7.Chứng minh bất đẳng thức hình học có liên quan đến độ lớn góc.. ứng dụng của tích vô hớng thật là rộng rãi nhng trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đề cập vấn đề áp dụng tích vô hớng để c
Trang 1Sáng kiến kinh nghiệm
Phần I: Mở đầu Trong chơng trình toán PTTH vấn đề tích vô hớng của hai vectơ có vị trí rất quan trọng Đặc biệt đối với việc bồi dỡng học sinh giỏi Việc cung cấp cho học sinh một phơng pháp mới (phơng pháp vectơ) để giải toán và nhất là giải bài toán Đại số đã cho ta nhiều lời giải đẹp nên đã gây sức hấp dẫn cho học sinh Giúp cho học sinh có t duy sáng tạo, có ý chí và lòng say mê trong học tập bộ môn Toán
Dùng tích vô hớng sẽ giải đợc rất nhiều bài toán thuộc các loại sau đây:
1.Tính độ dài đoạn thẳng đợc đa về tích bình phơng vô hớng vectơ.
2.Chứng minh tính chất hình học có liên quan đến độ dài đoạn thẳng 3.Tính độ lớn góc qui về tính tích vô hớng của hai vectơ.
4.Chứng minh tính chất hình học có liên quan đến độ lớn góc.
5.Chứng minh sự vuông góc.
6.Chứng minh bất đẳng thức hình học có liên quan đến đoạn thẳng.
7.Chứng minh bất đẳng thức hình học có liên quan đến độ lớn góc.
8.Tìm cực trị hình học có liên quan đến độ dài đoạn thẳng.
9 Tìm cực trị hình học có liên quan đến độ lớn góc.
10.Tìm tập hợp điểm có liên quan đến độ dài đoạn thẳng.
11.Giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình
ứng dụng của tích vô hớng thật là rộng rãi nhng trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đề cập vấn đề áp dụng tích vô hớng để chứng minh bất đẳng thức
Đó là 2 loại bài toán 6 và 7 nói trên
Nhằm mục đích chủ yếu bồi dỡng cách phân tích đề bài để định hớng cách giải và bồi dỡng kĩ năng giải toán chứng minh bất đẳng thức hình học liên quan đến đoạn thẳng và độ lớn của góc thông qua các ví dụ
Phần II: Nội dung của đề tài
1/Cơ sở để sử dụng tích vô h ớng vào giải bài toán chứng minh bất đẳng thức
Định nghĩa u & v là 2 vectơ bất kì từ u v = u v cos(u,v) u v
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u & v cùng hớng hay một trong hai vectơ
là vectơ không Nhng do vectơ không cùng chiều với mọi vectơ nên điều kiện xảy ra dấu đẳng thức nói trên chỉ cần u & v cùng hớng là đủ
Trang 2Sáng kiến kinh nghiệm
2/Những ví dụ:
Bài 1 : Hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh là a,b,c và a’,b’,c’ Chứng
minh rằng: a.a' bb' cc' abc. a' b' c' (1)
Phân tích kết luận bài toán để thấy rằng vế trái bất đẳng thức là biểu thức toạ
độ của tích vô hớng của hai vectơ u = ( a , b , c ) & v = ( a ’, b ’,
c ’) còn vế phải là tích của hai độ dài của hai vectơ đó nên theo (*) bất đẳng thức (1) đợc chứng minh
- Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Khi u & v cùng chiều
'
a
a
=
'
b
b
=
'
c
c
= k > 0
' ' ' b b c c
a a ABC ~ A’B’C’
Bài 2 : Với mọi a,b,c R, bất đẳng thức a 1+ b 1+ c 1 > (ab 1 )c
(2) là đúng hay sai ?
(*) a, b, c < 1 bất đẳng thức vô nghĩa
(**) a, b, c 1: trớc hết để ý rằng nếu u = ( x 1; 1 ); v = ( y 1; 1 )
u v = x 1 + y 1 u v = (x 1 ) 1 (y 1 ) 1= xy
x 1 + y 1 xy
áp dụng vào bài toán
( a 1+ b 1)+ c 1 ab + c 1(3)
Mặt khác ab = (ab 1 ) 1
ab + c 1 (ab 1 )c (4)
Từ (3) & (4) đpcm
bất đẳng thức (2) là bất đẳng thức sai
Bài 3: Một tam giác có ba cạnh a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh
rằng:
a) a2 + b2 +c2 <
2
1 .
b) Không thể thay k <
2
1 để a2 + b2 +c2 < k
- Có bình phơng độ dài chuyển về bình phơng vô hớng của vectơ
- Mặt khác từ giả thiết a, b, c là độ dài của 3 vectơ a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 0 & a + b + c = 1
a) Để áp dụng tích vô hớng cần xét (a + b + c)2 =0
a2+ b2+c2+2a.b+2a.c+ 2bc = 0
a2+ b2+ c2 = -(2ab +2ac + 2bc) 2 ab + ac + bc 2 (ab + ac + bc
) 2 (ab + ac + bc ) = (a + b + c)2 – (a2+ b2+ c2) ( Vì ab ab (*) )
Trang 3Sáng kiến kinh nghiệm
Mặt khác a + b + c = 1 nên từ kq trên a2+ b2+ c2 12 – (a2+ b2+ c2 ) có a) b) Chỉ cần chỉ ra có 3 vectơ x, y, z sao cho x + y + z = 0 & x = y = z
= 1 và với mọi > 0 bé tuỳ ý , x2 + y2 + z2 1 -
Với > 0 cho trớc, chọn a có độ dài = ; b có độ dài =
2
1 - ; c có độ dài =
2 1
trong đó a & b cùng chiều; c ngợc chiều với a & b Với 3 vectơ trên ta có
a + b + c = (a + b ) + c = 0 & a + b + c = 1 đồng thời a2 + b2 + c2 =
2 +(
2
1 - )2 + (
2
1 )2 = 22 - +
2
1 > -2 +
2 1
1
co s
1
co s
z
1 cos
1
cos
z
1 cos
1
cos
z y
;
1
c os
1
c os
z y
1 sin
1
sin
z
1 sin
1
sin
z
1 sin
1
sin
z
1 sin
1
sin
z
y
Bài toán tơng tự ?
Phần III tổng kết kinh nghiệm:
Qua giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi vè chủ đề ứng dụng tích vô h-ớng để giải toán chứng minh bất dẳng thức, bản thân tôi nhận thấy làm tốt vấn
đề này sẽ rèn luyện đợc cho học sinh những phẩm chất và kỷ năng sau đây:
1 Kỹ năng chuyển bài toán thờng có bình phơng độ dài sang bình
ph-ơng vectơ để sử dụng tích vô hớng (Định hớng lời giải) a2 = AB2 = AB2
Trang 4Sáng kiến kinh nghiệm
Chẳng hạn trong bài 3a do yêu cầu chứng minh a2 + b2 +c2 < 21 trong khi đó a,b,c là 3 cạnh một tam giác thì phải biết chuyển giả thiết thành
a + b + c = 0 và sử dụng (a + b + c)2 = 0
2 Bồi dỡng óc t duy sáng tạo : Khi phân tích bài 7 do yêu cầu chứng minh a2 + b2 + c2 > 32 + 22 + 12 và từ giả thiết 3a + 2b + c 32 + 22 + 12 Học sinh sẽ liên tởng đến bất dẳng thức Bunhiacôpski và từ đó suy nghĩ đến cách giải thứ hai là ứng dụng tích vô hớng Khi phân tích bài 1 phải nghĩ đến
vế trái (*) bất đẳng thức là biểu thức toạ độ của tích vô hớng của 2 vectơ còn
vế phải là tích 2 độ dài của 2 vectơ đó Tơng tự đối với bài 2 cũng với cách suy nghĩ nh bài 1 mà định ra đờng lối giải
3 Bồi dỡng cho học sinh một phơng pháp chứng minh bất đẳng thức (phơng pháp vectơ) Chẳng hạn bài 4: biết chọn 3 vectơ e1, e2, e3 và sử dụng (e1 + e2 + e3 )2 0 đối với câu 1 hoặc (OA + OB + OC)2 0 đối với câu 2 và tơng tự đối với câu 3
4 Rèn luyện cho học sinh đức tính lao động khoa học, ý thức tìm tòi nghiên cứu Ví dụ tơng tự ta dùng tích vô hớng để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức Ta cũng giải đợc cho bài toán tìm cực trị Phải biết chuyển bài toán tìm cực trị về bài toán chứng minh bất đẳng thức và ngợc lại Nh bài 7 có thể yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của S = a + b + c & bài 4 thì chuyển đợc về bài toán tìm giá trị lớn nhất của S = cosA + cos B + cosC đối với câu 1 hay tìm giá trị nhỏ nhất của P = cos2A + cos2B + cos2C đối với câu 2
5) Những bài toán giải đợc bằng tích vô hớng nói riêng và bằng vectơ nói chung đặc biệt là bài toán đại số thờng có lời giải đẹp; gọn gàng, chính xác sẽ gây đợc hứng thú cho học sinh tạo cho học sinh lòng say mê trong học tập của học sinh ứng dụng tích vô hớng để giải toán nói chung và chứng minh bất đẳng thức nói riêng là một nội dung quan trọng và là một chuyên đề lớn trong giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi trong chơng trình phổ thông Trong phạm vi đề tài nhỏ này tôi chỉ muốn viết nên những suy nghĩ và công việc của mình đã làm và có kết quả đáng khích lệ Tuy vậy do khả năng bản thân có hạn nên không thể tránh khỏi những khiếm khuyết
Kính mong sự góp ý chân thành và những điểm chỉ bảo của đồng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn
Đồng Hới ngày 10 tháng 5 năm 2001
Trần Văn Kháng
Tài liệu tham khảo :
1) Phơng pháp toạ độ của Phan Huy Khải
2) Bài giảng của các giáo s, bồi dỡng cho giáo viên Toán