Download sáng kiến kinh nghiệm cách dựng thiết diện trong hình học không gian

Trong việc giảng dạy hình học không gian ở lớp 11, cần chú ý rèn luyện kỹ năng xác định thiết diện của một mặt phẳng với một khối đa diện, bằng cách xác định các giao tuyến của mặt phẳng

sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài :

Cách dựng thiết diện trong hình học không gian

Ngời thực hiện : Cách xác định thiết diện

Lý do chọn đề tài :

Trớc tình hình học sinh tởng tợng không gian quá yếu, để nâng cao kiến thức vẽ hình không gian Trong việc giảng dạy hình học không gian ở lớp 11, cần chú ý rèn luyện kỹ năng xác định thiết diện của một mặt phẳng với một khối đa diện, bằng cách xác định các giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của khối đa diện

Trớc hết phải xác định thực chất của việc xác định thiết diện là giải bài toán dựng giao điểm giữa đờng thẳng với mặt phẳng và dựng giao tuyến giữa

hai mặt phẳng với nhau Bởi vậy Tôi chọn đề tài này làm sáng kiến kinh nghiệm cho năm học 2000 - 2001

, trớc tiên hãy tìm cách xác định giao tuyến của  với một mặt phẳng chứa một mặt của T Trên mặt phẳng này, lấy giao điểm của giao tuyến vừa tìm đợc với các đờng thẳng chứa cạnh của T Từ các giao điểm mới tìm đợc sẽ dựng giao tuyến của  với các mặt khác của T Với các giao tuyến này lặp lại quá trình trên cho đến khi tìm ra mặt cắt

Giao tuyến đầu tiên giữa  với một mặt của T gọi là giao tuyến gốc, vì từ giao tuyến đó ta sẽ dựng đợc các giao tuyến khác

Cách dựng trên đây thờng dùng khi mặt phẳng  đợc cho dới dạng tờng minh, tức là cho bởi ba điểm không thẳng hàng, hay cũng vậy, bởi hai đờng thẳng cắt nhau hoặc hai đờng thẳng song song

Ví dụ 1 : Các điểm M, N nằm trong các cạnh AB, AD của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Dựng mặt cắt giữa hình hộp và mặt phẳng  đi qua ba điểm

Giải :  cắt mặt (ABCD) theo giao tuyến MN MA B

Gọi O1, O2 là giao điểm của đờng thẳng MN I

với các đờng thẳng CB, CD  cắt mặt O2 D C

(CDD’C’) theo giao tuyến O2C’

Lấy giao điểm I của O1C’ với BB’ và giao điểm

Ngũ giác INMC’K là mặt cắt cần dựng

Chú ý : Trờng hợp giao tuyến gốc cha tìm thấy ngay thì để dựng nó, th-ờng phải giải bài toán phụ : tìm giao điểm giữa đth-ờng thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 2 : Các điểm M,N,P lần lợt nằm trong các tam giác DAB, DBC và ABC Dựng mặt cắt giữa tứ diện ABCD với mặt phẳng  = (MNP)

Giải : Cha có giao tuyến nào giữa  và mặt của tứ diện thấy ngay đợc

Do đó, ta phải dựng một trong chúng,  có chung với mặt (ABC) điểm P Muốn tìm thêm một điểm chung nữa của chúng, ta tìm giao điểm O của đờng

MN với (ABC)

D

H B

N

1

DM cắt AB tại M1 DN cắt BC tại

N1 Mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt

(ABC) theo giao tuyến M1N1, nên giao

điểm O của MN với M1N1 là giao điểm

của MN với mặt (ABC) Giao tuyến gốc

cần dựng là OP Tuỳ theo vị trí tơng đối

giữa OP và ABC mà mặt cắt cần dựng

sẽ là tứ giác EFIK hoặc tam giác EFI

Nếu MN // M1N1 thì  //M1N1 và giao tuyến gốc sẽ là đờng thẳng qua P song song với M1N1

a)  đi qua đờng thẳng d1 và song song với d2, chéo nhau với d1 : Lúc này trên  mới có một đờng thẳng d1 đã biết Ta cần dựng đợc một đờng thẳng cắt d1 và song song với d2 Đờng này thờng đợc dựng nh sau : Chọn một mặt phẳng  có chứa d2 sao cho giao điểm A của d1và  có thể dựng đợc ngay Trong mặt phẳng  dựng đờng thẳng d2 qua A song song với d2,  sẽ là mặt phẳng chứa d1 và d2

Ví dụ 3 : Điểm H nằm trên cạnh SC của hình chóp tứ giác S.ABCD Dựng mặt cắt giữa hình chóp và mặt phẳng  đi qua AH, song song với BD Giải : Gọi O là giao điểm của AC và BD Đờng AH cắt mặt (SBD) tại giao điểm I của AH và SO Đờng thẳng qua I, song song với BD sẽ thuộc mặt phẳng 

Gọi M,N là giao điểm của đờng

thẳng đó với SB, SD, tứ giác AHMN là

mặt cắt cần dựng

b)  đi qua một điểm M, song song với hai đờng thẳng chéo nhau d1, d2

Để dựng , trớc tiên hãy xét hai mặt phẳng (M,d1),(M,d2) Trong mỗi mặt phẳng này dựng một đờng thẳng qua M song song với d1, d2 Khi đó  là mặt phẳng chứa hai đờng thẳng vừa dựng

Ví dụ 4 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành M là trọng tâm tam giác SBD Dựng mặt cắt giữa hình chóp và mặt phẳng  qua M, song song với SB, AC

D

F B

N

M1 O

S

H

N I

M

O

Giải : Gọi O là giao điểm của AC và BD Do ABCD là hình bình hành nên trọng tâm M của SBD nằm trên SO

Mặt phẳng (M,SB) là mặt phẳng (SBD)

Trong mặt phẳng này, đờng thẳng qua M,

song song với SB sẽ cắt SD tại N, DB tại

K

Do M  SO nên mặt phẳng (M,AC) là mặt phẳng (SAC) Do đó đờng thẳng qua M, song song với AC sẽ cắt SA tại P, SC tại I Vậy  là mặt phẳng chứa hai đờng thẳng NK,PI Mặt phẳng này có chung với đáy ABCD điểm K

và song song với AC nên cắt đáy theo giao tuyến qua K và song song với AC Giao tuyến đó cắt AB tại E, BC tại F Ngũ giác EFINP là mặt cắt cần dựng,

Ví dụ 5 Điểm M thuộc đoạn AD Dựng mặt cắt giữa hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và mặt phẳng  qua M, song song với BD và AC’

Giải : Mặt phẳng (MBD) là mặt (ABCD),  cắt mặt (ABCD) theo giao tuyến qua M, song song với BD Giao tuyến này cắt các đờng AB, CB, CD tại

N, O1, O2,  sẽ là mặt phẳng qua O1, O2, song song với AC’ O1O2 cắt AC tại

I,  sẽ cắt mặt (ACC’A’) ( chứa đờng AC’) theo giao tuyến qua I song song với AC’ Giao tuyến này cắt CC’ tại Q QO1 cắt BB’ tại P QO2 cắt DD’ tại R Ngũ giác MNPQR là mặt cắt cần dựng

3 Mặt phẳng  đợc cho

bởi tính chất vuông góc

a)  đi qua điểm M và vuông góc với một đờng thẳng a : Dùng kết quả :

“ Nếu mặt phẳng  và đờng thẳng d cùng vuông góc với đờng thẳng a thì d// hoặc d nằm trong  ”, ta khôi phục mặt phẳng  bằng cách sau : Tìm hai

đ-S

N

M I

P D C

E

M

O1

B

3

ờng thẳng d1,d2 cùng vuông góc với a,  sẽ là mặt phẳng qua M, song song với d1, d2 hoặc chứa một trong chúng và song song với đờng còn lại

Ví dụ 6 Hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông SAB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy M là trọng tâm BCD  là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB,  là mặt phẳng qua M vuông góc với CI ( I là điểm giữa đoạn AB) Dựng mặt cắt giữa hình chóp và các mặt phẳng ,



Giải : a) Từ giả thiết thấy ngay BC  AB và SI  AB Vậy  là mặt phẳng qua M song song với BC và SI Mặt cắt là hình thang EFNK

b) Do (SAB)  (ABCD) và SI  AB nên SI  (ABCD) Do đó SI  CI (1) M là trọng tâm BCD nên DM cắt BC tại điểm giữa H của đoạn này Vì ABCD là hình vuông nên : DH  CI (2) Từ (1) và (2) suy ra  là mặt phẳng qua DH và song song với SI Mặt cắt là tam giác DHQ

Nếu xác định đợc hình chiếu H của M trên a, thì ta chỉ cần tìm một đờng

d1  a,  sẽ là mặt phẳng qua MH, song song với d1 Chú ý rằng vị trí vị trí của điểm H trên đoạn AB đã cho có thể xác định bằng hai cách : tính độ dài

đoạn AH hoặc tình đợc tỷ số HA/HB

Ví dụ 7 Hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Đoạn

Sa =a, vuông góc với đáy Dựng mắt cắt giữa hình chóp và mặt phẳng  qua

A vuông góc với SC

Giải : Do SA  (ABCD) nên SA  BD Mặt khác AC  BD suy ra BD  (SAC) Vậy BD  SC (1)

Gọi H là hình chiếu của A trên SC Do AH là đờng cao của tam giác

vuông SAC nên : HS

HC = SA

CA

2

2 = a

a

2 2

2 ( ) = 1

2

H là điểm chia đoạn SC theo tỷ số 1/2 và ta dựng đợc điểm H này Do (1) nên  là mặt phẳng qua AH, song song với BD Mặt cắt là tứ giác AHMN b)  đi qua đờng thẳng d1, và vuông góc với mặt phẳng  đã cho : ( d1

xiên góc với  )

Sử dụng kết quả : “ Nếu mặt phẳng  và đờng thẳng d2 cùng vuông góc với mặt phẳng  thì hoặc  // d2, hoặc phải chứa d2 ” Ta dựng mặt phẳng  bằng cách : tìm một đờng thẳng d2 vuông góc với ,  sẽ là mặt phẳng chứa d1, song song với d2, hoặc phải chứa d1 và d2

Ví dụ 8 : Hình chóp S.ABC có 3 góc phẳng tại S vuông H là trực tâm tam giác ABC

1 Chứng minh rằng SH  mp(ABC)

2 Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn

3 Chứng minh rằng dtABC 

3

1

( dtSAB + dtSBC + dtSAC) Giải :

A

H

C

1 Cách 1 : Do AC  BH , SB  mp(SAC) SB AC AC  mp(SBH)

 AC  SH, tơng tự ta có AB  SH

Cách 2 : Xem SH là giao tuyến của hai mặt phẳng : SBH và SCH

Ta thấy mp(SBH)  mp(ABC), mp(SCH)  mp(ABC) SHmp(ABC)

2 Ta chỉ cần chứng minh A nhọn

Cách 1 : Dựa vào nhận xét sau đây : Trong tam giác ABC nếu trung tuyến AM >

2

1

BC thì A nhọn áp dụng vào bài toán trên, ta có

SA  mp(SBC)  SAM vuông tại S và AM > SM Trong SBC vuông tại S,

có SM =

2

1

BC  AM >

2

1

BC

Cách 2 : áp dụng định lý hàm số cosin, ta có : cosA =

AC AB

BC AC AB

2

2 2 2





A nhọn khi cosA > 0  AB2 + AC2 - BC2 >0 Vậy ta chỉ cần chứng minh có

đẳng thức này Thật vậy: AB2 = SA2 +SB2, AC2 = SA2 +SC2, BC2 = SB2 + SC2

 AB2 + AC2 - BC2 = 2SA2 >0

3 Đặt X = dtSAB; Y = dtSAC; Z = dtSBC Ta cần chứng minh :

(dtSABC)2 = X2 + Y2 + Z2

Cách 1 : Dựa vào hệ thức sau đây : (dtSAB)2 = dtABH x dtABC (*) Vì ABC có 3 góc nhọn, nên H ở trong tam giác Vậy

dtABC = dtAHB + dtAHC +

dtBHC Nhân cả hai vế của đẳng thức với

dtABC và áp dụng hệ thức (*) ta có đpcm

Cách 2 : Gọi K là giao điểm của AH với BC Khi đó SK  BC  (dtABC)2 =

4

1

BC2.AK2 =

4

1

BC2(SA2 + SK2 ) =

4

1

BC2SA2 +

4

1

BC2SK2 =

4

1

SB2SA2 +

4

1

SC2SA2 +

4

1

BC2SK2

=(dtSAB)2 + (dtSAC)2 + (dtSBC)2

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh ( X + Y + Z )2  3 ( X2 + Y2 + Z2 )

Ví dụ 9 Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O là một điểm tuỳ ý trong tứ diện Đờng thẳng OG cắt các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện tại A’, B’, C’, D’ Chứng minh rằng

G D

O D G C

O C G B

O B G A

O A

'

' '

' '

' '

'





Giải : Cho tứ diện ABCD, ta biết bốn đoạn thẳng nối đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện là đồng quy tại G( trọng tâm của tứ diện) và ta có

AA1=4GA1 với A1 là trọng tâm của tam giác BCD

A

H

C

B

5

Hạ GGA (BCD), GGB  (ACD), GGC  (ABD), GGD  (ABC) Ta có

các tỉ lệ thức sau :

A

A

AH

GG

=

B

B

AH

GG

=

C

C

AH

GG

=

D

D

AH

GG

=

4

1

(1)

Hạ OOA (BCD), OOB  (ACD), OOC  (ABD), OOD  (ABC) Ta có

A

A

GG

OO G

A

O

A



'

'

;

B

B

GG

OO G B

O B

 '

'

;

C

C

GG

OO G C

O C

 '

'

;

D

D

GG

OO G D

O D

 '

'

(2) Nối O với bốn

đỉnh của tứ diện đã cho, ta có VO.ABC +VO.ACD + VO.ADB + VO.BCD = VABCD hay

ABCD

V

ABCD

ADB O ABCD

ACD

O

ABCD

BCD

O

V

V V

V

V





A

A

AH

OO

+

B

B

AH

OO

+

C

C

AH

OO

+

D

D

AH

OO

= 1(3)

Từ (1) ta đợc AHA = 4GGA, AHB = 4GGB, AHC = 4GGC, AHD = 4GGD Thay

vào (3) ta có

A

A

GG

OO

+

B

B

GG

OO

+

C

C

GG

OO

+

D

D

GG

OO

= 4 Sử dụng (2) ta có

A

A

AH

GG

=

B

B

AH

GG

=

C

C

AH

GG

=

D

D

AH

GG

=

4

1

Ví dụ 10 : Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ Gọi O1 là tâm của mặt BCC’B’ và O2 là tâm của mặt CDD’C’

a) Tìm giao điểm của đờng thẳng CC’ và mặt phẳng (AO1O2)

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (AO1O2)

Giải : a) Gọi I là tâm của mặt ABCD; C’I  O1O2 = J; J  C’I  J

 (ACC’A’); J  O1O2  J  (AO1O2) Từ đó AJ là giao tuyến của (ACC’A’)

Và (AO1O2) Trong mặt phẳng (ACC’A’), AJ  CC’ = M Từ đó M là giao

điểm của CC’ và (AO1O2)

A

C’

D

B A’

A1

B’ C

b) Cách 1 : Trong mặt phẳng

(BCC’B’) : MO cắt BC tại K Suy ra K 

(AO1O2) Do K  BC  K  (ABCD)

Vậy K là điểm chung của (AO1O2) và

(ABCD)  giao tuyến chung là AK

Cách 2 : Giao tuyến phải là đờng thẳng qua A Mặt khác do (ABCD) chứa đờng thẳng biểu diễn, (AO1O2) chứa đờng thẳng O1O2 và O1O2// BD  hai mặt phẳng (AO1O2) và (ABCD) cắt nhau theo giao tuyến qua A và song song với BD

Ví dụ 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi Gọi

O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng () đi qua O, song song với AB và SC Thiết diện đó là

hình gì ? ( Bài tập 3 Sgk 11 trang 32)

Giải : Do thiết diện đi qua O và // AB và SC nên mặt phẳng () đi qua O, qua O kẻ MF // AB và cắt AD ở M, cắt BC ở F Qua M kẻ mặt nón // SC cắt

SA ở N, qua N kẻ NE // AB cắt SB ở E Thiết diện là hbh MNEF(?).( chứng minh đợc EF //SC)

Ví dụ 12 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA’// BB’// CC’ Gọi H là trung điểm của cạnh A’B’

a) Chứng minh rằng đờng thẳng CB’ // với mặt phẳng (AHC’)

b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC) Chứng minh

d song song với mặt phẳng (BB’C’C)

c) Xác định thiết diện của mặt phẳng (H,d) với lăng trụ ABC.A’B’C’

M

O2 J

O1

B K

S

N

E D

A M

O

7

Giải :

a) Vì hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA’// BB’// CC’ Gọi H là trung

điểm của cạnh A’B’ nên gọi J là trung điểm AB, ta có CI//C’H và IB’//HA  mặt phẳng (CIB’) // mặt phẳng (AHC’)  CB’// mặt phẳng (AHC’)

b) Gọi E là giao của AB’ và A’B; D là giao của AC’ và A’C  giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C) là d chính là DE

c) Gọi mặt phẳng đi qua H và d là mặt phẳng ()  mặt phẳng () chứa E và

D  mặt phẳng () cắt mặt phẳng (BA’AB) tại HE hay đó chính là HO, với O

là trung điểm AB  OP  mp () (vì OP // d)  PQ cũng thuộc mp () Vậy thiết diện là tứ giác HOPQ ( có thể thấy rõ HOPQ là hình bình hành)

Tài liệu tham khảo :

1 Phơng pháp giảng dạy toán sơ cấp

2 Các bài giảng luyện thi môn toán.

3 Tạp chí Kbaht

4 Báo toán học tuổi trẻ

5 Matematika B koLe

6 Tuyển tập các bài toán sơ cấp

A

d

A’

H Q