Tính toán hệ số hall và từ trở hall lượng tử trong dây lượng tử hình chữ nhật

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM HƯƠNG LY TÍNH TOÁN HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL LƯỢNG TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM HƯƠNG LY

TÍNH TOÁN HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL LƯỢNG

TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

HÀ NỘI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM HƯƠNG LY

TÍNH TOÁN HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL LƯỢNG

TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới GS.TS Nguyễn Quang Báu, hiện đang giảng dạy tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy đã dành nhiều thời gian,tâm huyết hướng dẫn và đã có những chỉ bảo, nhận xét, đánh giá quý báu trong suốt quá trình em làm khóa luận tốt nghiệp này

Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã giúp đỡ và chỉ bảo cho

em trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành khóa luận

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn khóa luận còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

DANH MỤC HÌNH VẼ 2

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG I DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI 6

1.1 Dây lượng tử hình chữ nhật 6

1.1.1 Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật 6

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật 6

1.2 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối 7

CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT 15

2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật 15

2.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall 26

2.3 Biểu thức giải tích cho từ trở Hall 35

CHƯƠNG III: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CÁC KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT GaAs/GaAsAl 37

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ 37

3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường 38

3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật 39

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 3 1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ 38 Hình 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường 39 Hình 3 3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cuối những năm 80 của thế kỉ XX thành tựu của khoa học vật lý được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều Đó là các bán dẫn 2 chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng…); bán dẫn 1 chiều(dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật…); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình cầu)

Ta đã biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều) Nhưng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ một chiều và hệ không chiều), ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây

ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế phụ Trường điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kì lớn hơn rất nhiều so với chu kì của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần) Tùy thuộc vào trường điện thế phụ tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng) hoặc bán dẫn

có cấu trúc một chiều (dây lượng tử) Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường điện thế phụ thì chuyển động của hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt (hạt chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có trường điện thế phụ), phổ năng lượng của các hạt mang điện theo hướng này bị lượng tử hóa Chính sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, ten xơ độ dẫn, tương tác điện tử với phonon…,đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới, ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có [1,2] Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang điện tử nói riêng Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước

Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự có mặt của sóng điện từ được nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phương pháp phương trình động lượng

tử [8-11]

Như chúng ta đã biết, những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều

ở nhiệt độ tương đối cao, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đang được nghiên cứu Trong một nghiên cứu, hiệu ứng Hall trong hố lượng tử với hố thế Parabol chỉ được tính đến sự có mặt của từ trường với chuyển động của điện tử

là tự do nhưng trong trường hợp trường điện từ trực giao trong mặt phẳng của chuyển động tự do của electron không được tính đến Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall trong hệ 1 chiều nói chung và dây lượng tử hình chữ nhật nói riêng chưa được nghiên cứu Do đó, trong khóa luận này trình bày các kết quả nghiên cứu

đối với đề tài: “Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall lượng tử trong dây lượng

tử hình chữ nhật”

2 Mục đích nghiên cứu

Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall lượng tử trong dây lượng tử hình chữ nhật để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: dây lượng tử hình chữ nhật

- Phạm vi nghiên cứu: Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng

tử hình chữ nhật với trường hợp tán xạ chủ yếu là tán xạ điện tử - phonon quang

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử Chúng ta viết Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, sự có mặt của một từ trường đặt dọc theo trục Ox: B(B,0,0), một điện trường dọc theo trục Oz: vector

E  0,0, E trường laser như trường điện E 0, E sin0 t,0(trong đó E0 và

Ω tương ứng là biên độ và tần số của trường laser) Sau đó, chúng ta xây dựng phương trình Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon và giải phương trình để tìm

ra biểu thức giải tích cho ten xơ độ dẫn Hall, hệ số Hall và từ trở Hall Biểu thức này chỉ ra rằng hệ số Hall và từ trở Hall phụ thuộc vào từ trường, nồng độ pha tạp, tần số sóng điện từ Điều đó thể hiện rõ ràng qua đồ thị bằng cách sử dụng chương trình Matlab để tính toán số cho dây lượng tử hình chữ nhật Đây là phương pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận này được chia làm ba chương:

Chương I: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán

dẫn khối

1 Dây lượng tử hình chữ nhật

1.1, Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật

1.2, Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật

2 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho hệ số

Hall và từ trở Hall cho dây lượng tử hình chữ nhật

1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật

2 Biểu thức giải tích của hệ số Hall

3 Biểu thức giải tích của từ trở Hall

Chương III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl

1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ

2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường

3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật

CHƯƠNG I DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI

1.1 Dây lượng tử hình chữ nhật

1.1.1 Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật

Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều Trong đó, chuyển động của điện tử trong hệ bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), và chuyển động tự do theo chiều còn lại trong không gian mạng tinh thể (trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn); vì thế dây lượng tử

là một ví dụ về hệ khí điện tử chuẩn một chiều Trên thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật

Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện từ trong dãy năng lượng từ có thể tìm được kết quả từ việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều

   

2 2

là thế năng tương tác giữa các điện tử; khối lượng hiệu dụng là m *

Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích thước ba trục được giả thiết lần lượt là L , L , Lx y z và L , L , Lz x y Giả sử thế giam cầm điện tử cao vô hạn theo hai hướng vuông góc x,y; V = 0, nếu 0 y L ; 0 xy  L x và V = nếu ngược lại Khi đó hàm sóng có thể viết:

+ khi chưa có từ trường:

k 0,0,k là véc tơ sóng của điện tử

, : là các kích thước của dây theo hai phương Ox, Oy

1.2 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phương Ox, một từ trường theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Hall cổ điển

Ở đây, để có ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối, ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trường và từ trường không đổi, vuông góc với nhau Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trưng bởi véc tơ cường độ điện trường E E0sin t ,0 ,0 với E và 0 tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ

Trước hết, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ Sử dụng Hamintonnian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:

H  He  Hph  He ph

(1.4) với:

: toán tử sinh và hủy điện tử

: toán tử sinh và hủy phonon

: hằng số tương tác điện tử - phonon

: trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ

) : năng lượng của điện tử

(t) : thế véc tơ của trường điện từ

: tần số của phonon

Số điện tử trung bình được đặc trưng bởi xung lượng là: (t) =

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:

(1.12)

Ta giả thiết có đưa vào đoạn nhiệt của tương tác điện tử - phonon và của

trường cao tần, khi đó t = Tương tác ,điện tử - phonon sẽ được cho là yếu

và nghiên cứu như nhiễu loạn Khi đó phần bên phải có thể đưa đến sự tách và

để lại giá trị trung bình chéo

n (t) a a ;n (t) b b Giải phương trình thu được ở trên với điều kiện ban đầu:

1 2

p ,p ,q( )

F t    0

Xét tập hợp tần số thấp của hàm phân bố, đồng thời giả thiết phân bố

phonon là đối xứng ta sẽ thu được phương trình:

Hàm có ý nghĩa mật độ dòng “riêng” được chuyển dời bởi các electron với

năng lượng Đại lượng này liên hệ với mật độ dòng bởi hệ thức:

 0

Ở đây là hằng số tương tác của điện tử và phonon ( với các cơ chế tán

xạ của tương tác điện tử và phonon khác nhau thì có giá trị khác nhau)

Và dựa vào đó ta sẽ xác định được các thông số trong biểu thức Từ đó ta có công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối:

tenxo độ dẫn Hall từ đó xác định được công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối

Theo (1.19) và (1.20) ta có nhận xét: dưới ảnh hưởng của trường sóng điện từ hệ

số Hall phụ thuộc vào biên độ , tần số , bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ

thuộc vào từ trường B, tỉ lệ nghịch với và phụ thuộc vào điện trường không

đổi

CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

Trong chương này, ta sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật để tìm ra biểu thức giải tích cho hệ

n,l,k q n,l,n ,l n ,l ,k

l: chỉ số lượng tử xuyên tâm

n,l, k và n ,l , k' ' q trạng thái của điện tử trước và sau va chạm

A : thế vecto của trường điện từ

Ta đi thiết lập phương trình động lượng tử cho số điện tử trung bình

n,l,k q n ,l ,k t

 

phương trình này có dạng:

1 1 1 1

n ,l ,p n ,l ,p n,l,k q n ,l ,k

Mặt khác ta có:

       

1

2

t t

qA t dt cos Ω sin Ωi sin Ωi

 2 n,l,n ',l' 2

 là véc tơ đơn vị theo phương B

Đối số của hàm Bessel nhỏ 1

Ω

λ

Trong khi phân tích hàm Bessel theo đối số

ta chỉ giữ lại những số hạng tỷ lệ đến bậc một của 

Trong đó là thời gian phục hồi của điện tử

Như vậy, phương trình (2.23) là phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn Để tìm được biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall.Ta đi giải phương trình (2.23) ở điều kiện nhiệt

độ cao với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang

2.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall

Nhân 2 vế phương trình (2.23) với x  n,l n ,l 

e

m    và bỏ qua phần chứa n,l

fe

fe

0

c 0 n,l,k

τeβ

dk2π

Sử dụng công thức tích phân:

2 q

Ta có biểu thức (2.47) là biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn Hall

Từ biểu thức (2.47) ta giả thiết:

ij j ijk

2 q

CHƯƠNG III: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CÁC KẾT QUẢ LÝ

THUYẾT CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT GaAs/GaAsAl

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ, từ trường và chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl với hố thế cao vô hạn Các thông số được sử dụng trong quá trình tính toán này như sau:

X 10.9, X0 12.9,

9 0

1036

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ khi thay đổi cảm ứng từ: B=4.0T; B=4.4T; B=4.6T, chiều dài dây lượng tử L= 9.10-7m, hai kích thước dây lượng tử Lx=8.10-9

m, Ly=7.10-9m ta thu được kết quả đồ thị 3.1:

Hình 3 1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ

Hình 3.1 thể hiện sự phụ thuộc hệ số Hall theo tần số sóng điện từ cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang

Từ đồ thị ta nhận thấy, lúc đầu khi tần số tăng thì hệ số Hall tăng nhanh, sau đó đạt cực đại tại một giá trị của tần số rồi giảm mạnh Và khi tần số sóng điện từ tiếp tục tăng thì hệ số Hall lại đạt giá trị không đổi Với các giá trị từ trường khác nhau, hình dạng đồ thị khác nhau, các giá trị cực đại của hệ số Hall không

có sự khác nhiều

3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường khi thay đổi nhiệt độ: T=50K; T=100K; T=150K, chiều dài dây lượng tử L=9.10-7m, hai kích thước dây lượng tử Lx=8.10-9

m , Ly=7.10-9m, ta thu được kết quả đồ thị 3.2: