Xét đờng tròn tâm O bán kính OA, ký hiệu O, OA.. Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B trên P.. Từ một bài toán quen thuộc suy ra M là giao điểm của d và đờng thẳng A'B.. Từ một bài toán
Trang 1sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Năm học : 2005 - 2006
đề chính thức Môn : Toán chuyên
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Cho biết phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có một nghiệm x0
Chứng minh rằng:
a
c a
b
x0 1 max ,
Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Giải hệ phơng trình: x2+ a2 = y2 + b2 = (x - b)2 + (y - a)2
Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Tìm tất cả các hàm số f : Q Q thoả mãn các điều kiện:
Q y y f y f x f xy f f
,
; 1 ) ( ) ) ) 2 ) 1 (
Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Trong không gian cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB không cùng
thuộc một mặt phẳng nào Tìm các điểm M, N trên d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
và NA NB có giá trị lớn nhất
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Năm học : 2005 - 2006
đề chính thức
Câu 1 ( 2,5 điểm ) :
i) Nếu b = c = 0 thì x0 = 0 Ta có ngay đpcm
ii) Nếu b2 + c2 > 0 thì max
a
c a
b
, > 0 Đặt M = max
a
c a
b
, > 0
Ta phải chứng minh: x0 < 1 + M (*)
Nếu x0 1: (*) đợc chứng minh
Nếu x0 > 0 : Do x0 là nghiệm phơng trình nên :- x02 = x0
a
b
+
a c
0,5 0,25 0,25 0,25
0,5
Trang 2a
c x a
b
a
b +
a
c
M x
=
1
1
0
2
0
x
x
M < <
1
0
2 0
x
x M
1 < 1 1
0
x
M x0 - 1 < M ®pcm
C©u 2 ( 2,5 ®iÓm ) : §Æt x2+ a2 = y2 + b2 = (x - b)2 + (y - a)2 = R2,
x = Rcos , a = R sin , y = Rcos , b = Rsin
Tõ (x - b)2 + (y - a)2 = R2 suy ra:
(Rcos - Rsin)2 + (Rcos - R sin )2 = R2
sin cos + sin cos =
2 1
sin( + ) =
2
1
2 6 5
2 6
k
k
2 6 5
2 6
k k
i) 2
6 k
: x = Rcos = Rcos( 2
6 k
= Rcos( )
6
= Rcos cos
6
+ Rsin sin
6
=
= Rcos
2
3 + Rsin
2
1
= 2
3 y +
2
1
b
a = Rsin = Rsin( 2
6 k
6
=
= Rcos sin
6
- Rsin cos
6
= = Rcos
2
1
- Rsin
2
3 = -2
3
b +
2
1
y Suy ra: x = 2b + 3a, y = 2a + 3b
ii) 2
6
5
k
6
5
k
= Rcos( )
6
5
= Rcos cos
6
5
+ Rsin sin
6
5
=
= Rcos
.(-2
3 ) + Rsin
2
1
= -2
3 y +
2
1
b
a = Rsin = Rsin( 2
6
5
k
6
5
= Rcos sin
6
5
- Rsin cos
6
5
= = Rcos
2
1
- Rsin
.(-2
3 ) =
2
3 b +
2
1
y
0,5 0,25 -0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 -0,25 0,25
Trang 3Suy ra: x = 2b - 3a, y = 2a - 3b
Câu 3 ( 2,5 điểm ) :
Với y = 1: f(x) = f(x).f(1) - f(x + 1) + 1, (x Q )
hay f(x + 1) = f(x) + 1
Từ đó, với mọi x Q , mọi n Z ta có:
f(x + n) = f(x) + n
f(n) = f(1) + n - 1 = n + 1
Với x = 1/n (n Z*) và y = n (n Z) ta có:
f(
n
1
.n) = f(
n
1
)f(n) - f(
n
1
+ n) + 1 Suy ra: 2 = f(
n
1
)(n + 1) - f(
n
1
) - n + 1 hay: f(
n
1
) = 1 +
n
1
Cuối cùng, cho x = p, y =
q
1 , với p Z, q N* ta có:
f(p q1 ) = f(p)f(q1 ) - f(p + q1 ) + 1
Suy ra: f(
q
1
) = (p + 1)(
q
1 + 1) -
q
1
- p =
q
p
+1
Hay: f(q1 ) = q p +1
Vậy: f(x) = x + 1, mọi x Q.
Câu 4 (2,5 điểm) :
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d) Gọi giao điểm của
( d) và (P) là O Xét đờng tròn tâm O bán kính OA, ký hiệu (O, OA) Gọi
B' là hình chiếu vuông góc của B trên (P) Đờng thẳng qua O và B' cắt (O,
OA) tại A' và A" sao cho A" và B' cùng phía đối với O
Khi đó M dthì MA = MA'
MA + MB bé nhất khi chỉ khi MA' + MB bé nhất
A', B và (d) cùng thuộc một mặt phẳng A' và B khác phía đối với (d)
Từ một bài toán quen thuộc suy ra M là giao điểm của (d) và đờng thẳng
A'B
Tơng tự thế khi đó N dthì NA = NA"
NA NB lớn nhất khi chỉ khi NA " NB lớn nhất
A", B và (d) cùng thuộc một mặt phẳng A" và B cùng phía đối với (d)
Từ một bài toán quen thuộc suy ra N là giao điểm của (d) và đờng thẳng
A"B
Hình vẽ:
0,5 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
-0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4***Chú ý: Học sinh có thể giải theo các cách khác, nếu đúng cho điểm
tối đa.
N A'
A
O M
A"
B' B (d)