Lấy điểm M bất kỳ trên đường chéo AC.. Đường thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P.. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AD tại Q.. Lấy điểm P trên đường tròn đó.. Trên tia OA lấy
Trang 1T1/269 Xét số tự nhiên An = 19981998 1998 được viết trong hệ số thập phân bởi n số 1998 nối tiếp nhau
a) Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên dương n < 1998 sao cho An chia hết cho 1999 b) Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn An chia hết cho 1999 Chứng minh rằng 1998 chia hết cho 2k
T2/269 Giải phương trình: 2 2
11 - 25
x (x+5) = 1.
T3/269 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = (1+x)(1+1y ) + (1+y)(1+1x )
trong đó các số dương x, y thoả mãn x2 + y2 = 1
T4/269 Cho tứ giác lồi ABCD Lấy điểm M bất kỳ trên đường chéo AC Đường
thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P Đường thẳng qua M song song với CD cắt AD tại Q Chứng minh rằng: 2 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi nào?
T5/269 Cho đường tròn (O, R) với hai đường kính vuông góc AB và CD Lấy điểm
P trên đường tròn đó Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ P đến các đường thẳng AB và CD Tìm quỹ tích các điểm M khi P chuyển động trên đường tròn
T6/269 Cho hai số nguyên dương m và n sao cho n+2 chia hết cho m Hãy tính số
các bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thảo mãn điều kiện: tổng x+y+z chia hết cho m, trong đó mỗi số x, y, z đều không lớn hơn m
T7/269 Cho số tự nhiên n ≥ 2 và hai số thực dương a, b sao cho n-1 < a/b ≤ n Xét
các dãy số thực x1, x2, , xn thoả mãn điều kiện: x1 + x2 + + xn = a, trong đó 0 < xi
≤ b, ∀i = 1, 2, , n Tính GTLN, GTNN của tích P = x1.x2 xn và xác định tất cả các dãy x1, x2, , xn ứng với GTLN, GTNN đó
T8/269 Tìm tất cả các hàm số f: R → R thoả mãn điều kiện: f(2-x ) = 2f(x) - 3, với1
mọi x ≠ 2
T9/269 Có tồn tại hay không đa giác đều 600 cạnh trong mặt phẳng toạ độ Đề Các
Oxy mà toạ độ các đỉnh của nó đều là số hữu tỉ?
T10/269 Cho tứ diện ABCD Lấy một điểm Q nằm trong tứ diện Gọi Q' là điểm
đối xứng với Q qua mp(BCD) Qua Q' dựng mặt phẳng song song mp(BCD), mặt phẳng này cắt các đường thẳng AB, AC, AD lần lượt ở B1, C1, D1 ta được hình chóp cụt BCDB1C1D1 Bằng cách lấy điểm đối xứng với Q qua mỗi mặt còn lại của tứ diện rồi dựng các mặt phẳng song song tương tự như trên, ta được 3 hình chóp cụt nữa Hãy xác định vị trí điểm Q để tổng các thể tích của 4 hình chóp cụt tạo thành là nhỏ nhất