sự đặt chỉnh nghiệm của bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan

Danh mục các từ viết tắt và kí hiệu Trong luận văn này, chúng ta dùng những từ viết tắt và kí hiệu với các ý nghĩa xác định sau đây: Tập hợp rỗng Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập

Giáo viên hướng dẫn

TS Lâm Quốc Anh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SP TOÁN HỌC

- -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Ự ĐẶT CHỈNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN

ẰNG VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Phùng Thị Thùy TrangMSSV: 1100073

SP Toán học K36

Lời cảm ơn

Trước hết tôi xin bài tỏ lời biết ơn sâu sắc đến TS Lâm Quốc Anh người thầy luôn tân tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn cho tôi trong suốt thời gian tôi hoàn thành luận văn này

Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô trường Đại Học Cần Thơ đã trang bị cho tôi những kiến thức nền tảng cực kì phong phú và bổ ích

Đó là hai nguồn động viên vô cùng to lớn giúp tôi nhanh chóng nắm bắt và vươn tới thành công trong quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng nhưng cũng không kém phần quan trọng, tôi xin gủi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè tôi, những người luôn sát cánh cùng tôi, cổ vũ và giúp đỡ tôi, tạo điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập để luận văn của tôi hoàn thành tốt đẹp

Cần Thơ, tháng 1 năm 2014 Sinh viên thực hiện

Danh mục các từ viết tắt và kí hiệu

Trong luận văn này, chúng ta dùng những từ viết tắt và kí hiệu với các ý nghĩa xác định sau đây:

Tập hợp rỗng Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp số hữu tỉ

d x M Khoảng cách giữa điểm x và tập M

diamM Đường kính của tập M

: ⟶ Ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập L

: ⟶ 2 Ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y

id Ánh xạ đồng nhất thức trên R+

(QEP) Bài toán tựa cân bằng

(QOP) Bài toán tựa tối ưu

(EPEC) Bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng

(OPEC) Bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Một trong những hướng nghiên cứu phát triển mạnh và có nhiều ứng dụng trong thực tế trong giai đoạn hiện nay là Tối ưu hoá Một trong những bài toán trọng yếu của lý thuyết này là bài toán cân bằng Mô hình bài toán cân bằng được đưa ra vào năm 1994 bởi hai nhà toán học Blum và Oettly, bài toán này chứa nhiều bài toán quan trọng trong tối ưu hoá như, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu, bài toán bù, lý thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng giao thông,… Cho đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về bài toán cân bằng, các kết quả nghiên cứu tập trung vào các chủ đề trọng điểm như điều kiện tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm, thuật toán tìm nghiệm Sự đặt chỉnh nghiệm của bài toán là chủ đề có mối liên hệ mật thiết với tính ổn định nghiệm và thuật toán giải nghiệm và do đó có định hướng ứng dụng rất cao Với mong muốn tìm hiểu một lĩnh vực mới mẽ và có nhiều

khả năng phát triển trong thời gian tới, nên chúng tôi chọn đề tài “Sự đặt

chỉnh nghiệm của bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan”, với ming

muốn là tiền đề cho sự học tập tiếp nối của bản thân trong giai đoạn tiếp

theo

2 Mục đích nghiên cứu

+ Thông qua việc nghiên cứu đề tài này, tôi mong muốn giới thiệu một phần

cơ sở lí thuyết nghiên cứu sự đặt chỉnh của bài toán cân bằng, bài toán tối ưu với mục đích giúp các bạn sinh viên trong quá trình nghiên cứu cũng như học tập tốt hơn

+ Qua đó cũng để tạo nền tảng kiến thức để tôi có thể học tập và nghiêm cứu

về sau

3 Nội dung nghiên cứu

Luận văn này xoay quanh nghiên cứu về mô hình và ứng dụng của bài toán cân bằng, ánh xạ đa trị, ánh xạ đơn trị, lí thuyết sự đặt chỉnh, và nghiên cứu

sự đặt chỉnh của bài toán cân bằng

Bố cục luận văn được chia làm 3 chương

+ Chương 1: nêu một số kiến thức bổ trợ về không gian mêtric, không gian tôpô, ánh xạ đa trị, khái niệm đặt chỉnh, độ đo… để sử dụng nghiên cứu các phần sau

+ Chương 2: nêu lên một số khái niệm về mô hình bài toán cân bằng, bài toán tối ưu và một số khái niệm liên quan về sự đặt chỉnh nghiệm của hai bài toán này

+ Chương 3: nêu lên một số khái niệm sự đặt chỉnh nghiệm của bài toán cân bằng hai mức: bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng và bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng Và một số định nghĩa, nhận xét liên quan khác

4 Đối tượng nghiên cứu

+ Giải tích đa trị, giải tích đơn trị

+ Mô hình bài toán cân bằng các dạng đặc biệt và ứng dụng của chúng + Sự đặt chỉnh và các vấn đề liên quan khác

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sưu tầm, tổng hợp các nguồn tài liệu liên quan

+ Nghiên cứu tổng hợp tài liệu theo hai cách: Tổng hợp hóa và đặt biệt hóa các tài liệu đã có

+ Phương pháp chuyên gia: Trao đổi với giáo viên hướng dẫn và học hỏi thêm từ thầy cô, bạn bè những người có nhiều hiểu biết về vấn đề này

Chương 1

KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Không gian mêtric

1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X   , một ánh xạ : × ⟶ ℝ được gọi là một

mêtric trên X nếu các điều kiện sau thỏa mãn với mọi x y z , ,  X :

+ Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không gian ( , )X d

+ d x y( , )là khoảng cách giữa hai điểm x và y

1.1.2 Khoảng cách giữa điểm và tập hợp, giữa tập hợp và tập hợp

Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian mêtric ( , ), xét điểm x và tập ⊂ Khi

đó, khoảng cách từ x đến được định nghĩa là:

( , ) = inf { ( , ): ∈ }

Đôi khi ta còn ký hiệu khoảng cách từ x đến là dist(x, )

Định nghĩa 1.1.3 Với hai tập con , của không gian mêtric ( , ), khoảng cách giữa hai tập hợp này được định nghĩa là:

( , ) = inf { ( , ): ∈ , ∈ }

1.1.3 Dãy hội tụ

Xét trong không gian mêtric ( , ) Khi đó:

Định nghĩa 1.1.4 Dãy phần tử { } ⊂ được gọi là hội tụ (theo mêtric d ) về

+ Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

+ Nếu dãy { } hội tụ về thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về Định nghĩa 1.1.5 Dãy phần tử { } ⊂ được gọi là dãy Cauchy nếu

lim , → ( , ) = 0

Nói cách khác,

∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: ∀ , ≥ ⟹ ( , ) <

* Các tính chất:

+ Nếu dãy { } hội tụ thì nó là dãy Cauchy

+ Nếu dãy { } là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về thì { } cũng hội tụ về

1.1.4 Không gian mêtric đầy đủ

a) Định nghĩa:

Không gian mêtric ( , ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều

hội tụ

b) Tính chất:

- Tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ là đầy đủ

- Không gian con đầy đủ của một không gian mêtric là không gian con đóng

1.1.5 Không gian mêtric compact

* Các định nghĩa:

Cho ( , ) là không gian mêtric

- Tập con của gọi là tập compact nếu mọi dãy { }x n trong đều có một dãy con { }x n k hội tụ đến một điểm thuộc

- Tập con của gọi là tập bị chặn nếu đường kính của

( ) = sup{ ( , ): , ∈ } < ∞

- Tập con của gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu mọi > 0, tồn tại hữu hạn điểm

, ,… , ∈ ℎ ⊂ ⋃ ( , )

1.2 Không gian tôpô

1.2.1 Định nghĩa không gian tôpô

Định nghĩa 1.2.1 Cho tập ≠ Ø Một họ các tập con của được gọi là một tôpô trên nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) ∈ à ∅ ∈ ;

b) Hợp tùy ý các tập thuộc là thuộc ;

c) Giao hữu hạn các tập thuộc cũng thuộc

Một tập được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu ( , )

Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô là thì ta ngầm hiểu rằng trên đã được trang bị một tôpô nào đó

1.2.2 Không gian tôpô compact

* Các định nghĩa

- Trên không gian tôpô , cho ⊂ và { } ∈ là họ các tập con của Khi đó, { } ∈ được gọi là phủ của nếu ⋃ ∈ ⊃ Nếu G a là các tập mở thì phủ gọi

là phủ mở của

- Không gian tôpô được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của đều

tồn tại một phủ con hữu hạn Tức là với mọi phủ mở { } ∈ của đều tồn tại hữu hạn các chỉ số ∈ ( = 1,2, … , ) sao cho ⋃ ⊃

- Tập con của được gọi là tập compact nếu với tôpô cảm sinh trên bởi

tôpô trên là không gian compact

- Không gian tôpô gọi là compact địa phương nếu tại mỗi điểm ∈ đều tồn tại một lân cận compact

* Các tính chất:

- Tập con đóng của một không gian compact là tập compact

- Tập con compact của một không gian Hausdorff là tập đóng

1.3 Đường kính của một tập

Định nghĩa 1.3.1 Cho ⊂ , A ≠ ∅ Đường kính của tập A được kí hiệu và định

nghĩa như sau:

Giả sử > 0 Khi đó, lấy , ∈ ̅ sao cho:

Nếu ( , ) là không gian mêtric compact thì X có đường kính hữu hạn

Hơn nữa, ∃ , ∈ sao cho:

Chúng ta cần tìm một tập mở ⊂ × sao cho ( ) ⊆

Gọi = × Với ∈ và ∈ , ta có: ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ( , ) < ( , ) +

Suy ra: ( , ) − ( , ) <

( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ( , ) < ( , ) +

Suy ra: ( , ) − ( , ) <

Do đó, | ( , ) − ( , )| <

Điều này chứng tỏ rằng ( , ) ∈ , ∀ , ∈

Vì X là compact nên × cũng là compact và vì d liên tục nên nó đạt cực

đại trên × , nghĩa là:

- Tập GX được gọi là tập mở nếu mọi điểm xG đều là điểm trong của G

- Tập F X được gọi là tập đóng nếu X F\ mở

1.5 Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.5.1 Ánh xạ đa trị F từ tập X vào tập Y, kí hiệu : ⟶ 2 , là một phép cho tương ứng mỗi phần tử ∈ với một tập con của , mà ta ký hiệu là ( )

Ánh xạ đa trị còn có các tên gọi khác như: Hàm đa trị hay ánh xạ điểm vào tập

Nếu với mỗi ∈ , tập ảnh ( ) chỉ gồm một phần tử của Y , thì ta nói F là ánh

xạ đơn trị từ X vào Y

Định nghĩa 1.5.2 Cho ánh xạ đa trị : ⟶ 2 , miền hiệu quả của F, kí hiệu là

domF, được xác định như sau:

Ánh xạ đa trị F hoàn toàn được đặc trưng bởi grF, tức là mỗi tập bất kỳ trong

× đều là đồ thị của một ánh xạ đa trị từ X vào Y Vì vậy, đôi khi ta không cần phân biệt giữa F với đồ thị của nó Đồng thời mối quan hệ hai ngôi giữa các phần

tử của X và Y cũng là một ánh xạ đa trị từ X vào Y và ngược lại

Ta nói ánh xạ F có tính chất nào đó nếu đồ thị của nó có tính chất đó Thí dụ ánh

xạ đa trị F là đóng nếu grF là tập đóng; Ánh xạ đa trị F là compact nếu grS là tập

compact,

1.6 Độ đo không compact

Định nghĩa 1.6.1 Cho M là tập con khác rỗng của không gian mêtric X

(i) Độ đo Kuratowski của M là

    không có vô hạn  -rời rạc tập con}

Chúng ta nhớ lại rằng một tập con A của không gian mêtric X là  -rời rạc nếu

 ,  , ,

d x y  x yA với x y

Ta thu được bất đẳng thức sau:

 M  M  M 2 M (1)

Nghĩa , và  chia sẻ nhiều tính chất chung và chúng ta sẽ sử dụng  để biểu thị một trong số chúng  là độ đo chính quy Có những tính chất bên dưới:

(a)  M   nếu và chỉ nếu tập M không bị chặn;

(b)  M clM;

(c) Từ  M 0 theo sau M là tập bị chặn hoàn toàn;

(d) Nếu X là không gian đầy và nếu  A n là một dãy của tập con đóng của X

sao cho A n1 A n với mỗi ∈ ℝ, và limn A n 0 thì : n

n



 là một tập compact không rỗng và limnH A K n, 0 trong đó H là

(i) Tồn tại duy nhất ∈ sao cho ( ) ≤ ( ), ∀ ∈ ;

(ii) Mọi dãy { } ta có ( )⟶ inf khi ⟶ ̅

1.8 Các khái niệm và tính chất của ánh xạ nửa liên tục

Định nghĩa 1.8.1 Cho X là không gian tôpô, x0X và : ⟶ ℝ

a) f được gọi là nửa liên tục trên, viết ngắn gọn là usc tại x0 nếu mọi dãy  x n

Định nghĩa 1.8.2 Cho X và Y là không gian tôpô, : ⟶ ℝ và g: ⟶ ℝ

(a) f được gọi là 0-mức đóng trên tương ứng với g tại x y0, 0 XY nếu, với mọi dãy bất kỳ  x y n, n  hội tụ đến x y0, 0 thì,

f x n g y n  0, n  f x 0 g y 0  0 ,

(b) f được gọi là 0-mức đóng dưới tương ứng với g tại x y0, 0 nếu, cho bất

kỳ dãy  x y n, n  hội tụ đến x y0, 0 thì,

f x n g y n  0, n  f x 0 g y 0  0 

Định nghĩa 1.8.3 Cho X là không gian tôpô, và : ⟶ ℝ

(a) f được gọi là 0-mức đóng trên tại nếu, với mọi dãy bất kỳ { } hội tụ đến thì

f x 0 g y 0  lim sup f x n +lim supg y n  lim supf x n g y n  0

Tương tự nếu f và g là lsc tại x0 và y0 , tương ứng, thì f là 0-mức đóng dưới tương ứng với g tại x y0 , 0 Thật vậy, nếu  x y n, n  x y0 , 0 và

( ) + g( ) ≤ 0 với mọi n , ta có

( ) + g( ) ≤ lim inf ( ) + lim inf g( ) ≤ lim inf [ ( ) + g( )] ≤ 0

Ví dụ sau đây cho ta thấy điều ngược lại của nhận xét này là không đúng

Từ bây giờ, Viết id thay cho ánh xạ đồng nhất thức trên ℝ

Ví dụ 1.8.1 Cho : ℝ ⟶ ℝ được định nghĩa bởi:

( ) = 0, ế ∈ ℚ

1, ế ∈ ℝ\ℚ

Khi đó f là 0-mức đóng trên tương ứng với id tại x y, , với mọi ( , ) ∈ ℝ × ℝ ,

nhưng f không là usc tại mọi ∈ ℚ cũng không là lsc tại mọi ∈ ℝ\ℚ

Định nghĩa 1.8.2 Cho X là không gian tôpô và : ⟶ ℝ

(a) f được gọi là tựa nửa liên tục trên tại x0X nếu,

   0

f x  f x

  [với mọi {x n} x0, f x  > lim sup f x n ]

(b) f được gọi là tựa nửa liên tục dưới tại x0 X nếu,

   0

f x  f x

  [với mọi {x n} x0, f x  < lim inf f x n ]

(c) f được gọi là tựa liên tục tại x0X , nếu f là tựa nửa liên tục trên và tựa

nửa liên tục dưới tại x 0

Các lớp hàm nửa liên tục trên (dưới) chứa nghiêm ngặt các hàm nửa liên tục trên (dưới) Chúng ta có một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1.8.2 Cho : ℝ ⟶ ℝ được xác định bởi:

Khi đó f là tựa liên tục tại 0 nhưng không usc và lsc tại 0

Lưu ý thêm rằng, nếu f và g là lsc (usc) tại x0 , thì f g là lsc (usc, tương ứng) tại x0 Tính chất này không giữ cho hàm số tựa liên tục như thấy bởi ví dụ sau:

Ví dụ 1.8.3 Cho , g : ℝ ⟶ ℝ được xác định như bên dưới:

( ) =

1, ≥ 0

2, < 0

à g ( ) = − Thì f1 là tựa nửa liên tục dưới tại 0 và g liên tục tại 0 Nhưng

thì không tựa nửa liên tục dưới tại 0

Tương tự cho tựa nửa liên tục trên Cho

Bổ đề 1.8.1 Cho X là không gian tôpô Thì : ⟶ ℝ là tựa liên tục nếu và chỉ nếu, Lấy mọi dãy  x n và  y n trong X hội tụ tương ứng đến x và y Ta có,

[ ( ) < ( )] ⟹ [lim sup ( ) < lim inf ( )]

Bây giờ, nếu ( ) < lim

→ sup ( ), thì [ ( ), ( )] ∩ ( ) = , điều này mâu thuẫn với giả thiết Vì vậy lim → sup ( ) ≤ ( ) < ( ) Tương tự như vậy, f

là tựa nửa liên tục dưới tại y, ta được ( )≤ lim → inf ( ) và khi đó

Chương 2

SỰ ĐẶT CHỈNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG

2.1 Các định nghĩa liên quan

Cho X và  là không gian tôpô Hausdorff, ánh xạ : × × Λ ⟶ ℝ và

Thay vì viết (QEP ) :   cho họ các bài toán tham số, trong các phần sau chúng

ta chỉ viết đơn giản (QEP) (QOP) tương tự

Định nghĩa 2.1.1 Cho   hội tụ đến n  Lấy x nK x1( n,n), dãy  x n được gọi là dãy xấp xỉ của (QEP) tương ứng đến   , nếu n  dãy  n hội tụ đến 0 sao cho,

2( n, n), ( n, , n) n 0

y K x  f x y  

Định nghĩa 2.1.2 Bài toán (QEP) được gọi là đặt chỉnh tại  nếu,

(a) Tập nghiệm S( ) của (QEP ) là khác rỗng

(b) Lấy bất kỳ dãy   hội tụ đến  , mỗi dãy xấp xỉ tương ứng của (QEP) có nmột dãy con hội tụ đến điểm thuộc S( )

(QEP) được gọi là đặt chỉnh duy nhất tại  nếu S( )  x là một tập đơn phần tử,

và mọi dãy xấp xỉ đều hội tụ đến x

(QEP) (hoặc bất kỳ bài toán nào) được gọi là đặt chỉnh theo tham số ( đặt chỉnh duy nhất) nếu nó đặt chỉnh ( đặt chỉnh duy nhất) tại mọi  

Định nghĩa 2.1.3 Cho   hội tụ đến n  trong  Lấy x nK x( n,n), dãy  x n

được gọi là dãy xấp xỉ ( tối thiểu) của (QOP) tương ứng đến   , nếu n  dãy  n

hội tụ đến 0 sao cho,

Định nghĩa 2.1.4 Bài toán (QOP) được gọi là đặt chỉnh tại  nếu,

(a) (QOP ) có nghiệm;

(b) Lấy bất kỳ dãy   hội tụ đến n  , mọi dãy xấp xỉ tương ứng của (QOP) có một dãy con hội tụ đến một vài điểm của S( )

Chúng ta nói rằng (QOP) được gọi là đặt chỉnh duy nhất tại  nếu S( )  x , và mọi dãy xấp xỉ đều hội tụ đến x

2.2 Bài toán tựa cân bằng (QEP)

Nhận xét 2.2.1 Cho Q X : 2Y là ánh xạ đa trị giữa hai không gian tôpô, khi đó các khẳng định sau là đúng:

(i) Nếu Q x( ) là compact, thì Q là usc tại x nếu và chỉ nếu mọi dãy  x n hội tụ

đến x và y nQ x( n), có một dãy con  y n k hội tụ đến yQ x( )

(ii) Hơn nữa, nếu Q x( ) y là một tập đơn phần tử thì giới hạn điểm y trên

phải là y và mọi dãy  y n hội tụ đến y

Bởi S( ) biểu thị tập nghiệm của (QEP ) Cho  0, tập  -nghiệm của (QEP )được định nghĩa bởi:

1 2 ( , ) { ( , ) | ( , , ) 0, y K ( , )}

S    xK x  f x y      x 

Khi X và Y là không gian mêtric, với   0,  0 Chúng ta định nghĩa tập nghiệm xấp xỉ của họ (QEP) (Cho phép chúng là tham số để biến thiên xung quanh điểm được xét đến) là:

(i) X là compact, K1 đóng và K2 là lsc trong X   ;

(ii) f là 0-mức đóng trên tương ứng với id trong

+ Trước tiên chứng minh rằng S(.,.) là usc tại , 0

Giả thiết ngược lại, tồn tại tập con mở S( , 0) của U sao cho với mọi   n, n  hội

tụ đến , 0 trong Λ × ℝ , có x n S n, n sao cho x nU với mọi n

Bởi tính compact của X, chúng ta có thể giả sử rằng  x n hội tụ đến x0, vì K1 đóng tại x0 , nên có x0K x1( 0, ) Nếu x0 S, 0S  , thì tồn tại

y K x  sao cho  y n  y0 Với x n S n, n ta có f x y( n, n,n)n 0

Bởi tính đóng 0-mức trên tương ứng với id của f chúng ta có f x y( 0, 0, )  0 (mâu thuẫn) Do đó, x0 S, 0U điều này mâu thuẫn với việc

Cho x nS( ) hội tụ đến x0 Nếu x0S( ) tồn tại y0K x2( 0, ) sao cho

0 0

( , , ) 0

f x y   Từ tính nửa liên tục dưới của K2 có y nK x2( n, ) sao cho

 y n  y0 Với mọi n, chúng ta có f x y( n, n, )  0, x nS( )

Theo giả thiết (ii) ta có được f x y( 0, 0, )  0 (điều này vô lí), do đó x0S( ) và do

đó S z( ) là compact Theo Nhận xét 2.2.1 ta có điều phải chứng minh

Các ví dụ sau chỉ ra tính cốt yếu của các giả thiết trong Định lí 2.2.1:

Ví dụ 2.2.1 (Tính compact của X không thể bỏ)

Cho = ℝ, = ℝ , ( , ) = ( , ) = ℝ, ̅ = 0 và f x y( , , ) 2x y 

  Rõ ràng là trong X  , K1 đóng và K2 là lsc (ii) đúng vì f liên tục trong X X   Nhưng ( ) = ℝ với mọi   Do đó, (QEP) không đặt chỉnh tại 0 Thật vậy, Cho n 1 0

n

   và x n nS(n) với mọi n Thấy rằng  x n không có dãy con hội

tụ nào, do đó X không compact

Ví dụ 2.2.2 (Tính đóng của là điều cần thiết)

Cho X   2,1 ,  0,1 , K x1( , )   2 ,1 ,  K x2( , ) 0,1 ,  0 và

( , , ) ( )

f x y  x xy Không khó để thấy rằng X là compact, K2 là lsc trong X  

(ii) được thỏa ( bởi tính liên tục của f ) Nhưng S(0) 1 và S( )  0,1 với mọi

Ví dụ 2.2.3 (Tính nửa liên tục dưới của không thể bỏ qua)

Khi đó X là compact, K1 đóng trong X   và (ii) đúng ( bởi tính liên tục của f

trong X X ) Nhưng S(0) 1 và S( )  0,1 với mọi 0,1 Do đó, (QEP) không đặt chỉnh tại 0, Vì K2 không lsc trong X 

Ví dụ 2.2.4 ((ii) không thể bỏ được)

Cho X 0,1 ,  0,1 , K x1( , ) K ( , )2 x  0,1 và

0( , , )

Nhận xét 2.2.2 Trong trường hợp đặc biệt, ở đây K x( , )  X , không khó để kiểm

tra rằng giả thiết (ii) cho f có thể quy về điều kiện tương tự cho f ., ,.y  với mọi

yX Do đó Định lí 2.2.1 được cải tiến thành Định lí 2.2.3 Thật vậy, kiểm tra thấy thỏa mãn giả thiết (ii) của Định lí 2.2.1 từ tính đơn điệu của f .,., và tính nửa liên tục dưới của f x ,.,. Nếu  x n,n x, và  n hội tụ đến 0 sao

cho

 n, , n n 0

f x y    , thì bởi sự đơn điệu, ta có bất đẳng thức sau:

 , ,  lim inf  , n, n lim inf  n, , n  lim inf n 0

f y x   f y x   f x y    

kéo theo f x y , , 0 Hơn nửa chú ý rằng chúng ta bỏ qua tính nửa liên tục của

.,., 

f  và tính lồi của f x ,.,

Định lí 2.2.2 Cho X và  là không gian mêtric

(i) Nếu (QEP) là đặt chỉnh duy nhất tại  , thì diam   , ,  0 

Vì vậy x n thuộc    , n, n với  n : d n,   0 , n

thuộc    , , , với mọi  ,  0 Thấy rằng

0 d x x, diam   , ,

điều này vô lí

Nhận xét 2.2.3 Nếu K x , X với lập luận tương tự như Nhận xét 2.2.2 chúng

ta thấy rằng Định lí 2.2.2 là cải tiến của Định lí 2.2.1 Ở đây chúng ta bỏ qua tính nửa liên tục của f .,., và tính lồi của f x ,.,

Ví dụ 2.2.5 Cho X   0,1 , K x1( , ) K ( , )2 x  0,1 và f x y , ,1 Khi đó (QEP) là đặt chỉnh trong  Nhưng    , , 0,1 và do đó đường kính của nó không hội tụ về 0

(b) f là b-mức đóng trên trong K X1( , ) K X2( , ) với mọi b 0,

Khi đó (QEP) là đặt chỉnh tại  , điều kiện là     , ,   0

Cho  là độ đo Hausdorff  (trường hợp độ đo Kuratowski tương tự)

(i) Giả sử rằng (QEP) là đặt chỉnh tại  và  ,  0 , 0  

Nếu          

1

n k k

  và x n   , n, nsao cho với mọi ∈ ℕ, d x S n,    Từ  x n là một dãy xấp xỉ của (QEP) , có một dãy con hội tụ đến điểm của S  , mâu thuẫn

(ii) Giả sử rằng   , ,  0 với  ,  0 , 0  

 Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng   , n, n đóng với mọi  ,  0 Cho x n   , n, n sao cho

 x n x Thì lấy mỗi ∈ ℕ, có nB ,  sao cho, với mọi yK2x n,n,

của f tại x, y, , nên tồn tại  ∈ ℕ sao cho với mọi nn0, f x y n, n,n  , mâu thuẫn

 x n k của  x n tiến về x Do đó, (QEP) là đặt chỉnh tại 

Ví dụ bên dưới chứng tỏ rằng giả thiết (ii) của Định lí 2.2.3 là cốt yếu