Giải đề thi thử đh 2011 số 6 trên báo toán học và tuổi trẻ số 405 (32011)

THTT S 405-3/2011

S 06

Th i gian làm bài 180 phút

Câu I:

Cho hàm s : 3 2

yx 3x 9x 3

1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C) c a hàm s

2) Tìm các giá tr c a k đ t n t i hai ti p tuy n v i (C) phân bi t nhau và có cùng h s góc k, đ ng th i

đ ng th ng đi qua các ti p đi m c a hai ti p tuy n v i (C) c t các tr c t a đ Ox, Oy t ng ng A và

B sao cho OB = 2011.OA

Câu II:

1) Gi i h ph ng trình:

x 2y x y 2xy

2 x 2y 1 y 14 x 2







2) Gi i ph ng trình: 3x x2

2 3 17

Câu III:

Tính tích phân: 3 

2011

1



Câu IV:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A, c nh BC = a và  0

ABC30 Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i đáy m t góc 600 Bi t r ng hình chi u c a đ nh S trên m t đáy thu c c nh

BC Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a

Câu V:

Tính giá tr l n nh t bi u th c

3 3

2

x y P

x yz y zx z xy



   , trong đó x, y, z là các s d ng th a mãn

x  y 1 z

Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)

A Theo ch ng trình Chu n

Câu VI.a:

1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC bi t ba chân đ ng cao ng v i các đ nh A,

B, C l n l t là A ' 1;1 , B '  2;3 , C ' 2; 4    Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a c nh BC

2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A 1; 2; 7 , B   4;0; 0 , C 5; 0; 1   và m t c u

  2 2 2

S : x y z 2x4y 7  Tìm t0 a đ đi m M thu c m t c u (S) sao cho th tích t di n MABC

l n nh t, nh nh t

Câu VII.a:

Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c 2z 3 i  , bi t r ng 2

3z i zz 9.

B Theo ch ng trình Nâng cao

Câu VI.b:

1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m M 2; 1   và đ ng tròn   2 2

1

C : x y  Vi9 t

ph ng trình đ ng tròn (C2) có bán kính b ng 4 và c t (C1) theo m t dây cung qua M có đ dài nh

nh t

2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho t giác ABCD v i A 1; 2;1 , C 2; 4; 1      Hai đi m B, D

thu c đ ng th ng x 1 y 2 z

    sao cho BD = 4 G i I là giao đi m hai đ ng chéo c a t giác và

bi t r ng SABCD 2011.SIAD Tính kho ng cách t đi m D đ n đ ng th ng AC

Câu VII.b:

Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z, bi t r ng z 2 z 2 6.   

Câu I:

1) T gi i

2) ky '3x26x 9 3x26x 9 k  0 (*)

(C) có hai ti p tuy n phân bi t, cùng h s góc k thì ph ng trình (*) có 2 nghi m phân bi t

 

36 4.3 9 k 0 k 6

Ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua hai ti p đi m:



T a đ giao đi m c a (d) v i Ox, Oy t ng ng l n l t là A k ;0

k 12

k

B 0;

3

Ta có: OB 2011.OA k 2011 k k 6021



V y k = 6021

Câu II:

1)

x 2y x y 2xy (1)

(2)

2 x 2y 1 y 14 x 2







i u ki n: 2

x 2y 1

T (1) suy ra:  2    x2 2y VN 0

x y

 



V i x = y t (2) ta có ph ng trình: 2 3 3

2 x 2x 1  x 14  x 2

 

3 3

2

2 2

2 2

x 14 x 2

6x 12x 6

3 x 2x 1

V y h ph ng trình có 2 nghi m: 1 2;1 2 , 1   2;1 2 

2)

2

3x x

2 3 17 (*)

i u ki n: x 0

t xy

8

1

y

Ph ng trình (*) 8x8y 17 (2)

L y (1) tr (2) ta đ c: xy x y xy x y

8  8 8   8 8 8 8 8 (3)

V i y = 1, (3) th a mãn x log 98

V i y 1 , đ t y

a8 8

Xét hàm s :   x x

f x a  , v8 i a > 8

f ' x a ln a 8 ln 8  0 f x luôn t ng

Mà t (3) ta có: f x   f 1    x 1 y log 98  (th1 a mãn)

V i y 1 , đ t y

a8 8

Xét hàm s : f x ax , v8x i a < 8

Ta có: f ' x a ln a 8 ln 8x  x  0 f x  luôn gi m

Mà t (3) ta có: f x   f 1    x 1 y log 98  (không th1 a mãn)

V y ph ng trình có 2 nghi m: x = 1 ho c xlog 9.8

Câu III:

t: t x 1 dt dx   

i bi n: x 1 t 2

     





2

2011

2011 2

2

I t t 3 dt



t: u  t du  dt

i bi n: t 2 u 2

    





2011





T (1) và (2) suy ra: I    I I 0

V y I = 0

Câu IV:

V HIAB, HKAC

Ta có: AB HI AB SHI AB SI

AB SH







SIH

 là góc t o b i (SAB) và đáy  0

SIH 60

T ng t : SKH là góc t o b i (SAC) và đáy  0

Hai tam giác vuông SHI và SHK b ng nhauHIHK

 t giác AIHK là hình vuông

a 3

AB BC.cos B

2

2

Ta có:

1





3 3 a

2x 2x

a 3



2 ABC

Câu V:

Ta có:

  

xyzyz   y z 1 y 1 z 1 

  

yzxzx   x z 1 x 1 z 1 

  

zxyxy   x y 1 x 1 y 1 

z 1  x y

               

P

Áp d ng b t đ ng th c Cô – si, ta có:

 

 

 

2

2

3

2

3

Suy ra:

3 3

P

4xy x y

V y giá tr l n nh t c a P b ng 4

729, khi đó: x y 2, z5

A Theo ch ng trình Chu n

Câu VI.a:

1)

Ta d dàng ch ng minh đ c AA’ là phân giác trong c a tam giác ABC

Mà BCAA ' BC là phân giác ngoài t i A ' c a A'B'C'

 

A ' B' 3; 2 

véct pháp tuy n đ ng th ng A’B’:nA 'B' 2;3

Ph ng trình đ ng th ng A’B’:2 x 1   3 y 1   0 2x3y 5  0

 

A 'C ' 1;3 

véct pháp tuy n đ ng th ng A’C’:nA 'C '3; 1 

Ph ng trình đ ng th ng A’C’:3 x 1   y 1   0 3x   y 2 0

Ph ng trình đ ng phân giác trong(AA’) và phân giác ngoài(BC) c a góc A’:

2x 3y 5 3x y 2

Ta th y B và C n m v cùng m t phía đ i v i BC

Thay t a đ B và C l n l t vào (1) và (2) ta th y (1) th a mãn

V y ph ng trình c nh BC là: 2 3 x 3 1 y 5 2 0

2)

AB  5; 2; 7 , AC 4; 2; 6

Véct pháp tuy n m t ph ng (ABC): nAB, AC 2;58;18

Ph ng trình m t ph ng (ABC): 2 x 458y 18z   0 x 29y 9z   4 0

M t c u (S) có tâm I 1; 2; 0 , bán kính R  1 4 7  2 3

Ta có:     1 29.2 42 2 63

923

1 29 9

 M t ph ng (ABC) c t m t c u (S)

MABC

  , khi đó t a đ đi m M là đ ng tròn giao tuy n c a m t ph ng (ABC) và m t c u (S)

Th tích MABC l n nh t khi M là giao đi m c a đ ng th ng đi qua tâm m t c u (S) vuông góc m t

ph ng (ABC) v i m t c u (S)

Ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua I và vuông góc (ABC):

x 1 t

y 2 29t

z 9t

 



  





T a đ giao đi m c a M c a (d) v i m t c u (S):

   2 2

1

2 3 58 3 18 3

 

 

 

d M , ABC d M , ABC

 Th tích MABC l n nh t khi MM1

V y t a đ đi m M đ th tích MABC l n nh t là: M 1 2 3 ; 2 58 3 18 3;

Câu VII.a:

t z   a bi Z 2z 3 i  2a 3 2b 1 i 

S ph c Z đ c bi u di n d i d ng Z x yi

x 3 a

b 2



 





3z i zz 9 9a  3b 1 a b  9 4a 4b 3b 4  0

     

 

 

2 2

3

2

     

V y t p h p các đi m bi u di n s ph c 2z + 3 – i là các đi m n m bên trong và k c biên c a đ ng

tròn tâm I 3; 7

4

  

 , bán kính

73 R 4

B Theo ch ng trình Nâng cao

Câu VI.b:

1)

Ta có: xM2yM2  5 9 Mn m trong đ ng tròn (C1)

Xét các dây cung đi qua M ta th y dây cung vuông góc v i O1M t i M là dây cung có đ dài nh nh t

O M 5MAMB R O M  2

T a đ tâm (C2) n m trên đ ng th ng OM nên t a đ O2 có

d ng: O 2t; t2  

  2 2 2

2

2

t 1

5

5 t 1 2 3

 





V y ta có hai ph ng trình đ ng tròn (C2) th a mãn:

2)

Ph ng trình đ ng th ng AC:

x 1 t

y 2 2t

z 1 2t

 



  



  

 Góc t o b i AC và BD:

 

1.1 2.2 2 3 1

cos

1 4 4 1 4 9 3 14

5 5 sin

3 14

AC 1 4 4  3

Ta có: SABCD 2011.SIAD SIAD 10 5

2011 14

T a đ giao đi m I c a AC và BD:

1

1 t 1 t ' t

6 12 3 5

t '

1 2t 3t '

5



  

           

IAD IAD

2S

V y kho ng cách t D đ n đ ng th ng AC b ng 100 5

6033 14

Câu VII.b:

t z x yi

z    2 z 2 6 x2 y  x2 y  6

a x2 y ,  2 2

b x 2 y

a b  x2 y  x2 y 8x ab ab 8x

Mà:a b 6 a b 4x

3

    

a b 6

4

3

 





V y t p h p các đi m bi u di n s ph c z là elíp (E):x2 y2 1

9  5 