Ôn tập quy hoạch tuyến tính (ôn thi cao học)

Từ nhận xét trên chúng ta xây dựng phương pháp tính hạng của ma trận như sau: “Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng và cột của ma trận để được một ma trận đường chéo, số phần tử k

PHẦN 1: BỔ SUNG KIẾN THỨC ĐẠI SỐ

§1 Vector N chiều và các phép toán trên vector

1 Khái niệm

“Một vector N chiều là một tập hợp các số thực được sắp xếp theo thứ tự nhất định Vector được ký

hiệu là x, y, z… và được biểu diễn như sau:

Vector dương x ≥ 0: mọi thành phần xj ≥ 0

Vector đơn vị: là vector có một thành phần bằng 1, các thành phần khác bằng 0

Như vậy sẽ có tất cả N vector đơn vị Vector đơn vị như sau:

Hai vector được gọi là bằng nhau nếu chúng thoả mãn các điều kiện sau:

- có số chiều bằng nhau (n chiều)

- các thành phần tương ứng bằng nhau

x1 = y1 ; x2 = y2 ; … xn = yn

Và được ký hiệu là x = y

b Phép cộng vector

Điều kiện: Phép cộng vector chỉ được thực hiện trên 2 vector có cùng số chiều

Kết quả: kết quả của phép cộng 2 vector n chiều cũng là một vector n chiều

Quy tắc: Ta gọi tổng của hai vector n chiều x và y là một vector n chiều z, mà các thành phần của z là tổng của các thành phần tương ứng của x và y

Ký hiệu là: z = x + y, trong đó zj = xj + yj với mọi j = 1 N

c Phép nhân vector với một số

Điều kiện: phép nhân vector được thực hiện giữa một vector và một số α được gọi là hệ số nhân:

Kết quả: kết quả của phép nhân một vector n chiều với 1 số là một vector n chiều

Quy tắc: Ta gọi tích của một vector n chiều x với hệ số α là một vector n chiều z trong đó thành phần thứ j của z chính bằng α lần thành phần thứ j của x

Ký hiệu như sau: z = α x

zj = α xj với mọi j = 1 N Phép nhân vector với một số còn được gọi là phép co giãn vector và α được gọi là hệ số co giãn Kết quả của phép giãn được gọi là bội số Và hai vec tor ở hai vế trong phép giãn được gọi là 2 vector tỷ lệ

4 Các tính chất của phép tính trên vector

c Tính chất phân bố:

α (x + y) = αx + αy (α + β) x = αx + βx

d Các trường hợp đặc biệt

- Phép nhân một vector với số 1 sẽ được chính nó (1.x = x)

- Phép nhân một vector với số 0 sẽ được vector 0

- Phép nhân một vector với –1 sẽ được một vector đối (-1x = -x)

Định nghĩa: vector đối của một vector n chiều x là một vector n chiều y thoả mãn:

x + y = 0

từ đó ta có mệnh đề: “y là vector đối của x khi và chỉ khi yj = - xj với mọi j = 1 n

e hiệu của hai vector

Ta định nghĩa hiệu của hai vector n chiều x và y là tổng của vector x và vector đối của y (vector –y), và

ký hiệu là x + (-y) hay x – y

5 Tập hợp vector

“Tập hợp tất cả các vector n chiều được gọi là không gian vector n chiều và được ký hiệu là Rn ký hiệu

x Є Rn

có nghĩa là x thuộc về không gian Rn hay x là vector n chiều

Ta có mệnh đề: Mọi phép tính trên các vector n chiều sẽ cho kết quả trong Rn

Giả sử không gian Rn

có tất cả k vector, khi ấy một tập hợp gồm m vector (m≤ k) được gọi là một hệ vector hay một tập con của Rn

Tính chất nhóm: (αx, y) = (x, αy) = α (x, y)

Tính chất tách nhóm: (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

Ý nghĩa hình học của tích vô hướng:

Ta gọi độ dài của vector n chiều x là một giá trị số đặc trưng cho tổng bình phương của tất cả các thành phần của vector x và ký hiệu là ||x||

||x|| 2 = Σ xj2 trong đó j = 1 n

Khi ấy vector x và vector y được biểu diễn là 2 đoạn thẳng định hướng có gốc trùng nhau (tại vector 0)

và φ được ký hiệu là góc tạo thành bởi hai vector này

Khi ấy ta có công thức: (x, y) = ||x|| ||y|| cos(φ)

Như vậy sẽ có 3 tình huống xảy ra

- φ < ½ π thì tích vô hướng sẽ dương φ

- φ = ½ π thì tích vô hướng bằng 0

- φ > ½ π thì tích vô hướng âm

Hai vector có tích vô hướng bằng 0 được gọi là 2 vector trực giao, như vậy vector 0 là vector trực giao với mọi vector khác

bản chất của công thức trên là: phép chiếu vector lên một vector khác

7 Hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tính

Một hệ m vector m chiều {xj} (j= 1 m) thuộc không gian vector Rn

được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có thể tìm được một tập hợp số αj (j= 1 m) trong đó có ít nhất một αj khác 0, thoả mãn công thức:

Σαj xj = 0 (j = 1 m)

Một hệ vector m chiều {xj} (j = 1 m) thuộc không gian vector Rn

được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức Σαj xj = 0 (j = 1 m) đúng khi và chỉ khi mọi αj = 0

Ý nghĩa: hệ độc lập tuyến tính đặc trưng cho tính chất độc lập của các đối tượng Còn hệ phụ thuộc tuyến tính đặc trưng cho quan hệ ràng buộc giữa các phần tử của hệ Tập hợp hệ số {αj} thoả mãn đẳng

thức trên được gọi là 1 ràng buộc về mặt hình học tập hợp các vector cùng phương là một hệ phụ thuộc tuyến tính

Ta có một số mệnh đề sau:

- Hệ 1 vector {x = 0} là hệ phụ thuộc tuyến tính vì với mọi giá trị α đều thoả mãn đẳng thức trên

- Hệ 1 vector {x} trong đó x ≠ 0 luôn là hệ độc lập tuyến tính

- Mọi hệ có chứa vector 0 đều là hệ phụ thuộc tuyến tính

- Một hệ vector là độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập tuyến tính

8 Hệ con độc lập tuyến tính cực đại

Cho trước một hệ vector A, ta gọi một hệ con độc lập tuyến tính B của hệ vector đó là độc lập tuyến tính cực đại nếu khi thêm vào bất cứ một vector nào khác của hệ A cũng làm cho hệ B mất đi tính chất độc lập tuyến tính của nó

Ta có một mệnh đề sau: Hệ A có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính cực đại nhưng số vector của mọi hệ tuyến tính cực đại của hệ A đều bằng 1 hằng số và hằng số đó được gọi là hạng của hệ vector A Hạng của không gian vector Rn

chính bằng n Và một hệ vector độc lập tuyến tính cực đại trong không gian Rn được gọi là một cơ sở của của không gian Rn

Mệnh đề 2: Một vector x trong không gian Rn

bao giờ cũng biểu diễn tuyến tính duy nhất được qua một

cơ sở cho trước

Chứng minh: trong mệnh đề này có hai điều phải chứng minh: thứ nhất ta phải chứng minh là nếu cho trước một vector x và một cơ sở U = {u1

, u2, … un} thì x biểu diễn được tuyến tính qua các uj Thật vậy vì U là một cơ sở cho nên nó là một hệ độc lập tuyến cực đại của Rn

Do đó nếu thêm bất kỳ một vector nào vào U thì đều được một hệ phụ thuộc tuyến tính Giả sử thêm x vào U ta có hệ {U, x} là một

hệ phụ thuộc Như vậy sẽ có ít nhất một vector biểu diễn tuyến tính được qua các vector còn lại Nếu

đó là x thì ta có công thức x = Σ αj uj đây chính là công thức biểu diễn tuyến tính x qua U Nếu đó không phải là x mà là một uk

nào đó thì ta có công thức uk = αx + Σ αj uj (j = 1 n, j ≠ k) từ công thức này ta có thể suy ra x = 1/α uk

- Σ αj uj (j = 1 n, j ≠ k) đây cũng chính là công thức biểu diễn tuyến tính của x qua U

Thứ 2: ta cần chứng minh nếu có một biểu diễn x = Σ αj uj thì biểu diễn này là duy nhất Thật vậy giả

sử có cách biểu diễn thứ 2 là x = Σ βj uj, khi đó ta có Σ αj uj = Σ βj uj ; từ đó dễ dàng suy ra Σ αj uj - Σ βj

uj = 0 hay Σ (αj - βj) uj = 0 Vì các uj là độc lập tuyến tính nên công thức trên xảy ra khi và chỉ khi các

hệ số cùng bằng 0, có nghĩa là (αj - βj) = 0 với mọi j do đó αj = βj từ đớ có thể suy ra hai cách biểu diễn trên là một và duy nhất

Một vector bất kỳ của Rn

bao giờ cũng biểu diễn tuyến tính được qua một cơ sở U bất kỳ của Rn theo công thức x = Σαj uj và khi ấy các hệ số {αj }cũng tạo thành một vector trong Rn và {αj } được gọi là vector hệ số phân tích của x qua cơ sở U

Hệ vector đơn vị: Trong không gian Rn

ta gọi hệ vector E sau đây là hệ vector đơn vị:

- Một hệ vector đơn vị là một cơ sở và được gọi là một cơ sở đơn vị

- Vector hệ số của vector x bất kỳ biểu diễn qua cơ sở đơn vị E chính bằng vector x

- Giả sử có một cơ sở U nếu ta lấy lần lượt từng vector uj biểu diễn tuyến tính qua chính cơ

sở U thì ta sẽ thu được n vector hệ số phân tích của uJ

và n vector này chính là vector đơn vị:

Thật vậy, ta có: u1 = 1u1 + 0u2 + … + 0un vector phân tích = {1, 0, … 0}

Trong một ma trận, tập hợp các phần tử có chỉ số hàng và chỉ số cột giống nhau (aij với i = j) được gọi

là đường chéo của ma trận Về mặt hình học đường chéo của ma trận là các phần tử nằm trên đường chéo của một hình vuông lớn nhất

Các ma trận đặc biệt:

Ma trận không (0) là một ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0

Ma trận tam giác là một ma trận mà mọi phần tử nằm về một phía của đường chéo bằng 0

Ma trận đường chéo là ma trận mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0

Hai ma trận A và B cùng cấp m,n được gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của nó bằng nhau

Ký hiệu là A = B hoặc {aij} = {bij} với mọi i từ 1 đến m và j từ 1 đến n

Phép cộng ma trận: ta gọi tổng của hai ma trận A và B cùng cấp m,n là một ma trận cùng cấp C có các

phần tử bằng tổng của các phần tử tương ứng của hai ma trận A và B

Ký hiệu là C = A + B hoặc {cij} = {aij} + {bij} với mọi i từ 1 đến n và j từ 1 đến n

Phép nhân ma trận với 1 số: Ta gọi tích của ma trận A cấp m, n với một hằng số α là một ma trận C

mà mọi phần tử của nó chính bằng các phần tử tương ứng của A nhân với α

Ký hiệu là C = αA hoặc {cij} = {α aij} với mọi i từ 1 đến m, j từ 1 đến n

Các phép tính cộng ma trận và nhân ma trận với một hằng số có các tính chất sau:

cij = Σ aik bkj trong đó i = 1 n; j = 1 p và k = 1 n

Cụ thể là các phần tử thứ hàng i, cột j của ma trận tích C sẽ bằng tổng các tích của các phần tử hàng thứ i của ma trận A nhân với cột thứ j của ma trận B Đây được gọi là quy tắc nhân hàng với cột, hay thực chất là tích vô hướng của vector hàng thứ i của ma trận A với cột thứ j của ma trận B chính vì vậy

một điều kiện cơ bản là 2 vector này cùng số chiều hay số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B

Với điều kiện đó, nên phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán Tính chất giao hoán chỉ đúng khi và chỉ khi nhân 2 ma trận vuông với nhau

Các tính chất nửa kết hợp và phân bố vẫn đúng với phép nhân ma trận nhưng tất nhiên là với điều kiện

số hàng của ma trận đứng trước phải bằng số cột của ma trận đứng sau:

(Amn x Bnp ) x Cpq = Amn x (Bnp x Cpq)

Amn (Bnp x Cnp ) = Amn Bnp + Amn Cnp

Hạng của ma trận: Người ta gọi hạng của hệ vector cột của một ma trận là hạng của ma trận ấy

Định lý: Hạng của hệ vector hàng của ma trận A luôn luôn bằng hạng của hệ vector cột của ma trận A hay chính bằng hạng của ma trận A Từ đó ta có: Hạng của ma trận A ≤ min (m, n)

Nhận xét: Các phép biến đổi sau đây không làm thay đổi hạng của ma trận

1- Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột

2- Nhân 1 hàng hoặc một cột với một hằng số khác 0

3- Nhân một hàng với một hằng số khác 0 rồi cộng vào hàng khác

4- Nhân một cột với một hằng số khác 0 rồi cộng vào cột khác

Từ nhận xét trên chúng ta xây dựng phương pháp tính hạng của ma trận như sau:

“Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng và cột của ma trận để được một ma trận đường chéo, số phần tử khác 0 trên đường chéo chính là số hạng của ma trận”

Trong khi biến đổi để tìm hạng ma trận, chúng ta có thể áp dụng quy tắc biến đổi sau:

Quy tắc 1: Nếu một phần tử cô lập trên hàng (trên hàng đó chỉ có phần tử đó khác 0 còn các phần tử

khác bằng 0) thì phần tử đó cũng có thể biến đổi thành cô lập trên cột mà không làm thay đổi hạng ma trận Hay nói cách khác khi một phần tử là cô lập trên hàng thì ta được phép thay các phần tử khác trên cùng cột với phần tử đó bằng số 0 mà không làm thay đổi hạng ma trận Quy tắc này cũng đúng đối với các phần tử cô lập trên cột

Quy tắc 2: Nếu trong một ma trận có 2 hàng (hoặc 2 cột) tỷ lệ với nhau thì có thể thay thế hàng đó

bằng vector 0 hoặc loại bỏ hàng đó mà không làm thay đổi hạng của ma trận

3 Ma trận nghịch đảo

Cho một ma trận A vuông cấp n, nếu hạng của ma trận A đúng bằng n thì ta nói A là ma trận không suy biến Như vậy một ma trận không suy biến tương đương với 2 cơ sở trong không gian Rn

Cho A là một ma trận không suy biến, khi đó chúng ta có thể tìm được một ma trận A-1

vuông cùng cấp sao cho A.A-1 = A-1A = E Ta gọi A-1

là ma trận nghịch đảo của ma trận A

Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A:

Trước hết ta xây dựng một ma trận hợp thành từ ma trận A và ma trận đơn vị E bằng cách đặt hai ma trận này cạnh nhau [A|E] Ma trận này được gọi là ma trận phụ hợp của A ma trận phụ hợp là một ma trận có cấp là n, 2n

Bây giờ ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng ma trận phụ hợp sao cho phía ma trận A bị biến đổi thành ma trận E Khi đó phía ma trận E sẽ bị biến đổi thành ma trận nghịch đảo Hay nói cách khác [A|E] sẽ bị biến đổi thành [E|A-1

] Định lý: Chỉ có ma trận không suy biến thì mới có ma trận nghịch đảo

- các giá trị bi ( i = 1 n) lập thành một vector n chiều ký hiệu là vector b

- các nghiệm {xi } cũng lập thành một hệ vector n chiều và được gọi là vector nghiệm, ký hiệu là x

Từ các nhận xét trên ta có một cách biểu diễn hệ phương trình tuyến tính nói trên dưới dạng tích ma trận và vector như sau: Ax = b

Ta gọi ma trận Ā = [A|b] là ma trận mở rộng của hệ phương trình Đây là một ma trận cấp m,n+ 1

Nếu tách A thành một hệ n vector cột {Aj}, khi ấy hệ phương trình tuyến tính lại có thể được biểu diễn như sau:

x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = b

Và ta có nhận xét là hệ phương trình tuyến tính tương đương với công thức biểu diễn tuyến tính vector

n chiều b qua n vector cột của ma trận A với các hệ số xj.

Một vector x bất kỳ thoả mãn mọi phương trình của hệ phương trình tuyến tính thì được gọi là một nghiệm của hệ

- Một hệ phương trình không có nghiệm thì được gọi là hệ vô nghiệm

- Một hệ phương trình có một nghiệm duy nhất thì được gọi là hệ phương trình xác định hay một hệ phương trình Cramer

- Một hệ phương trình có ít nhất một nghiệm thì gọi là hệ có nghiệm hay gọi là hệ tương thích

- Một hệ phương trình có hơn một nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm, và hệ này được gọi là hệ phương trình vô định

2 Phương pháp GAUSS giải hệ phương trình tuyến tính

Phương pháp GAUSS, dùng để giải các hệ phương trình tuyến tính thông qua các phép biến đổi sơ cấp

bước 3: Xét kết quả của quá trình biến đổi Kết quả này sẽ là một ma trận cấp r, n+1 Trong đó r ≤ n.Và

r vector hàng này độc lập tuyến tính với nhau Nếu r < n, hệ phương trình có vô số nghiệm Nếu r = n,

hệ phương trình có một nghiệm duy nhất và khi đó hệ phương trình cuối cùng sẽ có dạng:

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a22 x2 + … + a2n xn = b2

…

ann xn = bn

Từ hệ này ta lần lượt giải ra được xn, xn-1 … Cho đến x1

Nếu r < n chúng ta sẽ thu được hệ phương trình trong đó phương trình cuối cùng có n-r+1 ẩn số, ta giữ lại một ẩn, trong phương trình này còn lại các ẩn khác trong phương trình ta chuyển sang vế phải và gọi

là các ẩn tự do Từ đó biện luận để tìm ra các vector nghiệm, Vector nghiệm mà trong đó các ẩn số được biểu diễn qua các ẩn tự do được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình

PHẦN 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Một trong những bài toán kinh điển trong kinh tế học đó là bài toán lập phương án sản xuất và tối ưu hoá Các bài toán tối ưu trong sản xuất được tổng quát hoá thành một bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán được phát biểu như sau:

Giả sử chúng ta có một số yếu tố đầu vào nhất định (vốn, nguyên vật liệu, nguồn nhân lực, công nghệ,

…) Và giả sử chúng ta cần lập kế hoạch sản suất n loại sản phẩm khác nhau P1, P2, … Pn Vậy với với

mỗi loại sản phẩm, chúng ta cần sản xuất với một số lượng là bao nhiêu thì sẽ thu được lợi nhuận là tối

đa

Chúng ta gọi xi là số lượng sản phẩm Pi sẽ sản xuất ra, i =1 n và cj là lợi nhuận thu được trên một đơn

vị sản phẩm Pj Khi đó hàm lợi nhuận sẽ được biểu diễn như sau:

f(x) = ∑ cj xj ( j = 1 n )hoặc biểu diễn ở dạng vector như sau f(x) = (c, x)

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ b1 (1)

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2

……

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm

Trong thực tế, các bài toán quy hoạch tuyến tính còn đòi hỏi thêm điều kiện xj ≥ 0 j = 1 n Nghĩa là

số lượng các sản phẩm cần sản xuất ra phải không âm (2) Đây là một trong những điều kiện của bài toán dạng chính tắc sẽ được để cập đến ở phần sau

Ý nghĩa của hệ bất đẳng thức (1) là tổng số các yếu tố đầu vào sử dụng trong sản xuất không được vượt quá những yếu tố mà doanh nghiệp có sẵn

Nếu gọi A là ma trận gồm {aij} i = 1 m; j =1 n và b là vector {bi} với i = 1 m thì ta có thể viết lại điều kiện 1 như sau:

1 Định nghĩa Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát:

Tìm cưc trị của hàm mục tiêu f(x) tiến đến min (hoặc max) xác định trên tập phương án thoả mãn các điều kiện của hệ ràng buộc sau: Ax ≤ b (1) và A’x = b’ (2):

f(x) tiến đến min (hoặc max)

Ax ≤ b (1)

A’x = b’ (2)

Lưu ý trong định nghĩa tổng quát trên hệ ràng buộc được tách riêng thành hệ phương trình và bất phương trình ràng buộc

2 Định nghĩa phương án Một vector x thuộc không gian Rn thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán được gọi là một phương án

3 Phương án tối ưu: Một phuơng án mà tại đó hàm mục tiêu đạt cực trị được gọi là một phương án tối

ưu

4 Một bài toán có ít nhất một phương án tối ưu được gọi là bài toán giải được Một bài toán không

có phương án tối ưu được gọi là bài toán không giải được

Như vậy một bài toán không giải được nếu nó không có phương án hoặc nó có phương án nhưng trị số hàm mục tiêu tiến đến -∞ (hoặc +∞) trên tập phương án (Giảm hoặc tăng vô hạn, không bị chặn trên tập phương án)

5 Phương án cực biên

Nếu một phương án x thoả mãn ràng buộc thứ i với dấu bằng: Ai x = bi thì ràng buộc thứ i được gọi là ràng buộc chặt đối với phương án x hay phương án x thoả mãn chặt ràng buộc thứ i Ngược lại nếu phương án x thoả mãn ràng buộc thứ k với dấu bất đẳng thức thực sự: Ak x < bk thì ràng buộc thứ k được gọi là ràng buộc lỏng đối với phương án x hay phương án x thoả mãn lỏng ràng buộc thứ k

Về mặt hình học, tập hợp các phương án của bài toán có thể là một hình khép kín hoặc mở như sau:

Khi đó tất cả các điểm nằm trong hình và nằm trên biên của hình là các phương án (vì chúng thoả mãn các ràng buộc) Các đường thẳng là các phương trình ràng buộc Các điểm nằm trong là các phương án thoả mãn lỏng mọi ràng buộc còn các điểm nằm trên biên thì thoả mãn chặt ràng buộc mà chúng nằm trên Các điểm nằm ở đỉnh của đa giác thì thoả mãn chặt 2 ràng buộc

Ở đây chúng ta cần tránh nhầm lẫn hai khái niệm: một phương án thoả mãn chặt một ràng buộc nào đó

và một ràng buộc là chặt đối với một phương án nào đó Đối với một phương án cụ thể thì một ràng buộc chỉ có thể hoặc là chặt, hoặc là lỏng Như vậy với một phương án cụ thể, chúng ta có thể chia ra 2 tập hợp điều kiện như sau:

Ai x = bi ( i € I1)

Ak x < bk ( k € I2)

I1 được gọi là tập hợp các ràng buộc chặt, còn I2 được gọi là tập hợp các ràng buộc lỏng của phương án này

Còn trên phương diện bài toán, ràng buộc có thể là chặt hoặc lỏng Nếu một ràng buộc là chặt với mọi phương án (nghĩa là trong hệ ràng buộc có một phương trình) thì ràng buộc đó được gọi là ràng buộc chặt của bài toán Khi đó về mặt hình học, tập phương án là tập hợp các điểm nằm trên phương trình ràng buộc này

Phương án cực biên: Một phương án thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính được gọi là một phương án cực biên

Một phương án thoả mãn chặt đúng n ràng buộc độc lập tuyến tính được gọi là phương án cực biên không suy biến Một phương án thoả mãn chặt hơn n ràng buộc trong đó có n ràng buộc độc lập tuyến tính thì được gọi là một phương án cực biên suy biến

§2 Các bài toán quy hoạch tuyến tính đặc biệt

∑ xj Aj = b (đây chính là công thức biểu diễn tuyến tính b qua Aj)

Nếu ta triển khai hệ ràng buộc về dấu dưới dạng tích ma trận với vector thì ta có hệ bất phương trình sau:

x1 + 0x2 + ……+ 0xn ≥ 0

0x1 + x2 + ……+ 0xn ≥ 0

…

0x1 + 0x2 + ……+ xn ≥ 0

Và biểu diễn dưới dạng ma trận là Ex ≥ 0 Trong đó E là ma trận đơn vị

Khi đó ma trận hệ ràng buộc đầy đủ có thể được viết như sau: A

E

Mệnh đề: mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là bằng nhau hay từ phương án tối ưu của bài toán này có thể suy ra phương án tối ưu của bài toán kia và ngược lại

Phương pháp đưa các bài toán phi chính tắc về dạng chính tắc:

- Đối với hệ ràng buộc: ta thêm vào hệ ràng buộc một ẩn số phụ xp sao cho bất phương trình

∑aij xj ≤ b tương đương với ∑aij xj + xpj = b Nếu là ∑aij xj ≥ b thì xp được thêm vào dấu trừ

- Trong hàm mục tiêu ta thêm vào ẩn xp với hệ số bằng 0, như vậy hàm mục tiêu sẽ không thay đổi

- Đối với các ràng buộc dấu: Nếu xj đã có ràng buộc dấu xj ≥ 0 thì giữ nguyên ràng buộc, không cần biến đổi nếu xk không có ràng buộc về dấu thì dùng phương pháp đặt ẩn phụ dựa trên tính chất sau: Mọi giá trị số đều có thể biểu diễn được qua hiệu của hai số không âm Như vậy ta sẽ đặt ra hai biến phụ xk1 và xk2 sao cho xk = xk1 - xk2 với xk1 ≥ 0 và xk2 ≥ 0 Cuối cùng thay hiệu số trên vào hàm mục tiêu ta có hàm mục tiêu tương đương sau f(x) = (c, x’) trong đó vector x’ hình thành từ vector x với n+1 thành phần

2 Bài toán dạng chuẩn

Bài toán dạng chuẩn là bài toán dạng chính tắc và thoả mãn thêm 2 điều kiện sau:

bi ≥ 0 với mọi i = 1 m

m biến đầu tiên x1 x2 … xm chỉ có mặt trong phương trình ràng buộc tương ứng và với hệ số bằng

1 Nghĩa là ma trận hệ ràng buộc có dạng sau:

1, 0, … 0, a1, m+1, a1,m+2 ….a1n

0, 1, … 0, a2, m+1, a2,m+2 ….a2n

…

0, 0, ….1, am,m+1, am,m+2 ….am,n

Từ định nghĩa trên ta có một số mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: Bài toán dạng chuẩn là bài toán dạng chính tắc mà có các thành phần của vector vế phải b ≥

0 và ma trận hệ ràng buộc Am,n có chứa ma trận đơn vị của không gian Rm

Mệnh đề 2: bài toán dạng chuẩn bao giờ cũng có phương án cực biên Một phương án cực biên xác định có dạng sau:

x0 = (b1, b2, … bm, 0, 0, … 0)

Thật vậy khi giải hệ ràng buộc để tìm tập hợp nghiệm (hay phương án), chúng ta có thể cho các nghiệm

tự do từ xm+1 cho đến xn bằng 0, thì từ hệ ràng buộc ta có ngay x1 = b1, x2 = b2 … xm = bm từ đó tìm ngay được nghiệm tổng quát dạng x0

Hạng của ma trận A nói trên bằng m (vì nó chứa ma trận đơn vị Em,m)

Bây giờ nếu kết hợp thêm các dàng buộc về dấu ta có từ xm+1 trở đi nghiệm x0 thoả mãn với dấu bằng

xm+1 = 0

xm+2 = 0

…

xn = 0 hay nếu khai triển dưới dạng các phương trình đầy đủ như sau

0x1 + 0x2 + …… + xm+1 + 0 + ….+ 0 = 0 0x1 + 0x2 + …… + 0 + xm+2 + ….+ 0 = 0

………

0x1 + 0x2 + …… + 0 + 0 + ….+ xn = 0 Nếu kết hợp n-m ràng buộc chặt này với m ràng buộc chặt ở trên thì ta có x0

thoả mãn n ràng buộc và hơn nữa nó thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính nên nó là phương án cực biên

Hệ quả: Với bài toán dạng chuẩn, nếu ta có bi > 0 với mọi i = 1 m thì phương án cực biên x0 nói trên

là phương án cực biên không suy biến

Trong bài toán dạng chuẩn, các biến x1 … xm được gọi là các biến cô lập, các biến xm+1 … xn được gọi

là các biến không cô lập hay còn gọi là các biến số tự do

§3 Các tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính

1 Sự tồn tại của phương án cực biên:

Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án và hạng của ma trận hệ ràng buộc bằng n thì bài toán có phương án cực biên

Đối với bài toán dạng chính tắc, ma trận hệ ràng buộc là ma trận A/E nên hạng của nó luôn bằng n Vì thế nếu bài toán chính tắc có phương án thì đương nhiên nó có phương án cực biên

2 Sự tồn tại của phương án tối ưu

Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án và trị số của hàm mục tiêu bị chặn dưới (hoặc trên) trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu (hay còn gọi là bài toán giải đuợc) (phát biểu dưới dạng công thức: tồn tại một hằng số α sao cho f(x) ≥ α với mọi phương án x) Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án cực biên và trị của hàm mục tiêu bị chặn dưới (hoặc trên) trên tập phương án thì bài toán có phương án cực biên tối ưu Hay nói cách khác, nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án cực biên và giải được thì bài toán đó có phương án cực biên tối ưu

Bài toán dạng chính tắc mà có phương án và trị số hàm mục tiêu bị chặn thì bài toán đó có phương án cực biên tối ưu

Nếu bài toán dạng chính tắc mà giải được thì bài toán đó có phương án cực biên tối ưu

Ví dụ áp dụng: Cho bài toán sau:

Chứng minh rằng bài toán có phương án cực biên và giải được Hãy chỉ ra một phương án cực biên tối

Ta có f(x0) = 0 và bây giờ ta sẽ chứng minh là f(x) bị chặn dưới bới f(x0) Thật vậy điều kiện ràng buộc của bài toán là xj ≥ 0 do đó f(x) ≥ 0 với mọi phương án x Nghĩa là bài toán bị chặn dưới (giải được) từ

đó kết luận là bài toán có phương án cực biên tối ưu và x0

chính là phương án cực biên tối ưu Ta còn

có thể chứng minh thêm là đây là phương án cực biên tối ưu duy nhất

3 Tính hữu hạn của số phương án cực biên

“Số phương án cực biên của mọi bài toán quy hoặc tuyến tính đều hữu hạn”

Thật vậy có thể phân bài toán quy hoạch tuyến tính về hai dạng: dạng thứ nhất có số ràng buộc ít hơn

số biến (m < n) khi đó bài toán không có phương án cực biên (vì không thể thoả mãn chặt n ràng buộc trong khi chỉ có m ràng buộc) do đó số phương án cực biên = 0 (hữu hạn)

Dạng thứ hai là bài toán có số ràng buộc ≥ số biến (m ≥ n) Ta có nhận xét là một phương án cực biên thì phải thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính trong khi đó một phương án thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính thì chưa chắc đã là một phương án cực biên Lý luận này có nghĩa là số phương

án cực biên có thể có luôn nhỏ hơn hoặc bằng số hệ n phương trình/bất phương trình độc lập tuyến tính

có thể có từ hệ ràng buộc mà n ≤ m do đó số cách để lấy ra n phương trình hoặc bất phương trình bất

kỳ từ hệ m ràng buộc là Cmn do đó số phương án cực biên luôn nhỏ hơn hoặc bằng con số này và do đó

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

f

j 0

182

03

72

2

min5

3)(

4 3 1

4 3 2 1

4 3

2 1

3 2

1

Giải với trường hợp f(x) và A

Xét phương án x0

có dạng x0 = (n, 0, 0 …., 0) ta thấy, x0 thoả mãn mọi ràng buộc, trong đó nó thoả mãn chặt n-1 ràng buộc về dấu và ngoài ra nó thoả mãn chặt ràng buộc x1 + x2 + ….+ xn ≥ n Như vậy x0

thoả mãn chặt n ràng buộc với ma trận điều kiện như sau

là một phương án cực biên Vậy để chứng minh là bài toán có phương án cực biên tối ưu, ta chỉ cần chứng minh bài toán bị chặn trên tập phương án

Thật vậy vì điều kiện của bài toán là xj ≥ 0 nên hàm f(x) ≥ 0 Do đó nó bị chặn dưới => bài toán có phươgn án cực biên tối ưu

Để tìm phương án cực biên tối ưu Ta xét bất phương trình có được từ việc cộng các ràng buộc trong hệ ràng buộc A kể trên lại, ta có:

là phương án cực biên tối ưu

Ví dụ áp dụng 2

Cho hàm f(x) = x1 + x2 + … + xn với hệ ràng buộc là 0 ≤ xj ≤ 1 (j = 1 … n)

2

)1(

1

n n i

n

i

2

) 1 ( )

f

Xác định số phương án cực biên, chứng tỏ bài toán là giải được và hãy chỉ ra phương án cực biên tối ưu trong trong cả hai trường hợp f(x) tiến đến min và f(x) tiến đến max

Giải: Có thể thấy ngay là bài toán có phương án (chẳng hạn x1

= (1, 1, …., 1), và hơn nữa đây là phương án cực biên) Ngoài ra tất cả các phương án cực biên có thể có là những phương án mà tại dó thành phần xj của nó hoặc = 0 hoặc =1 nghĩa là có thể nhận 1 trong hai giá trị {0, 1} Như vậy số cách hình thành các phương án này chính là chỉnh hợp lặp chập n từ hai phần tử 0 và 1 Do vậy số phương

án cực biên = Ā2n

Trong trường hợp f(x)  min, thì vì xj ≥ 0 với mọi j cho nên f(x) ≥ 0 hay f(x) bị chặn dưới, do đó bài toán là giải được Nếu đặt x0 = {0, 0, 0} ta có f(x) ≥ 0 = f(x0) với mọi x do đó x = 0 là phương án tối

ưu hơn nữa nó thoả mãn chặt n ràng buộc nên nó là phương án cực biên tối ưu

Tương tự trong trường hợp f(x)  max ta cũng dễ dàng chứng minh được x1

= {1,1, …1} là một phương án cực biên tối ưu

§4 Phương pháp đơn hình giải bải toán quy hoạch tuyến tính

Nội dung phương pháp: Phương pháp đơn hình dựa trên tính chất hữu hạn các phương án cực biên Nếu chúng ta có một phương án cực biên x, chúng ta sẽ khảo sát phương án đó xem nó tối ưu hay chưa Nếu nó chưa tối ưu thì chúng ta tìm một phương án x’ tốt hơn (theo nghĩa f(x’) ≤ f(x) đối với bài toán tiến tới min hoặc f(x’) ≥ f (x) đối với bài toán f(x) tiến đến max)

Vì số phương án cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước hoặc chúng ta sẽ có thể kết là bài toán không giải được (không bị chặn), hoặc sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu

Như vậy để giải bài toán quy hoạch tuyến tính theo phương pháp đơn hình, chúng ta cần: thứ nhất: tìm

ra một phương án cực biên x ban đầu và; thứ hai: cách thức để cải tiến ra một phương án x’ tốt hơn từ phương án x nói trên

1 Khảo sát xây dựng phương án

Vì mọi bài toán đều có thể đưa về dạng chính tắc cho nên chúng ta sẽ khảo sát phương pháp đơn hình trên bài toán dạng chính tắc mà thôi

Viết lại dạng bài toán: f(x) = (c,x)  min (hoặc max)

Ax = b hay dưới dạng vector là ∑xj Aj = b

xj ≥ 0 Lưu ý: Cách viết các điều kiện ràng buộc dưới dạng vector, chính là cách biểu diễn tuyến tính vector b qua các vector cột của ma trận A (tổng ∑xjAj là tổng của n vector), từ nay về sau ta sẽ dùng ký hiệu Aj

là ký hiệu vector cột thứ j của ma trận điều kiện

Định lý 1:

Phương án x của bài toán chính tắc là cực biên khi và chỉ khi các vector điều kiện Aj tương ứng với các thành phần dương của phương án là độc lập tuyến tính với nhau: Nghĩa là: {Aj, với xi > 0} là hệ độc lập tuyến tính

Chứng minh:

Giả sử x là một phương án bất kỳ và ta có thể giả sử là p thành phần đầu tiên là các thành phần dương x

= {x1, x2 … xp, 0, ….0} (nếu các thành phần dương không nằm ở đầu thì qua phép đổi chỗ ta có thể đưa các thành phần dương lên đầu)

Từ các ràng buộc về dấu ta có thể xây dựng được n-p ràng buộc chặt của phương án x như sau:

p Như vậy hạng của C sẽ bằng hạng của ma trận P cộng với n-p

Mà x là phương án cực biên khi và chỉ khi nó thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính, có nghĩa là hạng của ma trận C nói trên phải bằng n Điều này tương đương với việc hạng của ma trận P bằng p nghĩa là p vector cột đầu tiên độc lập tuyến tính

Các hệ quả:

Đối với bài toán dạng chính tắc, vì các ràng buộc đều là phương trình cho nên, chúng ta có thể dùng phương pháp GAUSS để loại bỏ các phương trình phụ thuộc Do đó chúng ta có thể giả thiết là hệ ràng buộc bao gồm m phương trình độc lập tuyến tính hay ma trận điều kiện A có hạng là m, và m < n Trường hợp m = n là một trường hợp đặc biệt, khi ấy từ hệ ràng buộc ta xác định được duy nhất một vector nghiệm Do đó nếu các thành phần của nghiệm này thoả mãn ràng buộc về dấu thì ta có thể kết luận ngay bài toán này có một phương án duy nhất và tối ưu Ngược lại, Nếu có một thành phần nào đó của nghiệm không thoả mãn ràng buộc về dấu thì có thể kết luận bài toán không có phương án (không giải được)

Trường hợp m > n thì sẽ có các phương trình ràng buộc phụ thuộc, do đó có thể loại bỏ để đưa về trường hợp m=n hoặc m < n

Tóm lại chúng ta chỉ cần khảo sát tổng quát các bài toán quy hoạch tuyến tính mà có m<n

Hệ quả:

- Một phương án cực biên có tối đa m thành phần dương: Thật vậy nếu nó có k thành phần dương (k > m) thì khi đó số ràng buộc chặt mà nó thoả mãn gồm m phương trình của hệ ràng buộc và thêm n-k dàng buộc về dấu với dấu bằng (từ xk trở đi = 0) như vậy tổng số ràng buộc chặt mà phương án này thoả mãn là m+n-k = n – (k-m) <n do vậy phương án này không cực biên

Tương tự ta có 2 hệ quả khác

- Một phương án cực biên không suy biến thì có đúng m thành phần dương

- Một phương án cực biên suy biến thì có ít hơn m thành phần dương

Khái niệm cơ sở của phương án cực biên

Gọi hệ m vector {Aj} độc lập tuyến tính của hệ ràng buộc mà bao tất cả các véctơ tương ứng với thành phần dương của một phương án cực biên x0

là cơ sở của là cơ sở của phương án cực biên ấy và ký hiệu

là cơ sở J

Ta cũng đồng thời ký hiệu một cách quy ước là J là tập hợp các chỉ số của vector Aj với Aj thuộc cơ sở

J Ví dụ nếu ta viết J ={1, 3, 7} thì có nghĩa cơ sở của phương án x0

là J = {A1, A3 và A7} Chúng ta có thể viết một cách tường minh hơn như sau: Nếu x0

là phương án cực biên với cơ sở J thì có nghĩa là:

- số phần tử của cơ sở J bằng m

- hệ các vector {Aj} với j € J là độc lập tuyến tính

- {Ai với mọi xi > 0} € {Aj}

Từ khái niệm trên ta có kết luận sau:

- Một phương án cực biên không suy biến thì chỉ có một cơ sở duy nhất

- Một phương án cực biên suy biến thì có nhiều cơ sở khác nhau mà phần chung của chúng chính là các vector tương ứng với các thành phần dương

Gọi các vector Aj thuộc J là các vector cơ sở, các thành phần của phương án xj với j € J được gọi là các thành phần cơ sở, các thành phần còn lại của phương án được gọi là các thành phần phi cơ sở Vì các thành phần dương đều nằm trong cơ sở cho nên chúng ta thấy ngay là các thành phần phi cơ sở của một phương án thì bằng 0

Như vậy nếu phân tích lại vector b ta có công thức sau

- Phương án cực biên không suy biến khi và chỉ khi mọi thành phần cơ sở đều dương

- Phương án cực biên suy biến thì có ít nhất một thành phần cơ sở bằng 0

- Các thành phần cơ sở của phương án cực biên x0 chính là hệ số phân tích của vector b qua

cơ sở của phương án cực biên ấy

2 Dấu hiệu tối ưu và định lý cơ bản của phương pháp đơn hình

Giả sử có một phương án cực biên x với cơ sở J Khi đó ta có thể tách ma trận hệ ràng buộc thành 2 ma trận con là AJ = {Aj j € J} và AK = {Ak k không thuộc J} và b được biểu diễn như sau:

ký hiệu {xjk} để dùng trong các chứng minh sau

Khái niệm ước lượng của biến xk: Ứng với mỗi một chỉ số k từ 1 n, ta xác định đại lượng ∆k = ∑ cjxjk– ck (với mọi j thuộc J) hay nếu ký hiệu Cj là vector gồm {cj } j € J thì ∆k có thể biểu diễn dưới dạng tích vô hướng:

∆k = ∑ cjxjk – ck = (Cj, Xk) – ckĐại lượng ∆k này được gọi là ước lượng của biến xk theo cơ sở J Đối với các biến cơ sở (các chỉ số k € J) thì Xk là các vector đơn vị do đó tích vô hướng với Cj chính là cj vì vậy ước lượng của các biến cơ sở luôn bằng 0 Về mặt ý nghĩa hình học, ∆k là đại lượng đặc trưng cho chiều biến đổi của phương án x khi chúng ta cho các biến tự do các giá trị bất kỳ: Phương án x bao giờ cũng có các thành phần cơ sở là không đổi, khi tịnh tiến các thành phần tự do đi các giá trị ∆k thì ta lại thu được một phương án cực biên x’ khác Nếu ∆k là dương thì giá trị biến tự do xk giảm nếu ∆k = 0 thì xk không đổi, còn nếu ∆k âm thì giá trị biến tự do tương ứng tăng (ta sẽ sử dụng khái niệm này trong chứng minh định lý cơ bản của phương pháp đơn hình ở phần sau)

Định lý về dấu hiệu tối ưu

Nếu ta có phương án cực biên x0

của bài toán dạng chính tắc mà có các ∆k ≤ 0 với mọi k không thuộc

)( 0

J k k k J

j j

j x c x c

x f

Và vì các thành phần phi cơ sở xk = 0 cho nên tổng thứ 2 bằng 0 => f(x0) = ∑ cj xj với j thuộc J0 Tương

tự ta cũng có vector vế phải b = ∑xo

j Aj với j € J0 (1)

Bây giờ xét một phương án x bất kỳ ta có:

b = ∑ xjAj + ∑ xkAk với j € J0 và k không thuộc J0

Trong phương trình trên, thay Ak bởi biểu thức phân tích của nó qua các vector cơ sở Aj ta có:

b = ∑ xjAj + ∑ xk ∑ xjkAj = ∑ (xj + ∑xkxjk ) Aj với j € J0 và k không thuộc J0 (2)

Từ (1) và (2) ta có ∑xo

j Aj = ∑ (xj + ∑xkxjk ) Aj hay x0j = (xj + ∑xkxjk )

=> xj = x0j - ∑xkxjk

Để tìm trị của hàm mục tiêu tại phương án x ta có biểu thức

f(x) = ∑ cjxj + ∑ ckxk thay giá trị của xj ở biểu thức trên vào ta có

f(x) = ∑ cj (x0j - ∑ xkxjk) + ∑ ckxk = ∑ cj x0j - ∑ ∑cjxjk xk + ∑ ckxk

f(x) = ∑ cj x0j – ∑( ∑cjxjk – ck) xk

mà biểu thức ∑cjxjk – ck = ∆k nên ta có f(x) = ∑ cj x0j - ∑∆k xk = f(x0) - ∑∆k xk

Với giả thiết là ∆k ≤ 0 và do các ràng buộc về dấu nên xk ≥ 0 do đó từ biểu thức trên ta có

∑∆k xk ≤ 0 hay f(x) ≥ f(x0) với phương án x bất kỳ => x0

là phương án tối ưu

Từ định lý trên ta có một nhận xét về tập hợp các phương án tối ưu như sau:

Giả sử ta có một phương án cực biên x0

mà có các ước lượng ∆k < 0 với mọi k không thuộc J0 ( hay k là các chỉ số phi cơ sở) khi đó theo định lý trên, x0

là phương án tối ưu, ngoài ra trị hàm mục tiêu của một phương án bất kỳ được biểu diễn như sau:

f(x) = f(x0) - ∑ ∆kxk Nếu phương án x cũng là một phương án tối ưu thì nó phải thoả mãn f(x) = f(x0) do đó cần phải có ∑

∆kxk = 0 Nhưng vì các ∆k < 0 cho nên để thoả mãn được điều kiện này các xk của phương án x phải bằng 0

Đem biểu diễn vector b qua hai phương án tối ưu x0

và x ta có: b = ∑ x0j Aj và b = ∑ xjAj

Vì biểu diễn tuyến tính của vector b qua cơ sở {Aj } là duy nhất nên ta phải có x0j = xj Nghĩa là nếu một phương án x cũng là tối ưu thì nó phải có xk = 0 với mọi k không thuộc J0 và xj = x0j Hay x = x0

Từ đó rút ra mệnh đề sau: Một phương án cực biên x0

mà có các ước lượng ∆k < 0 với mọi k không thuộc J0

thì x0 là phương án tối ưu duy nhất

Mệnh đề 2: Nếu một bài toán có hơn một phương án tối ưu thì sẽ có vô số phương án tối ưu

Thật vậy giả sử ta 2 có phương án tối ưu là x*

và x’ Ta sẽ chứng minh là mọi vector có dạng x = λx* + (1-λ) x’ với 0 ≤ λ ≤ 1 cũng là phương án tối ưu

gọi f*

là trị tối ưu của bài toán ta có (c, x*) = (c, x’) = f* Đối với vector x nói trên ta có:

Ax = A [λx*

+ (1-λ) x’] = λAx* + (1-λ) Ax’

Vì x* và x’ là các phương án nên Ax* ≥ b và Ax’ ≥ b

Ta có λ và 1- λ đều không âm nên λAx*

+ (1-λ) Ax’ ≥ λb + (1-λ) b = b Như vậy x cũng thoả mãn các ràng buộc của bài toán nên x cũng là một phương án Mặt khác ta có:

f(x) = (c,x) = (c, [λx*

+ (1-λ) x’] ) = λ(c,x*) + (1-λ) (c,x’) = λf* + (1-λ) f* = f*

Do đó f(x) cũng là một phương án tối ưu

Như vậy về mặt trực giác, ta thấy nếu x*

và x’ là 2 phương án tối ưu thì mọi điểm nằm trên đoạn thẳng [x*, x’] đều là phương án tối ưu

Mệnh đề 3: Giả sử ta có một bài toán dạng chính tắc nhận vector x = 0 làm phương án Nếu bài toán

là giải được thì x = 0 chính là phương án tối ưu

Chứng minh: vì bài toán là chính tắc nên ta có Ax = b mà x là vector 0 cho nên Ax = 0 hay b cũng là vector 0

Giả sử ta có một phương án x*

≠ 0 mà f(x*) < 0, xét vector có dạng λx* (λ > 0) ta có Aλx* = λAx* = λb

= 0 do đó λx*

cũng là một phương án

Ta có f(λx*) = (c, λx*) = λ(c, x*) Với giả thiết f(x*

) = (c, x*)< 0 thì khi λ tiến tới dương vô cùng ta sẽ

có λ(c, x*) tiến đến -∞ => hàm mục tiêu f(x) không bị chặn => bài toán không giải được => mâu thuẫn với giả thiết Vậy với mọi phương án x ≠ 0 ta đều có f(x) ≥ 0 hay f(0) = 0 là trị tối ưu của bài toán => x

= 0 là phương án tối ưu

Mệnh đề 4: Đối với bài toán dạng chính tắc, một phương án x có đúng một thành phần dương thì sẽ là một phương án cực biên Chẳng hạn x = (x 1 , 0, 0 … 0)

Mệnh đề 5: Cho bài toán dạng chính tắc trong đó hạng của ma trận điều kiện = m Khi đó, nếu bài toán có phương án cực biên x mà mọi thành phần đều dương thì bài toán là giải được

Thật vậy theo định lý 1 ở trên, phương án x là phương án cực biên khi và chỉ khi các vector Aj tương ứng với các thành phần dương của x phải độc lập tuyến tính Trong trường hợp này, x có n thành phần dương nghĩa là các vector {Aj} j = 1 n phải độc lập tuyến tính, hay hạng của ma trận A = n mà hạng của ma trận A = n khi và chỉ khi nó có n hàng độc lập tuyến tính => m=n và hệ ràng buộc Ax = b là một hệ phương trình Crame, do đó có nghiệm duy nhất, mà x là một phương án => x chính là nghiệm của hệ này nghĩa là bài toán luôn giải được (vì có duy nhất một phương án nên phương án đó cũng là tối ưu

Định lý cơ bản của phương pháp đơn hình

Xét bài toán chính tắc f(x)  min Giả sử có một phương án cực biên x0

với cơ sở J0 Nếu tồn tại một ước lượng ∆k dương thì chúng ta có thể thực hiện một số bước cải tiến phương án x0 này và sau một số hữu hạn bước chúng ta sẽ có thể:

- hoặc tìm được một dãy phương án trên đó hàm mục tiêu giảm vô hạn (và kết luận là bài toán không giải được)