Tổng hợp đề thi của đội tuyển HSG toán nam định

Qua P kẻ các ñường thẳng song song với các cạnh AC, AB cắt AB, AC tương ứng tại R, Q.. Chứng minh rằng khi ñiểm P thay ñổi trên cạnh BC thì ñường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ luôn ñi qua

Bài 1 (4 ñiểm):

Cho , ,a b c là các số nguyên dương ñôi một phân biệt, thỏa mãn ñiều kiện:

2

ab bc+ +ca≥ k − k∈ℝ Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3

a b c

abc k

+ + − ≥

Bài 2 (4 ñiểm):

Giả sử ( )a n n≥1là dãy tăng các số nguyên dương thỏa mãn ñồng thời 2 ñiều kiện:

i) a2n = +a n n ∀ ≥n 1

ii) a là số nguyên tố khi n là số nguyên tố n

Chứng minh rằng a n =n ∀ ≥n 1

Bài 3 (4 ñiểm):

Cho số nguyên k và ña thức p x( )=x2010+x2009+ +x2 12kx−12k+1

a) Chứng minh rằng ( )p x không có nghiệm nguyên

b) Tìm ước số chung lớn nhất của ( )p n và p n( ) 3+ với n là số nguyên dương cho trước

Bài 4 (4 ñiểm):

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy ñiểm P Qua P kẻ các ñường thẳng song song với các cạnh AC, AB cắt AB, AC tương ứng tại R, Q Chứng minh rằng khi ñiểm P thay ñổi trên cạnh

BC thì ñường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khác A

Bài 5 (4 ñiểm):

Trong hệ trục tọa ñộ Oxyz, ñiểm M(x;y;z) ñược gọi là ñiểm nguyên nếu x;y;z ñều là các số nguyên Giả sử trong không gian cho 37 ñiểm nguyên trong ñó không có 3 ñiểm nào thẳng

hàng Tồn tại hay không một tam giác (có ba ñỉnh là 3 trong số các ñiểm ñã cho) có trọng tâm

là ñiểm nguyên? Giải thích

HẾT

Sở Giáo dục − đào tạo

Nam định

đỀ CHÍNH THỨC

Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên

Năm học 2009 − 2010 Môn: Toán − Ngày thứ hai Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 (4 ựiểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương x;y;z thỏa mãn:

x y + y z + z x

Bài 2 (4 ựiểm)

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ựồng thời các ựiều kiện:

i) a≤ ≤b c

ii) a b c+ + =2

iii) ab bc ca+ + =1

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Bài 3 (4 ựiểm):

Cho Ω ={1; 2;3; ; 2009} là tập 2009 số nguyên dương ựầu tiên Có bao nhiêu ánh xạ :

f Ω → Ω thỏa mãn ựiều kiện: ( ) ( )2

f f k = f k − f k + với mọi k∈Ω

Bài 4. (5 ựiểm)

Giả sử M là trọng tâm tam giác ABC thỏa mãn ∠AMB= ∠2 ACB

Chứng minh rằng:

a) AB4 =AC4+BC4−AC2⋅BC2

b) ∠ACB≥600

Bài 5. (3 ựiểm)

Cho phương trình: 2 2 2

( 1)

x + +x = y (x;y là các ẩn số) (*) Chứng minh rằng phương trình (*) có vô hạn nghiệm nguyên dương

HẾT

Câu 1 Tìm tất cả các cặp số không âm ( , ) a b sao cho 3 a+7b là số chính phương

Câu 2. Cho dãy số (x n n) ≥1 ñược xác ñịnh bởi:

1 2008

x = , 1 2009 20091 *

2010

n

x

Chứng minh rằng dãy (x n) có giới hạn hữu hạn khi n→ +∞ Tìm lim n

n x

Câu 3 Cho tam giác ABC; ñường phân giác trong AA (1 A1∈BC ) Gọi M là trung ñiểm của

ñoạn thẳng AA Lấy các ñiểm P1 ∈BM và Q∈CM sao cho ∠APC= ∠AQB=900 Chứng minh rằng các ñiểm A P M Q cùng nằm trên một ñường tròn 1, , ,

Câu 4 Cho ( ) P x là ña thức bậc chẵn có các hệ số nguyên, hệ số của hạng tử cao nhất bằng 1 Giả sử tồn tại vô số số nguyên dương k sao cho ( ) P k là số chính phương Chứng minh rằng tồn

tại ña thức ( )Q x với các hệ số nguyên thỏa mãn ( )2

P x = Q x với mọi x∈ℝ

Câu 5. Cho 3 số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh rằng:

4 3

a ab b + b bc c + c ca a ≥ +

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

-*** -

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN

NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 2) Thời gian: 180 phút

Câu 1 Giải phương trình:

x + − +x − −x x − x+ =

Câu 2 Cho ñường tròn (O1; r) tiếp xúc trong với ñường tròn (O2) tại S Một dây cung AB của (O2) tiếp xúc với (O1) tại C Gọi M là ñiểm chính giữa cung AB không chứa S; N là trung ñiểm ñoạn AB Chứng minh rằng AC ⋅ BC = 2r ⋅ MN

Câu 3 Tìm tất cả các hàm liên tục f :ℝ→ℝ thỏa mãn ñiều kiện:

2 2

2

2

x y

f xy = f + + −x y

Câu 4 Giả sử a a1, 2, ,a100 là các số thực thỏa mãn:

i) a1≥a2 ≥ ≥⋯ a100 ≥0;

ii) a12+a22 ≥100;

iii) a32+a42+ +⋯ a1002 ≥100

Tìm GTNN của tổng S= + + +a1 a2 ⋯ a100

Câu 5 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , ) m n sao cho ( 2 )2

1

n − +n chia hết cho mn−1

Câu 6 Với mỗi số nguyên dương n≥2, kí hiệu ( )f n là số các hoán vị ( ,a a1 2,…,a n) của tập hợp {1; 2;…n} thỏa mãn ñiều kiện a1=1, a i−a i+1 ≤2 với mọi i∈{1; 2;…;n−1} Chứng minh rằng (2006)f chia hết cho 3

Câu 1 Giải hệ phương trình:







Câu 2. Tìm tất cả các hàm f :ℝ+→ℝ thỏa mãn ñiều kiện: +

( ( )) ( ( ))

xf xf y = f f y với mọi ,x y∈ℝ +

Câu 3. Cho dãy số (x n) với 0< <x0 x1 và thỏa mãn:

1+x n 1+ x n−x n+ = 1+x n− 1+ x x n n+

Chứng minh rằng dãy (x n) có giới hạn hữu hạn khi n→ +∞ Tìm lim n

Câu 4 Cho tam giác ABC M là trung ñiểm của BC và N là chân ñường phân giác của góc BAC

ðường thẳng vuông góc với NA tại N cắt AB, AM tại P, Q tương ứng Gọi I là giao ñiểm của

AN và ñường thẳng vuông góc với AB tại P Chứng minh rằng IQ vuông góc với BC

Câu 5 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , ) x y sao cho x2+y chia hết cho xy2−1

Câu 6. Chia hình tròn tâm O thành n hình quạt không ñều nhau bằng n bán kính Hỏi có bao nhiêu cách tô các ô quạt sao cho mỗi ô quạt ñược tô bởi 1 trong 4 màu xanh, ñỏ, tím, vàng và không có 2 ô quạt nào kề nhau ñược tô cùng màu

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

-*** -

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN

NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 5) Thời gian: 180 phút

Câu 1 Giải hệ phương trình:

2

2







Câu 2 Xét phương trình 2

1

1 2

n

k= k x =

−

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất lớn hơn 1, kí hiệu nghiệm ñó là x n

b) Tìm lim n

Câu 3 Chứng minh bất ñẳng thức sau ñúng với mọi bộ số thực dương , , a b c :

( )

3 3 3

4 3 3

a b b c c a a b c

ab bc ca

a b c

+ + + +

Câu 4. Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC và AD không song song với BC Các ñiểm E, F chuyển ñộng trên các ñoạn BC, AD tương ứng sao cho BE = DF ðặt P = AC ∩ BD; Q = EF ∩ BD; R = EF ∩ AC Chứng minh rằng tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác PQR di chuyển trên một ñường cố ñịnh

Câu 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , )m n sao cho 3m+1 và 3n+1 ñều chia hết cho mn

Câu 6. Giả sử ( ,a a1 2,…,a2010) là 1 hoán vị của {1, 2,…, 2010} thỏa mãn a1=1 và

2009

1

1

2019045

i i

i

a a+

=

∑ Tìm tất cả các giá trị có thể có của a2010

Câu 1 Cho hai dãy số ( )x n , ( )y n ñược xác ñịnh bởi:

x =y = , x n+1= +x n 1+x n2, 1

2

n n

n

y y

y

+ + với mọi

*

n∈ℕ

a) Tìm lim n

b) Chứng minh rằng 2<x y n n <3 với mọi n∈ℕ,n≥2

Câu 2. Giả sử a a1, 2,…,a1999 là các số thực không âm thỏa mãn ñồng thời các ñiều kiện:

i a1+ + +a2 … a1999 =2;

ii a a1 2+a a2 3+…a1998 1999a +a1999 1a =1

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 2 2 2

1 2 1999

S=a + +a …a

Câu 3. Tìm tất cả các hàm f :ℝ→ℝ thỏa mãn:

( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ))

f f x −y = f x + f f y − −f x +x với mọi ,x y∈ℝ

Câu 4. Cho tam giác ABC có AB < AC ðiểm M trên tia BA sao cho BM = AC ðiểm N trên tia

CA sao cho CN = AB Gọi P là giao ñiểm của MN với ñường trung trực của BC

Chứng minh ∠ BPC + ∠ BAC = 180o

Câu 5. Tìm tất cả các cặp các số nguyên tố p sao cho

1

2p 1

p

− −

là số chính phương

Câu 6. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho ! 8 n + chia hết cho 2n+1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

-*** -

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN

NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 7) Thời gian: 180 phút

Câu 1 Cho 3 số thực dương a b c thỏa mãn , , abc=1 Chứng minh rằng:

2

Câu 2 Tìm tất cả các số nguyên , x y thỏa mãn:

5

x + = y

Câu 3 Cho dãy số ( x n) thỏa mãn x1>0, 1 1

1

n

+ với mọi

*

n∈ℕ Chứng minh rằng dãy (x n) có giới hạn hữu hạn khi n→ +∞

Câu 4 Cho tam giác ABC Gọi H là trực tâm tam giác ABC ðường thẳng AH cắt ñường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC tại K khác A Các ñường thẳng OK và BC cắt nhau tại P ðiểm Q ñối xứng với P qua trung ñiểm của OH Các ñường thẳng AQ và BC cắt nhau tại R

Chứng minh rằng: BP = CR

Câu 5 Cho các số nguyên , , a b c khác 0 thỏa mãn a b c+ + =0 Chứng minh rằng:

a + +b + +c + chia hết cho a2+ +b2 c2 với mọi số nguyên dương n

Câu 6 Tìm tất cả các ña thức ( ) f x với hệ số thực sao cho:

( ) (2 1) ( ) (2 1)

f x f x − = f x f x− với mọi x∈ℝ

Câu 1 Giải hệ phương trình:

2

2

2

1 1 1

x y z

y z x

z x y











Câu 2 Cho các số thực , , a b c∈[1; 2] Chứng minh rằng:

a b c b c c a a b

+ +  + + ≥  + + + + + 

f x =x − x−

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , phương trình

f f … f x … = ( n lần f )

có nghiệm thực

Câu 4 Cho hình thang ABCD (AB || CD) Gọi O là giao ñiểm của AC và BD

Gọi M, N là các giao ñiểm của các ñường tròn ñường kính AD, BC

Chứng minh rằng O nằm trên ñường thẳng MN

Câu 5 Tìm số nguyên a≥2 nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên b≥2 và số nguyên tố p thỏa

p

a a

b

p− =

Câu 6 Cho số nguyên dương n sao cho p=4n+1 là số nguyên tố Chứng minh rằng:

2

1

1 12

n

k

p kp

=

−

 =

∑

trong ñó [ ]x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

-*** -

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN

NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 9) Thời gian: 180 phút

Câu 1 (3 ñiểm)

Giải hệ phương trình:

x xy

x xy y y x







Câu 2 (2 ñiểm)

Cho 3 số thực dương , ,x y z thỏa mãn z

3

y

x y z

x

+ + = Chứng minh rằng 2 3 3( )

6

x≤ − y+z

Câu 3 (4 ñiểm)

Giả sử a là một số thực Xét dãy ( x n) ñược xác ñịnh bởi: x1=a, x n+1=2x n3−5x n2+4x n với mọi

*

n∈ℕ Tìm a ñể dãy ( x n) có giới hạn hữu hạn khi n→ +∞

Câu 4 (5 ñiểm)

Cho ñường tròn (O) và dây cung AB không phải là ñường kính của ñường tròn ðiểm C thay ñổi trên cung AB lớn của (O) Lấy các ñiểm E ñối xứng với A qua BC, ñiểm F ñối xứng với B qua

AC Gọi M, N theo thứ tự là trung ñiểm các ñoạn thẳng EF, AB Chứng minh rằng ñộ dài ñoạn thẳng MN là một số không ñổi khi C thay ñổi trên cung AB lớn của (O)

Câu 5 (3 ñiểm)

Cho 3 số nguyên , ,a b c khác 0 và có tổng bằng 0

1) Chứng minh rằng (ab)5+(bc)5+(ca)5 chia hết cho (ab)2+(bc)2+(ca)2

2) Chứng minh rằng n n n

a + +b c chia hết cho 4 4 4

a + +b c với mọi số nguyên dương n chia

cho 3 dư 1

3) Chứng minh răng (ab)n+(bc)n+(ca)n chia hết cho (ab)2+(bc)2+(ca)2 với mọi số

nguyên dương n chia cho 3 dư 2

Câu 6. (3 ñiểm)

Cho các số nguyên dương ,k n thỏa mãn n≥2 và k>n!

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên tố p p1, 2,…,p n khác nhau từng ñôi một, lần lượt là ước

số của các số k+1,k+2,…,k+n

Giải hệ phương trình:







Câu 2. (2 ñiểm)

Cho 2 số thực không âm ,a b có tích không nhỏ hơn 3 Chứng minh rằng:

1

+

Câu 3. (4 ñiểm)

Cho dãy số (x n) ñược xác ñịnh bởi: x1=1, 1 n

n

n

x n x

n x

+ = + với mọi *

n∈ℕ

a Tìm lim n

n

x n

→+∞

 

b Tính [x20102 ]

Câu 4 (5 ñiểm)

Cho ñường tròn (O;R) và ñường thẳng d không có ñiểm chung với (O) Gọi E là hình chiếu của

O trên d ðiểm M thay ñổi trên d (M khác E) Các tiếp tuyến kẻ từ M ñến (O) tiếp xúc với (O)

tại A, B Gọi C, D lần lượt là các hình chiếu của E trên MA, MB Chứng minh rằng ñường thẳng

CD luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh

Câu 5 (3 ñiểm)

Tìm tất cả các bộ bốn số nguyên dương ( , , , )a b c d thỏa mãn 2a =3 5b c+7d

Câu 6. (3 ñiểm)

Trong một ñại hội toán học có 2001 người, mỗi người trong số họ bắt tay với ít nhất 1600 người khác Tìm giá trị lớn nhất của n sao cho tồn tại n người mà bất kì 2 trong n người ñó ñều bắt

tay nhau