Ứng dụng của nhóm lie trong các mô hình thống nhất tương tác

Có một điều ta chưa hiểu tường tận là vật chất ngày nay chỉ cấu thành từ các hạt, không có bằng chứng cho phản vật chất được cấu thành từ các phản hạt, gọi là vấn đề bất đối xứng vật chấ

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ NHUNG

ỨNG DỤNG CỦA NHÓM LIE TRONG XÂY DỰNG CÁC MÔ HÌNH THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN

T.S PHÙNG VĂN ĐỒNG

Hà Nội, năm 2015

Nguyễn Thị Nhung K37 Vật Lý

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy

Phùng Văn Đồng vì thầy đã tận tình hướng dẫn, chia sẻ những kinh nghiệm qúy báu để tôi có thể dễ dàng tiếp thu và hoàn thành khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hoàng Ngọc Long và cô Nguyễn Thu Hương đã truyền dạy cho tôi những kiến thức cơ bản nhất

Xin cảm ơn qúy thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp đã nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi

Xin gửi lời cảm ơn đến qúy thầy cô trong khoa vật lý, trường đại học sư phạm Hà Nội II đã truyền đạt cho tôi những kiến thức cơ bản nhất Đó chính

là cơ sở, nền tảng để tôi hoàn thành khóa luận của mình

Chân thành cảm ơn tới các anh chị lớp cao học vật lý lý thuyết tại Viện vật lý đã tận tình hướng dẫn và cùng tôi trao đổi những kiến thức đã học và các vấn đề trong cuộc sống

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn đến các thành viên trong gia đình của tôi, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Nguyễn Thị Nhung

Nguyễn Thị Nhung K37 Vật Lý

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 : NHÓM LIE 6

1.1 Nhóm Lie 6

1.2 Phương pháp weight cho SU(2) 13

1.3 Phương pháp tensor cho SU(3) 18

1.4 Phương pháp bảng Young cho SU(N) 22

CHƯƠNG 2 : ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ MẪU QUARK 31

2.1 Đối xứng với nhóm giao hoán U(1) 31

2.2 Đối xứng chuẩn với nhóm không giao hoán SU(2) 36

2.3 Mẫu quak 40

2.4 Nhóm SU(3) trong tương tác mạnh (QCD) 43

CHƯƠNG 3 : MÔ HÌNH CHUẨN 47

3.1 Nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L U(1)Y 47

3.2 Toán tử điện tích và siêu tích yếu 48

3.3 Biến đổi chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y 50

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

Nguyễn Thị Nhung 1 K37 Vật Lý

MỞ ĐẦU

Kể từ khi có nền văn minh nhân loại, con người đã rất tò mò, hiếu kỳ trước thế giới tự nhiên Họ dần dần hiểu được những quy luật đơn giản như ngày đêm, tháng và năm Họ cũng hiểu được sự chuyển hoá của vật chất từ dạng này sang dạng khác, như mộc sinh hỏa, hỏa sinh thổ v.v Nhận thức của con người dần dần rộng hơn, sâu sắc hơn phản ánh đúng hiện tượng hơn Một điều không thể phủ nhận, xã hội phát triển mạnh như ngày nay chính nhờ vào những nhận thức

đó, những sáng chế đó Đây cũng là yếu tố cổ vũ, thúc đẩy con người chinh phục

và không khuất phục trước những bí ẩn của vũ trụ Những câu hỏi về tự nhiên đã được đúc kết lại: “ Cái gì cấu thành nên vũ trụ? Luật cơ bản nào tri phối vận động nào của nó? Nguồn gốc của vũ trụ là gì? Nó kết thúc không? Tại sao chúng

ta xuất hiện? ’’ Nếu như trưóc kia chúng chỉ tồn tại trong triết học với những mô

tả định tính, đôi khi cảm tính, thì ngày nay chúng được trả lời bằng những khoa học chính xác – hạt nhân của khoa học chính xác đó là Vật lý học

Trước hết, ta biết rằng vũ trụ này gồm các hạt vật chất thông thường như lepton, quark và các hạt truyền tương tác giữa chúng: photon cho tương tác điện từ,W,Z cho tương tác yếu, gluon cho tương tác mạnh và gravito cho tương tác hấp dẫn Yếu tố đặc biệt còn lại là hạt Higgs khối lượng cho mọi hạt khác Ba tương tác đầu tiên được mô tả thành công bởi mô hình chuẩn và làm việc ở thang vi mô như phân tử, nguyên tử, hạt nhân, các hạt cơ bản Tương tác hấp dẫn được mô tả thành công bởi thuyết tương đối rộng ở thang vĩ mô như trái đất, mặt trời, sao, thiên hà khi các hạt cơ bản cô đặc Có một điều ta chưa hiểu tường tận

là vật chất ngày nay chỉ cấu thành từ các hạt, không có bằng chứng cho phản vật chất được cấu thành từ các phản hạt, gọi là vấn đề bất đối xứng vật chất – phản vật chất (vì theo mô hình chuẩn số hạt phải bằng số phản hạt ) Ngoài ra, vật chất

Nguyễn Thị Nhung 2 K37 Vật Lý

thông thường chỉ tồn tại dưới dạng thiên hà, tinh vân, neutrino, bức xạ và chiếm

chỉ khoảng 5 thành phần vật chất vũ trụ

Còn hai loại vật chất khác chiếm đến 95 thành phần vật chất vũ trụ là vật

chất tối và năng lượng tối, không có trong và cũng không được mô tả bởi các lý

thuyết chính thống của chúng ta, mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng (không

kể hằng số vũ trụ ).Vật chất tối (chiếm 25 vật chất vũ trụ) đổ đầy các thiên hà

và mở rộng ra vỏ ngoài thiên hà ở một thang lớn Chúng trung hoà điện, không

hấp thụ và bức xạ ánh sáng Hiệu ứng mạnh nhất là thông qua tương tác hấp dẫn

và có thể được ghi nhận thông qua năng kính hấp dẫn Chúng gây nên sự phân

bố vận tốc gần như không đổi của các sao khi quay quanh tâm thiên hà, và đây

chính là bằng chứng đầu tiên chúng ta biết về nó Năng lượng tối choán đầy vũ

trụ, chiếm đến 70 vật chất vũ trụ Một đặc tính của năng lượng tối là nó sẽ sinh

lực hấp dẫn là lực đẩy khi các thiên hà nằm trong đó Điều này giải thích cho

hiện tượng các thiên hà đang dần xa nhau với vận tốc tăng dần (sự giãn gia tốc

của vũ trụ ), quan sát được hơn mười năm qua

Hiểu biết của chúng ta được tổng kết ở mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng - những nền tảng cơ xở của vật lý hiện đại Vì vậy, trước hết chúng ta hãy

điểm qua những học thuyết này Có ba yếu tố cơ sở hình thành nên mô hình

chuẩn là 1) Đối xứng chuẩn , (2) phá võ đối xứng tự phát , và (3) mẫu quark

Đối xứng chuẩn Abelian U(1) cho tương tác điện từ được ghi nhận trực tiếp

từ điện động lực Maxwell như một hệ quả do Weyl (1918)và Pauli (1941) Điện

động lực học vì vậy ẩn ý rằng đối xứng chuẩn chính là ngôn ngữ của các tương

tác cơ bản Thực vậy , năm 1954 Yang và Mills đã xây dựng thành công lý

thuyết chuẩn dựa trên nhóm không Abelian Đối xứng chuẩn của mô hình chuẩn

SU(3) ⨂ SU(2) ⨂ U(1) cho ba tương tác điện từ , yếu và mạnh là hệ quả của

những phát minh đó Tương tự ,thuyết tương đối rộng cho tương tác hấp dẫn

Nguyễn Thị Nhung 3 K37 Vật Lý

chính là một lý thuyết chuẩn dựa trên hình học Riemann được xây dựng năm

1916 bởi Einstein Một đặc tính của lý thuyết là các trường truyền tương tác không có khối lượng do bất biến chuẩn Điều này tốt cho tương tác điện từ, mạnh và hấp dẫn Tuy nhiên, tương tác yếu là tương tác tầm gần, các hạt truyền tương tác W, Z phải có khối lượng lớn Làm sao sinh khối lượng cho W,Z mà vẫn bảo toàn đối xứng chuẩn

Khó khăn đó được khắc phục bởi hiện tương phá vỡ đối xứng tự phát cholý thuyết chuẩn, thông qua cơ chế Higgs Đối xứng chuẩn là đối xứng của Lagrangian không phải đối xứng của chân không Trường vô hướng thực hiện phá vỡ đối xứng gồm hai phần, phần thực và phần ảo Phần thực, gọi là hạt Higgs, sẽ có trung bình chân không và cho khối lượng đến mọi hạt khác kể cả boson chuẩn khi chúng tương tác với Higgs Khi boson chuẩn nhận khối lượng,

số bậc tự do của nó tăng từ 2 lên 3 Bậc tự do mới, thành phần dọc của trường chttuẩn, chính là phần ảo của trường vô hướng hạt Goldstone Ta nói boson chuẩn ăn hạt Goldstone, khắc phục khó khăn của định lý Goldstone cho lý thuyết với đối xứng toàn cục

Những năm 1961-1964 là những năm có ý nghĩa nhất đối với sự phát triển của tương tác mạnh thứ mà gắn kết proton và neutron cấu thành nên hạt nhân Gell- Mann, Ne’eman, Nishijima và Zweig đã khám phá ra rằng các hardron trong đó có proton, neutron và meson được cấu thành và được phân loại bởi các hạt cơ sở hơn gọi là quark Một năm sau, năm 1965, người ta nhận ra rằng các quark phải có thêm một số lượng tử mới (gọi là mầu) như biểu diễn cơ sở của đối xứng chuẩn mới SU(3)C Lý thuyết tương tác mạnh QCD giữa các quark thông qua hạt truyền tương tác gluon ngay sau đó hình thành Vì các hadron không có màu tích, baryon xây dựng từ 3 quark và meson từ 2 quark sao cho bất biến với nhóm màu Các đặc tính của QCD là khi các quark gần nhau chúng coi như

Mô hình chuẩn với hai phần cơ sở là lý thuyết điện yếu GWS (SU ⨂ U(2)Y) và sắc động lực học QAD (SU(3)C) với đối xứng chuẩn SU(3)C⨂ SU(2)L

⨂ U(2)Y Các fermion được xếp theo thế hệ: thế hệ 1gồm , e, u, d, thế hệ 2 gồm , μ, c, s và thế hệ 3 gồm , , t, b Mỗi fermion có hai thành phần: phân cực trái và phân cực phải Riêng neutrino chỉ có phân cực trái Các thành phần trái phải là cấu thành cơ sở của mô hình chuẩn: hạt trái được xếp vào lưỡng tuyến SU(2)L, trong khi hạt phải là đơn tuyến của nhóm này Các quark nằm trong tam tuyến của SU(3)C, trong khi lepton là đơn tuyến Siêu tích yếu Y = Q -, trong đó isospin yếu và Q là điện tích Phá vỡ đối xứng điện yếu và sinh khối lượng được thực hiện thông qua cơ chế Higgs với một lưỡng tuyến vô hướng , ) , 𝑣 + H + i Khi này, đối xứng chuẩn bị phá vỡ thành SU(3)C⨂ SU(2)L⨂ U(2)Y SU(3)C⨂ U(1)Q Các hạt truyền tương tác yếu , Z cà fermion (trừ neutrino) nhận khối lượng tỉ lệ với 𝑣 thông qua tương tác với H Phhoton gắn với U và các gluon gắn với SU có khối lượng bằng không và là các hạt Goldstone có khối lượng bằng không và bị ăn bởi các boson chuẩn khối lượng và Z (chúng không phải là hạt vật lý ) Hạt Higgls

H là hạt vật lý đã được tìm thấy trong thực nghiệm LHC năm 2012 với khối lượng 125 Gev Mô hình chuẩn với ba thế hệ fermion cùng với các hạt truyền tương tác mạnh, yếu, điện từ và hạt sinh khối lương H giải thích mọi hiện tượng

vi mô liên quan đến 5 vật chất thông thường của vũ trụ với độ chính xác rất cao, hơn 99 so với giá trị thực nghiệm Kết hợp với tương tác hấp dẫn tác dụng

Nguyễn Thị Nhung 5 K37 Vật Lý

của thang vĩ mô, mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng là hai trụ cột của vật lý hiện đại, mô tả thành công vật lý từ thang hạt cơ bản đến vũ trụ tổng thể Vừa qua,năm 2013,giải Nobel đã chao cho Higgs và Englert vì đã phát minh ra Higgs năm 1964 Ngoài việc sinh khối lượng,Higgs còn có ý nghĩa sau : tiến hoá của vũ trụ kể từ sau bigbang sẽ theo cách mà sự sống xuất hiện Không có Higgs sẽ không có chúng ta như ngày nay Nhằm phần nào tìm hiểu các lý thuyết nói trên, trong luận văn này em sẽ đề cập về lý thuyết nhóm liên tục, nhóm Lie, và ứng dụng của nhóm Lie trong mô hình xây dựng các mô hình thống nhất tương tác Tên đề tài được chọn là: “ Ứng dụng của nhóm Lie trong các mô hình thống nhất tương tác’’

Nguyễn Thị Nhung 6 K37 Vật Lý

CHƯƠNG 1 : NHÓM LIE

Phần này tôi giới thiệu chung về các khái niệm nhóm Lie như vi tử của nhóm, biểu diễn nhóm và xây dựng đại số Lie về mối quan hệ giữa các vi tử qua hằng số cấu trúc của nhóm Từ hằng số cấu trúc lại xây dựng được một biểu diễn gọi là biểu diễn phó tác động lên không gian vi tử Lại áp dụng đại số Lie và biểu diễn phó cho các nhóm unita chéo hoá ma trận đó, và yêu cầu tất cả các trị riêng của toán tử chéo xác định dương sẽ xây dựng được đại số Lie compact tiện lợi với các biểu diễn đơn giản Sẽ lấy ví dụ cụ thể cho các nhóm SU(2), SU(3)

Khi đó biểu diễn của nhóm gồm các toán tử tuyến tính cũng tham số hóa theo cùng cách đó gọi là toán tử đơn vị

Xét 1 lân cận đủ nhỏ quanh , ta có thể khai triển Taylor:

Nguyễn Thị Nhung 7 K37 Vật Lý

Nếu hữu hạn, ta chia thành đoạn bằng nhau thì:

[ ] i

Nhóm Lie là nhóm liên tục, tức là các yếu tố nhóm đóng kín (gần nhau tùy ý) khi đóng kín Và các biểu biễn của yếu tố nhóm cũng sẽ đóng kín, tức là với

thì

Như vậy, nếu liên tục và khả vi theo đến mọi cấp, hay giải tích theo , ta nói nhóm là nhóm Lie Trong tài liệu người ta gọi đơn giản nhóm Lie là nhóm liên tục

Ví dụ cho nhóm SU(N):

SU(N) gồm các ma trận unita với det=1 tạo thành một nhóm

Tính đóng kín:

, , , ,

Nguyễn Thị Nhung 8 K37 Vật Lý

( là nghịch đảo của )

Tính chất của nhóm SU(N):

U =

N N

+) Số tham số thực: 2N2

+) Điều kiện Unita: , N2

phương trình biến thực +) Điều kiện det = 1  một phương trình biến thực

Số tham số thực độc lập : 2N2 – N2 – 1 = N2 – 1

Số vi tử: N2 – 1

Vậy với cách tham số hóa lũy thừa như trên thì mối quan hệ giữa các vi tử tương ứng là như thế nào? Để biết được điểu đó, ta sẽ tìm hiểu đaị số Lie

1.1.2 Đại số Lie

Ta sẽ chứng minh được với là hằng số cấu trúc của nhóm Lie

Chứng minh:

Theo luật nhân nhóm:





Xét , , đủ nhỏ, lấy ln hai vế ta có: ( ) n

[ ] [ ]

Nguyễn Thị Nhung 9 K37 Vật Lý

Ta có:

[ ]

Mà:



 [ , ]

Hay: [ , ] , , ,

Hệ thức đúng cho mọi hệ số , , bất kỳ Đặt tương ứng:

[ , ]

[ , ]

Trong đó: là hằng số cấu trúc của nhóm, có tính phản đối xứng theo , 1.1.3 Biểu diễn phó Bản thân các vi tử, hay nói cách khác là hằng số cấu trúc sẽ sinh ra một biểu diễn tác động lên không gian biểu diễn của các vi tử gọi là biểu diễn phó [ , ]

Ta hoàn toàn chứng minh được: [ , ]

Chứng minh:

Nguyễn Thị Nhung 10 K37 Vật Lý

Từ đồng nhất thức Jacobi:

[ , [ , ]] [ , [ , ]] [ , [ , ]]

[ , [ , ]] [ , [ , ]] [[ , ], ]  [ , ] [ , ] [ , ]







Xét: [ , ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

à

[ ]

[ , ] [ ]

[ , ]

Vậy ta có điều phải chứng minh 1.1.4 Đại số Lie compact Vết của tích 2 biểu diễn phó có thể chéo hóa và giả sử rằng các trị riêng của toán tử chéo xã định dương và chọn để bằng thì định nghĩa được đại số Lie compact ,

Để chứng minh ta có:

Nguyễn Thị Nhung 11 K37 Vật Lý

Xét , với các nhóm unita, trong đó là số thực, và đối xứng theo , có thể chéo hóa, là ma trận unita

tác động trong không gian N chiều Để tìm (biểu diễn phó bị thay đổi) ta xét sự thay đổi của các không gian vi tử vì ma trận tác động lên đó thông qua hằng số cấu trúc

L: là ma trận chuyển cơ sở

L

 

[ , ]

 [ , ]



 [ ] [ ]

 [ ] [ ]



Như vậy, ta đã chéo hoá được ma trận về ma trận ⨂ dạng chéo Trong đó , , , là các trị riêng của + Nếu mọi , , , , thì có thể chọn để mọi , lúc này ta có đại số Lie compact:

Ví dụ: Nhóm SU(N), SO(N) thuộc loại này + Nếu tồn tại một và một thì đại số Lie không compact Ví dụ: Nhóm Lorentz O(1,3), O(N) + Nếu tồn tại thì chuẩn của vi tử tương ứng triệt tiêu ,

Ví dụ: Nhóm Abelian + Nếu thì

Vậy chỉ cho chuẩn của vi tử về λ, không đổi dấu của

Nguyễn Thị Nhung 12 K37 Vật Lý

1.1.5 Đại số Lie đơn và nửa đơn

a) Đại số đơn và nhóm nửa đơn

Trước khi định nghĩa đại số đơn, ta có khái niệm đại số con bất biến

Cho đại số Lie gồm các vi tử { } Một tập hợp con { }của { }gọi là đại số con bất biến nếu có thành chính nó khi giao hoán với một vi tử bất kỳ thuộc { } Tức là:

{ , } { } Một đại số Lie gọi là đơn nếu nó không có đại số con bất biến nào khác chính nó và { }, tức là không tồn tại số con không tầm thường Từ đây ta có định nghĩa của nhóm đơn là không tồn tại nhóm con bất biến không tầm thường Ví

dụ SU(N) là nhóm đơn vì tập hợp các vi tử cuả nhóm { }tạo thành đại số đơn SO(3) đẳng cấu với SU(2) cũng là một đại số đơn Nhưng nhóm SO(4) chứa nhóm con bất biến là SO(3) thì lại không phải là nhóm đơn

b) Đại số nửa đơn và nhóm nửa đơn

Trước khi định nghĩa đại số nửa đơn ta có khái niệm đại số con bất biến giao hoán (abelian)

Cho đại số Lie gồm các vi tử { } Nếu tồn tại một vi tử N mà giao hoán với mọi

vi tử còn lại thì bản thân N tạo thành một đại số con bất biến gọi là đại số con bất biến abelian [ , ] Nhóm mà có duy nhất một vi tử như thế chính là nhóm U(1), tương ứng với phép biểu diễn gọi là thừa số abelian

Một đại số Lie { }gọi là nửa đơn nếu nó không có đại số con bất biến abelian nào kể cả chính nó Bởi vì nếu có đại số đó cũng sẽ giao hoán với mọi vi tử khác của nhóm Như vậy không gian toàn bộ đại số lại có thể tách thành tổng trực tiếp của các không gian của đại số đơn, bởi:

{ } { } { } { }

Nguyễn Thị Nhung 13 K37 Vật Lý

Và nhóm nửa đơn sẽ là tích trực tiếp của nhóm đơn

Ví dụ SU(3) ⨂ SU(2) là nhóm nửa đơn

1.2 Phương pháp weight cho SU(2)

Muốn tìm các biểu diễn của nhóm Lie, ta bắt đầu với các biểu diễn của đại số Lie cuả nhóm, sau đó chuyển sang các biểu diễn của nhóm bằng cách tham số hóa lũy thừa Việc xây dựng các biểu diễn bất khả quy của đại số Lie bắt đầu xây dựng một không gian biểu diễn mà có thể thực hiện nhờ các toán tử sinh hủy hoặc các vi tử nâng hạ wieght Các vi tử nâng hạ wieght lại được xây dựng chính

từ vi tử của nhóm không phải vi tử cartan Chú ý SU(2) là thuộc nhóm unita nên

vi tử biểu diễn được chọn sẽ là hermitian

Sau đây tội sẽ trình bày phương pháp weight để xây dựng biểu diễn của nhóm Lie compact đơn giản nhất SU(2)

1.2.1 Vi tử Cartan

Gọi là vi tử chéo của SU(2) Ta có: m m m

1.2.2 Vi tử nâng hạ wieght

Xét biểu diễn định nghĩa của SU(2), là biểu diễn có số chiều bằng chiều của nhóm, tức là sẽ xây dựng các ma trận biểu diễn của các vi tử Các biểu diễn khác có thể suy ra từ biểu diễn định nghĩa Như vậy sẽ có hai trị riêng ứng với 2 vectơ riêng có thể chọn làm vecter cơ sở của biểu diễn

Ta đưa ra một số khái niệm:

- Các trị riêng của vi tử chéo gọi là weight  m

- Các vecter riêng của vi tử chéo gọi là vecter weight  m

- Trị riêng lớn nhất của vi tử chéo gọi là hight weight, ta ký hiệu là

a)Vi tử nâng hạ wieght

Trong cơ sở mà chéo hóa thì ta định nghĩa các vi tử nâng hạ , như sau

√

Ý nghĩa vật lý của các vi tử nâng hạ trong cơ học lựơng tử chính là toán tử nâng

hạ spin, còn trong mô hình chuẩn thì chúng là vi tử của các boson chuẩn

Từ đại số của nhóm SU(2) ta chứng minh được:

[ , ]

+ Các vi tử đã nâng weight lên một đơn vị

+ Các vi tử đã hạ weight xuống một đơn vị

Vậy, từ một vectơ m biết trước, sử dụng vi tử nâng hạ weight ta có thể tìm ra tất

cả các vectơ còn lại cuả không gian biểu diễn Chỉ cần ta tìm được công thức tính giá trị riêng của các vi tử nâng hạ weight

b) Trị riêng của vi tử nâng hạ weight

Bởi vì làm việc với vi tử nâng và hạ là tương đương nên ta chọn vectơ riêng ứng với weight cao nhất của vi tử chéo và sử dụng vi tử hạ để tìm các vectơ còn lại

Ta sử dụng ký hiệu chuẩn jm cở sở trực chuẩn cho không gian biểu diễn spin

m trạng thái của xung lượng

Các yếu tố ma trận ứng với spin j có 2j+1 giá trị m: {j, j-1,…,1, 0, -1,…,-j}

Nguyễn Thị Nhung 16 K37 Vật Lý

có 2j+1 các trạng thái jj jj 1 0 j j j

Chiều của biểu diễn

Không gian biểu diễn:

jm jm ,

jm jm 1 '

jm jm ,

1.2.3 Ứng dụng phương pháp weight với SU(2)

Biểu diễn định nghĩa của SU(2) chính là biểu diễn trong không gian 2 chiều với nên, ta có các trạng thái weight 1 1 , 1 1

 Ta cũng hoàn toàn làm phương

pháp weight được với spin1, spin1

2,….và tổng quát cho cả đại số cartan

Mục đích của weight:

- Xây dựng không gian biểu diễn

- Xây dựng biểu diễn bất khả quy

Ví dụ, cụ thể tìm yếu tố ma trận của spin1

Nguyễn Thị Nhung 18 K37 Vật Lý

√ ( )

√

( )

1.3 Phương pháp tensor cho SU(3)

Ở phần này tôi trình bày về phương pháp tensor, bao gồm xây dựng các biểu diễn cao chiều từ việc lấy tích tensor của các biểu diễn cơ sở, biểu diễn liên hợp

và ngược chiều, tách biểu diễn nhìn chung không bất khả quy của các tích tensor này thành tổng của các biểu diễn bất khả quy thành phần Tôi sẽ làm cụ thể cho SU(3)

1.3.1 Tích tensor

Xét , là hai biểu diễn của

ứng với biểu diễn N chiều với các vectơ cơ sở i ,i 1, ,N

ứng với biểu diễn M chiều với các vectơ cơ sở x ,x 1, ,M

Vậy, tích tensor ứng với vectơ cơ sở ix  i x ,và tích tensơ ứng với biểu diễn chiều

ix ⨂ i x

a) Biểu diễn tích tensor

Từ tích trực tiếp của một nhóm: ix ⨂ i x thì ta có thể biểu diễn nào

đó minh họa cho nhóm SU(2) mà từ đó, ta có biểu diễn tích tensor như sau:

jy ⨂ ix j i y x

Nguyễn Thị Nhung 19 K37 Vật Lý

[ ⨂ ] , [ ] [ ]

Ta khai triển vô cùng bé (chỉ giữ lại bậc nhất) ta có, công thức tổng quát:

[ ⨂ ] , [ ] [ ] Tích tensor hay tích biểu diễn chính là cộng vi tử

Vi tử tác động lên không gian tích tensor bằng tổng các vi tử tác động lên không gian thành phần

i x ( i ) x i ( x )

Ví dụ tìm ⨂ cho SU(2)

Biểu diễn 2của SU(2) ứng với biểu diễn spin

Biểu diễn 3của SU(2) ứng với biểu diễn spin

Biểu diễn bốn chiều của spin3

2với bốn vectơ của biểu diễn tensor đôi một trực giao nhau

1.3.2 Tích tensor của SU(3)

SU(3) có hai biểu diễn cơ bản, là biểu diễn cơ sở và là biểu diễn phản cơ

sở Từ đó ta lấy tích tensor ⨂ , trong đó, ⨂ sinh ra mọi biểu diễn khác nhau, mọi biểu diễn có thể xác định theo các biểu diễn cơ bản + Biểu diễn cơ sở:

Nguyễn Thị Nhung 22 K37 Vật Lý

Biểu diễn bất khả quy chiều phản đối xứng (0,1)

Vậy: ⨂ ⨂

b) có thành phần tensor , có thành phần tensor

 ⨂

Vậy: ⨂

1.4 Phương pháp bảng Young cho SU(N)

Ở cuối của phần này là phương pháp bảng Young Ta biết rằng các biểu diễn bất biế khả quy của nhóm unita có thể thực hiện bằng bằng bảng Young Các tensor hoàn phản xứng và không vết cũng sẽ cho một bảng Young Vậy thay vì biểu diễn tích tensor phức tạp ta sẽ đưa về biểu diễn dạng bảng Young với những quy tắc nhân bảng Young đơn giản tiện lợi hơn

1.4.1 Bảng Young

a Nhóm SU(3)

Ta thấy SU(3) có hai biểu diễn cơ bản , Từ hai biểu diễn cơ bản có thể sinh

ra biểu diễn bất kỳ ⨂ , đối xứng theo và phản đối xứng theo , chứa mọi biểu diễn cần tìm

Đối xứng hóa các chỉ số thích hợp sẽ cho biểu diễn bất khả quy tương ứng

Cho tensor tổng quát:

biến đổi như V

Tính chất của

đối xứng theo các cặp , , đối xứng theo ℓ

Nguyễn Thị Nhung 23 K37 Vật Lý

phản đối xứng theo mỗi cặp , , phản đối xứng theo ℓ

Để rút các biểu diễn tensor này về biểu diễn bất khả quy ta làm như sau:

Tìm biểu diễn bất khả quy của với weight cao nhất

Đối xứng theo , đối xứng theo

Phản đối xứng theo

Vế trái với điều kiện không vết: 

Vế phải với điều kiện không vết: đối xứng theo

mà (một tensor luôn biểu diễn được thành một đối xứng và phản đối xứng)

Một tensor như thế này đối xứng theo và đối xứng theo cặp , đối xứng theo , , phản đối xứng theo , , không vết tự động thoả mãn sẽ cho một bảng Young

Biểu diễn bất khả quy qua bảng Young

Các cặp phản đối xứng tương đương xếp vào một cột

Những đơn i cunxg là cột, nhưng chỉ 1 ô (giữa i và các cặp là đối xứng nên đặt i tương đương k là đủ)

Đối xứng theo các ô trên hàng, phản đối xứng theo các ô trên cột

b) Quy tắc tính chiều biểu diễn bất khả quy của một bảng Young

1.4.2 Quy tắc nhân bảng Young

Bảng Young cho một biểu diễn bất khả quy bất kỳ từ biểu diễn cơ bản

Cho hai bảng 2 biểu diễn bất khả quy ,

Để tính ⨂ ta có quy tắc:

Bước 1:

Nhặt mọi ô trên hàng thứ nhất của là

Nhặt mọi ô trên hàng thứ hai của là

(Tất cả các ô trên một hàng là như nhau)

Bước 2:

Nhặt mọi hàng 1 đặt vào theo bên phải và ở dưới ,không có hai ô trên 1 cột cùng số ,vì sự phản đối xứng sẽ làm nó triệt tiêu Vậy bảng thu được là bảng chuẩn

Các ô trên hàng không tăng khi sang phải

Bước 3: