Cho hình vuông ABCD.. Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = 2NC.. Xét các điểm E và F lần lượt trên các cạnh AB và CD.. Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông sao cho có thể đặt vào tro
Trang 1T1/271 Cho dãy số (an) (n = 0, 1, 2, ) xác định bởi:
a0 = 9, an+1 = 27an28 + 28an27, ∀n ∈ N
Chứng minh số a11 viết trong hệ thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000 chữ số 9
T2/271 Giải phương trình: (x-1)2[1 + 2x + 3x2 + + (n+1)xn] = 1, n ∈ Z+
T3/271 Các số thực a, b thoả mãn điều kiện a2 + b2 ≤ 1 Chứng minh:
(ac + bd - 1)2 ≥ (a2 + b2 - 1)(c2 + d2 - 1)
với mọi số thực c, d
T4/271 Cho hình vuông ABCD Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = 2NC Xét
các điểm E và F lần lượt trên các cạnh AB và CD Tìm điều kiện của biểu thức AE-DF để tồn tại điểm M trên AD sao cho NEMF
ABCD
S = 5
T5/271 Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5
hình tròn bán kính r = 1 mà không có hai hình tròn nào chồng lên nhau
T6/271 Tìm điều kiện của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
x + y - z + xy - yz - zx = 1
x + z + xz = m
T7/271 Cho hai số thực dương a, b thoả mãn a ≤ b Lập hai dãy số (un), (vn) (n = 1,
2, ) xác định bởi:
u1 = a, v1 = b, un+1 = 2(un + vn), vn+1 =
n n
(u v )(u + v )
u v
+ với mỗi n = 1, 2,
Chứng minh: 4n(a + b) ≤ un+1 + vn+1 ≤ 22n+1 ab (2 aba+b )3n
T8/271 Xét phương trình: xn - x2 - x - 1 = 0 (n > 2)
a) Chứng minh với mỗi số nguyên n > 2, phương trình trên có nghiệm dương duy nhất
b) Tìm n lim→ ∞n(xn-1), trong đó xn là nghiệm dương của phương trình nói trên
T9/271 Cho ∆ABC Gọi (Q, R) là đường tròn ngoại tiếp và (I, r) là đường tròn nội
tiếp tam giác Gọi dA, dB, dC lần lượt là khoảng cách từ Q đến tâm đường tròn bàng tiếp các góc tròn đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:
dA2 + dB2 + dC2 ≥ IA2 + IB2 + IC2 +12Rr
T10/271 Gọi S là diện tích toàn phần tứ diện ABCD Chứng minh:
(AB+AC+AD)2 > 2S 3 +12{(BC-CD)2 + (CD-DB)2 + (DB-BC)2}