Bài 4 3,0 điểm: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AC và chân đờng vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng BCD là trực tâm của tam giác BCD.. Thí sinh giải cách khác đáp án nh-ng đúnh-ng vẫn
Trang 1sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi
tỉnh
quảng bình M ôn : TOáN - lớp 11 thpt (vòng
đề chính thức
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao
đề)
Bài 1 (2,5 điểm): Giải phơng trình : sin2x 2 sin 2 2x 2
Bài 2 (2,5 điểm): Tính giới hạn :
sin(tgx)
cosx 2
π cos lim L
0 x
Bài 3 (2,0 điểm):
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thoả mãn điều kiện f(0) = f(1) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = f
2004
1
x luôn luôn có nghiệm trên đoạn
[0; 1]
Bài 4 (3,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AC và chân đờng
vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (BCD) là trực tâm của tam giác BCD Chứng minh rằng :
(BC + CD + DB)2 ≤ 6(AB2 + AD2 + AC2)
sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Môn : toán - lớp 11 THPT
Đề chính thức
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Thí sinh giải cách khác đáp án
nh-ng đúnh-ng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từnh-ng bài Tronh-ng bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc.
* Nếu thí sinh giải sai bớc trớc thì cho điểm 0 đối với các bớc giải sau có liên quan
trong lời giải của từng bài.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm, những điểm
thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25
điểm.
* Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai nghiêm trọng hình vẽ của bài 4 thì
cho điểm 0 đối với bài 4.
* Điểm tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài là kết quả của thí sinh
Họ và tên :
Số BD :
Trang 2nội dung lời giải
điểm
Bài 1 ( 2,5 điểm) : Ta có : 2 sin 2 2x 1 , x R
R x , 0 2x sin 2 x
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki :
sin x 2 sin 2 2x 2 ( 1 2 1 2 ) sin 2 2x 2 sin 2 2x2 , x R
R x , 2 2x sin 2 x
Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi : sin x 2 sin 2 2x
Vậy, phơng trình đã cho có nghiệm khi và khi:
1 2x sin
1 sin2x 1
2x sin 2 x
Z k , kπ 4
π x 1
Bài 2 ( 2,5 điểm) : Nhận xét: khi x 0 thì : sinx 0 ; cosx 1, tgx 0
f(x)
sinf(x) lim
0
0,25
Ta có :
tgx tgx
sin(tgx)
cosx 2
π cos lim sin(tgx)
cosx 2
π cos lim
L
0 x 0
cosx 2
π cos lim sinx
cos cosx 2
π cos
lim
0 x 0
x
x
0,5
2
x cos 2
x 2sin
cosx 1 2
π cosx 1 2 π
cosx 1 2
π sin lim sinx
cosx 1 2
π sin
lim
0 x 0
x
0,5
2
x cos 2
x 2sin
2
x 2sin 2
π lim 2
x cos 2
x 2sin
cosx 1 2
π
lim
2
0 x 0
2
π 2
x tg lim
2
π
0
Bài 3 ( 2,0 điểm) : Xét hàm số : f(x)
2004
1 x f
Do hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn 0 ; 1 nên hàm số g(x) xác định và liên tục trên đoạn
2004
2003
;
0,5
f(0) 2004
1 f
Trang 3
2004
1 f 2004
2 f 2004
1 g
2004
2 f 2004
3 f 2004
2 g
2004
2003 f
) f(1 2004
2003
0,5
Cộng vế theo vế của 2004 đẳng thức trên, ta có :
2004
2003 g 2004
2 g 2004
1 g
Suy ra : Tồn tại i, j với i , j 0 ; 1 ; 2 ; ; 2003 sao cho :
0 2004
i
2004
j
0,25
2004
i
2004
j
2004
i
2004
j
Khi đó, do g(x) là hàm liên tục nên tồn tại
2004
j
; 2004
i
2004
i
;
2004
j
x0 sao cho g(x0) = 0 phơng trình g(x) = 0 có nghiệm
0,25
0,25
Kẻ AH mp(BCD) Theo giả thiết, H là trực tâm của tam giác BCD
Suy ra : BH CD Mà : AH mp(BCD) AH CD
0,5
Mặt khác : AB AC AB mp(ACD) AB AD 0,25
C
D H
Trang 4Nh vậy, tứ diện ABCD có tam diện đỉnh A là tam diện vuông
áp dụng định lý Pi-ta-go : BC2 = AB2
+ AC2
CD2 = AD2
+ AC2
DB2 = AB2
+ AD2
Do đó : BC2 + CD2
+ DB2 = 2(AB2
+ AC2 + AD2) (1) 0,25
Mặt khác, bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với :
BC2 + CD2
+ DB2 + 2BC.CD + 2CD.DB + 2DB.BC 6(AB2
+ AC2 + AD2)
Từ (1), suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với :
BC2 + CD2
+ DB2 + 2BC.CD + 2CD.DB + 2DB.BC 3(BC2
+ CD2 + DB2) 0,5
2BC.CD + 2CD.DB + 2DB.BC 2(BC2
+ CD2 + DB2) (2) 0,25
áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
2BC.CD BC2
+ CD2 2CD.DB CD2
+ DB2 2DB.BC DB2
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, suy ra (2) đúng! (đ p c m) 0,5
Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi : BC = CD = DB , tức là khi tứ diệnABCD là hình chóp tam giác đỉnh A có các góc ở đỉnh vuông và đáy là tam giác đều 0,25