Extraction de sous trajectoires d’abeilles luận văn ths công nghệ thông tin

L’Analyse Formelle de Concepts AFC est souvent utiliséepour analyser les données décrivant la relation entre un ensemble d’objets et d’unensemble d’attributs.. Dans ce stage nousprésento

m´emoire de fin d’´etudes

Extraction de sous-trajectoires

d’abeilles

Rédigé par :NGUYEN Van ThoPromotion 17 - IFI

Encadrant :Karell BERTET

La Rochelle, Avril – Octobre, 2014

Ce stage a été réalisé au Laboratoire Informatique, Image et Interaction L3i et a été

financé par la région Poitou-Charentes

Je tiens tout d’abord à remercier Madame Karell Bertet, responsable de mon stage pour

le temps qu’elle m’a consacré durant ce stage, ses conseils précieux pendant 6 mois demon stage

Je tiens à remercier également les professeurs et les personnels de l’Institut de laFrancophonie pour l’Informatique, des professeurs invités de m’avoir donné des cours

de haut qualité et pour leur soutien tout au long de mes études

Je tiens à remercier Monsieur Bruno Lescalier pour le fournissement de données.Mes remerciements vont aussi aux ma femme, ma famille et mes amis pour leurencouragement

RésuméL’objectif de ce stage est de rechercher les sous-trajectoires maximales fré-quentes d’abeilles L’Analyse Formelle de Concepts (AFC) est souvent utiliséepour analyser les données décrivant la relation entre un ensemble d’objets et d’unensemble d’attributs Les fondements mathématiques derrières l’AFC, le treillis

de Galois et le système de fermeture permettent d’en étendre le cadre applicatif àdes descriptions plus sophistiquées, telles que les séquences Dans ce stage nousprésentons une méthode d’analyse formelle de concepts séquentiels ; une extension

de l’AFC et la recherche de concepts pertinents en utilisant les treillis de Galois Elleconsiste d’abord à discrétiser les trajectoires d’abeilles en séquences Et puis, calcu-ler le treillis de Galois du contexte séquentiel (une extension du contexte formel)qui consiste à rechercher les sous-séquences communes maximales à l’ensemble

de séquences Des expérimentations et de nombreuses évaluations ont été effectuéspour valider la faisabilité de l’approche et illustrent la possibilité d’une applicationdes méthodes d’apprentissage supervisé ou non-supervisé

séquen-tielles, fouille de données

AbstractThe aim of this thesis is to mine the frequent closed sub-trajectories of bees.The Formal Concept Analysis (FCA) is often used to analyze the data describingthe relationship between a set of objects and a set of attributes The mathematicalfoundation behind the FCA, the Galois lattice and closure system allow to extendthe application of FCA to more sophisticated data descriptions, such as sequence

In this work, we present a formal analysis of sequential concepts; an extension ofthe FCA and its application for mining relevant concepts Firstly, we discretizethe trajectories of bees to sequences Then, we construct the Galois lattice ofsequential context (an extension of the formal context) which consists of searchingthe maximum common sub-sequences of a set of sequences Experiments wereconducted to validate the feasible of the proposed approach, as well as illustrate thepossibility of applying the supervised or unsupervised learning methods

mining

Table des matières

Page

1.1 Contexte 1

1.2 Problématique 1

1.3 Principales contributions 2

1.4 Organisation du mémoire 3

2 État de l’art 4 2.1 Analyse formelle de concepts 4

2.1.1 Contexte formel 4

2.1.2 Structure de treillis 5

2.1.3 Calcul du treillis 8

2.2 Recherche des motifs séquentiels 8

2.2.1 Préliminaires 9

2.2.2 Recherche des motifs séquentiels maximaux 10

2.2.3 Recherche des motifs séquentiels fermés 10

2.3 Arbre des suffixes généralisés 11

2.3.1 Définitions 11

2.3.2 Construction de arbre des suffixes généralisés 12

2.3.3 Arbre des suffixes généralisés (GST) 14

2.4 Recherche des sous-séquences communes maximales 15

2.4.1 Définitions 15

2.4.2 Calcul de U(v) pour chaque noeud interne v 16

2.4.3 Algorithme pour calculer lca(x,y) 17

3 Analyse formelle de concepts séquentiels 24 3.1 Treillis de Galois des contextes séquentiels 24

3.1.1 Définitions 24

3.1.2 Treillis de Galois des séquences 26

3.1.3 Calcul de treillis de Galois de contexte séquentiel 27

3.1.4 Recherche des concepts pertinents 29

4 Application aux trajectoires d’abeilles 31

4.1 Discrétisation des trajectoires d’abeilles 31

4.1.1 Discrétisation selon la vitesse 31

4.1.2 Discrétisation selon la direction 33

4.2 Expérimentations 34

5 Conclusion et perspectives 38 5.1 Conclusion 38

5.2 Perspectives 38

List of Figures

2.1 Le treillis des concepts du contexte formel 2.1 7

2.2 Arbre des suffixes de la chaîne xabxac [Gus97] 11

2.3 Arbre des suffixes et arbre des suffixes implicites de la séquence xabxa 14 2.4 Arbre des suffixes généralisés de "xabxa" et "babxba"[Gus97], le premier nombre indique la séquence, le deuxième nombre indique la position du commencement du suffixe 14

2.5 Les feuilles en rectangle ayant identifieur i, les nœuds en cercle sont lcas des feuilles deΓi [Gus97] 17

2.6 Les nombres de chemin d’un arbre binaire entier de 15 noeuds 21

2.7 Les partitions des noeuds 22

3.1 Contexte séquentiel et treillis de Galois 26

3.2 Treillis de concepts du contexte de table 3.1 26

3.3 Intégration de méthode proposée à la bibliothèque java-lattices : Le diagramme de paquetages avec principales classes 29

3.4 Les bordures et les concepts pertinents avec min_sup= 30% et min_long=3 30 4.1 Un vecteur vitesse avec ses trois composants 32

4.2 Un exemple de trajectoires en 3D et un exemple de contexte séquentiel des vitesses 33

4.3 Angle entre deux vecteurs créés par trois points d’une fenêtre 33

4.4 Nombre des concepts pertinents et nombre total de concepts avec une taille de fenêtre de 3 35

4.5 Ratio entre le nombre de concepts pertinents et le nombre total de con-cepts (pour des séquences de vitesse) 36

4.6 Ratio entre le nombre de concepts pertinents et le nombre total de con-cepts (pour des séquences de direction) 36

4.7 Treillis des concepts des séquences de direction 37

List of Tables

2.1 La table binaire décrivant la relation I du contexte (O, S, I) 5

2.2 Un exemple de concept formel 6

2.3 Base de données transactionnelles des clients 9

2.4 Version séquentielle de la base de données 9

3.1 Un exemple de contexte séquentiel 25

4.1 Correspondant entre les vitesses et les codes 32

4.2 Correspondance entre les directions et les codes 34

4.3 Un exemple de contexte séquentiel des directions 34

les ruchers du domaine du Magneraud à plusieurs reprises pour capturer des vidéos del’activité des d’abeilles devant la ruche Les travaux réalisés dans le cadre de la thèse

de Guillaume Chiron permettent de suivre individuellement en 3D chaque abeille envol devant la ruche, et ainsi extraire les trajectoires des abeilles à partir d’une carte deprofondeur L’idée de ce stage est d’étudier la faisabilité des méthodes d’extraction

de motifs séquentiels aux trajectoires des abeilles Ces méthodes ont pour objectifd’extraire les sous-séquences fréquentes dans un contexte supervisé ou non Ainsi, unetelle extraction est envisageable à partir de l’ensemble des trajectoires des abeilles pour

en extraire les sous-séquences fréquentes, ou bien à partir d’une base d’apprentissage detrajectoires préalablement catégorisées (abeilles normales ou anormales par exemple),permettant ainsi d’identifier ou de caractériser les sous-trajectoires fréquentes ou nonfréquentes par catégorie

Alors que les premiers travaux d’extraction de motifs fréquents visaient à calculer tousles sous-ensembles de motifs pour en extraire les plus pertinents [AS+94], de récentesméthodes issues de l’analyse formelle des concepts (AFC) reposent sur l’extraction demotifs fermés L’AFC, outil de représentation et d’extraction des connaissances sous

1 http://l3i.univ-larochelle.fr/APIALERTE

2 Laboratoire Informatique, Image et Interaction (L3i), Université de La Rochelle

forme de règles d’association ou de concepts, ainsi la possibilité de classification dans

le cas supervisé et de segmentation dans le cas non supervisé Malgré des traitementssouvent exponentiels, les fondements mathématiques de l’AFC, qui reposent sur lathéorie des treillis [Bir67] et des fermetures, garantissent des algorithmes efficaces etsouvent optimaux La plupart de ces algorithmes sont implémentés dans la bibliothèquejava-lattices [Ber14] développée au laboratoire L3i ó ce stage est réalisé L’AFCanalyse les données décrit par la relation entre un ensemble d’objets et d’un ensembled’attributs Alors que les objets sont classiquement décrits par des ensembles d’attributs,les propriétés d’un opérateur de fermeture permettent d’en étendre le cadre applicatif

à des descriptions plus sophistiquées, telles que les graphes [GK01], les intervalles[Pol98], les formules logiques [FR04], les séquences, et plus généralement aux patterns[Kuz01] Plus formellement, ces extensions sont rendues possibles par la mise en placed’un opérateur de fermeture dans l’espace de description considéré Dans le cas desséquences, il est nécessaire de définir un opérateur de fermeture qui correspond au calculdes sous-séquences communes maximales à un ensemble de séquences Les objets sontalors décrits par des séquences, formant ainsi un contexte séquentiel à partir duquel il estpossible de générer le treillis de Galois de séquences

L’objectif de ce stage est donc d’implémenter le calcul des sous-séquences communesmaximales qui possède les propriétés d’un opérateur de fermeture Puis de l’intégrer ausein de la bibliothèque java-lattices par la mise en place d’un opérateur de fermeture surles séquences, et d’un contexte séquentiel Des expérimentations seront menées sur destrajectoires d’abeilles qu’il s’agira de discrétiser en séquences

Le travail de ce stage présente les contributions suivantes :

(1) Deux méthodes de discrétisation de discrétiser les trajectoires d’abeilles en séquences: discrétisation selon la vitesse et discrétisation selon la direction

(2) Implémentation du calcul des sous-séquences communes, puis mise en place d’uncontexte séquentiel, extension d’un contexte classique, avec les sous-séquencescommunes comme opérateur de fermeture La construction du treillis de Galois ducontexte séquentiel est ainsi rendue possible en utilisant l’algorithme de Bordat[Bor86] ou l’algorithme Next Closure [Gan84] déjà implémentés au sein de labibliothèque java-lattices

(3) Expérimentations sur 20 trajectoires d’abeilles et accompagnées de quelquesmesures d’évaluation Bien que l’apprentissage est non-traité dans le carde de ceprojet, nos résultats montrent que l’apprentissage supervisé/non-supervisé sur lestrajectoires sont faisables

1.4 Organisation du mémoire

Le mémoire est organisé de la manière suivante :

Dans le chapitre 2, nous présentons un état de l’art sur l’analyse formelle de concepts(AFC) et la recherche de sous-séquences communes maximales

Dans le chapitre 3, nous décrivons la méthode proposée, le treillis de Galois ducontexte séquentiel et la recherche des concepts pertinents

Le chapitre 4 présente les expérimentations et ses résultats

L’Analyse Formelle de Concepts (AFC) [Wil82; GWW99] a été présentée comme undomaine de mathématiques appliquées qui consiste à restructurer la théorie des treillis[Bir67] L’AFC analyse les données décrivant la relation entre un ensemble d’objets

et un ensemble d’attributs Ces données apparaissent couramment dans de nombreuxdomaines de l’activité humaine tels que la psychologie, la sociologie, l’anthropologie,

la médecine, la biologie, linguistique, sciences informatiques, mathématiques et génieindustriel Nous présentons dans cette section les notions de base de l’AFC et quelquesalgorithmes pour l’extraction de motifs séquentiels

2.1.1 Contexte formel

est un ensemble d’objets, S est un ensemble d’attributs et I est une relation binaire entre

Graphiquement, nous pouvons représenter un contexte formel par une table binaire(cross-table) mettant en relation objets et attributs Les lignes de la table correspondentaux objets, les colonnes de la table correspondent aux attributs (i, j) prend la valeur 1,vrai ou encore × si l’objet i possède l’attribut j

Table 2.1 – La table binaire décrivant la relation I du contexte (O, S, I)

2.1.2 Structure de treillis

La notion de concept formel est fondamentale pour AFC Pour définir le concept formeld’un contexte formel (O, S, I) nous avons besoins des opérateurs de dérivation définispour les sous-ensembles arbitraires A ⊆ O et B ⊆ S :

Les ensembles A et B sont appelés respectivement extent et intent du concept formel(A, B)

La relation de sous-concept, de super-concept est définie comme ci-dessous:

Table 2.2 – Un exemple de concept formel

propriétés suivantes :

supérieure

grand élément) de l’ensemble des prédécesseurs (ou minorants) de x et y

(ensemble des éléments z ∈ S tels que z ≤ x et z ≤ y)

plus petit élément) de l’ensemble des successeurs (ou majorants) de x et y

(ensemble des éléments z ∈ S tels que z ≥ x et z ≥ y)

relation binaire I entre un ensemble O d’objets et un ensemble S d’attributs, encore

appelé contexte Le treillis des concepts d’un contexte (O, S, I) est une paire (C, ≤) ó :

avec

α(A) = {b ∈ S : aIb pour tout a ∈ A} β(B) = {a ∈ O : aIb pour tout b ∈ B}

(A1, B1) ≤ (A2, B2) ⇐⇒ B1 ⊆ B2 ⇐⇒ A1 ⊇ A2

La figure 2.1 montre le diagramme de Hasse du treillis de Galois du contexte 2.1.Une éclipse représente un concept et les arcs entre les éclipses matérialisent la relationd’ordre du plus général (en bas) vers le plus spécifique (en haut).

Figure 2.1 – Le treillis des concepts du contexte formel 2.1

correspondance de Galois (α, β) entre deux ensembles O et S Soient A ⊆ O et B ⊆ S ,

on définit α et β comme suit:

ó :

P(X) est l’ensemble des parties de X

Les deux compositions (α ◦ β) et (β ◦ α) sont des opérateurs de fermetures définisrespectivement sur O et S

de fermeture se compose un système de fermeture Par exemple (O, α ◦ β) est un système

de fermeture

2.1.3 Calcul du treillis

Plusieurs algorithmes ont été proposés pour calculer du treillis de Galois (ou générerles fermés) Un des premiers algorithmes proposés est l’algorithme de Chein [Che69],les concepts sont générés à partir de concept initial en utilisant un algorithme de calculles sous-matrices Des algorithmes plus récents ont amélioré la performance en testantles concepts existant pour éviter de les régénérer [Nor78; Gan84; Bor86] L’algorithmeNext Closure [Gan84] génère les concepts selon l’ordre lectical entre eux Les conceptspeuvent être générés de manière incrémentale [Nor78; GMA91; CR93] L’algorithme

de Bordat [Bor86] génère les concepts en calculant le diagramme de Hasse du treillis.Conclusion: Toute description d’objets par une connexion (α, β) qui vérifie les pro-priétés d’une connexion de Galois permet ainsi de maintenir le système de fermeture surl’ensemble des objets, et donc de rendre possible la génération du treillis de Galois

La recherche des motifs séquentiels est un problème fondamental et essentiel dans denombreuses applications (découverte des règles d’association, règles de classification

ou regrouper les objets selon les motifs) d’exploration de données qui sont ordonnéestelles que la base de données transactionnelles, la base de données des trajectoires Plusieurs méthodes ont été proposées pour la recherche des motifs séquentiels Lespremières méthodes se basent sur l’algorithme Apriori [Agr+96] qui énumère tous lesmotifs séquentiels fréquents (i.e partagés par un nombre suffisant d’objets) Puis d’autressolutions ont été proposées pour limiter le nombre de motifs fréquents générés qui estexponentiel Cette énumération est un problème exponentielle Il y a deux solutions à larecherche des motifs séquentiels La première solution est de recherche seulement lesmotifs séquentiels maximaux [AS95] La deuxième solution est de recherche seulement

les motifs séquentiels fermés en introduisant un système de fermeture sur l’ensemble desséquences [YHA03; WH04].

2.2.1 Préliminaires

trans-actionnelles est noté D dont chaque transaction (tid, T) a un unique identifiant tid etcontient un ensemble d’items encore appelé motif T

version séquentielle est présentée dans la table 2.4)

Customer Id Transaction Time Items Bought

Table 2.3 – Base de données transactionnelles des clients

Customer Id Customer Sequence

Table 2.4 – Version séquentielle de la base de données

Définition 2.2.3 (support) Le support d’un motif X noté supp(X) est le nombre detransactions dont X est sous-ensemble.

|D|

Le support prend sa valeur dans l’intervalle [0, 1]

à un seuil min_support

sous-ensemble d’aucun d’autre motif fréquent

super-ensemble avec la même fréquence

2.2.2 Recherche des motifs séquentiels maximaux

La recherche des motifs séquentiels maximaux a été introduite dans les travaux de

R Agrawal et R Srikant [AS95] Les auteurs présentait trois algorithmes dont deuxpermettaient l’extraction de motifs séquentiels maximaux à partir une base de donnéesdes transactions des clients La base de données transactionnelles est transformée en desséquences (voir exemple dans les tables 2.3 et 2.4) La définition d’un motif séquentielmaximal est similaire à celle des itemsets fréquents maximaux Ainsi, si une séquence s

@ s, alors lemotif séquentiel s est dit maximal

2.2.3 Recherche des motifs séquentiels fermés

Clospan [YHA03] est une méthode basée sur le principe depth-first et implémentel’algorithme PrefixSpan En fait, il s’agit d’une optimisation de ce dernier, destinée àélaguer l’espace de recherche en évitant de parcourir certaines branches dans le processus

de divisions récursives (en détectant par avance les motifs séquentiels non fermés) Leprincipe de CloSpan repose sur deux éléments essentiels : l’ordre lexicographique desséquences et la détection de liens systématiques entre deux items (i.e."β apparaît toujoursavant γ dans la base de données")

BIDE (BI-Directional Extension) est proposée dans [WH04] étendre les séquencesdans les deux directions, i.e en avant (forward extension) et en arrière (backwardextension) Cette méthode est plus efficace que Clospan dans le cas de bases contenant

de trop nombreuses séquences fermées

2.3 Arbre des su ffixes généralisés

2.3.1 Définitions

Un arbre des suffixes [Gus97] est une structure de données qui permet de représentertous les suffixes d’une chaỵne de caractère

caractères α est un arbre enraciné orienté avec exactement m feuilles de 1 à m Chaquenœud interne, autre que la racine, a au moins deux enfants et chaque arête est étiquetéeavec une chaỵne non vide de α Les arêtes d’un noeud ont des étiquettes différentes

La principale caractéristique de l’arbre des suffixes est que pour toute feuille i, laconcaténation des arête-étiquettes sur le chemin de la racine jusqu’à la feuille i définit

Si un suffixe cọncide avec un facteur du texte, aucune feuille ne correspondra ausuffixe Pour éviter ce problème, on ajoute un caractère artificiel, par exemple $ à la fin

2.3.2 Construction de arbre des su ffixes généralisés

Un arbre des suffixes peut être construire en temps linéaire Le premier algorithmelinéaire algorithme est proposé par Weiner [Wei73] en 1973 McCreight [McC76]propose un autre algorithme linéaire mais plus efficace pour la gestion de mémoire

En 1995, Ukkonen [Ukk95] a présenté un algorithme qui est aussi efficace que celui

de McCreight mais plus simple Nous allons donc représenter en détaille l’algorithmed’Ukkonen

L’algorithme d’Ukkonen permet de construire un arbre des suffixes à temps linéaire

Il traite les symboles de la chaîne un par un et de de gauche à droite (incrémental).L’algorithme se base sur le concept de l’arbre des suffixes implicites

chaîne α est un arbre obtenu à partir de l’arbre des suffixes α$ en supprimant tous lescopies du terminal symbole $ à partir des étiquettes des arêtes de l’arbre, puis en enlevantles arêtes qui n’ont pas d’étiquette, puis enlever tous les noeuds qui n’ont pas au moinsdeux enfants

Un arbre des suffixes implicites pour un préfixe α[0 i] de α est définie de façonsimilaire en prenant l’arbre des suffixes de α[0 i]$ et suppression les symboles $, desarêtes et des nœuds comme ci-dessus [Gus97]

L’arbre des suffixes implicites encode tous les suffixes de la séquence α, mais lessuffixes ne terminent pas forcément aux feuilles Nous n’utilisons arbre des suffixesimplicites que pour les résultats intermédiaires pendant la construction de arbre dessuffixes La Figure 2.3 représente l’arbre des suffixes et l’arbre des suffixes implicites de

la séquence xabxa Nous constatons que les suffixes a et xa ne terminent par aux feuillesdans l’arbre des suffixes implicites

de 0 à n - 1

chaque préfixe α[0 i] de α Ces arbres de suffixes sont construits de façon incrémentale

On associe à chaque nœud interne le mot corresponds à l’étiquette depuis la racinejusqu’à ce nœud Ainsi la racine est associée à  On associe l’indice j à la feuille au bout

du chemin étiqueté par y[j n ] depuis la racine Nous présentons d’abord un premier

• Chaque phase i+ 1 est ensuite divisée en i + 1 extensions

Durant l’extension j de la phase i+1, l’algorithme trouve la fin du chemin étiquetépar y[j i] depuis la racine pour, éventuellement, ajouter y[i+1] Cet ajout se fait alors enaccord avec 3 règles

alors y[i+1] est ajouté à la fin de étiquette de la branche menant à la cette feuille

une feuille et qu’aucun chemin étiqueté par y[i+1] ne commence après ce chemin.Alors une nouvelle feuille est créée avec une branche y menant étiqueté e par y[i+1] Si le chemin étiqueté par y[ j i] depuis la racine ne se termine pas sur unnœud alors un nouveau noeud doit être créé et la branche cassée

feuille Alors un chemin étiqueté par y[i+1] commence après ce chemin Doncy[j i+1] est déjà dans l’arbre : on ne fait rien

nous pouvons construire un arbre des suffixes en O(n) Consultez-vous le livre deGusfield pour plus de détails et la preuve de ce lemme

Lemme 2.3.1 Si un nouveau nœud interne av est ajouté à l’arbre pendant l’extension

Cet algorithme est basé sur le principe d’accélération avec lien suffixe et la notiond’arbre de suffixes implicites Figure 2.3

abxa

3axb

Figure 2.3 – Arbre des suffixes et arbre des suffixes implicites de la séquence xabxa

2.3.3 Arbre des su ffixes généralisés (GST)

construire l’arbre des suffixes généralisés T de A, d’abord, on ajoute à la fin de chaque

peut être construit sur la concaténation de ces chaînes

Figure 2.4 – Arbre des suffixes généralisés de "xabxa" et "babxba"[Gus97], le premiernombre indique la séquence, le deuxième nombre indique la position du commencement

du suffixe

Algorithm 2Algorithme pour construire l’arbre des suffixes généralisés : GST(A)

2.4.1 Définitions

α si S fait partie de α : S v α

maximale S de A est une sous-séquence commune de A qui n’est pas sous-séquence

de sous-séquence commune de A, X est l’ensemble des sous-séquences communes

La recherche des sous-séquences communes maximales peut être résolue à l’aide

(1) Construire l’arbre des suffixes généralisés de l’ensemble des séquences A =

(2) Rechercher les sous-séquences communes maximales en identifiant les nœudsinternes qui contient au moins une feuille de chaque chaîne Les sous-séquencescommunes sont les chemins de la racine à ces nœuds internes La complexité de

Le problème de LCS peut être résolu à l’aide d’un arbre des suffixes généralisés.Lorsque l’arbre des suffixes généralisés est construit, on peut trouver les sous-séquencescommunes en identifiant les nœuds internes qui contient au moins une feuille de chaquechaỵne Les sous-séquences communes sont les chemins de la racine aux ces nœuds

terminé par f est commencé par la séquence 1 Pour un noeud arbitraire v de T, nousdéfinissons:

(1) C(v) est le nombre des identifieurs distinctifs des feuilles du sous-arbre issu de v.(2) S (v) est le nombre des feuilles du sous-arbre issu de v

(3) U(v) est le nombre des suffixes commencés par la même séquence

Le lemme 2.4.1 permet d’exprimer C(v) en fonction de S (v) et U(v) S (v) se calculesimplement en parcourant les feuilles du sous-arbre issu de v La difficulté consiste donc

à calculer U(v)

i:n i (v)>0(ni(v) − 1) et C(v)= S(v) - U(v) [Gus97]

2.4.2 Calcul de U(v) pour chaque noeud interne v

Le calcul de U(v) repose sur la notion de plus proche ancêtre commun:

nœud v si u est sur le chemin unique de la racine à v Avec cette définition, un nœud est

un ancêtre de lui-même Un ancêtre propre de v se réfère à un ancêtre qui n’est pas v

nœuds u et v est le nœud le plus profond de T qui est un ancêtre de u et de v

Soit h(w) est le nombre de fois ó w est lca pour tous les paires de feuilles consécutives

Figure 2.5 – Les feuilles en rectangle ayant identifieur i, les nœuds en cercle sont lcas

L’algorithme 3 décrit le calcul du LCS(A) en utilisant U(v) Pendant le parcours

sous-séquence χ(v) de la racine à v est un sous-sous-séquence commune de T Pour garantir que Xest l’ensemble des sous-séquences communes maximales, nous devons tester si χ(v) v et

Cet algorithme utilise le calcul du lca décrit dans la section suivante

2.4.3 Algorithme pour calculer lca(x,y)

Baruch Schieber et Uzi Vishkin [SV88] ont proposé un algorithme pour trouver le plusproche ancêtre communde deux noeuds u et v (lca(u,v)) en temps constant, après uneétape de prétraitement en temps linéaire L’algorithme se base sur deux observations[HT84]: