Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất... Xét đờng tròn tâm O bán kính OA, ký hiệu O, OA.. Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B trên P.. Từ một bài toán quen thuộc suy ra
Trang 1sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Năm học : 2005 - 2006
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Giải phơng trình 2006 x 2004 2006 2005 x = 1
Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Tìm
1 4
4 lim
2 2
tg
x
x tg x
n
n
( x 0)
Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Cho dãy số (un) xác định nh sau:
11 5 ; , 4 7
3
; 1
; 0
3 2 1 3 2 1
n N n u u u u
u u u
n n n n
Tìm số hạng tổng quát un ?
Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Trong không gian cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB không cùng
thuộc một mặt phẳng nào Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Năm học : 2005 - 2006
Câu 1 (2,5 điểm) :
Đặt: u = 2006 x 2004 0 ,v 2006 2005 x 0 Ta có:
1 1
2006
2006
v
u
v
u
Suy ra: u(1- u2005 )+ v(1 - v2005) = 0 (1)
0,25
Trang 2Do u 0, v 0 và u + v = 1 nên: 0 u, v 1
Suy ra: 0 u2005, v2005 1
(1)
0 ) 1
(
0 ) 1
(
2005 2005
v v
u u
1 0
1 0
v v
u u
(2)
Do u + v = 1 nên (2)
0 1
1 0
v u
v u
x = 2004 x = 2005
Câu 2 (2,5 điểm) :
Đặt f(x) =
1 4
4 lim
2 2
tg
x
x tg x
n
n
( x 0)
i) 0 tg2 4
x
< 1 - 1 < tg 4
x
k
x
4 4
Z
- 1 + 4k < x < 1 + 4k, k Z.
Nhng x 0 nên: - 1 + 4k < x < 1 + 4k, k N*
Khi đó:
4 lim 2 x
= 0 Suy ra : f(x) = x
4
2 x
4
x
tg = 1
4
x
tg = - 1
Z l l x
Z k k x
, 4 1
, 4 1
Nhng x 0 nên : x = -1 + 4l, l N* hoặc x = 1 + 4k, k N*
Khi đó hiển nhiên f(x) = ( )
2
1
x
x
iii) tg2 4
x
> 1 tg 4
x
< - 1 hoặc tg 4
x
> 1
Z l l x
l
Z k k x
k
, 2 4 4
, 4 4 2
Z l l x
l
Z k k x
k
, 2
1 4 4
1
, 4
1 4 2
1
Z l l x
l
Z k k x
k
, 4 2 4
1
, 4 1 4
2
Nhng x 0 nên
N l l x
l
N k k x
k
, 4 2 4
1
, 4 1 4
Khi đó:
4 lim 2 x
= + nên: f(x) = x
Câu 3 (2,5 điểm) :
Ta có : un - un - 1 = 6(un - 1 - un - 2 ) - 5(un - 2 - un - 3 ) , n 4
Đặt xn = un - un - 1 , n 2
Suy ra: xn = 6xn - 1 - 5xn - 2 , n 3
xn - xn - 1 = 5(xn - 1 - xn - 2) =
= 52(xn - 2 - xn - 3) = 53(xn - 3 - xn - 4) = = 5n - 3(x3 - x 2) =
= 5n - 3[(u3 - u 2) - (u2 - u 1)] =5n - 3
x3 - x2 = 1
x4 - x3 = 5
x5 - x4 = 52
xn - xn - 1 = 5n - 3
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
-0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 -0,25 0,5 0,5
Trang 3 xn - x2 = 1 + 5 + 52 + + 5n - 3 =
4
1
5n 2
, n 3
x2 = 1
xn = 1 +
4
1
5n2
=
4
3 4
5 2
n
Suy ra: u2 - u1 = x2 = 1
u3 - u2 = x3 =
4
5
+
4 3
u4 - u3 = x4 =
4
5 2
+
4 3
un - un - 1 = xn =
4
3 4
5 2
n
Do đó: un = 1 +
4
1
( 5 + 52 + + 5n - 2) +
4
3
(n - 2) =
=
4
) 1 5
(
5
.
4
n
+ 1 +
4
3
(n - 2) =
4
) 1 5
( 5 4
n
+
4
2
3 n
( n 4 )
Câu 4 (2,5 điểm) :
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d) Gọi giao điểm của ( d) và
(P) là O Xét đờng tròn tâm O bán kính OA, ký hiệu (O, OA) Gọi B' là hình
chiếu vuông góc của B trên (P) Đờng thẳng qua O và B' cắt (O, OA) tại A' và
A" sao cho A" và B' cùng phía đối với O
Khi đó M dthì MA = MA' = MA"
MA + MB bé nhất khi chỉ khi MA' + MB bé nhất (1)
A', B và (d) cùng thuộc một mặt phẳng A' và B khác phía đối với (d)
Từ một bài toán quen thuộc suy ra M là giao điểm của (d) và đờng thẳng A'B
Hình vẽ
***Chú ý: Học sinh có thể giải theo các cách khác, nếu đúng cho điểm tối
đa.
0,5 0,25
0,25 0,25
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
A
A''
B (d)
O
M