nghĩa là C liên tục trên X

Cho  là tập con bị chặn trong X , thì

Cho  x n n là một dãy trong C  Chúng ta sẽ chứng minh nó có một dãy con hội tụ

Với m 1, tồn tại một dãy con  1

n n

x của  x n n sao cho 1   1

0,1 lim n

  trên X1

Giả sử bằng quy nạp, tồn tại  m

n n

y x   n Thì  y n n là một dãy con của  x n n và lim n

n y x

  trong X thoả  0, m,

n n

Ở đây f g, thoả các điều kiện sau:

 II1 f : 0,    E E liên tục với tính chất : với n   , k n 0 sao cho:

o

Cx t g t s x s ds t n (2.4) Khi đó điểm bất động x* của U C là nghiệm của  II

t z

U x t Ux t z t  f s x s ds z t

Suy ra

Từ (2.5) ta suy ra

      ,  0,

!

m n

  là ánh xạ co khi m đủ lớn Vậy U z có điểm bất động, ghi là  z

Khi đó ta có:  z U z z U z z hay I U    z z với mọi z X n

Mặt khác từ (2.6) ta suy ra:

    ,

!

m m

Ta chứng minh với      

0, ,

n

C x x

Cx liên tục theo t Thật vậy, cố định x X n Do g liên tục đều trên  0, n A nên với   0 cho trước, tồn tại   0 sao cho

Chứng minh C liên tục Lấy  x m m là dãy bất kỳ trong X n sao cho lim m

m x x

  Đặt A x s m : s 0, ,n m  Khi đó A là tập compact trong E

Với   0 cho trước, do g liên tục đều trên tập compact  2

0, n A nên tồn tại   0 sao cho với

Theo định lý Ascoli – Azela C  compact tương đối trong X n

Vậy C là hoàn toàn liên tục trên X n

Với  0, 0   1 k do (II2), tồn tại N  0 sao cho:

n

Cx x

Thì K bị chặn trong E, do đó K bị chặn trong E, ở đây K là tập đóng của K

Theo định lý I.7 tồn tại ánh xạ liên tục g*là ánh xạ mở rộng của  2

Đặt C X: n X n định bởi:

      

0, ,

Từ (2.16), (2.17) có mâu thuẫn Vậy (2.14) được chứng minh

Kết hợp (2.7), (2.11), (2.12), (2.14) và áp dụng định lý I.5, bước 1 được chứng minh

Bước 2: Chứng minh tập nghiệm của phương trình  II trên 0;  khác rỗng, compact và liên thông

Trước tiên ta nhận thấy rằng nếu x t  là một nghiệm của  II trên 0;  thì x  0;n  t cũng là nghiệm của  II trên  0; n ,   n Hay nói cách khác, với   n , với mỗi nghiệm x n của phương trình  II

trên đoạn  0; n , tồn tại một nghiệm x* của phương trình  II trên 0;  sao cho *  

0;n n

x x Thật vậy, xét phương trình :

Ta sẽ chứng minh T là tập compact và liên thông Ở đây chúng ta chỉ xét tập T sao cho với mỗi n , tập T n x  0;n , x T D

Do bước 1, T n khác rỗng, compact và liên thông trên X n C  0; ,n E, theo bổ đề 1.9, ta có T là compact tương đối trong X0 C  0; , E, hơn nữa T là tập đóng Xét  x k là một dãy trong T và hội

tụ về x0 khi k , thì x k  0;n x0  0;n Từ x k  0;n T n và T n là compact ta có được x0  0;n T n Vì

0

x T, nên T là tập compact

Ta chứng minh T liên thông

Gỉa sử T không liên thông, khi đó tồn tại hai tập a, b

T T khác rỗng, compact và rời nhau sao cho

T compact, nên tồn tại một dãy con  x*k i của  x*k sao cho x*k i hội tụ về y

trong T a Suy ra x*k i  0;n y  0;n khi i  Từ y T a và x*k i  0;n x k i hội tụ về x0

CHƯƠNG III: TÍNH COMPACT LIÊN THÔNG CHO TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN HÀM CẤP HAI CÓ ĐỐI SỐ CHẬM

Giả sử C C  r,0 ; R, với r 0 cho trước, là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục

: r,0 R

   , với chuẩn  sup   :  r  0  Với mỗi hàm liên tục u:r,1R và với mỗi

 0,1

t , ta kí hiệu u t đđể chỉ một phần tử thuộc C đđược xác đđịnh bởi u t  u t  ,   r,0

Ký hiệu C 0;1 ,C1 0;1 lần lượt là không gian Banach của các hàm số thực liên tục và của các hàm số thực khả vi liên tục trên  0;1 với các chuẩn

L1 0;1 là không gian gồm tất cả các hàm số thực x t  sao cho x t  khả vi Lebesgue trên  0;1

Xét phương trình vi phân hàm cấp hai có đđối số chậm sau :

s

Tu  t   f s u u s ds (3.5) Tương tự, từ giả thiết (I1) và (3.2) ta có

(a) Trước hết, T liên tục Thật vậy, với mỗi u0, giả sử  u n là một dãy trong  sao cho

(b) Tiếp theo, ta chứng minh rằng T  là tập compact tương đđối

Giả sử  Tu n là một dãy trong T  , tương ứng với  u n  , ta sẽ chứng tỏ rằng  Tu n có chứa một dãy con hội tụ trong C 0,1 1 

Với mọi số nguyên dương n, từ (3.4),(3.6) và (3.9) ta nhận đđược

Tu n 0 A u1 n 0B u1 'n 0C1A m B m C1  1  1,

 Tu n '0  A u2 n 0B u2 n 0C2  A m B m C2  2  2.

Vậy các dãy    Tu n ,Tu n ' bị chặn đđều

Ngòai ra kết hợp (3.3), (3.5), (3.9) và (I 1), với mọi n N *, với mọi t t1 , 2  0,1 , ta có

ứng với . 0 Khi đđó u khả vi và u v, nên Tu n k u, khi k , trong C1 0,1 , tương ứng với . 1 Như vậy T hòan tòan liên tục

c) Cuối cùng, giả sử tồn tại *, sao cho T u * u*,với một số  1 nào đđó Khi đđó, ta có tập hợp sau đây bị chặn

Bước 2 Xét trường hợp  0  0 Thực hiện phép đđổi biến v u  0 , bài toán đã cho trở thành

bài tóan sau

Chứng minh

Định lý (III.1) 1à trường hợp đđặc biệt của đđịnh lý (III.2) với k l  1

Vì chứng minh đđịnh lý này sẽ đđược thực hiện tương tự nên ta chỉ cần xét với trường hợp  0  0

đđồng thời giả sử không gian con C0, hàm ˆu và tóan tử T được định nghĩa như trong chứng minh đđịnh lý ( III.1) Sử dụng  I.1 và (3.2) , với bất kỳ u C 0và với mọi t 0,1 , ta có

Tính bị chặn của tập hợp đđó đđược chứng minh như sau:

Giả sử tồn tại * sao cho Tu* u* với một số   1 nào đđó

cho dù  u* '0 1 hay  u* ' 0 1 Như vậy trong trường hợp thứ nhất, ta đã chỉ ra đđược rằng, tồn tại một hằng số dương M 2C42C sao cho

 , max max0 1    , max0 1    

vì 2  1, ta kết luận rằng P là ánh xạ co Do đđó có duy nhất u S sao cho P u u Suy ra u chính

là nghiệm duy nhất của bài tóan (III.1)-(III.2) Định lí đđược chứng minh

III.4 Mệnh đề

Giả sử f : 0,1   C   là hàm liên tục và Lipschitz đđịa phương tương ứng với tập C , nghĩa

là với mỗi t u v0 , , 0 0 0,1   C , luôn tồn tại các số thực   , , 0 và  0 sao cho