Để giải dạng toán “Bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit”, các em đợc SGK thí điểm và giáo viên bộ môn Toán giới thiệu sử dụng chủ yếu các phơng pháp giải nh: phơng pháp biến đổi
Trang 1
Phần I Mở đầu
Chơng trình môn Toán THPT Ban KHTN và Ban KHXH&NV đã có một số điều chỉnh Học sinh chuyên ban đến năm học lớp 12 mới đợc học: Bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit
Để giải dạng toán “Bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit”, các
em đợc SGK thí điểm và giáo viên bộ môn Toán giới thiệu sử dụng chủ yếu các phơng pháp giải nh: phơng pháp biến đổi tơng đơng, phơng pháp đặt ẩn phụ, phơng pháp logarit hóa và đa về cùng cơ số hoặc sử dụng các phép biến
đổi logarit Sử dụng phơng pháp hàm số để giải bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit hầu nh không đợc SGK thí điểm đề cập đến Vì vậy, đa số học sinh khi tham gia học chủ đề tự chọn môn toán hoàn toàn lúng túng và cảm thấy rất khó khăn trong việc xác định cách giải dạng toán này bằng
ph-ơng pháp hàm số Nhận thấy tình hình này, khi đợc phân công giảng dạy chủ
đề tự chọn môn toán cho hai lớp 12A3, 12A5 tôi đã luôn chú ý rèn luyện học sinh kỷ năng giải bài toán “Bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit
bằng phơng pháp hàm số”.
Đề tài “Dạy học sinh sử dụng phơng pháp hàm số để giải bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit” nhằm góp phần nghiên cứu, tìm tòi
ph-ơng pháp dạy học sao cho giúp học sinh học Ban KHTN hoặc Ban KHXH&NV đều hiểu và vận dụng tốt phơng pháp hàm số để giải bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit tùy theo mức độ từng ban
Vì điều kiện thời gian và phạm vi nghiên cứu đề tài còn hạn hẹp, đối t-ợng nghiên cứu chủ yếu là Ban KHTN và số tiết chủ đề tự chọn quá ít trong một năm học nên đề tài không tránh khỏi hạn chế Rất mong nhận đợc những góp ý quí báu từ tổ chuyên môn, Hội đồng khoa học nhà trờng, Hội đồng khoa học Sở GD-ĐT và các đồng nghiệp để đề tài đợc hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cám ơn
Phần II Nội dung
I.Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số:
1.Phơng pháp:
Cách 1: Thực hiện theo các bớc
Bớc 1: Chuyển bất phơng trình về dạng:
Bớc 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn
điệu (giả sử là đồng biến)
Bớc 3: Nhận xét:
Trang 2
+ với x x0 f(x) f(x0) = k, do đó bất phơng trình vô nghiệm
+ với x > x0 f(x) > f(x0) = k, do đó bất phơng trình nghiệm
đúng
Bớc 4: Kết luận:
Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là: S = (x0, ) Cách 2: Thực hiện theo các bớc
Bớc 1: Chuyển bất phơng trình về dạng:
Bớc 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn
điệu (giả sử là đồng biến)
Bớc 3: Khi đó:
Bớc 4: Giải bất phơng trình (3), suy ra tập nghiệm của bất phơng trình (1)
Chú ý: Cách giải hoàn toàn tơng tự cho trờng hợp ở bớc 2: dùng lập luận
khẳng định hàm số đơn điệu giảm
2.Ví dụ minh họa:
a.Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số giải bất phơng trình mũ:
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:
2x + 3x + 1 > 6x (1) Cách giải:
Bớc 1: Chia hai vế của bất phơng trình cho 6x > 0, ta có:
1 6
1 2
1 3
1
Bớc 2: Xét hàm số:
y = f(x) = x x x
6
1 2
1 3 1
Hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến vì y = f(x) là tổng của ba hàm số nghịch biến y = x
3
1 , y = x
2
1 , y = x
6
1 Bớc 3: Nhận xét:
+ với x 1 f(x) f(1) = 1, do đó bất phơng trình (2)vô nghiệm Vậy bất phơng trình (1) vô nghiệm x 1
+ với x <1 f(x) > f(1) = 1, do đó bất phơng trình (2) nghiệm
đúng.Vậy bất phơng trình (1) nghiệm đúng với x <1
Bớc 4: Kết luận:
Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là: S = (-, 1)
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để bất phơng trình:
x x
x 2 m 2
Cách giải:
Bớc 1: Chia hai vế bất phơng trình cho 3sin 2x0, ta có:
x
2 sin 3
2
x
x
2 2
sin
sin 1 3 3
Trang 3
2 sin 3
2
2 sin 9
1
Bớc 2: Xét hàm số:
y = g(x) = x
2 sin 3
2
2 sin 9
1
Hàm số y = g(x) là hàm số nghịch biến vì y = g(x) là tổng của hai hàm số nghịch biến y = x
2 sin 3
2
2 sin 9
1
Bớc 3: Nhận xét:
Ta có:
0 sin2x 1
3
2
9
1
x
2 sin 3
2
2 sin 9
1
0 3
2
9
1
1y = g(x) 4 Bớc 4: Kết luận:
Vậy, bất phơng trình có nghiệm khi m 4
Ví dụ 3: Giải bất phơng trình:
3 4 3
3 2(x1)1 x x2 x (1) Cách giải:
Bớc 1: Tìm điều kiện của bất phơng trình (1):
x-10 x1
Chuyển bất phơng trình về dạng:
1 2 3
) 1 ( 2
3 2(x1)1 x x x2 x
3 2 (x1 )1 2 (x 1 ) 3 (x1 )1 (x 1 ) 2 (2) Bớc 2: Xét hàm số:
y = h(x) = 3x+1+x2 Hàm số y = h(x) là hàm số đồng biến trên [1, +)
Thật vậy:
với mọi x1, x2 [1, +), x1< x2, ta có:
h(x2) - h(x1) = 3x21x2 ( 3x11x1)= 3 ( 3x2 3x1 ) (x2 x1)>0 Bớc 3: Khi đó, bất phơng trình(2) đợc biến đổi nh sau:
h( 2 (x 1 )) h(x-1) 2 (x 1 ) x-1 x1 2(x-1) (x-1)2
x2 - 4x +3 0 x1 x 2 Bớc 4: Kết luận:
Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là: S = [2, + )
Ví dụ 4: Tìm m để bất phơng trình sau vô nghiệm:
x
m 1 ) ( 2
2 -2x 4m 3 2x 4m 3+ x-4m+3 (1) Cách giải:
Bớc 1: Chuyển bất phơng trình về dạng:
x
m 1 ) ( 2
2 + (m2-1)x 2x4m3+ x-4m+3 (2) Bớc 2: Xét hàm số:
y = k(t) = 2t + t
Trang 4
Hàm số y = k(x) là hàm số đồng biến trên R
Thật vậy:
với mọi t1, t2 (-, +), t1< t2, ta có:
k(t2) - k(t1) = 2t2 t2- (2t1 t1) = (2t2- 2t1 ) - (t2-t1) > 0
Bớc 3: Khi đó bất phơng trình (2) đợc viết dới dạng:
k[(m2-1)x] < k(x-4m+3) (m2-1)x < x-4m+3
(m2-1)x - (x-4m+3) < 0 (3) Vậy, bất phơng trình (1) vô nghiệm bất phơng trình (3) vô nghiệm
0 ) 3 4
(
0 1 2
2
m m
m
3 1
1
m
m
Bớc 4: Kết luận:
Vậy, bất phơng trình có nghiệm khi m =1
b.Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số giải bất phơng trình logarit:
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:
log2 x 1+log3 x 9 > 1 (1) Cách giải:
Bớc 1: Bất phơng trình đã có dạng: f(x) > k
Điều kiện:
0 9
0 1
x
x
x > -1
Bớc 2: Xét hàm số:
y = f(x) = log2 x 1+log3 x 9.
Ta thấy, các hàm số y = f1(x) = log2 x 1 và y = f2(x) = log3 x 9
đồng biến trên miền x> -1
hàm số y = f(x) = log2 x 1+log3 x 9đồng biến trên miền x> -1
Bớc 3: Nhận xét:
Ta có f(0) = 1, do đó:
+Nếu x > 0 thì f(x) > f(0) log2 x 1+log3 x 9>1, nên x > 0 là nghiệm
+Nếu -1 < x 0 thì f(x) f(0) log2 x 1+log3 x 9 1, nên -1 < x 0, không phải là nghiệm
Bớc 4: Kết luận:
Vậy,tập nghiệm của bất phơng trình: S =(0, + )
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:
x2+(log2x-2)x+log2x-3>0 (1) Bớc 1: Điều kiện x> 0
Coi bất phơng trình (1) là bất phơng trình bậc hai theo ẩn x, ta có:
=(log2x-2)2-4(log2x-3) = log22x-8log2x + 16 = (log2x-4)2
Do đó:
Trang 5
(1) (x+1)(x+log2x-3) > 0 x+log2x-3 > 0
Bớc 2: Xét hàm số:
y = f(x) = log2x và y = g(x) = 3-x
Ta thấy: +hàm số y = f(x) = log2x đồng biến
+hàm số y = g(x) = 3-x nghịch biến
Bớc 3:Nhận xét:
+Với x>2, ta có:
1 ) 2 ( ) (
1 ) 2 ( ) (
g x g
f x f
x> 2 là nghiệm của bất phơng trình (2)
+Với 0 < x 2, ta có:
1 ) 2 ( ) (
1 ) 2 ( ) (
g x g
f x f
0 < x 2 không là nhiệm của bất phơng trình (2)
Bớc 4: Kết luận:
Vậy,tập nghiệm của bất phơng trình: S =(2, + )
Ví dụ 3: Giải bất phơng trình:
x x
7 12 2
+ x 7 - 12
2 x x
(1) Cách giải:
Bớc 1: Điều kiện:
0 7
12
0 12 2
2
x
x x
x x
3
7 4
x
x
(*) Biến đổi bất phơng trình về dạng:
log3 x2 x 12+ x2 x 12 log3(7-x) + 7-x (2) Bớc 2: Xét hàm số:
y = f(x)=log3x + x
Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên (0, + ) và tổng của hai hàm số đồng biến y = log3x và y = x
Bớc 3: Khi đó (2) đợc biến đổi nh sau:
f( x2 x 12) f(7-x)
x2 x 12 7-x (*) x2-x-12 (7-x)2
13
61
(*)
313
61 4
x x
Bớc 4: Kết luận:
Vậy,tập nghiệm của bất phơng trình: S =(-, -3)(4,
13
61
)
Ví dụ 4:Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x [0,1]:
] 4 ) 1 lg[(
) 2 lg(
2
2(m1)x4 m2m2 m2 m m x (1) Cách giải:
Trang 6
Bớc 1: Điều kiện:
0 4 ) 1 (
0 2 2
x m
m m
(*) Biến đổi bất phơng trình về dạng:
) 2 lg(
2 ] 4 ) 1 lg[(
2(m1)x4 m x m2m2 m2 m (2) Bớc 2: Xét hàm số:
y = f(x) = 2x + lgx
Hàm số y = f(x) đồng biến với mọi x > 0
Bớc 3: Khi đó, bất phơng trình (2) biến đổi nh sau:
f[(m+1)+4] > f(m2-m-2)
(m+1)+4 > m2-m-2
Vậy, bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x [0,1]
0 6 )
1 ( ) (
0 2 2
2
m m x m x g
m m
] 1 , 0 [
x
0 ) 1 (
0 ) 0 (
1 2
g g
m m
1 8
1
1 2
m m
m
1 8
1
3 2
m m
Bớc 4: Kết luận:
Vậy, (1) nghiệm đúng với mọi x [0,1] khi m (1- 8, -1) (2,3)
II.Sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
1.Phơng pháp:
Với bất phơng trình có chứa tham số:
f(x, m) g(m)
Cách giải: Thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Biến đổi đa bất phơng trình về dạng f(x, m) g(x, m), với m là tham số
Bớc 2: Xét hàm số y = f(x, m):
1.Tìm miền xác định của hàm số
2.Tính đạo hàm y’, rồi giải phơng trình y’ = 0
3.Lập bảng biến thiên của hàm số
Bớc 3: Kết luận cho các trờng hợp sau:
1.Bất phơng trình có nghiệm minxD y g(m) 2.Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x maxx D yg(m)
Chú ý:
Tơng tự cho bất phơng trình f(x,m) g(m), với những kết luận sau:
1.Bất phơng trình có nghiệm minx D y g(m)
2.Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x maxxD yg(m)
2.Ví dụ minh họa:
a.Sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số giải bất phơng trình mũ:
Ví dụ 1: Xác định m để bất phơng trình:
Trang 7
nghiệm đúng với mọi x
Cách giải:
Bớc 1: Đặt t = 3x, điều kiện t > 0
Khi đó, phơng trình (1) có dạng :
mt2 - t - 1 0 21
t
t
Vậy (1) nghiệm đúng với mọi x (2) nghiệm đúng với mọi t >0 Bớc 2: Xét hàm số y = 21
t
t
1.Miền xác định D = (0, + )
2.Đạo hàm: y’ = 2 4 2
t
t
t , y’ = 0 2t - t2 = 0
2
0
t t
Giới hạn: lim 0
y
t 3.Bảng biến thiên:
t - 0 2 +
y’ + 0
-y 14
0 Bớc 3: Kết luận:
Vậy bất hơng trình nghiệm đúng với mọi t > 0 m
4
1
Ví dụ 2: Tìm m để bất phơng trình sau:
2 2 2 1
x
x
có nghiệm
Cách giải:
Bớc 1: Điều kiện 1-2x 0 2x 1 x 0
Đặt t = 2x, điều kiện 0 < t 1
Khi đó bất phơng trình có dạng:
x
2
1 + 2x m 1 t + t m Bớc 2: Xét hàm số y = 1 t + t
1.Miền xác định D = (0, 1]
2.Đạo hàm:
y’ = -
t
1 1
2
1
, y’ = 0 1 t = t t =
2
1
Giới hạn: lim0 1
t , lim1 1
t 3.Bảng biến thiên:
t
0
2
1
1 y’ + 0
Trang 8
y 2
1 1 Bớc 3: Kết luận:
Vậy bất hơng trình nghiệm đúng m 1
b.Sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số giải bất phơng trình logarit:
Ví dụ 1: Xác định m để bất phơng trình:
m
x
2 2
2 2 log
log
(1)
có nghiệm đúng với m > 0 Cách giải:
Bớc 1: Đặt t = log22x, điều kiện t > 1
Khi đó (1) có dạng:
t
t
Vậy (1) nghiệm đúng với m > 0 (2) nghiệm đúng với t >1 Bớc 2: Xét hàm số:
y =
1
t
t
1.Miền xác định D = (1, +)
2.Đạo hàm:
y’ =
1 3
2
t
t
, y’ = 0 t - 2 = 0 t = 2
Giới hạn:
tlim
3.Bảng biến thiên:
t 1 2 +
y’ - 0 +
y 0 +
1 Bớc 3: Kết luận:
Vậy bất phơng trình nghiệm đúng với t >1 m1
Ví dụ 2: Xác định m để bất phơng trình:
y = log ( 2 3)
2 2
4
3 x x
< m
nghiệm đúng với x (-2, 0)
Cách giải:
Trang 9
Bớc 1: Bất phơng trình có dạng: f(x,m) = g(m) Bớc 2: Xét hàm số: y = log ( 2 3) 2 2 4 3 x x 1.Miền xác định: Điều kiện: -x2-2x+3 > 0 -3 < x <1 Do đó miền xác định: D = (-3, 1) 2.Giá trị hàm số y = log ( 2 3) 2 2 4 3 x x luôn dơng với mọi x(-3,1) Giới hạn: y xlim 1 , y xlim 3 3.Bảng biến thiên: x - -3 -2 -1 0 1 +
-x2-2x+3 4
0 0
) 3 2 ( log2 x2 x 2
- -
y + +
16 9
Bớc 3: Kết luận:
Vậy để bất phơng trình nghiệm đúng mọi x(-2, 0) điều kiện là:
m y(0) m
3 log 2 16
9
Chú ý: y(0) = y(-2) = log23
16
9
Phần III.Kết luận.
Trang 10
Trong năm học vừa qua , bản thân tôi đã áp dụng đề tài vào thực tiễn dạy học trong môn học chủ đề tựu chọn đối với hai lớp 12A3, 12A5.Bằng cáh
đa ra phơng pháp giải cụ thể, lấy nhiều ví dụ minh họa và sử dụng kết hợp nhiều phơng pháp dạy học tích cực, chủ động và sáng tạo, tôi nhận thấy rằng:
Học sinh hiểu và đã nắm đợc phơng pháp hàm số để giải bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit
Giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa của tính đơn điệu của hàm số, ý nghĩa của bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong việc giải bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit
Tạo cho học sinh lòng tự tin, niềm say mê học toán, yêu môn Giải tích hơn và đặc biệt rất hứng thú khi giải các bài toán bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit
Qua đó, ta thấy rằng: “Giải bài toán bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit bằng phơng pháp hàm số không phải là một bài toán khó đối với học sinh nếu chúng ta biết tìm cho mình một phơng pháp dạy học phù hợp”
Là một giáo viên Toán, mặc dù rất tâm đắc với vấn đề mà mình đang nghiên cứu nhng với thời gian có hạn và phạm vi áp dụng cha rộng nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế Rất mong đợc sự góp ý của quý đồng nghiệp để đề tài đợc hoàn thiện hơn
Đồng Hới, ngày 20 tháng 5 năm 2007
Ngời trình bày
Nguyễn Thị Thanh Tâm
Tài liệu tham khảo
1.Phơng pháp giải toán Mũ - Logarit - Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí - Nhà xuất bản Hà nội
2.Phơng pháp giải toán đại số - Tập 3 -Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc- Nhà xuất bản Đại học s phạm
3.Tài liệu tự chọn Môn Toán-Lớp 12 THPT (Tài liệu thí điểm) – Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Duy Điển, Nguyễn Doãn Tuấn, Phan Thị Luyến - Nhà xuất bản giáo dục
4.Giải tích 12-SGK thí điểm - Ban KHTN - Bộ 2 - Nhà xuất bản giáo dục 5.Bài tập Giải tích 12-Ban KHTN - SGK thí điểm - Bộ 2 - Nhà xuất bản giáo dục
Trang 11
ý kiÕn nhËn xÐt cña Tæ chuyªn m«n
Trang 12
Phần I Đại số và giải tích
Chơng I
Hàm số lợng số lợng giác
và phơng trình lợng giác
Bài 1: Hàm số lợng giác
-Tốt
Bài 2: Phơng trình lợng giác cơ bản
-Tăng thêm thời lợng: 1 tiết(Giúp học sinh có thời gian luện tập)
-Giảm thời lợng 1tiết về bài Thực hành tính toán trên máy tính CASIO-FX 500MS hoặc loại máy tính tơng đơng
Bài: Ôn tập chơng I
-Tốt
Chơng II
Tổ hợp – Khái niệm xác suất
Bài 1: Quy tắc đếm
-Tốt
Bài 2: Hoán vị – Chỉnh hợp –Tổ hợp
-Tốt
Bài 3 Nhị thức Niutơn
-Phân phối chơng trình 1 tiết (lý thuyết và bài tập): số lợng bài tập nhiều, khó Học sinh vận dụng không kịp trong 1 tiết
Bài 4: Phép thử và biến cố
-Trong phân phối chơng trình phần này không đợc phân tiết
-Trong SGK có: Bài 4: Phép thử và biến cố nhng trong phân phối chơng trình thì Bài 4: Xác suất của biến cố
Bài 5: Xác suất của biến cố
-Trong phân phối chơng trình bài này đợc xếp thứ tự là Bài 4
-Theo phân phối chơng trình bài này gồm 4 tiết: Học sinh học tiếp thu tốt(vì lợng kiến thức và bài tập vận dụng tơng đối vừa sức) song phần Bài 4:Phép thử và biến cố học sinh không đợc học nên học sinh khó tiếp thu bài 5
Theo tôi cần phân chia nh sau:
+ Bài 4: Phép thử và biến cố: 2 tiết
+ Bài 5: Xác suất của biến cố: 3 tiết
(Thực tế, bản thân tôi đã áp dụng cách chia nh sau trong các tiết dạy: