Thí sinh giải cách khác đáp án nh-ng đúnh-ng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từnh-ng bài.. Tronh-ng bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô
Trang 1sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
quảng bình Môn :TOáN - lớp 11 thpt (vòng 1) Năm học : 2003 - 2004
đề chính thức
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao
đề)
Bài 1 (2,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn Chứng minh rằng :
tg2A + tg2B + tg2C ≥ 9
Bài 2 (2,0 điểm):
Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số f(x) 4x x 2 x m
luôn luôn nhỏ hơn 5 ?
Bài 3 (2,0 điểm): Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng (x; y) của phơng trình :
2(x + y) + xy = x2 + y2
Bài 4 (2,0 điểm): Cho dãy số (un) thoả mãn các điều kiện :
, 2 , 1 n
; 4 ) u (1 u 1 u 0 n 1 n
Tìm nlim u n
?
Bài 5 (2,0 điểm): Không sử dụng bảng số và máy tính, chứng minh rằng :
8 63
4sin
cos89 15
63
0 0
2
Họ và tên :
Số BD :
Trang 2sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Môn : toán - lớp 11 THPT
Đề chính thức
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Thí sinh giải cách khác đáp án
nh-ng đúnh-ng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từnh-ng bài Tronh-ng bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc.
* Nếu thí sinh giải sai bớc trớc thì cho điểm 0 đối với các bớc giải sau có liên quan
trong lời giải của từng bài.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm, những điểm
thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25
điểm.
* Điểm tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài là kết quả của thí sinh
điểm
Bài 1 ( 2,0 điểm) : Trớc hết ta chứng minh :
3 3 tgAtgBtgC tgC
tgB
Thật vậy, do A + B + C = π nên : tg(A + B) = - tgC 0,25
tgAtgB 1
tgAtgB
) (1 tgAtgBtgC tgC
tgB
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng tgA, tgB, tgC :
) 2 ( tgAtgBtgC 3
tgC tgB
Từ (1) và (2) suy ra : tgAtgBtgC 3 3 tgAtgBtgC
tgAtgBtgC2 27 tgAtgBtgC 3 3
Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi : tgA = tgB = tgC A = B = C 0,25
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng tg 2 A, tg 2 B, tg 2 C :
tg 2 A tg 2 B tg 2 C 3 3 tg 2 Atg 2 Btg 2 C 3 3 3 32 9 0,5
Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi : A = B = C , tức là khi tam giác ABC là
0,25
Bài 2 ( 2,0 điểm) : Ta có : maxf(x) < 5 f(x) < 5 , x 0,25
Tức là : 4x - x2 + x m < 5 , x x m < x2 - 4x + 5 , x (1) 0,25
Nhận xét : x2 - 4x + 5 = (x - 2)2 +1 > 0 , x Do đó :
x , 0 m -5 3x x
x , 0 m 5 5x x 1)
2
0,5
0 m) 4(5 9 Δ
0 m) 4(5 25 Δ
2 1
0,5
11 m 4 5 4 11 m 4 5 m
Bài 3 ( 2,0 điểm) : Phơng trình đã cho trở thành :
Trang 3(x - y)2 - 2(x + y) + xy = 0 (1) 0,25
Đặt : (2)
2 y 2 x v y x u y x
0,25
Đồng thời :
4
v u
Phơng trình (1) trở thành : 0
4
v u 2u v
2 2
) 3 ( 3v 16 4 u 0
u 8u
3
3 4 v 0
3v
Mặt khác, ta cần giá trị của u = x + y nguyên nên 16 - 3v2 phải là số chính phơng Từ điều kiện (4), suy ra : Số 16 - 3v2 là số chính phơng khi :
v = - 2 hoặc v = 0 hoặc v = 2 (5) 0,25
Lần lợt thay các giá trị của v từ (5) vào (3) , ta có các cặp giá trị (u; v) là :
(0; 0) , (8; 0) , (6; 2) , (2; 2) , (6; - 2) và (2; - 2) (6) 0,25
Thay các cặp giá trị (u; v) vào (2), ta có tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là : (0; 0) , (4; 4) , (4; 2) , (2; 0) , (2; 4) và (0; 2)
Do đó : Tất cả các nghiệm nguyên dơng của phơng trình đã cho là :
(4; 4) , (4; 2) và (2; 4) 0,25
Bài 4 ( 2,0 điểm) :
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng (1 - un) và un+1 , ta có :
1 2
1 2 )u
u (1 2 u
u
Do đó : un+1 > un ,
0,25
Suy ra dãy số (un) đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 1 Vì vậy, tồn tại giới hạn
a
u
lim
n n
0,25
Từ giả thiết, qua giới hạn ta có :
4
1 a)
0 2
1 a
2
2
1 a 0
2
1 a
2
Do đó :
2
1 limu
n n
0,25
Bài 5 ( 2,0 điểm) : Nhận xét : cos890 > 0 nên :
0 2 0
2 0
2
0 0
2
63 4sin
15 63
4sin 63
4sin
cos89 15
63
Ta sẽ chứng minh :
) 1 ( 8 63
4sin
15 63
4sin 2 0 2 0
Đặt : 4sin 2 63 0 t 0
Khi đó (1) trở thành :
t2 - 8t + 15 < 0 3 < t < 5 Hay : 3 4sin 2 63 0 5 ( 2 )
Trang 4Nhận thấy : sin630 > sin600 > 0 Do đó :
4
3 60 sin 63
) 3 ( 3 63 sin
Mặt khác : sin630 < sin900 Do đó : 4 sin 2 63 0 4 sin 2 90 0 4 ( 4 )
Từ (3) và (4) chứng tỏ bất đẳng thức (2) đúng ! Suy ra bất đẳng thức (1) cũng
0,25