ôn thi cao học môn toán kinh tế (phần xác suất)

Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí kiệu PÔmêga, là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/B, là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp bi

1.2 Công thức tính tổ hợp: Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử Ta có

Ví dụ: C20

Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A Số cách chọn là CN A

ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ(GV: Trần Ngọc Hội - 2009)

PHẦN II: XÁC SUẤT

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

§1 ÔN VỀ TỔ HỢP

1.1 Định nghĩa Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự

gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho

1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác

định nào đó Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là

một biến cố.

Ví dụ Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Các biến

cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…

2) Biến cố tất yếu, kí hiệu (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcÔmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực

hiện phép thử

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm

không quá 6” là biến cố tất yếu

4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực

Chú ý: Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính C

2 0 nCr 6

20 bằng cách bấm hiện phép thử Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu

nhiên

1.3 Bài tóan lựa chọn:

Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại A và N− NA sản

phẩm lọai B Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0 < n < N) Với mỗi số nguyên k thỏa 0

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một

biến cố ngẫu nhiên

Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcj = 1,2,…,6)

là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm”

5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựchay A∪∪ B) là biến cốđịnh bởi:

A + B xảy ra⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra

⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra

Minh họa:

2

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội

thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi khơng cĩ biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến

cố bất khả

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta cĩ tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcj =1,2,…,6) Gọi A là biến cố xuất hiện mặt cĩ số chấm lẻ Khi đĩ:

Ta cĩ thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như sau:

A1 + A2 +…+ An xảy ra⇔ Cĩ ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An xảy ra

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt cĩ số

chấm khơng quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt cĩ số chấm chẵn”, ta cĩ:

A = A1 + A3 + A5

Do dĩ cĩ 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5

8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Ư, nghĩa là A và B khơng bao

giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử

Minh họa:

A = A1 + A2

B = A2 + A4 + A6

6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựchay A∩B) là biến cố định bởi:

AB xảy ra⇔ A xảy ra và B xảy ra (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựctrong cùng một phép thử)

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời

C : Xuất hiện mặt cĩ số khơng quá 2

Ta cĩ A và B xung khắc nhưng A và C thì khơng (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcAC = A2)

Ta cĩ thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau:

A1A2…An xảy ra⇔ Tất cả n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy ra

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:

A : Xuất hiện mặt cĩ số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt cĩ số chấm lớn hơn hay bằng 5

C: Xuất hiện mặt cĩ số chấm nhỏ hơn hay bằng 5

Ta cĩ: AB = A6 và ABC =

7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và khơng thể phân tích dưới dạng

tổng của hai biến cố khác

Ta cĩ thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất khơng thể phân chia

đươc nữa Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đĩ, ta gọi

những biến cố sơ cấp đĩ thuận lợi cho biến cố A Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều

3

9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi

A xảy ra⇔ A khơng xảy raMinh họa:

Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A =, nghĩa là nhất thiết phải cĩ một vàchỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội

Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A

10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố cĩ khả năng xảy ra như nhau khi thực

hiện phép thử

Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp Aj

(Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcj = 1, 2,…,6) là đồng khả năng

2.2 Định nghĩa xác suất.

Giả sử khi tiến hành một phép thử , cĩ tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng

cĩ thể xảy ra, trong đĩ cĩ mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Tỉ số được

2.3 Cơng thức tính xác suất lựa chọn.

Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dĩ cĩ NA sản phẩm loại A, cịn lại

là loại B Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n sản phẩm (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0 < n < N) Khi đĩ, với mỗi 0≤ k

≤ NA thỏa 0≤ n− k≤ N− NA, xác suất để trong n sản phẩm chọn ra cĩ đúng k sản

3) Cơng thức cộng xác suất thứ hai

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta cĩ:

P(A B) P(A) P(B)− P(AB)

Ví dụ 1: Một lơ hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu.

Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 4 sản phẩm Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn racĩ:

a) Số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu

b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu

Lời giải

Gọi Aj (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcj = 0,1,…,4) là biến cố cĩ j sản phẩm tốt và (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực4− j) sản phẩm xấu cĩ trong

4 sản phẩm chọn ra Khi đĩ A0, A1,…,A4 xung khắc từng đơi và theo Cơng thức tínhxác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = 4 (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcở đây loại A là loại tốt), ta cĩ

Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta cĩ

P(A) P(A 4 ) P(A 3 ) P(A

2 )

210 600 450

1365 1365 1365

P(A+B) = P(A) + P(B)

Mở rộng : Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đơi, ta cĩ:

b) Gọi B là biến cố cĩ ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra Khi đĩ,biến cố đối lập B là biến cố khơng cĩ sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên

B = A4 Suy ra xác suất của B làP(Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1 + A2 + …+ An) = P(Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1) + P(Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA2) +…+ P(Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcAn)

2) Hệ quả Với A là một biến cố bất kỳ, ta cĩ P(Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcB) 1− P(Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcB ) 1− P(Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A4 )

m A

P(A)

C C

p n(k) N nN− N

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực Aj ) C10 C4 5

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A0 ) ; P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A1 ) ; P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A2 )

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A3 ) ; P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A4 )

 0, 9231

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán, 70 sinh

viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn Chọn ngẫu nhiên

một sinh viên của lớp Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai

môn Toán hoặc Anh văn

Lời giải

Gọi

- A là biến cố sinh viên được chọn giỏi moan Toán

- B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn

Khi đó

- AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn

- A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh

văn

Do đó

4.2 Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có

P(AB) = P(A) P(B)

Mở rộng : Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1≤

i≠ j≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có:

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1A2 …An) = P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1)P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA2)… P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcAn)

4.3 Công thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A B) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcB)−

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực AB)

§4 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

4.1 Xác suất có điều kiện

60 70 40

100 100 100  0,9. P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)

Mở rộng : Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có:

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1A2 …An) = P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1)P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA2/A1)… P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcAn/A1 A2 …An−1)

1) Định nghĩa Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra,

kí kiệu P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B

đã xảy ra rồi

Chẳng hạn:

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcABC) = P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA)P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcB/A)P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcC/AB)

Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Xét các biến cố sau:

- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ

- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4

- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4

Khi đó

- P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/B) = 0

- P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/C) = 2/4 = 0,5

- P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/D) = 2/3

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA) = 3/6 = 0,5 Do đó

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/B) < P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA);

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/C) = P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA);

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/D) > P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA)

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng

nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA) Đặc biệt, ta thấy xác suất để

biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy

ra Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:

2) Tính độc lập Nếu P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/B) = P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B

không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B.

7

 −

Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5

sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ mỗi

lô 2 sản phẩm

a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu

b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Tính xác suất đã chọn

được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I

Lời giải

Gọi Ai , Bi (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựci = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực2− i) sản

phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I, lô II

Khi đó

- A0, A1, A2 xung khắc từng đôi và ta có:

8

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

0 2

1 1

105 105

21

105 ; P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1/A)

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1A) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA) 

0,2540 0,3651  0,6957.

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcB1 )

1 1 2

§5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES 5.1 Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi

Do tính xung khắc từng đôi, công thức cộng xác suất cho ta:

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA) = P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA0 B2) + P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1B1) + P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA2 B0)

Từ đây, do tính độc lập, công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:

P(A) P(A0 )P(B2 ) P(A1 )P(B1 ) P(A 2 )P(B0 )



b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Khi đó biến cố A đã xảy

ra Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I trong trườnghợp này chính là xác suất có điều kiện P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1/A)

Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A0 ) C10 C 5 10

Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi

nếu hai tính chất sau được thỏa:

- A1 + A2 +… + An =;

-∀ 1≤ i≠ j≤ n, AiAj =,nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và chỉ

một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ

Nhận xét Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1) + P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA2) + … + P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcAn) = 1

Ví dụ Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng;

hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi Xét các biến cố sau:

- Ai (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựci = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2− i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I

- Bj (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcj = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2− j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II

Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:

- A0 , A1 , A2

- B0 , B1 , B2

- A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2

- A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2

5.2 Công thức xác suất đầy đủ

Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Khi đó, với

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

5.3 Công thức Bayes

Với các giả thiết như trong 5.2, ta có với mỗi 1≤ k≤ n:

P(A k )P(A/A k ) P(A k )P(A/A k )P(A)

j1

Ví dụ Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5

sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2

sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm

a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1

sản phẩm xấu

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Tính xác

suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I

Lời giải

Gọi

- A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II

- Aj (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcj = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực2− j) sản phẩmxấu có trong 2

Suy ra xác suất của biến cố A là

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A0 )P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A / A0 ) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A1 )P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A / A1 ) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A2 )P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A / A2 )

10 72 50 72 45 70

105 136 105 136 105 136

 0,5231

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Khi đó biến cố

A đã xảy ra Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1/A) Ap dụngCông thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có

50 72 P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1 )P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA/A1 )

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA) 0,5231

a)

0 2

2 ; 105

1 1

105

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA1/A)

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A0 ) C10 C 5 10

Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau Giả sử ở mỗi phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất pkhông đổi, hoặc không xảy ra với xác

suất q = 1 – p Khi đó, với mỗi 0≤ k≤ n, ta có Công thức Bernoulli tính xác suất để

trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:

k k

6.2 Hệ quả Với các giả thiết như trên ta có:

1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn.2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn

Ta có:

1 1 2

72 136

11

Ví dụ Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60% Cho máy sản

xuất 5 sản phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:

a) 3 sản phẩm tốt

b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt

12

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

Lời giải

Gọi Ak (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựck = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực5− k) sản phẩm xấu có

trong 5 sản phẩm thu được Ap dụng Công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta

có

k k n−k k k 5−k

a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:

3

b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcA3 + A4 + A5) Ta có:

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A3 A4 A5 ) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A3 ) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A4 ) P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A5 )

4

 0,68256.

B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

§1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo

kết quả của phép thử

Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên

Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên

1.2 Phân loại a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn

đếm được các giá trị

Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm Gọi X là số thí nghiệm thành công Khi đó

X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1; ; n

b) Loại liên tục Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm

được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các

số thực

Ví dụ Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương Ta có T là một đại

lượng ngẫu nhiên liên tục

1.3 Luật phân phối a) Trường hợp rời rạc

Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0,

∑ p

 0,3456 C 5 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0,6) 4 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0,4) (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0.6)5

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực A3 ) C 5 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0,6)3 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0,4) 2 0,3456.

 C 5 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0,6) (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực0,4)

P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực Ak ) C n p q

x1,…,xn ta lập bảng:

XP

-pk = P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX = xk)≥ 0 với k = 1, 2, …, n

n

k1

Ví dụ Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.

Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sảnphẩm chọn ra Tìm luật phân phối của X

Lời giải

Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2 Ap dụngCông thức tính xác suất lựa chọn ta được:

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

0 2 2

2 0

15 3

M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) = x1p1 + x2p2+…+ xnpn

- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcx) có miền xác định [a;b] thì

Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên, ta chỉ ra

đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựca, b có thể hữu hạn hoặc vô hạn) Còn thay

XP

02/15

18/15

21/3cho xác suất p0, p1,…, pn ta đưa ra hàm mật độ f(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcx) thoả các tính chất sau: Do đó kỳ vọng của X là

M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2

§2 CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.

2.1 Mode Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX), là giá trị x0 của

X được xác định như sau:

- Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX = x0) lớn nhất trong số

các xác suất P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX = x)

- Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcx) đạt giá trị lớn nhất

Như vậy, Mod(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy

nhất Chú ý rằng Mod(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau

Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có

X 0 1 2

P 2/15 8/15 1/3

Do đó Mod(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) = 1

2.2 Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)

1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX), là số thực được

xác định như sau:

- Nếu X rời rạc có luật phân phối

15

M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựckX) = kM(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX)

Tính chất 3: M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX + Y) = M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) + M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcY).

Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có

M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcXY) = M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX)M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcY)

2.3 Phương sai và độ lệch chuẩn.

1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX), là số thực

không âm định bởi:

2

trong đó = M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) là kỳ vọng của X

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực X ) Vậy

16

p0 P(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực X 0) C 6 C 4

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

2) Công thức tính phương sai:

Từ định nghĩa của phương sai ta có công thức khác để tính phương sainhư sau:

D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) = M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX2) – [M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX)] 2 2

Như vậy,

- Nếu X rời rạc có luật phân phối

2.4 Sử dụng máy tính để tính các đặc số Ta có thể sử dụng phần mềm

thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES, ) để tính

kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau:

X 0 1 2

P 2/15 8/15 1/3

a) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS

XP

n k1

 AC Kiểm tra lại: Bấm nút tròn∇ hoặc thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa

3) Nhập số liệu: Nhập (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựckhi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;)

- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcx) có miền xác định [a;b] thì 0 SHIFT , 2 a b/c 1 5 M+

và kỳ vọng của X là M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) = 1,2 Suy ra phương sai của X là:

D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) = M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX2) – [M(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3− (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực1,2)2 = 32/75

≈ 0,4267

4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn∇ để kiểm tra việc nhập số liệu Thấy sốliệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệumới sẽ thay cho số liệu cũ

Ví dụ Nhập sai 0 SHIFT , 2 a b/c 2 5 M+ Khi kiểm tra ta thấy trênmàn hình hiện ra:

- x1 = 0 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcđúng)

- Freq1 = 2/25 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcsai)

Độ lệch chuẩn của X là:

 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực X ) D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực X ) 0,4267≈ 0,6532. nhận được số liệu đúng Freq1 = 2/15.Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/25, bấm 2 a b/c

thì tòan bộ số liệu đó (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcgồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa Chẳng hạn,

nghĩa là:

Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0,

D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcC) = 0

Tính chất 2: Với k là hằng số ta có

D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựckX) = k2(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcD(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX)

Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có:

D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX + Y) = D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcX) + D(Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcY)

17

nhập dư 3 SHIFT , 3 a b/c 4 M+ Khi kiểm tra ta thấy x4 = 3 (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcdư) Ta để mànhình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu dư (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thựcgồm giá trị của X = 3

và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa

Chú ý Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn

hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa

18