Bài 6: Giải các phương trình sau: Bài 6: Giải các phương trình sau: a. tan (2x + 1)tan (3x - 1) = 1; b. tan x + tan (x + ) = 1 Lời giải: a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1 ⇔ = 1. Với điều kiện cos(2x + 1)cos(3x - 1) ≠ 0 phương trình tương đương với cos(2x + 1)cos(3x - 1) - sin(2x + 1)sin(3x - 1) = 0 ⇔ cos(2x + 1 + 3x - 1) = 0 ⇔ 5x = + k π ⇔ x = + , k ∈ Z. Cần chọn các k nguyên để x = + không thỏa mãn điều kiện của phương trình (để loại bỏ). Điều này chỉ xảy ra trong các trường hợp sau: (i) x = + làm cho cos(2x + 1) = 0, tức là cos[2( + ) + 1] = 0 ⇔ + 1 = + lπ, (l ∈ Z) ⇔ π( - ) = 1 ⇔ π = , suy ra π ∈ Q, vô lí. Vì vậy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(2x + 1) = 0. (ii) x = + làm cho cos(3x - 1) = 0. Tương tự (i),ta cũng thấy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(3x - 1) = 0. Vậy ∀ k ∈ Z, x = + đều là nghiệm của phương trình đã cho. b) Đặt t = tan x, phương trình trở thành t + = 1 ⇔ -t2 + 3t = 0 (điều kiện t ≠ 1) ⇔ t = 0 hoặc t = 3 (thỏa mãn) Vậy tan x = 0 ⇔ x = kπ tan x = 3 ⇔ x = arctan 3 + kπ (k ∈ Z)
Trang 1Bài 6: Giải các phương trình sau:
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a tan (2x + 1)tan (3x - 1) = 1; b tan x + tan (x + ) = 1
Lời giải:
a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1 ⇔ = 1
Với điều kiện cos(2x + 1)cos(3x - 1) ≠ 0 phương trình tương đương với
cos(2x + 1)cos(3x - 1) - sin(2x + 1)sin(3x - 1) = 0
cos(2x + 1 + 3x - 1) = 0 5x =
Cần chọn các k nguyên để x = + không thỏa mãn điều kiện của phương trình (để loại bỏ) Điều này chỉ xảy ra trong các trường hợp sau:
(i) x = + làm cho cos(2x + 1) = 0, tức là
cos[2( + ) + 1] = 0 ⇔ + 1 = + lπ, (l Z)∈
π(
⇔ - ) = 1 π = ⇔ , suy ra π Q, vô lí ∈
Vì vậy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(2x + 1) = 0
(ii) x = + làm cho cos(3x - 1) = 0 Tương tự (i),ta cũng thấy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(3x - 1) = 0
Vậy k ∀ k ∈ ∈ Z, x = + đều là nghiệm của phương trình đã cho
b) Đặt t = tan x, phương trình trở thành
t + = 1 ⇔ -t2 + 3t = 0 (điều kiện t ≠ 1) ⇔ t = 0 hoặc t = 3 (thỏa mãn)
Vậy tan x = 0 x = kπ⇔
tan x = 3 x = arctan 3 + kπ (k Z)⇔ ∈