Chứng minh đồ thị hàm số 1 luôn có ba điểm cực trị A, B, C với mọi giá trị của m.. Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1.. CMR: hình chiếu vuông góc của A' lên mpA
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi : Toán; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút không kể phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I.(2,0điểm)
Cho hàm số: 4 ( 2 ) 2
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1
2 Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn có ba điểm cực trị A, B, C với mọi giá trị của m Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1
Câu II.(2,0điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2 Giải phương trình: ( ) 2 ( )
tan sin 1 2sin sin 2 2
4 2
π
x
Câu III.(1,0điểm) Tính tích phân:
1
2 1
2
2 3 2
+
=
−
∫ x
x x
Câu IV.(1,0điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A, các mặt phẳng (A'AB) và (A'AC) cùng tạo với đáy góc 600, cạnh bên AA' = 2a 5, khoảng cách giữa AA' và BC là a 5 CMR: hình chiếu vuông góc của A' lên mp(ABC) thuộc trung tuyến AM của tam giác ABC, tính thể tích khối lăng trụ
Câu V: (1 điểm)
Cho x,y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2)
( 1)( 1)
=
P
II PHẦN RIÊNG
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa.(2,0điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy,viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng (d1): x + y - 5 = 0 đi qua điểm A(6;0) và cắt đường thẳng (d2): 3x + 4y - 3 = 0 theo dây cung có độ dài bằng 8
2 Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD có đỉnh D(0;-1;4), đường thẳng AB đi qua điểm M(7;8;3) phương trình đường thẳng AC là:
2 2
3 2
= +
=
= +
y
Tính diện tích hình thoi ABCD
Câu VIIa.(1,0điểm) Giải bất phương trình:
2
2
2 2x +x x −20≤0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb.(2,0điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y2 = x và đường thẳng (d): x - y - 2 = 0 cắt (P) tại hai điểm A, B Tìm điểm C thuộc cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
2 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có B(6;9;6), đường cao AH có phương trình là:
6 3 6
x− = y− = z+
− − , đường thẳng AC đi qua M(3;3;0) và tiếp xúc mặt cầu (S):
2 2 2
9
x +y +z = Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC
Câu VII.a(1,0 điểm)
Giải phương trình: z3− +(4 3i z) 2+ +(3 13i z) + −10 10i=0 trên tập số phức, biết nó có một nghiệm là số thuần ảo
-HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: mathvn.com Số báo danh:
ĐỀ THI THỬ MATHVN.COM
Trang 2Đ ÁP ÁN
Câu I.2
2
0
1
x
=
Lập BBT suy ra đồ thi(1) luôn có 3 điểm cực trị là
AB=AC= m + + m + BC= m + d A BC = y −y = m +
ABC
BC d A BC AB BC CA
(r là bkính đường tròn nội tiếp ABC)
2
1
1 1
2 1
r
t
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu II.1
ĐK: { x + − ≥ y 1 0, 2 y − ≥ 1 0, x ≥ 0}
3 3
3 3
0
1 2 1
1
0
1 2 1
−
⇔ =
x y
x y x xy y
x y
Thay y = x vào (2) ta được: log 12( + x ) = log3x Đặt t = log3x ta được x = 3t suy ra pt(2) tương đương với:
2
t t
+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
Vậy hệ có nghiệm : x = y = 9
0.50
0.50
Câu II.2
ĐK:
2
x ≠ + π k π
PT tan (sin 1) 1 cos (sin 2 2)
2
sin 1 tan sin 2 2 0
tan sin 2 2 0
x
=
2
⇔ = + không thoả mãn đk
2
2
1
t
t
+
t anx=1 x= /
4 k t m
4 k
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu III.2
1
2
5 2 2
x
−
− −
Trang 3( )
1
2 1
2 0
6
1
5
cos
2 3
dx tdt
tdt
t
π
π
−
=
∫
CâuIV
E
M
B'
B'
C A
H F N
- Đặt A'H = x Xét các tam giác vuông A'EH và AA'E, ta có:
0
0
A E
A E
' )
A E x
AE EH
2
- Xét tam giác AA'M có:
2 2
' '
3
3 ABC
AM A H=MN A A⇒AM = ⇒S =AM =
- Thể tích khối lăng trụ là:
3 50 '
3
ABC
a
V =S A H =
0.25
0.25
0.25
0.25
Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có
2
4
t
3 2
(3 2) 1
t t xy t P
xy t
=
− + Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t xy
− ≥ − nên ta có
2
3 2
2
2
(3 2) 4
2 1
4
t t
t t
t P
t
−
− −
−
− +
0,25
Xét hàm số
2
4 ( ) ; '( ) ;
−
f’(t) - 0 +
f(t)
8
0,25 CâuV
Do đó min P =
(2;min) f t ( ) +∞ = f(4) = 8 đạt được khi
⇔
CâuVIa1
+) Gọi I là tâm đường tròn, do I ∈ d1⇒ I a ( ;5 − a ).Theo giả thiết ta
2 2 2
2
2 17
25
49
a a
a
=
=
0.50
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A' trên
mp(ABC), kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB và
AC tại E, F Ta có các góc A'EH và A'FH cùng bằng
600 suy ra các tam giác vuông A'HE và A'HF bằng
nhau nên HE = HF suy ra H nằm trên đường phân
giác trong AM của tam giác ABC
d1
d2 R
4 R
I A
Trang 4( ) ( ) ( )
) 2 (2;3), 5 ( ) : 2 3 25
0.25 0.25
CâuVIa2
+ Tìm điểm M' đối xứng M qua AC ta được M'(-1;-4;7)
4 3
=
= − +
suy ra điểm A là giao của AD và AC, tìm được A(1;2;1)
+) Tính được AD = 19
2 70 sin 2sin , cos ,
19
19
Cách 2 Tìm tâm I => B, Viết AB => A OK
0.25
0.25
0.25
0.25
Điều kiện: x> 0 ; BPT ⇔ 4log2 2log 2
Đặt t=log2 x Khi đó x=2t
BPT trở thành
4 t +2 t −20≤0 Đặt y =
2 2
2 t ; y ≥ 1
0,25
CâuVIIa
Đối chiếu điều kiện ta có : 22t2 ≤ ⇔4 2t2 ≤ ⇔ ≤2 t2 1⇔ - 1 ≤ t ≤ 1
Do đó - 1 ≤ log x2 ≤ 1 ⇔ 1 2
CâuVIb1
+) Tìm toạ độ A, B: A(1;-1), B(4;2)
+) C(y2;y) thuộc (P)
2 2 ( , )
2
1;2
y
∈ −
0,25
0,25
0,50
CâuVIb2
+) Tìm được H(3;6;6)
6
3 ;6 ;6
3;3;0 6
= +
+ +
OM z
+) Do AC tiếp xúc mặt cầu (S) tâm O(0;0;0) bán kính R = 3 nên ta có:
9
= −
t MC
+) t = 0 => C(6;9;6) trùng B (loại)
+) t = -9 => C(-3;0;6) t/m
0,25
0,25
0,25
0,25
CâuVIIb
+) Giả sử pt có một nghiệm là z = bi (b ∈ R) Thay vào pt trình ta có:
4 3 3 13 10 10 0
3 3 10 4 13 10 0
3 2
2
3 3 10 0
2
4 13 10 0
b
Vậy pt nhận z = 2i làm nghiệm Do đó ta có:
+) z3− +(4 3i z) 2+ +(3 13i z) + −10 10i= −(z 2i)z2− +(4 i z) + +5 5i=0
0,25
0,25 0,50
Thái Bình, ngày 18 tháng 6 năm 2011
www.MATHVN.com Giáo viên ra đề : Dương Văn Thanh THPT Nguyễn Đức Cảnh Thành phố Thái Bình
D
B
M
M'
A
M