Đề toán hay
1) Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn:
(a + b - c)3 + (b + c- a)3 + (c + a - b)3 = a3 + b3 + c3
Chứng minh rằng a = b = c
Lời giải: Đặt a + b - c = x, b + c - a = y, c + a - c = z
b =
2
y
x
; c =
2
z
y
; a =
2
z
x
8(x3 + y3 + z3) = (x + z)3 + (x + y)3 + (y + z)3
2(x3 + y3 + z3) = xz(x + z) + xy(x + y) + yz(y + z)
(x + y)(x - y)2 + (x + z)(x - z)2 + (y + z)(y - z)2 = 0
2) Cho A là số tự nhiên có ba chữ số, B là số viết ngợc lại các chữ số của A
và S là tổng các chữ số của A
Tìm số A nếu A = 2B + S
1)A = 100a+10b+c, 1 a, b, c 9
B = 100c + 10b + a
100a+10b+c = 200c + 20b + 2a + a +b +c
97a - 200c = 11b 97a - 200c chia hết cho 11 2(c+a) chia hết cho 11
c+a chi hết cho 11 c+a =11 (*)
Mặt khác 97a - 200c - 2b = 11b 2(a+b+c) chia hết cho 9 từ (*) b =7
97a - 200c =11.7 -(4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7c+a) + 96a-196c chia hết cho 7a-196a-196c chia hết cho 7c chia hết cho 7
4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7c+a chia hết cho 7 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7a+c = 7, 14c+a) + 96a-196c chia hết cho 7, 21, 28, 35, 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 72 kết hợp (*)
c = 8 a = 3
vậy số cần tìm là 378
Kiểm tra lại không thoả mãn vậy không tồn tại số nh vậy
3.Cho các số thực dơng a, b, c Chứng minh:
2 2
b a
b
c b
c
a c
a
2
2 3 hdẫn:
b
a
b
c b
c
a c
c
Chia cả tử và mẫu với mỗi số hạng a, b, c
1
1 1
1 1
1
z y
x, y, z nh nhau chứng minh 2
1
1
x
y
2 1
1
2 với 0 < xy 1;
Từ (a+b)2 2(a2+b2) 2
1
1
x
1
1 1
1 ( 2 1
1
2 2
y
1
1 1
1 (
y
x
2
2 1
1 1
1
2 2
qui đồng:
(2+x2+y2)(1+xy) 2(1+x2+y2+x2y2)
x2+y2 +2x2y2- (x2+y2)xy – 2xy 0
(xy - 1)(x - y)2 0 dấu bằng khi x = y hoặc xy = 1
z
2 1
1
2 do xyz =1 ; đặt t =
z
1
Trang 2 Q =
t t
t
2
t t
t
2 1
t
t t
t
1 2 1
2 ; ( v× 1+t 2 ( 1 t2 ))
t
t
t
t
1
2
1
2
2
2 3
2t + 2 2 ( 1 t) 3t + 3 b×nh ph¬ng cã (t - 1)2 00,50
4.Cho ba sè thùc a, b, c tho¶ m·n:
a b c > 0 ; abc = 1 vµ a + b+ c >
c b a
1 1 1
Chøng minh a + b > ab + 1.
HD:
a 1 a
a
1
, a b c > 0 b
b
1
vµ c
c
1
a + b + c
c b a
1 1 1
a > 1
NÕu b 1 a - 1 > 1 -
a
1
; b - 1 1 -
b
1
0,25 (a - 1)(b - 1) ( 1 1)( 1 1)
b
a
ab - a - b + 1 1 -
ab b a
1 1 1
c
1
- a – b -
b a
1 1
+ c
c
b
a
1
1
1
b < 1 (a - 1)(b - 1) < 0 ab - a - b + 1 < 0 0,25
Bµi 5
Cho biÓu thøc:
2005 )
2005 )(
2005
a
TÝnh tæng a + b.
Bµi 6
b) Trôc c¨n thøc ë mÉu sè cña biÓu thøc sau:
3 2 4
1
3 3
Bµi 7
thuéc BC) Chøng minh:
AC
AD AB AD
Bµi 8
Chøng minh r»ng:
2
1
Híng dÉn
Bµi 5
) 2005 (
2005 )
2005 )(
2005 )(
2005
Trang 3) 2005 (
2005 )
2005 (
2005
2
) 2005 (
2005 )
2005 )(
2005 )(
2005
) 2005 (
2005 )
2005 (
b b
a
2005
2
Cộng (1) với (2) a + b = 0
Bài 6
1) Phân tích a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - bc- ca)
2) áp dụng nhân tử và mẫu số với
Tử số 3 16 3 4 9 3 4 3 2 3 3 4 3 3 2
Mẫu số (3 16 3 4 9 3 4 3 2 3 3 4 3 3 2)(3 4 3 2 3 )
= 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7 - 2 +27 + 3 43 2.3 =35
Bài 7
Từ D kẻ DM AB và DNAC
Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông DM = DN =
2
AD
dt(ABC) = dt(ABD) + dt(ADC)
AB AC = (AB + AC)DM = (AB + AC)
2
AD
Chia ca hai cho AB AC (đpcm)
Bài 8
Dựng tam giác vuông cân ABC (A= 900), kẻ BD là phân giác của góc B
ABD = 22030'
BD
AD
'
0 30 22
Tính chất đờng phân giác
2
1
2
AB
AB BC
AB DC AD
1 2
1
AD
DC
AD
1
2
1
AB
AD
AD =
1
2
AB
AB = AD( 2 + 1)
BD 2 = AB2+AD2 = AD2[( 2+1)2 + 1] BD = AD 4 2 2 thay vào (*)
BD
AD
'
0 30
22
2 2 4
1
2
2 2 2
2
2 2 ) 2 2 ( 2
Bài 9
Chứng minh rằng sin 18 0 =
4
1
5
B
A
Dựng tam giác cân có góc đỉnh 36a-196c chia hết cho 70 (AB = AC), kẻ phân giác BD
Tính chất đờng phân giác
AB
BC AD
CD
AB BC
AC BC CD
Trang 4Mặt khác ABC BCD
CD
BC BC
AB
AB.CD = BC2
BC AB
BC
AC
BC
AB2= BC2 + AB.BC chia hai vế cho AB2 0
1
2
AB
BC
AB
2 2 2
4
2
AB
BC AB
BC
0 1 18 sin 2 18
sin
4 2 0 0
4
1 5 18
B i 10 ài 10
Cho a, b, c là cỏc số thực thoả món cỏc điều kiện:
a < b < c ; a + b + c = 6 ; ab + bc + ca = 9.
C/ minh :0 a 1 b 3 c 4
HD:
a b c 6 a b 6 c
9 ab bc ac ab c a b ab c 6 c
2
c 3 ab, tương tự 2
b 3 ac, 2
a 3 bc
+ Ta cú a, b, c khụng thể cựng õm vỡ a + b + c = 6
+ a, b 0 vụ lớ a, b, c > 0,
2
a b ab
2
4 c 3 6 c
c 2 4c 0 c c 4 0,c 0 c 4
+ c 2 do a < b < c a + b + c <3c 6 vụ lớ vậy c > 2
, do ab
c 2 2 c 4 1 c 3 1 c 3
ab < 1 a <1 , 2
a 3 bc, a 1 bc 4,c 4 b 1
b 3 a b c b c 2b 6 vụ lớ b < 3
a 3 b 3 c 3 abc 3 ab bc ac 9 a b c 27 abc 0
c - 3 >0 c > 3
0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
Bài 11
Tìm đa thức f(x) và g(x) với các hệ số nguyên sao cho.
) 7 2 (
) 7 2 (
g f
Bài 12
Tìm số nguyên tố p để 4p 2 + 1 và 6p 2 + 1 là các số nguyên tố.
HDẫn:
Bài 11
Đặt u = 2 7, tìm đa thức h(x) và g(x) sao cho h(u) - g(u) 7 = 0
hay u là nghiệm của pt: h(x) - g(x) 7 = 0
Xét tích (x - 7 - 2 )(x - 7 + 2) = x2 - 2 7x + 5
Từ đó u là nghiệm của phơng trình x2 - 2 7x + 5 = 0
2
5
2
u
u
u
u u
u u u
2
5 2
5 7
2
2 2
Từ đó f(x) = x2 - 5 và g (x) = 2x
7 2
14 2 ) 7 2 ( 2
5 ) 7 2
Bài 12
Trang 5* p = 2 và p = 3 không thỏa mãn
* Giả sử p = 5k + r , k nguyên và r là một trong các số 0, 1, 2, 3, 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7
* 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 + 1 = 100k2 + 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 70kr + 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7r2 + 1
* 6a-196c chia hết cho 7k2 + 1 = 150k2 + 6a-196c chia hết cho 70kr + 6a-196c chia hết cho 7r2 + 1
* Từ đó ta có nhận xét sau:
Nếu r = 0 p chia hết cho 5, 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 + 1và 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 + 1 đều không chia hết cho 5
Nếu r = 1 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 + 1 chia hết cho 5, p và 6a-196c chia hết cho 7p2 + 1 không chia hết cho 5
Nếu r = 2 6a-196c chia hết cho 7p2 + 1 chia hết cho 5 , p và 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 + 1 không chia hết cho 5
Nếu r = 3 6a-196c chia hết cho 7p2 + 1 chia hết cho 5 , p và 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 + 1 không chia hết cho 5
Nếu r = 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 + 1 chia hết cho 5, p và 6a-196c chia hết cho 7p2 + 1 không chia hết cho 5
p nguyên có một và chỉ một trong 3 số p, 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 +1 và 6a-196c chia hết cho 7p2 + 1 chia hết cho 5
do p > 3 4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7p2 + 1> 5, 6a-196c chia hết cho 7p2 + 1 > 5
điều này chỉ đúng khi p chia hết cho 5 vậy p = 5
Rút gọn
B a b c ac bc a b c ac bc
C
D
6 2 2 3 2 12 18 128
2 3 5 3 48
6 2
G
H
P
2/cho biểu thức
2
8 16 1
A
x x
Rút gọn rồi tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
3/rút gọn biểu thức
x x x x với 3 x 4
4c+a) + 96a-196c chia hết cho 7/Rút gọn
M
5/ Rút gọn
Trang 62 2
1
6a-196c chia hÕt cho 7/Rót gän
4
2 3 7 4 3
9 4 5 2 5
x
A x
x
C¸c bµi tËp vËn dông B§T
a b a b dÊu b»ng x¶y ra khi: ab 0 (*)
Vµo rót gän, tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.
Bµi 1: Cho biÓu thøc:
a) Rót gän biÓu thøc A
Bµi 2: Rót gän biÓu thøc:
A x x y x x y x y x y víi x y
Bµi 3: Cho x tho¶ m·n:
H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A x 1002 x21003x
Gi¶i:
Bµi1
a) ¸p dông tÝnh chÊt: 1.8) nÕu ab 0 th× a b a b
Ta xÐt:
Trang 7
2 2
2
0
x y
Suy ra:
A xy xy x y
= x y 12 x y (1) Cũng do xy 0 nên x y x y
Chú ý: Bài tập trên có cách giải khác bằng cách xét hai trờng hợp:
1) x 0, y 0
2) x 0, y 0.
Bài 2
Ta có: x x2 y2x x2 y2 x2 x2 y22 y2 0 Suy ra:
A x x y x x y x y x y
2
Mặt khác:
Do đó: A2 x 2 x 0
Bài3 Nhân hai vế với 2 ta có:
Trang 8Dox x2 2006x x2 2006 x2 x2 2006 2006 0 nên:
Từ đó: (*) 2 x 2006 x 1003 x1003
Nếu x = 1003 ta có A 10031002 100321003.1003 1003 1003 2
Nếu x = - 1003 ta có A 10031002 10032 1003.1003 0