Khoá luận tốt nghiệp phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán đại số

Phương pháp tạo độ trong giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .... Đe giải một bài toán đại số có rất nhiều phương pháp trong đó sử dụng phương pháp tọa độ để

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGÔ THỊ THÙY LIÊN

PHƯƠNG PHÁP TỌA Đ ộ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

C h u yên ngành: Đ ại số

HÀ NỘI - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u ' PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGÔ THỊ THÙY LIÊN

PHƯƠNG PHÁP TỌA Đ ộ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

C h uyên ngành: Đ ại số

Người hướng dẫn khoa học

TS NG UY ỄN THỊ KIÊU NGA

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình

của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga khóa luận của em đến nay đã hoàn

Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân con hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng song khóa luận vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, thảng 05 năm 2015

Sinh viên

Ngô Thị Thùy Liên

LỜI CAM ĐOAN

Qua một thời gian nghiên cứu được sự giúp đỡ, chỉ bảo nhiệt tình của cô giáo hướng dẫn, tôi đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp này.Tôi xin cam đoan rằng: Đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính tôi nghiên cún và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tài liệu tham khảo Nó không trùng với bất cứ tài liệu nào khác

Hà Nội, thảng 05 năm 2015

Sinh viên

Ngô Thị Thùy Liên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứ u 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN B Ị 2

1.1 Mặt phẳng tọa độ 2

1.1.1 Trục tọa đ ộ 2

1.1.2 Hệ trục tọa đ ộ 2

1.1.3 Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ 2

1.1.4 Tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ 2

1.1.5 Tọa độ trung điểm của đoạn thắng 3

1.1.6 Tọa độ trọng tâm của tam giác 3

1.2 Các phép toán trên các v ectơ 3

1.2.1 Tổng hai vectơ 3

1.2.2 Hiệu hai v ectơ 3

1.2.3 Nhân vectơ với một số thự c 3

1.3 Tích vô hướng của hai vectơ 4

1.4 Các bất đẳng thức hình học 4

1.4.1 Bất đẳng thức vectơ 5

1.4.2 Bất đắng thức tam giác 5

1.5 Phương trình các đường 5

1.5.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng 5

1.5.2 Phương trình đường tròn 5

1.6 Phương trình các m ặ t 5

1.6.1 Phương trình tổng quát mặt phẳng 6

1.6.2 Phương trình mặt cầu 6

1.7 Khoảng cách 6

1.7.1 Khoảng cách tù’ một điếm đến một đường thẳng 6

1.7.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 6

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SÓ 7

2.1 Phương pháp tọa độ trong bài toán bất đẳng th ứ c 7

2.1.1 Cơ sở lý thuyết 7

2.1.2 Phương pháp tọa độ trong bài toán bất đẳng th ứ c 7

2.2 Phương pháp tạo độ trong giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 19

2.2.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 19

2.2.2 Sử dụng phương pháp tọa độ giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 22

2.3 Phương pháp tọa độ trong bài toán giải phương trình, giải bất phương trình và giải hệ phương trình 35

2.3.2 Phương pháp tọa độ trong bài toán giải bất phương trình 42

2.3.3 Phương pháp tọa độ trong bài toán giải hệ phương trìn h 45

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một môn quan trọng của Toán học Đại số là môn học có tính chất hệ thống, chặt chẽ, tính logic và trùn tượng hóa cao Đe giải một bài toán đại số có rất nhiều phương pháp trong đó sử dụng phương pháp tọa độ để giải

là một trong các phương pháp hay và độc đáo Phương pháp tọa độ cho phép

ta chuyển một bài toán đại số sang bài toán hình học và ngược lại Với lòng ham mê toán học và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một phương pháp đổi mới để giải các bài toán đại số và được sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga em đã mạnh dạn chọn đề tài: “ Phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán đại số” để làm khóa luận tốt nghiệp của mình

Khóa luận chia làm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán đại số

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên CÚ01 khoa học đồng thời muốn

đi sâu, tìm tòi, nghiên cún về phương pháp tọa độ trong việc giải các bài tập đại số

3 Nhiệm vụ nghiên cún

Nghiên cứu về sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán đại số trong chương trình toán phố thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng họp, đánh giá

CHƯƠNG 1 KIÉN THỨC CHUẨN BỊ•

1.1 Mặt phẳng tọa độ

1.1.1 Trục tọa độ

a Khái niệm trục tọa độ

Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng trên đó đã xác

định một điểm о và một vectơ i có độ dài bằng 1 Điểm о gọi là gốc tọa độ, vectơ i gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.

Kĩ hiệu: (0;!Ị

b Tọa độ của vectơ và điểm trên trục

• Cho vectơ ủ nằm trên trục Khi đó có số a xác định để и - a i số a như thế gọi là tọa độ của vectơ ũ đối với trục ( ơ ; ỉ j

• Cho điểm M nằm trên trục (ơ ;ĩ) • Khi đó có số m xác định để

OM = m ĩ Số m như thế gọi là tọa độ của điểm M đối với trục

1.1.2 Hệ trục tọa độ

• Hai trục tọa độ và (O;}') vuông góc với nhau gọi là hệ trục tọa độ

• Khi mặt phẳng đã cho ( hay đã chọn) 1 hệ trục tọa độ ta sẽ gọi mặt phẳng

đó là mặt phang tọa độ

1.1.3 Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ

Đối với hệ trục tọa độ ịO;ĩ, j ^, nếu a = xỉ + ỵ j thì (x,ỵ) được gọi là tọa độ của a Kí hiệu: a =(x,y)haỵa = (x;y).

1.1.4 Tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ

Trong mặt phang tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của

2

điểm M.

1.1.5 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A , B trong đó Уд ) và

В (*B ’ У в ) • Khi đó trung điểm M ( x M ; y M ) của đoạn A B có tọa độ

1.1.6 Tọa độ trọng tâm cùa tam giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác A B C trong đó ^ (Я/рУд )'

В ( xß ’ У в ) » С ( хс ’ Ус ) • Trọng tâm G ( XG ; y G ) của tam giác A B C có tọa độ

Cho hai vectơ и và V Lấy một điểm A tùy ý, vẽ A B — и và A C = V Vectơ

A C được gọi là tổng của hai vectơ и và V.

Ta ký hiệu tổng của hai vectơ и và V là и + V Vậy AC = u + v

1.2.2 Hiệu hai vectơ

Cho hai vectơ и và V Ta gọi hiệu của hai vectơ и và V là vectơ M + ( - v j

Kí hiệu u - v

1.2.3 Nhân vectơ vói một số thực

Cho số к Ф 0 và vectơ и Ф 0 Tích của vectơ и với số k là một vectơ, kí hiệu

là k u , cùng hướng với u nếu k > 0 , ngược hướng với u nếu k < 0 và có độ dài bằng ịkị.ịu

1.3 Tích vô hướng của hai vectơ

• Định nghĩa: Cho hai vectơ u và V đều khác vectơ 0 Tích vô hướng của hai vectơ u , V là một số Kí hiệu là u.v được xác định theo công thức

— — —* —

• Tính chất của tích vô hướng

Cho 3 vectơ bất kỳ u , V, w và mọi số thực k ta có

i u.v = V.U

i\ u > 0 , u = 0 <=>«=0.

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (O; i , j ) , cho hai vectơ w(w,;w2), v(vpv2) Khi đó tích vô hướng u.v là: u.v =u]vị + U 2V2

ii a > b tương đương a + o b + c

iii Nếu c > 0 thì a > b khi và chỉ khi ac > bc

4

iv Neu c < 0 thì a > b khi và chỉ khi ac < bc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c nằm ngoài đoạn thẳng AC

• Trong không gian cho n điểm Ạ , , An ta luôn có

A A , - + A A + + Ai-iAi*

1.5 Phương trình các đường

1.5.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng: ax+bỵ + c = 0 (a 2 +b2 ^ ó).

1.5.2 Phương trình đường tròn

Dạng tổng quát của phương trình đường tròn tâm I (a\b) , bán kính R :

( x - t ì ) 2 + ( y —bỸ = R 2

1.6 Phương trình các mặt

1.7.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phang Oxy cho đường thẳng À có phương trình ax+by + c = 0

(a2 +b2 * 0 ) và điểm M 0 ( W o ) Khoảng cách từ điểm M đến đường

thẳng À kí hiệu là d (M 0, à ) , được tính bởi công thức

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SÓ

Tọa độ hóa các bài toán để giảm bớt quá trình tính toán và thấy được rõ hơn mối liên quan giữa hình học và đại số Vì vậy, sử dụng phương pháp tọa

độ để giải các bài toán đại số là phương pháp hay dùng và hiệu quả

2.1 Phương pháp tọa độ trong bài toán bất đẳng thức

Vận dụng phương pháp tọa độ ta có thể giải quyết được các bài toán bất đẳng thức đại số có chức căn bậc hai, trong đó ta có thể đưa về tổng bình phương của các số hạng Sau đó sử dụng công thức tính độ dài vectơ đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng độ dài tổng của các đoạn thẳng trong đường gấp khúc lớn hơn độ dài đoạn thẳng nối hai đầu mút

2.1.1 Cơ sở lý thuyết

u = 0

V = Õ

u = k v ( k > o)

, dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi u = k v ( k > o).

2.1.2 Phương pháp tọa độ trong bài toán bất đẳng thửc

Bài 1: Chứng minh rằng \la2 +a + \ +yỊa2- a + 1 > 2 với mọi ứ e l

Đặt u a + Khi đó ta có u + vị l;>/3).

+ > « + VMặt khác ta lại có

Suy ra \la2 +a +1 + \ [ ĩ — a + 1 > 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 -2- = 1 <=> a = 0.

- a

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 2: Chứng minh rằng yja2 +6a + 4b2 +9 + sla2 +4b2 - 2 a - \ 2 b + \0 >5

yja2 +ab + b2 + *Jb2 +bc + c2 +\Ịc2 +ca + a2 >s/3(a + b + c )

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 4: Chứng minh rằng \/a,b

^ 4 c o s 2 a cos2 b + sin2 ( a - b ) + ^ 4 sin2 ứ sin 2 b + sin2 ( a - b ) > 2

Lời giải:

Bất đẳng thức tương đương với

^(2C0S<3C0S/?)2 +sin2 ( a - b ) + ^(2sintfsinZ?)2 + sin2 ( a - b ) > 2

Xét w(2cos<2Cos/?;sin(<2 — /?)), v(2sin<3sinfr;sin(<2 — /7))

Khi đó

|w| + |v| = Ậ 2 c o s a c o s b f + sin2(ếz-Z?) + ^(2sinízsin/?)2 + s in 2(íz-Z?)

Mặt khác ta lại có

= 2

Suy ra

^(2cos a cos/7)2 + sin2 (a—b) + ^(2sin a sin b)2 + sin2 ( a - b ) > 2

cosacosb s in (x -y )Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi —-:—— = -T“7 - 7

smasinb sin^x-;yj

Hay cotxcot y = \.

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 5: Cho a],a2, ,an và bị,b2, ,bn là 2/2 số tùy ý Chứng minh rằng

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 6: Cho a , b , c > 0 và ab+bc + ca = abc Chứng minh rằng

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 7: Cho a,b,c> 0, trong đó a > c và b > c Chứng minh rằng

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi so ta có

abc (a + b + c ) < a 4+b4+c4

Lời giải:

vế trái của bất đẳng thức (*) tương đương a2bc + ab2c + abc2

Xét các vectơ u ị a b \b c \ c à ) , v(ca\ab\bcỴ Khi đó ta có

(*)

12

= %la2b2 +b2c2 +c2a 2

= +Jc2a 2 + a2b2 +b2c2

u.v = a 2bc + ab2c + abc2

Mặt khác ta lại có u v < ì

<=> abc (a+b + c)< a2b2 + b2c2 + c2a 2

Đặt x(a 2;b2;c2y, ~ỳịb2\c2\a2} Khi đó

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 10: Cho a + b + c = 2 ; ax + by + cz = 6 Chứng minh

\j\6a2 +a2x 2 + Ạ ô b 2 +b2y 2 W l6 c 2+ c V >10

Lời giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxỵ đặt A(Aa ;ax), B(4b\by), C(4c;cz)

Khi đó ta có OA + OB + o c - (4a + 4b + 4c;ax + by + cz) — (8;6)

=> ÕĂ + ÕB + ÕC =10.

rằng

Mặt khác ta lại có OA + OB + o c < OA + OB + o c

<^> 10< %/l 6 £Z2 + <32x 2 +«y^l6 +b2y 2 + *\Ị\ 6c2 + c V

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ƠA, ơz?, ơ c cùng hướng

i Trong 3 vectơ OA,OB,OC có 1 vectơ là vectơ 0

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 11: Cho ci,b,c tùy ý Chứng minh rằng

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BA , AC cùng hướng.

Bất đẳng thức (I) tương đương với

\a-b\ л/l + c2 + \b - c\ л/l + a2 > \a - c\ ЛỊ\ + b2

Ậ a - b Ỵ (l + c 2) + Ậ b - c Ỵ ị l + a 2 ) > ^ ( ú t - c ) 2 (a b - b c )2

^ Ị ( a - b ) 2 (a c - b c ) 2 +^J(b-c)2 [ b a - c a ) 2 > a - с )2 (a b - b c ỹ

Đặt A(a;bc), B(b\ac), c [c\ ab ).

Khi đó điều phải chứng minh tương đương AB + ВС > AC.

Mặt khác với ba điểm bất kỳ ta luôn có A C < AB + ВС

Ta có A B ị b — a \ a c —bc) ВС ( с - b ; a b - а с )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB , ВС cùng hướng.

16

£ _ ( mâu thuẫn giả thiết).

Dấu “=” không xảy ra Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng

Bài 13: Cho các số thực a, b,c,m,n thỏa mãn biểu thức ma + nb = c với

Khi đó điểm M (ra; n) thuộc đường thẳng A vì ma + nb = c (theo giả thiết)

Khoảng cách từ điểm / ( 2 ;- l) đến đưòng thẳng A

Bài 14: Cho a , b , c , d thỏa mãn

a 2 +b2 = a (l)

c2+ d 2 = 0 (2)Chứng minh rằng a - c f + ( b - d f < 2 - JĨ

Do đó điêm M nằm trên đường tròn tâm ĩ

Tương tự ta có (2) tương đương

Í -Ì, 2 ;2 y

Do đó điêm N nằm trên đường tròn tâm K

Nối ỈK cắt đường tròn tại hai điểm M* vầ N* suy ra MN <M*N

= > Ậ a - c ý + ( b - d f <2-JĨ

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm M = M* và N = N*

18

Giả sử M * ị x \ y*) Do M* thuộc tia phân giác của góc phần tư thứ (I) và góc

phần tư thứ (III) nên X* = y* Mặt khác điểm M e

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu f ( x )

< M V i G D và 3 x e D sao cho / (*) = M Kí hiệu M = max / ( * )

• s ố m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (*) trên D nếu

/ ( X ) > m \ / x e D và 3 X G D sao cho / ( x ) = m Kí hiệu иг — m in / ( * )

b Cực đại địa phương, cực tiểu địa phương

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên miền D, XQ G D Ta nói rằng

y = f ( x ) cực tiểu địa phương tại *0 nếu như tồn tại lân cận Ve (*0 ) sao cho

f ( x ) > f ( x fì), V x e Đ n V s (xo)

Hàm số xác định trên miền Dđược gọi là cực tiểu địa phương tại

(*bĩ Jo ) nếu như tồn tại lân cận Ve (л0; y 0 ) sao cho

Vậy giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số chưa chắc trùng với cực đại địa

phương (cực tiểu địa phương) trên miền xác định D của nó.

c) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị địa phương

Đinh ly L (Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị địa phương )

Điều kiện cần để hàm số có cực trị địa phương:

Nếu hàm số / (*)đạt cực trị địa phương tại x0 e thì chỉ xảy ra một trong các khả năng sau

i f { x ) không có đạo hàm tại *0

ii / (x) có đạo hàm tại *0 thì / (*0) = 0

Điều kiện đủ thứ nhất để hàm số có cực trị địa phương

Giả sử hàm số / (*) liên tục trên [a;b] có chứa điểm *0 và có đạo hàm trong

khoảng (a;b)( có thể trừ tại điểm *0 )

i Neu khi x đ i qua *0 mà f ' ( x 0) đổi dấu từ dương sang âm thì f ( x ) đạt

cực đại

ii Neu khi x â i qua *0 mà / f(*o)đổi dấu từ âm sang dương thì f ( x ) đạt

cực tiểu

20

iii Neu khi X đi qua *0 mà / '(^o) không đổi dấu thì f (x) không đạt cực

trị tại *0 •

Điều kiện đủ thứ hai để hàm số có cực trị địa phương

Giả sử / (x) có đạo hàm liên tục đến cấp hai ở lân cận của điểm *0

i Khi / ' ( * 0) = 0; / " ( * 0)> O th ì f ( x ) đạt cực tiểu tại *0

ii Khi / '( * 0) = 0; / " ( * 0) < 0 thì f ( x ) đạt cực đại tại *0

d) Một số tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Đinh ly 2 Hàm số / (*) liên tục trên [a\ b] thì đạt giá trị lớn nhất, đạt giá trị

nhỏ nhất trên đoạn đó

Đinh lv 3 Cho hàm số f ( x ) xác định trên miền D Khi đó ta có

m a x /(* ) = - m i n ( - / ( * ) )

Nhân xét: Tính chất này cho ta chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số

thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc ngược lại

Đỉnh ly 4 Giả sử f ( x ) , g (x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D và thỏa mãn điều kiện / (*) > g (*), У х e D Khi đó ta có

max f ( x ) > max g (x)

xeD ' v 7 XeD V 7

Đỉnh lv 5 ( Nguyên lý phân giã )

Giả sử / (*) xác định trên miền D và miền D được biểu diễn dưới dạng

D = Dị u D 2 u u D (i

Giả sử tồn tại max / (л:) min / (x) \/i = \,n.

Khi đó ta có max / (x) = max max f i x ) , max f i x ) , , max / Ы

min f ( x ) = m in < m in /(x ),m in /(x ), ,m in /(x )>

Nhân xét: Từ tính chất này cho phép ta biến đổi bài toán tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định phức tạp thành một dãy các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định đơn giản Vì vậy mà định lý này được gọi là nguyên lý phân rã

2.2.2 Sử dụng phương pháp tọa độ giải bài toán tìm giá trị ló’n nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Khi đó min / (x) = AB khi và chỉ khi Ả, В , M thẳng hàng.

• Cho hai vectơ а ( а ^ а 2) và b(b\\b2) Ta có:

ah < Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ap2- a 2bị =0

a + b < + Dấu ‘ xảy ra khi và chỉ khi <

axb2 - a 2b{ = 0

ũịbị > 0

a2b2 > 0 Nhân xét: Đe sử dụng phương pháp tọa độ trong việc tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của hàm số thì biểu thức của hàm số đã cho phải có dạng tổng bình phương hoặc tổng của tích các thừa số

b) Phương pháp tọa độ trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

b l Phưo’ng pháp toa đô trong bài toán tìm giá tri lớn nhất giá tri nhỏ nhất cùa hàm 1 biến số.

22