Luận văn thạc sĩ toán học định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình e

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THU HUYỀN ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.4

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THU HUYỀN

ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Đa tạp hầu phức 6

1.1.1 Cấu trúc phức 6

1.1.2 Nhận xét 6

1.1.3 Ví dụ 7

1.1.4 Cấu trúc hầu phức 8 1.1.5 Đa tạp hầu phức 8

1.2 Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Định nghĩa 11

1.2.3 Định lý (Newlander - Nirenberg) 11

1.2.4 Nhận xét 11

1.3 Hàm đa điều hòa dưới 11

1.3.1 Định nghĩa 11

1.3.2 Định nghĩa 11

1.3.3 Mệnh đề 11

1.4 Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức 12

1.4.1 Định nghĩa 12

1.4.2 Bổ đề 13

1.4.3 Bổ đề 13

1.4.4 Định nghĩa 13

1.4.5 Tính chất 14

1.4.6 Hệ quả 14

1.4.7 Mệnh đề 1

5 1.4.8 Định nghĩa 1

5 1.4.9 Mệnh đề 1

5 1.4.10 Định nghĩa 1

5 1.4.11 Định nghĩa 1

5 1.4.12 Định lý 1

6 1.4.13 Định nghĩa 1

6 1.4.14 Định nghĩa 1

6 1.4.15 Họ đồng liên tục 1

6 1.4.16 Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục 1

7 1.5 Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức 17

1.5.1 Mệnh đề 17

1.5.2 Định nghĩa 18

1.5.3 Mệnh đề 18

1.5.4 Ví dụ 18

1.5.5 Định nghĩa 19

1.5.6 Nhận xét 19

1.6 Định lý tham số hoá của Brody 19

Chương 2 Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả

chỉnh hình 22

2.1 Tổng quát hoá định lý Picard lớn 22

2.1.1 Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi 22 2.1.2 Thác triển các đường cong J-chỉnh hình 26

2.1.3 Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao 30

2.2 Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi 32

2.2.1 Định lý 32

2.2.2 Định lý 34

2.2.3 Định lý 36

2.2.4 Bổ đề 37

2.2.5 Bổ đề 38

2.2.6 Hệ quả 39 2.2.7 Định lý 39

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

cả trường hợp đa tạp phức và đa tạp hầu phức

Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của F Haggui và A Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói trên

Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính của luận văn trong chương 2 Cụ thể là: Đa tạp hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức, giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Phần đầu chương trình bày một số kết quả về thác triển các đường cong giả chỉnh hình và một tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức Phần tiếp theo

là một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Phạm Việt Đức Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy của mình, người đã chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày

tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm

- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy động viên tôi trong suốt thời gian học tập Tôi cũng xin

chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại

học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Tuyên Quang, những bạn

bè đồng nghiệp và đặc biệt là người thân trong gia đình đã động viên, ủng

hộ tôi về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành khóa học của mình

Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai sót, rất

mong độc giả đóng góp ý kiến Tôi xin trân trọng cảm ơn

Thái nguyên, tháng 8 năm 2015

TÁC GIẢ

Chương 1 Kiến thức

chuẩn bị

1.1 Đa tạp hầu phức

1.1.1 Cấu trúc phức

Giả sử V là R-không gian vectơ và J : V −→ V là R-đẳng cấu J được gọi là một

cấu trúc phức trên V nếu

J2 := J ◦ J = −Id

Giả sử J là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ V , khi đó ta có thể xây dựng

V thành C-không gian vectơ bằng cách đặt

(α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv

Giả sử V là C-không gian vectơ có cơ sở là {v1,v2, ,v n } Xem V là

R-không gian vectơ VR, xét

J : VR−→ VR

v 7−→ Jv = iv

Khi đó J là cấu trúc phức trên VR và không gian phức mà nó cảm sinh ra

trùng với không gian vectơ phức V ban đầu 1.1.2 Nhận xét

VR có R-cơ sở là {v1,v2, ,v n ,Jv1,Jv2, ,Jv n}

1.1.3 Ví dụ

Khi đó J là cấu trúc phức trên R 2n

b) Giả sử M là đa tạp phức m chiều Khi đó nó cảm sinh ra M0 là

Xét

J : T x (M0) −→ T x (M0) cho bởi

là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ T x (M)

Khi đó J được gọi là cấu trúc hầu phức trên M

1≤i1<i2< <ik ≤m |I|=r

Khi đó ta có dãy ε0(M) −→ d ε1(M) −→ d −→ d ε m (M) −→ 0 với d2

= 0

Giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức, khi đó

J : T x (M)C→ T x (M)C

là đẳng cấu trên phân thớ vectơ phức T(M)C

Ta đặt

T 1,0 (M) là phân thớ ứng với giá trị riêng i của J

T 0,1 (M) là phân thớ ứng với giá trị riêng −i của J

Xét đẳng cấu liên hợp

Q : T(M)C−→ T(M)C

được cho trên mỗi thớ bởi Q(v x ) = iv x ; v x ∈ T x MC

Khi đó Q cảm sinh ra đẳng cấu từ T 1,0 (M) tới T 0,1 (M)

Xét T ∗(M) 1,0 và T ∗(M) 0,1 lần lượt là các phân thớ đối hợp của

Nếu (M,J) là đa tạp phức thì J là cấu trúc hầu phức khả tích

1.3 Hàm đa điều hòa dưới

Giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức Giả sử u là C2-hàm giá trị thực trên M Khi đó

u là J-đa điều hòa dưới trên M nếu và chỉ nếu :

LJ (u)(X) ≥ 0,∀X ∈ T(M)

Chú ý: Ta nói rằng một hàm C2-giá trị thực u trên M là J-đa điều hòa dưới chặt trên M nếu L J (u) xác định dương trên TM

1.4 Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức

Ký hiệu J0 là cấu trúc hầu phức chuẩn tắc trong R2n

1.4.1 Định nghĩa

+) Một ánh xạ trơn f : (M,J M ) −→ (N,J N) giữa hai đa tạp hầu phức được

gọi là (J M ,J N )-chỉnh hình nếu các đạo hàm của nó giao hoán với cấu trúc hầu

O(M,(N,J N))

và mỗi f ∈O(M,(N,J N )) được gọi một cách đơn giản là J-chỉnh hình

+) Với mỗi r > 0 ta đặt ∆ r = {z ∈C : |z| < r} Với r = 1 ta kí hiệu ∆ = ∆1 là đĩa đơn vị trong C

Nếu (M,J M ) = (P,J0) trong đó J0 là cấu trúc phức chính tắc trên diện Riemann

P, thì ánh xạ (J0,J N )-chỉnh hình được gọi là đường cong J-chỉnh hình hay

đường cong giả chỉnh hình trên (N,J N)

Kí hiệu OJ (P,N) là tập tất cả các đường cong J-chỉnh hình trên N

sao cho K là phần trong của K0 Theo chứng minh của

Sikorav [Sk, mệnh đề 2.3.6 (i), tr.171 ] cho thấy rằng nếu K0 đủ nhỏ thì

Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức, J ∈C2 Giả sử p và q là hai điểm của

M đủ gần nhau Khi đó tồn tại một đường cong J-chỉnh hình u : ∆ −→ M sao cho p và q nằm trong u(∆)

Từ Bổ đề trên cho phép ta định nghĩa được giả khoảng cách Kobayashi trên

đa tạp hầu phức như sau:

1.4.4 Định nghĩa

Cho (M,J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C2 và gọi ρ là khoảng cách

Bergman-Poincare trên ∆ Metric tương ứng là

Ta định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi k MJ trên (M,J) như sau:

Cho trước hai điểm p,q ∈ M Một dây chuyền Kobayashi nối hai điểm p,q trong

M là một dãy các đường cong giả chỉnh hình

Tương tự như trong trường hợp phức , ta có tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ giả chỉnh hình của :

1.4.10 Định nghĩa

Giả sử (M,J M ),(N,J N) là các đa tạp hầu phức Giả sử

F⊂O((M,J M ),(N,J N ))

i) Một dãy {f i}i≥1 ⊂F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập

compact K ⊂ M và với mỗi tập compact L ⊂ N, có một số dương j0 = j(K,L)

Một đa tạp hầu phức (M,J) được gọi là taut nếu mọi dãy {f n}n≥1 trong

O(∆,(M,J)), hoặc tồn tại một dãy con phân kỳ compact hoặc một dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một ánh xạ J- chỉnh hình

Ký hiệu d E là hàm khoảng cách sinh ra trên M bởi E Thế thì hàm khoảng cách

d E sinh ra tôpô tự nhiên của M (xem [ La ])

sao cho với mọi

x ∈ X,d(x,x0) < δ

thì

d(f(x),f(x0)) < ε với mọi f ∈F

Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi điểm x ∈

X

1.4.16 Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục

Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy

Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X,Y )

Khi đó, F là compact tương đối trong C(X,Y ) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thoả mãn

(i) F là họ đồng liên tục trên X

(ii) Với mỗi x ∈ X, tập hợp

Fx = {f(x)| f ∈F}

là compact tương đối trong Y

1.5 Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức

Trước hết ta có kết quả sau:

1.5.1 Mệnh đề

Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức Với p ∈ M, tồn tại lân cận

V của 0 trong T p M sao cho ∀v ∈ V tồn tại f ∈O(∆,M) thoả mãn

Từ đó ta có thể định nghĩa:

1.5.2 Định nghĩa

Giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức Giả sử p ∈ M,v ∈ T p M Khi đó ta định nghĩa:

K (M,J) (p,v) := inf {α > 0 | tồn tại đĩa J-chỉnh hình f : ∆ → M

Ta định nghĩa

1.5.6 Nhận xét

+) Tương tự kết quả của Royden [Ro] trong trường hợp phức, trong [Kr],

Kruglikov đã chứng minh được K (M,J) là nửa liên tục trên trên phân thớ tiếp

xúc TM của M và ông đã chứng minh được

+) Từ các tính chất của K(M,J) và nhận xét trên ta có thể nhận lại được các

tính chất của k MJ đã trình bày ở mục 1.3

1.6 Định lý tham số hoá của Brody

Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức, f : ∆ r → M là một đường cong J-chỉnh

hình thoả mãn |f0(0)|≥ c ≥ 0 Khi đó tồn tại đường cong

J-chỉnh hình fe: ∆ r → M sao cho

Trong khi đó với z = 0 thì

vì thế supremum xảy ra tại z = 0 Chỉ việc lấy f e= f, ta có điều phải chứng minh

*Trường hợp 2: t0 < 1

Supremum chỉ đạt tại điểm z0 bên trong ∆r Gọi L là ánh xạ tự đẳng cấu

bảo giác của ∆r biến 0 vào z0 Ký hiệu

Chương 2

Một số định lý thác triển hội tụ đối với

ánh xạ giả chỉnh hình

2.1 Tổng quát hoá định lý Picard lớn

Định lý Picard lớn phát biểu rằng: Mỗi ánh xạ chỉnh hình f từ đĩa thủng

∆∗ vào C\{0,1} có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : ∆ →P1(C) Mục đích của phần này nhằm nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức

2.1.1 Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi

Giả sử (N,J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài G, giả sử (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối của

(N,J) Như trong [A-S] ta mở rộng d JM lên bao đóng M của M trong

N như sau: ∀p,q ∈ M, ta định nghĩa

Khi đó ta có định nghĩa sau

2.1.1.1 Định nghĩa

Ta gọi p ∈ M là một điểm suy biến của nếu tồn tại một điểm

q ∈ M\{p} sao cho Kí hiệu S MJ (N) là tập tất cả các điểm suy biến

của

2.1.1.2 Ví dụ

Giả sử (N,J) = (P1(C),J0) là mặt cầu Riemann được trang bị cấu trúc phức

Ví dụ 3.1.21, tr.56), ta có

,

tức là tất cả các điểm của P1(C) đều là các điểm suy biến của

2.1.1.3 Định nghĩa

Cho (N,J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài

G, (M,J) là đa tạp con của N Một điểm p ∈ M được gọi là điểm J-hyperbolic

đối với M nếu tồn tại một lân cận U của p trong N và một hằng số dương c sao cho K MJ ≥ c.G trên U ∩ M

Cho (N,J) là một đa tạp hầu phức và (M,J) là một đa tạp con hầu

phức của (N,J) Với mỗi điểm p ∈ M, khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) p ∈/ S MJ (N)

(ii) p là điểm J-hyperbolic đối với M

Để chứng minh mệnh đề trên ta cần sử dụng bổ đề (xem [Si] Mệnh đề 2.3.6,

tr 171)

2.1.1.6 Bổ đề

Cho D là một miền trong C n Có một hằng số dương δ0 sao cho với

mỗi cấu trúc hầu phức J trong một lân cận của D thoả mãn kJ − J0kC2(D) ≤ δ0, khi

đó ta có

kfk C1 (∆r) ≤ ckfk C0 (∆), với mỗi f ∈O J (∆,D) và 0 < r < 1, trong đó c là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào

r và δ0, J0 là cấu trúc phức chuẩn tắc trên C n

Giả sử W là một lân cận compact tương đối đủ nhỏ trong bản đồ địa phương quanh p Nếu tồn tại r ∈ (0,1) sao chof n(∆r ) ⊂ W, theo Bổ đề 2.1.1.6 ta suy ra tồn tại một hằng số dương c sao cho c||f n||C0 (∆r)

và điều này mâu thuẫn với Do đó, với mỗi số nguyên dương

k có z k ∈ ∆ và n k ∈Z sao cho |z k | < k1 và f n k (z k ) ∈ ∂W Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng f n k (z k ) → q ∈ ∂W Khi đó

,

nên p là điểm suy biến của

(ii) ⇒ (i) : Giả sử rằng p là điểm suy biến của Khi đó tồn tại

điểm q ∈ M\{p} sao cho Theo giả thiết, tồn tại lân cận

U của p sao cho q ∈/ U và K MJ ≥ cG trên U ∩ M, trong đó c là một hằng số dương

và G là một hàm độ dài trên N Lấy V,W lần lượt là lân

cận của p,q trong N, sao cho V b U và W ∩U = ∅ Lấy r ∈ V ∩M và s ∈ W ∩ M là hai điểm tuỳ ý Gọi γ(t) là đường cong trơn từng khúc trên M sao cho γ(0) = r

2.1.1.7 Nhận xét

Từ chứng minh trên, ta có thể thấy ngay rằng p ∈/ S MJ (N) nếu và chỉ nếu

p thoả mãn: với mỗi lân cận W của p, đều tồn tại một hằng số dương R sao

Giả sử (N,J) là đa tạp hầu phức và (M,J) là đa tạp con của N Khi đó (M,J)

là nhúng hyperbolic trong (N,J) nếu và chỉ nếu S MJ (N) = ∅

2.1.1.9 Hệ quả

S MJ (N) là tập con đóng trong N

Chứng minh

Giả sử (p n ) là một dãy trong S MJ (N) hội tụ tới p ∈ M Khi đó theo Mệnh đề 2.1.1.5, tồn tại một lân cận compact tương đối W của p và

q n ∈ ∂W ∩M sao cho Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể

giả sử rằng q n → q ∈ ∂W, khi đó Hệ quả được chứng minh

2.1.2 Thác triển các đường cong J-chỉnh hình

Các kết quả sau là tổng quát hoá của Định lý Adachi [ Ad ]

2.1.2.1 Định lý

Cho (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối trong một đa tạp hầu phức (N,J) và f k : ∆∗ → (M,J) là dãy các đường cong giả chỉnh hình

Gọi (z k ) và (w k ) là hai dãy trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho dãy (f k (w k )) hội tụ

đến q ∈/ S MJ (N) Khi đó dãy (f k (z k )) hội tụ đến q Nhận xét

Điều kiện q ∈/ S MJ (N) là cần thiết trong Định lý 2.1.2.1

Thật vậy, với mỗi q ∈C\{0} và k nguyên dương, xét dãy đường cong chỉnh hình

f k : ∆∗ → C\{0} được xác định bởi Ta có

Do đó f k (z k ) không hội tụ được đến q

Để chứng minh Định lý 2.1.2.1 ta cần bổ đề về tính đơn điệu sau của Gromov (xem [Mu], Bổ đề 4.2.1, tr.223)

2.1.2.2 Bổ đề

Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức compact được trang bị hàm độ dài

G Gọi B(x,ε) là hình cầu bán kính ε tâm x trong M Tồn tại các hằng số dương ε0 và c sao cho với mọi ε ≤ ε0 và mọi đường cong giả chỉnh hình S ta

có

AreaG (S ∩ B(x,ε)) ≥ cε2,

với mọi x ∈ S và S ∩ B(x,ε) là một mặt compact với biên được chứa trong ∂B(x,ε)

AreaG là diện tích ứng với metric G

Giả thiết về tính compact của M có nghĩa là tất cả các hằng số mà ta đề cập đến không phụ thuộc vào cách chọn điểm x

Giả sử G là hàm độ dài trên N Theo Hệ quả 2.1.1.9 và Mệnh đề 2.1.1.5, tồn tại các lân cận compact tương đối địa phương U,W của q

sao cho U ⊂ W, U là vi phôi với hình cầu đơn vị B(q,1) ⊂C n và một hằng số dương

c sao cho

Vì f k (ρ k ) → q và f k (z k ) → q0, với k đủ lớn ta có f k (ρ k ) ⊂ U và f k (z k ) ∈/

Bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta giả sử rằng f k (z k0 ) → p ∈ ∂U Từ (2) ta có

Theo Bổ đề về tính đơn điệu của Gromov, tồn tại các hằng số dương ε0 và α

AreaG (f k(Rek)) ≥ AreaG (f k(Rek ) ∩ B(f k (c k ),ε)) ≥ αε2

Mặt khác, ta kí hiệu Area là diện tích của đối với metric Poincaré trên ∆∗ Khi đó ta có

Từ (3) và (4) ta có

Area .Area∆ ∗(Rek ) → 0,

điều này dẫn đến mâu thuẫn Vậy ta có điều phải chứng minh

(ii) Bằng cách lấy dãy con và đánh số lại, ta có thể giả sử |z k | < |w k| Như

trong trường hợp (i) tồn tại một dãy (z k0 ) trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho |z k|

< |z k0 | < |w k | và f k (z k0 ) → p ∈ ∂U Bằng cách xét vành khuyên

, ta có thể đưa về như trường hợp (i), suy

ra điều phải chứng minh

2.1.2.3 Hệ quả

Giả sử (M,J) là đa tạp con hầu phức compact trong đa tạp hầu phức (N,J)

và f : ∆∗ → (M,J) là một đường cong giả chỉnh hình Nếu có dãy (z k) ⊂ ∆∗,z k

→ 0 sao cho f(z k ) → q ∈/ S MJ (N), thì f có thể thác triển thành đường cong

giả chỉnh hình f e: ∆ → (N,J)

Chứng minh

Giả sử f : ∆∗ → M là ánh xạ giả chỉnh hình Theo Định lý 2.1.2.1, f thác triển liên tục từ ∆ vào N và nếu f là liên tục, khả vi và giả chỉnh hình ngoại