skkn hướng dẫn học sinh sử dụng sơ đồ tư duy tìm hướng chứng minh bài tập hình học 7

Tuy nhiên đa phần học sinh lớp 7 rất sợ môn hình học vì các em không biết lí luận mà chỉ quen với việc quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi đến kết quả, một lí do khác không kém p

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG SƠ

ĐỒ TƯ DUY TÌM HƯỚNG CHỨNG MINH BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 7

A.PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình THCS thì Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi

có sự tư duy cao trong quá trình lĩnh hội Đặc biệt là hình học, đây là môn học đòi hỏi các em phải có khả năng lập luận và tư duy tốt Tuy nhiên đa phần học sinh lớp 7 rất sợ môn hình học vì các em không biết lí luận mà chỉ quen với việc quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi đến kết quả, một lí do khác không kém phần quan trọng làm cho học sinh lớp 7 sợ học hình là đa số các tiết lí thuyết các em vẫn tiếp thu kiến thức mới theo kiểu lớp 6, ít được rèn chứng minh nhưng sau bài định lí thì lượng bài tập đòi hỏi học sinh phải chứng minh tăng rõ rệt Vì vậy những tiết giải bài tập hình học thường giáo viên là người cung cấp mọi kiến thức, giáo viên hầu như thực hành hết các bước từ phân tích tìm lời giải cho đến bước cuối cùng là trình bày lời giải đó, còn học sinh thì vẫn thụ động chép những kiến thức mà giáo viên đã tìm sẵn, và khi không có sự hướng dẫn của giáo viên thì các em khó tìm ra phương pháp chứng minh mà chỉ chứng minh theo quán tính Vì vậy giáo viên cần “Hướng dẫn học sinh sử dụng sơ đồ tư duy tìm hướng chứng minh bài tập hình học lớp 7” để các em

có thể chủ động tìm ra hướng giải bài tập một cách nhanh chóng và khoa học nhất Đó chính là lý do tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm này

II.CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Trong quá trình nâng cao chất lượng dạy toán ở trường trung học cơ sở, thì việc dạy học sinh giải bài tập hình học là công việc khó đòi hỏi người giáo viên phải

có phương pháp phù hợp mới đạt kết qủa cao Phương pháp dạy phải khơi gợi ở

các em lòng ham mê khám phá, luôn mong muốn tự tìm tòi kiến thức mới, phát huy tính tư duy tích cực của học sinh Đây là một vấn đề mấu chốt nhằm

đào tạo ra những con người năng động cho mai sau

III.CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Trong quá trình giảng dạy ở trường trung học cơ sở nhiều giáo viên nói chung và giáo viên toán nói riêng đã luôn cố gắng cải tiến phương pháp giảng

dạy theo phương pháp mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinh, đem toán học trở nên gần với cuộc sống thực tiễn hơn, trong đó việc sử dụng sơ đồ tư duy

để tổng kết bài học, tìm ra phương pháp chứng minh được áp dụng thường xuyên nhưng ít giáo viên hướng dẫn học sinh cách viết sơ đồ tư duy để tìm ra phương pháp chứng minh bài toán hình Để lập một sơ đồ tư duy đôi khi phải qua nhiều công đoạn nên tùy theo khả năng của từng học sinh và tùy theo giai đoạn người giáo viên phải biết khéo léo giao việc cho các em nhằm kích thích hứng thú và phát huy tính năng động, sáng tạo của từng học sinh trong quá trình giải bài tập hình học

IV MỤC ĐÍCH, PHƯƠNG PHÁP, NỘI DUNG, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

1.Mục đích:

“Hướng dẫn học sinh sử dụng sơ đồ tư duy tìm hướng chứng minh bài tập hình học lớp 7” giúp cho học sinh biết cách tìm ra phương pháp chứng

minh thích hợp cho một bài tập hình học, từ đó giúp các em hứng thú hơn trong giờ học và giải bài tập, tránh tình trạng học sinh chỉ trông chờ vào gợi ý của giáo viên và trình bày lại bài giải Nhằm phát huy cao nhất tính hợp tác, tích cực tự giác, tập trung suy nghĩ, sáng tạo của học sinh Học sinh sẽ nhanh chóng tìm

được lời giải cho một bài chứng minh hình học qua loạt câu hỏi “Để chứng

minh vấn đề A cần chứng minh theo hướng nào? Theo hướng đó thì yếu tố nào

đã có từ đề bài, yếu tố nào cần phải chứng minh tiếp? ” Đó là các câu hỏi

thường xuyên được đặt ra và học sinh phải trả lời được các câu hỏi ấy để hoàn thành bài chứng minh của mình

2.Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp theo dõi, phát hiện sự việc

Phương pháp đối chứng

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

3.Nội dung, đối tượng áp dụng:

a) Nội dung:

- Chứng minh bằng nhau: Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tam giác bằng nhau…ứng dụng để: So sánh góc, đoạn thẳng, chứng minh trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác của góc…

- Chứng minh song song:

- Chứng minh vuông góc

b) Đối tượng:

- Học sinh khối 7

B PHẦN NỘI DUNG

I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:

1) Thuận lợi:

- Đối tượng học sinh được chọn áp dụng cho đề tài này có khả năng tiếp thu bài khá tốt

- Được BGH quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu

- Được các giáo viên trong trường và bạn bè đóng góp, giúp đỡ, phương tiện dạy học được đáp ứng kịp thời

2) Khó khăn:

-Đa số các em chưa quen với lập luận toán học, câu từ chưa rõ ràng, các em làm toán quen với việc nhìn hình và khẳng định

-Trình độ tiếp thu giữa các học sinh không đồng đều dẫn đến hoạt động dạy học còn hạn chế

-Sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống luận lý, không tổng hợp từng loại làm cho người mới học không nắm được những phương pháp chứng minh cơ bản cho mỗi lượng kiến thức

3) Mâu thuẫn:

-Đa số kiến thức trong sách giáo khoa được các em tiếp nhận qua phương pháp quan sát, vẽ hình, đo đạc, thừa nhận không chứng minh, bài tập cũng đa phần được chứng minh sẵn theo các ý và các em chỉ cần sắp xếp khoa học các ý

đó, lượng bài có chứng minh không nhiều, song đa phần các bài kiểm tra đều yêu cầu các em phải chứng minh làm các em lúng tứng không biết định hướng

chứng minh như thế nào Và học sinh cũng đã từng hỏi giáo viên: “Làm thế nào

để nghĩ ra cách chứng minh phù hợp cho một bài tập?” chính vì thế giáo viên cần chú ý rèn luyện khả năng tư duy của học sinh qua quá trình viết sơ đồ tư duy cho một bài chứng minh

II BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

1.Giáo viên phải giúp học sinh nhận biết rõ 4 bước để giải một bài tập hình:

a) Tìm hiểu đề bài toán:

+ Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng kí hiệu như thế nào?

+ Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán

+ Dạng toán nào?

+ Kiến thức cơ bản cần có là gì?

Khi vẽ hình giáo viên cần chú ý học sinh một số điểm sau :Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận chẳng hạn đối với đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, đối với các đường thẳng không nên vẽ vuông góc hay song song với nhau, còn tam giác không nên vẽ tam giác cân hay vuông …nếu bài không yêu cầu

b) Lập sơ đồ tư duy:

+Chỉ rõ các bước giải theo một trình tự thích hợp

c) Thực hiện chương trình giải:

+Trình bày bài làm theo các bước đã được chỉ ra Chú ý các sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi

d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

+ Xem xét có sai lầm không, có phải biện luận kết quả không

+ Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để,

2.Giáo viên phải thường xuyên kiểm tra lý thuyết học sinh, giúp học sinh hệ thống lại một số phương pháp chứng minh một nội dung, cụ thể

a) Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau:

+Dựa vào số đo

+Dựa vào hai tam giác bằng nhau

+Dựa vào đoạn thẳng thứ ba, trung điểm của đoạn thẳng

b)Chứng minh các góc bằng nhau:

+Dựa vào số đo

+Dựa vào hai tam giác bằng nhau

+Dựa vào góc thứ ba,tia phân giác của một góc

c)Chứng minh các tam giác bằng nhau:

+Dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác

d)Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

+Dựa vào định nghĩa (cắt nhau tạo ra góc 90 0 )

+Dựa vào đường thẳng thứ ba

e)Chứng minh hai đường thẳng song song:

+Dựa vào dấu hiệu nhận biết (quan hệ giữa các góc so le trong, đồng vị, trong

cùng phía )

+Dựa vào đường thẳng thứ ba (cùng vuông góc, cùng song song)

3.Giáo viên phải chú ý đến từng học sinh, từng giai đoạn mà áp dụng biện pháp phù hợp cho việc lập sơ đồ tư duy:

+Giai đoạn 1: Giáo viên gợi ý – lập sơ đồ cụ thể

+Giai đoạn 2: Giáo viên lập sơ đồ khuyết – học sinh điền khuyết

+Giai đoạn 3: Giáo viên gợi ý – học sinh lập sơ đồ

+Giai đoạn 4: Học sinh tự lập sơ đồ

III PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LẬP SƠ ĐỒ TƯ DUY ĐỂ CHỨNG MINH BÀI TẬP HÌNH HỌC 7

* Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung để giải bài tập hình, ta đi sâu vào hai bước: Tìm hiểu đề bài và hướng dẫn lập sư đồ tư duy

- Bài toán yêu cầu phải chứng minh điều gì? ( Kết luận A)

- Để chứng được kết luận A ta phải chứng minh được điều gì? ( Kết Luận X)

- Để chứng minh được kết luận X ta dựa vào dấu hiệu nào, chứng minh điều gì? ( Kết luận Y)…

-Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã sử dụng được giả thiết của bài toán và các kiến thức đã học trước đó

Sơ đồ phân tích bài toán như sau:

Để chứng minh A Phải cm X Phải cm Y Phải cm Phải cm Z (điều có được từ GT)

IV CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ:

1.Ví dụ 1: (sử dụng giai đoạn 1- giai đoạn 3)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm

E sao cho ME = MA Chứng minh rằng

a) AB = CE

b) AC // BE

Hướng dẫn tìm lời giải:

Sau khi hướng dẫn học sinh vẽ hình

và ghi gt, kl giáo viên yêu cầu học sinh

trả lời các câu hỏi sau và viết thành sơ đồ tư duy:

a) -Để chứng minh AB = CE ta phải chứng minh điều gì?

(GV gợi ý: Dựa vào các tam giác bằng nhau có chứa hai cạnh là hai đoạn thẳng trên: ABM  ECM )

-Theo các em hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp nào?

(GV gợi ý: Hai tam giác này đã có những yếu tố nào bằng nhau? tại sao?ABM  ECM (c – g – c))

AB = CE

ABM  ECM

AM = EM AMBEMC BM = CM

(GT) (Đối đỉnh) (GT)

-Sau đó giáo viên cho học sinh trình bày theo hướng ngược lại (Từ dưới lên)

b) Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dựa vào các dấu hiệu nào? (Học sinh nêu các dấu hiệu – giáo viên hướng cho học sinh nên sử dụng cặp góc

so le trong bằng nhau)

-Để chứng minh AC//BE Ta chứng minh cặp góc nào bằng nhau? ( góc CAE bằng góc BEA hoặc góc ACB bằng góc CBE)

-Muốn chứng minh góc ACB bằng góc CBE ta chứng minh hai tam giác nào bằng nhau?( AMC EMB)

-Từ GT ta đã chứng minh được hai tam giác trên bằng nhau chưa ? Tại sao? (AMC EMB (c – g - c)) Gv để hs tự lập sơ đồ phần 2 tam giác bằng nhau

Sơ đồ phân tích:

AC // BE ACBCBE Hai góc này là hai góc so le trong AMC EMB

AM = EM AMC EMB BM = CM

(GT) (Đối đỉnh) (GT)

Sau đó học sinh trình bày cách chứng minh theo hướng ngược lại (Từ dưới lên)

2.Ví dụ 2: (Sử dụng giai đoạn 4, 2, 1)

Cho tam giác ABC, K là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B kẻ Ax vuông góc với AC và lấy M  Ax sao cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm C kẻ Ay vuông góc với AB và lấy N thuộc Ay sao cho AN = AB Lấy P trên tia đối của tia KA sao cho AK = KP CMR:

a) AC//BP

b) AMN  BPA

c) AK MN

Hướng dẫn tìm lời giải

Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT, KL

a) (Sử dụng giai đoạn 4)

GV để học sinh tự lập sơ đồ tư duy cho câu a

(gọi hs lên bảng trình bày sơ đồ đã tự chuẩn bị)

AC // BP

ACBCBP Hai góc này là hai góc so le trong AKC EKB

AK = EK AKCEKB BK = CK

(GT) (Đối đỉnh) (GT)

Yêu cầu một học sinh nhận xét – trình bày lại bài chứng minh theo sơ đồ tư duy

b) (Sử dụng giai đoạn 2)

GV: Hãy hoàn thành sơ đồ tư duy sau để tìm hướng chứng minh câu b?

(dành 5 phút cho học sinh hoàn thành sơ đồ)

MAN=BPA

………… MAN  ABP …………

(……) (……)

180

BAC180 (………)

AC // BP -Gọi học sinh nhận xét sơ đồ của nhóm làm nhanh nhất

-Gọi học sinh lên bảng hoàn chỉnh bài chứng minh

c) (Sử dụng giai đoạn 1)

Giáo viên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tư duy bằng hệ thống câu hỏi như sau:

- Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta dựa vào các dấu hiệu nào ( Học sinh nhớ lại các dấu hiệu đã học )

- Giáo viên hướng cho học sinh sử dụng dấu hiệu hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc vuông)

-Nếu gọi H là giao điểm của AK và MN thì để chứng minh AK MN ta phải chỉ ra điều gì?

( AHM 90 0 hoặc AHN 90 0)

- Hãy chỉ ra các cách chứng minh AHN 90 0 (HS nêu: AHM  AHN hoặc

0

A HNA )

F E

D

C B

A

-Giáo viên hướng cho học sinh chứng minh 0

A HNA -Tính A1A2 ( = 900)

-Vậy để chứng tỏ 0

A N  ta phải chỉ ra được góc N và góc A2 có quan hệ

gì với nhau? (bằng nhau) CM được vì: AMN  BPA

Sơ đồ tư duy:

AK  MN

90

AHN 

N A1 900

2

N  A 0

A A 

AMN  BPA(cmt)

- Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời giải bài toán trên theo hướng ngược lại

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC, các điểm D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, AC Trên đường thẳng DE lấy điểm F sao cho E là trung điểm của DF Chứng minh rằng:

a) BD=CF

b) DE//BC

Sơ đồ phân tích

BD=AD CF = AD

ADE  CFE

4 3 2 1

F

E

O

D

C

B A

c) Học sinh tự lập sơ đồ (có 2 cách)

Cách 1: DE//BC

CDFBCD

BDC  FCD

………… BDCDCF …………

Cách 2: DE//BC

DFBFBC

BDF  FCB

………… DBFBFC …………

Ví dụ 4: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn

Trên các cạnh AC và BD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE=BF Chứng

minh rằng các điểm E, O, F thẳng hàng

Sơ đồ phân tích:

CM: E, O, F thẳng hàng

0

O O O  O1O4

AOE BOF

AE = BF EAOFBO AO = BO

∆AOC = ∆BOD

OA = OB AOCBOD OC = OD

GT đối đỉnh GT

2 1 M

C B

A

2 1

E

D

C B

A

Ví dụ 5: Hướng dẫn để hs lập sơ đồ

Tam giác ABC cân tại A Phân giác của góc A cắt

cạnh BC tại D M là một điểm nằm giữa A, D

CMR: BMD = CMD

Sơ đồ cơ bản:

BMD=CMD

MB = MC M1 M2 MD chung

ABM  ACM

AB = AC BAM CAM AM Cạnh chung

(gt) (gt)

Ví dụ 6 Tam giác ABC có góc A bằng 900 và AB=AC

Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn

Thẳng BC Kẻ BD và CE vuông góc với xy

CMR: DE=BD+CE

Sơ đồ cơ bản

1

,

DA BD AE EC











Ví dụ 7: (bài 8 trang 109 SGK tập 1)

Cho tam giác ABC có 0

40

BC Gọi Ax là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh

A Hãy chứng tỏ rằng Ax // BC

D

D C B

A

Gọi học sinh vẽ hình ghi Gt, Kl

A

y

x

1 2

Học sinh viết sơ đồ tư duy để tìm hướng chứng minh:(Có sự gợi ý của giáo viên)

2

2

Ax / /

1

40 , 40 2

BC







Bằng cách làm tương tự giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh nhiều

bài tập chứng minh khác bằng cách phân tích ngược như trên Các ví dụ cụ thể

được minh họa trong tiết dạy như sau:

TIẾT 33: LUYỆN TẬP

VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC

Nội dung bài dạy được thể hiện như sau:

 Dạng1: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau

Bài1.Cho ABC có AB=AC Chứng minh rằng góc B bằng góc C

Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT,KL và tìm hướng chứng minh của bài

toán

Theo hệ thống câu hỏi

- Góc B và Góc C trong cùng 1 tam giác lại chưa biết số đo

Vậy muốn c/m BC ta nên làm thế nào?

( HS Tạo ra hai tam giác chứa hai góc đó bằng cách kẻ thêm

đường phụ)

- GV: Yêu cầu học sinh chứng minh hai tam giác đó bằng nhau theo nhóm

Bài 2 Cho góc xOy khác góc bẹt Ot là tia phân giác của góc xOy, trên tia Ot

lấy điểm H Kẻ đường thẳng vuông góc với Ot tại

H,

đường thẳng này cắt tia Ox, Oy lần lựt tại A và B

1

t H

y

x

B A