Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB ñều và ∠SAD=900.. Gọi M là trung ñiểm của SD.. Tính theo a thể tích tứ diện ACDM và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng ACM
Trang 1ðề thi thử số 1 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC NĂM 2013
THANH TÙNG Môn : TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút , không kể thời gian phát ñề
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu 1 (2,0 ñiểm). Cho hàm số 1 4 1 2
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
b) Tìm m ñể phương trình
1
=
− + có ñúng 5 nghiệm thực phân biệt
Câu 2 (1,0 ñiểm). Giải phương trình : 2 cos 4
sin 2
x
x
Câu 3 (1,0 ñiểm). Giải bất phương trình: ( )
6
1
0
Câu 5 (1,0 ñiểm). Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB ñều và ∠SAD=900
Gọi M là trung ñiểm của SD Tính theo a thể tích tứ diện ACDM và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (ACM)
Câu 6 (1,0 ñiểm). Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + + = y 4 4( x − + 3 y + 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
D
II.PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm): Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C): x2+y2−2x+4y−20=0 Gọi I là tâm của
(C) Viết phương trình ñường thẳng cắt (C) tại hai ñiểm A, B sao cho ABOI là hình thang ñáy AB có ñộ dài là 4 5
Câu 8.a (1,0 ñiểm). Trong không gian tọa ñộ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z – 3 = 0, (Q): y + z + 5 = 0 và ñiểm
tuyến của (P),(Q) và A là trung ñiểm của ñoạn MN
Câu 9.a (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 1 2
2
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung ñiểm của cạnh BC,
phương trình ñường thẳng DM: x – y – 2 = 0 và ñiểm C(3; – 3) Biết ñỉnh A thuộc ñường thẳng 3x + y – 2 = 0 và A có
hoành ñộ âm Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh A, B, D
Câu 8.b (1,0 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñiểm B(1; 2; 1)− , C(3; 0; 5) Tìm tọa ñộ ñiểm A thuộc
mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 10 = 0 sao cho tam giác ABC cân tại A và có diện tích bằng 2 11
Câu 9.b (1,0 ñiểm). Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn ñẳng thức : (i−z)4=1
-Hết -
Các bạn hãy thử sức mình với bài thi thử ñầu tiên này
Hãy tự bấm giờ ñể làm bài và chấm bài thi của mình bằng ðÁP ÁN anh ñã trình bày ở các trang tiếp theo
CHÚC CÁC BẠN CÓ MỘT KỲ THI THÀNH CÔNG !!!
Trang 2ðÁP ÁN THANH TÙNG
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu 1 (2,0 ñiểm) Cho hàm số 1 4 1 2
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
b) Tìm m ñể phương trình
1
=
− + có ñúng 5 nghiệm thực phân biệt
Giải: a) Các bạn tự làm câu này
b)
Xét hàm số 1 4 1 2
2
Do ñó ñồ thị hàm số sẽ ñược vẽ như sau:
Ta có số nghiệm của (*) cũng chính là số giao ñiểm của ñồ thị hàm số 1 4 1 2
2
4
(có phương song song với trục Ox) Nên ñể phương trình có ñúng 5 nghiệm thực thì:
2 4
m − m + = (2*)
Trang 3Câu 2 (1,0 ñiểm) Giải phương trình : 2 cos 4
sin 2
x
x
Giải:
+) ðK: sin 2 x ≠ ⇔ 0
2
k
⇔cos2x−sin2x−cos 4x=0
⇔cos 2x−(2 cos 22 x− =1) 0
+) ⇔ 2
π
⇔
( )
3
π
=
+) Vậy nghiệm của phương trình là:
3
x= ± +π kπ
(k ∈ Z)
6
Giải:
1 (2)
<
≥ −
+) Giải (1):
(1) ⇔ 2
0
1 0
1
x
x x
x
≥
− >
>
(*)
+) Giải (2): (nếu trong quá trình giải chúng ta không ñể ý tới (*) thì các bạn sẽ có cách giải “an toàn” như sau)
(2) ⇔
1
x
0
1
2
x
x x
≤ ≤
+
≤ ≤
(2*)
+) Kết hợp (*) và (2*) ta ñược nghiệm của bất phương trình là : 3 5
1
2
1;
2
CHÚ Ý: Ngoài cách trình bày trên, các bạn cũng có thể có một cách trình bày khác như sau:
0
1
x
x x
x
≥
− >
(2*)
Trang 4
+) Với ñiều kiện (2*) phương trình tương ñương:
+) Kết hợp (*) và (2*) ta ñược nghiệm của bất phương trình là: 3 5
1;
2
1
0
Giải:
I =∫x e − + dx=∫x e −dx+∫x dx= +I I +) Tính
1
3 2
1
x
+) Tính 2
1
1
0
x
I =∫x e −dx ðặt t=x2− →1 dt=2xdx
1
−
→ = ∫ = ∫ + ðặt 1
→
0
1
e
−
e
+
Câu 5 (1,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB ñều và∠SAD=900 Gọi M là trung ñiểm của SD Tính theo a thể tích tứ diện ACDM và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (ACM)
Giải:
+) Gọi I là trung ñiểm của AB → SI ⊥ AB (1)
Ta có : DA SA
⊥ →DA⊥(SAB)→ DA ⊥ SI (2) Từ (1) và (2) →SI ⊥(ABCD)
Trong tam giác SID hạ ñường cao MH (MH / / SI)→ MH là ñường trung bình trong tam giác SID
→MH ⊥(ABCD)và 3
+)
+) Từ H kẻ HK vuông góc với AC (HK / / BD) cắt AB tại J →AC ⊥(MHK)→AC ⊥MK
Trang 5Mặt khác: HJ là ñường trung bình trong tam giác IBD 3
/ /
a
JK BO→AK = AO= AC= (theo hệ quả ta – let)
Xét tam giác SAD có:
2
Xét tam giác MAK vuông tại K:
AMC
+) Ta có:
3
3 3 3
8
ACDM
ACM
a
∆
∆
Câu 6 (1,0 ñiểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x+ + =y 4 4( x− +3 y+1) (*)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
D
Giải:
+) ðặt 3
1
(a b, >0)
2 2
3 1
= −
+) Khi ñó (*) chở thành: a2+ + =b2 6 4(a b+ ⇔ +) (a b)2−4(a b+ + =) 6 2ab
ðặt t = + a b (t > 0)
+) Ta có :
Mặt khác : 1 1
Thật vậy theo cô – si ta có:
1 1 4
→ + ≥
+
+) Xét hàm số 4
( )
t
= + với t∈[2; 6] Ta có:
2 '
−
Từ bảng biến thiên ta có: f t( )≥4 với ∀t∈[2; 6] → ≥ D 4 Dấu “=” xảy ra khi: a = = b 1 4
0
x y
=
=
Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 4 khi 4
0
x y
=
=
Trang 6II.PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C): x2+y2−2x+4y−20=0 Gọi I là tâm của (C) Viết phương trình ñường thẳng cắt (C) tại hai ñiểm A, B sao cho ABOI là hình thang ñáy AB có ñộ dài là 4 5
Giải:
+) Ta có : ðường tròn (C) có tâm I(1; 2)− và R = 5 → 2 2 2 2
+) Vì ABOI là hình thang ñáy AB → AB / / OI mà OIuur= −(1; 2)→ n uuurAB= (2;1) →pt AB: 2x + y + m = 0 (m ≠ 0) +) Ta có: d[I,AB]=IH 2.1 2 5 5 5
5
m
− +
+) Vậy phương trình AB là: 2x+ + =y 5 0 và 2x+ − =y 5 0 (bài toán ñược lấy ý tưởng từ BToán 1 về sự tgiao)
Câu 8.a (1,0 ñiểm). Trong không gian tọa ñộ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z – 3 = 0, (Q): y + z + 5 = 0 và ñiểm
tuyến của (P),(Q) và A là trung ñiểm của ñoạn MN
Giải:
+) Gọi M x y x( ; ; − ∈3) ( )P →N(2− − −x; 2 y;1−x)(Vì A là trung ñiểm của MN)
− − − −
uuuur
+) Ta có: ( )
( )
(1; 0;1) (0;1;1)
p
Q
n
n
=
uuur
uuur → uuur∆ =nuuur uuur( )p, n( )Q = − − ( 1; 1;1) (với ∆là giao tuyến của (P) và (Q))
( 2; 0; 3)
M
N
∆
−
uuuur uur
Câu 9.a (1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 1 2
2
Giải:
+) Gọi M x y( ; ) là ñiểm biểu diễn số phức z= +x yi (x y, ∈R)
⇔ 2x+ +1 2yi = +x 2 2 2
⇔4x2+4x+ +1 4y2 =x2+4x+4 ⇔3x2+4y2=3 2 2 1
3 1 4
+) Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường Elip có phương trình chính tắc :
1 3 1 4
Trang 7B.Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung ñiểm của cạnh BC, phương trình ñường thẳng DM: x – y – 2 = 0 và ñiểm C(3; – 3) Biết ñỉnh A thuộc ñường thẳng 3x + y – 2 = 0 và A có
hoành ñộ âm Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh A, B, D
Giải:
+) Ta có:
1
3 3 2
2
CDM ABCD
ADM ABCD
∆
∆
=
+) Gọi A t( ; 3− +t 2)thuộc ñường thẳng 3x + y – 2 = 0 Mà:
d A DM( , )=4 2 ( 3 2) 2 4 2
2
t− − + −t
⇔4t− = ⇔1 8 3 ( )
=
= −
(vì x A= <t 0) → −A( 1; 5)
+) Gọi D( ;a a− ∈2) DM ( 1; 7)
uuur uuur
Do ABCD là hình vuông nên :
AD CD
⇔
=
uuur uuur
1
5 5
5
a
a a
a
= −
=
(5; 3)
D
→
+) Mặt khác uuurAB=DCuuur= − − → − −( 2; 6) B( 3; 1)
Vậy A( 1; 5)− , B( 3; 1)− − ,D(5; 3)
Câu 8.b (1,0 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñiểm B(1; 2; 1)− , C(3; 0; 5) Tìm tọa ñộ ñiểm A thuộc mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 10 = 0 sao cho tam giác ABC cân tại A và có diện tích bằng 2 11
Giải:
+) Gọi I là trung ñiểm của BC →I(2;1; 2)và AI ⊥ BC
Trang 8+) Gọi A x y z( , , )∈( )P → −x 2y+2z− =10 0 (1)
Mà:AB= AC⇔ AB2 =AC2 ⇔ −(x 1)2+ −(y 2)2+ +(z 1)2= −(x 3)2+y2+ −(z 5)2⇔ − +x y 3z− =7 0 (2)
+) Từ (1) và (2) 4 4
3
= −
= − −
ABC ABC
S
BC
∆
∆ = → = = = (với B(1; 2; 1)− và C(3; 0; 5) nên BC = 2 11)
2
2 2
2
4
AI
Vậy 8 10 1
−
Câu 9.b (1,0 ñiểm) Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn ñẳng thức : ( i − z )4= 1
Giải:
( i − z ) = ⇔ − 1 ( i z ) − = ⇔ 1 0 ( i − z ) − 1 ( i − z ) + 1= 0
0 1 1 2
z
=
= − +
= +
=
+) Vậy z∈{0; 2 ;1i + − +i; 1 i}
-Hết -
Nếu có vấn ñề gì chưa rõ trong lời giải, có thể liên lạc với anh ñể hỏi lại (0947141139)
CHÚC CÁC BẠN ðẠT KẾT QUẢ THẬT TỐT TRONG KỲ THI SẮP TỚI !!!