Khoá luận tốt nghiệp trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách yếu

Ngưng tụ Bose-Einstein đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trongmột thể tích nhỏ nhờ một tù' trường và sau đó được làm l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo hướng

dẫn tôi TS Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo tôi trong

suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy tôi trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cún khoá luận cũng như trong công việc sau này

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 thảng 05 năm 2015

Sinh viên

Phùng Thị Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thải cơ bản của ngưng tụ Bose-Eỉnstein

hai thành phần phấn tách y ếu ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình

và nghiêm khắc của thầy giáo TS Nguyễn Văn Thụ.

Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Phùng Thị Huyền

M Ụ C LỤ C

M Ở Đ À U

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Bố cục của khóa luận 3

N Ộ I D U N G CHƯ ƠNG 1: TỎ NG QUAN VỀ NGƯ NG TỤ BOSE - E IN STEIN 1.1 Hệ hạt đồng nhất 4

1.2 Làm lạnh nguyên tử 6

1.3 Thống kê Bose - Einstein 8

1.4 Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boso lý tưởng 12

C H Ư Ơ N G 2: T R Ạ N G T H Á I c ơ B Ả N C Ủ A N G Ư N G TỤ B O SE - E IN S T E IN H A I T H À N H P H Ầ N PH Â N T Á C H Y É U 2.1 Mô tả hệ Phương trình Gross - Pitaevskii 17

2.2 Lời giải của phương trình Gross - Pitaevskii trong trường họp phân tách yếu 18

K ÉT L U Ậ N 29

T À I L IỆ U T H A M K H Ẳ O 30

MỞ ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài

Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ

Đó là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử

kì lạ, được quan sát thấy ở khí nguyên tử loãng Đầu thế kỉ 20 (1924) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose-Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất cơ bản của nó Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúng đều ở trong cùng trạng thái cơ bản như nhau Dừng lại ở đó cho tới khi chế tạo được BEC trong thực tế, một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đến trước đây đã được phát hiện Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới, không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết Mối quan hệ giữa BEC và một phần vật chất thông thường cũng giống như mối quan hệ giữa một chùm laze và ánh sáng phát ra

từ một bóng đèn điện

Ngưng tụ Bose-Einstein đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trongmột thể tích nhỏ nhờ một tù' trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser Đó là BEC từ khí Bose Sau đó không lâu BEC từ khí Fermi cũng

đã được thực nghiệm khẳng định Phát kiến BEC đã mở ra một giai đoạn phát triến như vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực nghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử Thực vậy, ngưng tụ Bose-Einstein được tạo thành thuần túy tù’ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống kê Bose-Einstein, vì thế nó được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rất đặc biệt: là một chất lỏng lượng tử với tính kết họp rất cao như các tia laser

Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên thực nghiệm các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương

tác giữa hai thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn Đây chính là một môi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực.

Sự ngưng tụ Bose-Einstein trong các khí loãng đã đưa ra những khả năng rất phong phú đế nghiên cứu các quá trình cơ học lượng tử cơ bản Các chất lỏng lượng tử quen thuộc mà thực nghiệm đã phát hiện từ lâu là 3He và 4He Hiện nay thực nghiệm cũng đã khắng định được các BEC cũng là chất lỏng lượng tử và trong điều kiện nhất định cũng có tính siêu lỏng.Từ đó phát triển một phương hướng nghiên cứu đầy triến vọng Xuất phát từ việc tìm hiếu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu ”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiếu “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách yếu” xuất phát từ hệ các hạt đồng nhất, thống kê Bose-Einstein đối với các boso là những hạt có spin nguyên, phương trình Gross-Pitaevskii

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cún

- Hệ khí Bose tương tác yếu một thành phần

- Các phương trình Gross-Pitaevskii

5 Phương pháp nghiên cún

- Đọc, tra cứu tài liệu

- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giảng viên

6 Bố cục của khóa luận

- Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose - Einstein

- Chương 2: Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu

CHƯƠNG 1 TỐNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

1.1 Hệ hạt đồng nhất

• Định nghĩa hệ hạt đồng nhất

Neu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, Spin không

phân biệt với nhau thì ta có một hệ N hạt đồng nhất Hệ lý tưởng bao gồm các

hạt đồng nhất

• Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng nhất

Nguyên lý Pauli

Xét hệ gồm N hạt đồng nhất độc lập, tức là N hạt không tương tác

Haminton của hệ có dạng tống các Haminton của từng hạt,

Giả sử ¥ là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ, £ là năng lượng của hệ trong

trạng thái đó, khi đó ¥ và E được xác định là hàm riêng và trị riêng tương

ứng của toán tử H , tóc là được xác định bằng cách giải phương trình

Schodinger

Phương trình hàm riêng và trị riêng cho toán tử H có dạng

Hàm sóng ) và năng lượng £nỉ của hạt ỉ được xác định từ

phương trình

(/= 1,2,3 ,AO các trạng thái Wni được gọi là trạng thái đơn hạt Từ (1.1) và

(1.2) ta thấy năng lượng của hệ phải bằng tống năng lượng của từng hạt, còn hàm sóng của hệ phải bằng tích hàm sóng của từng hạt

( 1.2)

Khi viết biếu thức (1.3) ta chưa chú ý tới tính đồng nhất của các hạt, vì vậy hàm sóng có dạng (1.3) không phải là đối xứng và cũng không phải là phản đối xúng Pauli đã chứng minh rằng hàm sóng của hệ các hạt boson (có spin nguyên) là đối xứng, còn hàm sóng của hệ các hạt fermion (có spin bán nguyên) là phản đối xứng.

Hàm sóng vPs(X ,,X 2, ,X aỉ) gọi là đối xứng nếu nó không đối dấu khi

ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý

Hàm sóng vF s( Z ,,X 2, ,X tt) gọi là phản đối xứng, nếu nó đổi dấu khi

ta hoán vị hai hạt / và k tùy ý

Từ hệ các hàm sóng đơn hạt ( x¥ n ( x , ) , ^ ( j c 2) ,'P n (x3) ,

ta có thể thiết lập hàm sóng của hệ có tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng

Ta kí hiệu Nị là số hạt ở trạng thái , N 2 là số hạt ở trạng thái Ỹ Đối

với hệ các hàm boson hàm sóng phải có dạng tính đối xứng đã chuấn hóa

trong đó ^ là kí hiệu lấy tổng theo mọi hoán vị Uị và nk, NịĩN 1, ,Nỵ là số

(p)

các hạt ở trong các trạng thái lượng tử nv n2, ,ns, N \ k tổng số hạt của hệ và

thỏa mãn điều kiện

V V J - M M A - , x t , , x , )

,X t ) = - T 5( X „ , x t ).

■ ^ ( ^ ) (1-4)

N l + N ĩ + + N s = N

Ví dụ

Xét trường họp hệ gồm hai hạt (N = 2), giả sử mỗi hạt có thể nằm trong

trạng thái 'Pị hoặc ^ 2 Khi đó hàm sóng đối xứng của hệ là

nhận thấy rằng nếu hoán vị hai chỉ số bất kỳ Yiị và nk thì định thức trên sẽ đổi

dấu và do đó hàm sóng cũng đổi dấu Neu một hạt hoặc nhiều hạt ở cùng trong một trạng thái thì định thức sẽ chứa 2 hoặc nhiều cột giống nhau, do

đó y/u = 0 tức là ở trạng thái đó thì hệ không tồn tại Hàm sóng (1.5) thỏa

mãn nguyên lý cấm của Pauli “trong mỗi trạng thái đơn hạt chỉ có tối đa một hạt fecmion”

1.2 Làm lạnh nguyên tử

Ngưng tụ Bose-Einstein được trích dẫn như một hiện tượng quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho ngưng tụ đến tù’ nghiên cứu về Hêli siêu lỏng Trong trường hợp của Hêli siêu lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất lỏng làm thay đổi bản chất của quá trình chuyển đổi, mục đích lâu dài trong vật lí nguyên tử là đạt được BEC trong khí nguyên tử loãng, thách thức là làm mát khí tới nhiệt độ xung quanh hoặc dưới 1 ỊLiK đồng thời ngăn chặn nguyên tò ngưng tụ trở thành chất rắn hoặc chất lỏng Nỗ lực để có được ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí nghiệm nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha

loãng, sau đó bị mắc kẹt bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách tiếp cận này đã tiến đến rất gần quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợp của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quả của việc phát hiện ngưng tụ.

Những kĩ thuật làm mát bang laser, làm mát phân cực gradient và bẫy tù’ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử Những kĩ thuật này đã thay đối sâu sắc bản chất làm lạnh Nguyên tử ở nhiệt độ dưới

mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tử kiềm là rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser bởi vì quá trình có quang học có thể được kích thích bởi laser có sẵn và bởi chúng có thuận lợi là

có cấu trúc mức năng lượng dễ làm mát ở nhiệt độ thấp, tuy nhiên nhiệt độ thấp nhất mà làm mát bang laser kĩ thuật có thể đạt được bị giới hạn bởi năng lượng photon đơn Các con đường thành công để ngưng tụ Bose-Einstein là

sự kết hợp hài hòa của phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao được phép thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm Sự va chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đối, phân bố vận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell-Boltzmann nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ với nhược điểm duy nhất là số lượng của các nguyên tử bị mắc kẹt giảm Thách thức trong việc làm mát cho kim loại kiềm là câu hỏi là: làm thế nào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không đáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mật độ thấp, nơi mà ánh sáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử Mặt khác đòi hỏi phải có mật độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, cần sản xuất tỉ lệ va chạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không để kéo dài tuổi thọ của các khí bị mắc kẹt

Cho bay hơi làm mát để làm việc, nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh

vực điện, vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương

pháp tốt nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường Sau khi nguyên tử bị mắc kẹt và làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và một điện thế được xây dựng xung quanh nguyên tử với một từ trường đồng nhất Điều này hạn chế các nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏ của không gian Nguyên tử chỉ có thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần thiết là ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của một nguyên tử trong bẫy, điều này đòi hỏi một cái bẫy giam kín chứa mật độ cao Các thí nghiệm lần đầu tiên quan sát BEC là sử dụng bẫy cực từ tuyến tính

1.3 Thống kê Bose-Einstein

Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt Xuất phát từ phân bố chính tắc lượng tử

trong đó Ek là năng lượng của hệ ở trạng thái k, y/ và 6 là các thông số của phân bố, gk là độ suy biến là độ suy biến của mức năng lượng Ek Neu hệ gồm

các hạt không tương tác thì ta có

ở đây, Sị là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, n l là số chứa đầy mức £ị

tức là số hạt trong hệ có cùng năng lượng £j.

Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 —» 00 với xác suất khác nhau Độ

suy biến gk trong (1.6) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau

về phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị Ek Vì số hạt trong hệ không

(1.6)

00

(1.7)

1=0

phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.

(1.9)thì (1.8) được viết lại như sau

f i + £ r e , ( /< - £ ,)

1=0

Wk = exp

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.10) như sau: Một là vế phải

của (1.10) có thể coi là hàm của các nt nên ta có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất đế cho có n0 hạt nằm trên mức s ữ, Щ hạt nằm trên mức Sị,

nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy, và ta viết lại nó như sau

Từ đó theo lý thuyết xác suất ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng bất kỳ đối với các thống kê lượng tử khác nhau

trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tống cộng Nỉ

chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho

nữ\nx ! Khi đó

N \

Tì \ n !

n0

thay giá trị của gk vào (1.9) ta thu được (1.12) Đe tính trị trung bình của các

số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng JU trong công thức (1.10) chỉ số /, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không phải chỉ có một thế hóa học JU mà có cả một tập hợp thế hóa học

j n t Và cuối phép tính ta cho J U = Ị Ấ

Khi đó điều kiện chuẩn hóa như sau

(1.13)với

1.4 Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boso lý tưởng

Theo công thức của thống kê Bose-Einstein, số hạt trung bình có năng

lượng trong khoảng từ s đến e + d e là bằng

dN (s) dn{s) =

(1.22)-1

trong đó (ỈN(s) là số các mức năng lượng trong khoảng từ £ đến s + c ỉs

Ta đi tìm d N ( s ) Theo quan điếm lượng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie Vì vậy có thể xác