Đề thi tuyển sinh vo THPT chuyn mn ton 2004 2005 DHQGHN

Cho hai đờng tròn O, O’ nằm ngoài nhau có tâm tơng ứng là O và O’.. Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn tiếp xúc với O tại A và O’ tại B.. Một tiếp tuyến chung trong của hai đờn

Đề thi tuyển sinh vào khối THPT Chuyên trờng ĐHKHTN

-ĐHQG Hà Nội Năm học 2004 - 2005

Vòng I

(Dành cho mọi thí sinh Thời gian làm bài 150 phút)

1 Giải hệ phơng trình







= +

= + +

2

3

2

2 y x

xy y x

2 Giải phơng trình x + 4 x+3+2 3−2x = 11

3 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình x2 + 17y2 + 34xy + 51(x+y) = 1740

4 Cho hai đờng tròn (O), (O’) nằm ngoài nhau có tâm tơng ứng là O và O’

Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn tiếp xúc với (O) tại A và (O’) tại B Một tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn tiếp xúc với (O) tại C và (O’) tại D và cắt AB tại I Biết rằng C nằm giữa I và D

a) Hai đờng thẳng OC, O’B cắt nhau tại M Chứng minh rằng OM > O’M

b) Kí hiệu (S) là đờng tròn đi qua A, C, B và (S’) là đờng tròn đi qua A, D, B đờng thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt (S’) tại F khác D Chứng minh rằng AF vuông góc với BE

5 Giả sử x, y, z là các số dơng thay đổi và thoả mãn điều kiện

xy2z2 + x2z + y = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

) (

4

y x z

z

+

+

Vòng II

(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, chuyên Tin Thời gian làm bài 150 phút)

6 Giải hệ phơng trình









+

= +

=

− +

y x y x

xy y x

4 4

1

4 4

2 3 3

7 Giải phơng trình 2−x + x+ 2 + 4 −x2 = 2

8 Giả sử x, y là những số không âm thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 1

a) Chứng minh 1 ≤ x + y ≤ 2

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + 2x + 1 + 2y

9 Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC

a) Giả sử BPC = 1350 Cmr 2PB2 + PC2 = PA2

b) Các đờng thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tơng ứng tại các điểm M và N Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN Chứng minh rằng khi

P thay đổi trong tam giác ABC, đờng thẳng PQ luôn đi qua D

10 a) Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang

b) Có bao nhiêu phân số tối giản

n

m lớn hơn 1 (m, n là các số nguyên dơng) thoả mãn mn = 13860