Tìm a,b ñể biểu thức Pdx+ Qdy là vi phân toàn phần của hàm ux,y nào ñó... Tìm các ñiểm cực trị và các tiệm cận của hàm số y.. Tìm α ñể biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm ux
Trang 1ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2000
A Phần chung:
Câu 1 Giải a) y'+ 3 x y2 = 3 x2 + 3 x5
b) y''+ 3 y' + 2 y = 2 x + + 3 6 ex
Câu 2 a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
13 !
n n n
n n
∞
=
∑
1
4 ( 2)
n
n n
n
x n
∞
=
+
+
∑
Câu 3 Tính tích phân ( xsin ) ( xcos 1 )
C
I = ∫ e y − y dx + e y − dy, nếu:
a) C là ñoạn thẳng nối từ O(0,0) ñến A(1,0)
b) C là cung x2+ y2 = x từ A(1,0) ñến 0(0,0) ngược chiều kim ñồng hồ
Câu 4 Tính
D
x − y dxdy
∫∫ , với D là hình tròn x2 + y2 = 1
B Phần riêng: (Câu 5a cho toán 1, câu 5b cho toán 2)
Câu 5A Tìm cực trị của hàm z = x4 − 2 x y2 + y2 − y3
Câu 5B a) Cho hàm số
1
| | ( )
x
f x
tìm tất cả các giá trị của a ñể liên tục tại x = 0
b) Tính giới hạn
2 0
lim
cos 2
x
→
−
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2001
A Phần chung:
Câu 1 Giải a) ' 2 2 x
x
b) y''− 4 y' + 3 y = 4 xe2x
Câu 2 a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
4.7.10 (3 1) 2.6.10 (4 2)
n
n n
∞
=
+
−
∑
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi:
1
( 1) 2 1
n
n n
x
∞
=
+ +
∑
Câu 3 Tính các tích phân:
x y
D
e + dxdy D = x + y ≤
∫∫
C
x + y dx + y + dy
∫ , C là ñường gấp khúc kín gồm các ñoạn thẳng nối các ñiểm O(0,0), A(2,2), B(0,4) theo ngược chiều kim ñồng hồ
Câu 4 Tính các giới hạn
Trang 2a)
0
1 tan 1 tan
lim
x
x
→
, b)
0
lim arctan
−
B Phần riêng: (Câu 5a cho toán 1, câu 5b cho toán 2)
Câu 5A Tìm cực trị của hàm z = x4 − 2 x y2 + y2 − y3
Câu 5B Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm y = 3 ( x2 − 2 ) x 2 trên ñoạn [ ] 0,3
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2002
A Phần chung:
I Giải: 1/ ( 1+ exy + xexy)dx+ (xex+ 2)dy =0
2/ y’’ – 5y’ + 6y = 5cos2x
II Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
)!
2 (
)!
2 ( 5
n
n
x
+
∑∞
=
2 Tìm miền hội tụ của chuỗi:
) 1 ln(
) 1 (
) 5 ( 2 ) 1 ( 1 1
−
− + +
∞
=
∑
n n
n n
n
y x
y x
2 2
) (
cos
+
+
36
2
π
≤ +
≤
9
2 2
y x
2 Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 ñể tích phân ñường sau ñây không phụ thuộc ñường ñi
AB
) (
) (
) ( 2 − 2 2 + 2 − 2 + 2
IV 1/ Cho z= x3+y3 Tính dz(1,1)
2/ Tính
2 2
0
cos( ) sin lim
sin
x
x
K
−
→
=
B Phần riêng: ( câu Va cho toán 1, câu Vb cho toán 2)
Va 1/ Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4
2/ xét sự hội tụ của tích phân
3
dx
x x
∫
− −
Vb 1/ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x)=
1
2
2 +
−
x
x
trên ñoạn [ ]−1,1
2/ Tính lim 0 2
x t
x
e dt L
x
→+∞
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2003
A Phần chung ( dành cho toán 1 và toán 2)
I Giải phương trình vi phân
1 y’ = y x sin x
x + với ñiều kiện y(π)= 2π
2 y’’ – 7y’ + 6y = 6x2 – 20x +3
II 1 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑∞
=
+
1 3
2 2
2
) 2 (
n n n
n
n n
Trang 32 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
1
( 1) ( 2)
n n
x
∞ +
=
∑
III 1.Tính J= ∫∫
D
dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 ñường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các ñường thẳng y = x, y = 0
x y
c
e− + xdy − + y dx
∫ với C là ñường tròn x2+y2=1 theo ngược chiều kim ñồng hồ
IV 1 Cho z= x3- 2xy2+3y3 Tính d2z(1,1)
2 Viết phương trình các tiệm cận của y =
x
x
23 3 + − 2 −
B Phần riêng
Va 1/ Tìm cực trị của z = x5 + y5 - 5xy
2/ Chứng minh rằng tích phân suy rộng ∫∞
1 x
dx
e x
phân kì Tính lim1
x t
x x
e dt t J
e
→∞
Vb 1 Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của y= e2x3−3x2trên ñoạn −3,2
1
1 Tính
1
0
(1 ) lim
x
x
L
x
→
− +
=
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2004
A Phần chung
Câu 1 1/ Giải phương trình vi phân xdy- ydx=3x2sinxdx
2/ Giải phương trình vi phân : y’’- 4y’ + 5y = 8sinx + 16cosx
Câu II 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑∞
= 1
n n
n
v
u
với un=
n
n
2+ 12 và vn=
2
2 1
n
n
2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1 2
1
( 1)
4 (3 1)
n n
x n
−
∞
=
−
−
∑
Câu III 1/ Cho hàm số y=
1 2
1
2
2 2
−
−
x
x x
, x >1 Khảo sát chiều biến thiên và tìm các tiệm cận của hàm số ñã cho
2/ Cho hàm 2 biến z = xy 1−x2 − y2 Tính dz (0, 0) và
y x
z
∂
∂
∂2
(0,0)
Câu IV.1/ Tính tích phân kép ∫∫
D
dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi x2 + y2 = 4x và ñường thẳng 3
y=x
2/ Cho 2 hàm P(x,y)= 2 2
2y x
y ax
+
− , Q(x,y)= 2 2
2y x
y bx
+
+ Tìm a,b ñể biểu thức Pdx+ Qdy là vi phân toàn phần
của hàm u(x,y) nào ñó Với a,b vừa tìm ñược, tính tích phân ñường I =∫
γ Pdx+ Qdy với ( γ ) là
ñường cong có phương trình x2 + 2y2 = 1 nối 2 ñiểm A(1,0) và B(0,
2
2 ) theo chiều từ A ñến B
B Phần riêng
Câu Va: 1/ Tìm cực trị hàm số
2
(1 2 2 )
y x
z = e − − x − y
Trang 42/ Chứng minh rằng tích phân suy rộng ∫∞
+
3 2
1
x x
dx
hội tụ và tính giá trị tích phân này
Câu Vb:1/ Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số y = − ( x 4)2e| |x trên ñoạn [-1,3]
2/ Tính giới hạn
lim
2
x
x tg
→
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2005
A Phần chung
Câu 1: 1/ Giải các phương trình vi phân
a/ y’=
x
y
+3xex b/(3x2+y3+4x)dx+3xy2dy=0
2/ Giải phương trình vi phân: y’’- 4y’+3y=6ex
Câu II 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: a/
2
1
3 n
n
∑∞
=
−
b/ ∑∞
= 1(3+ 1)(3+ 2) (3+ )
2 1
n
2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑∞
−
0 (2 1)
) 3 (
n x
Câu III 1/ Cho hàm số y = 3 x3 −x2 , x> 0 Tìm các ñiểm cực trị và các tiệm cận của hàm số y
2/ Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz( 2,1)và 2
2
x
z
∂
∂ ( 2,1)
Câu IV: 1/ Tính tích phân kép ∫∫ − −
D
y
x2 2
9 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa ñường tròn x2 + y2 = 9, y≥0và các ñường thẳng y = x, y = -x
2/ Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + eαxcosy, Q(x,y)= 2xexy- eαxsiny trong ñó α là hằng số Tìm α ñể biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó Với α vừa tìm ñược, tính tích phân
ñường [ ( , )P x y y dx3] [ ( , )Q x y x dy3]
∫ trong ñó (γ)là ñường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim ñồng hồ)
B Phần riêng:
Câu Va 1/ Tìm cực trị của hàm số z = xy +
x
3 +
y
9 với x > 0, y > 0
2 Chứng minh rằng tích phân suy rộng sau ∫∞ + − +
1
2 2
) 1 )(
1 (
3
x x x
x
dx hội tụ và tính giá trị tích phân này
Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 3 2
) 2 ( −x x trên ñoạn
[-2
1
, 3]
2/ Tính giới hạn
x x
x 1/
4
/ 1
0
) 4 1 (
+
>
Trang 5ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2006
A Phần chung
Câu I 1/ Giải các phương trình vi phân a/ y’-
x
y
2
= 5x5 b/ (ey +Sinx)dx+(cosy +xey)dy=0 2/ Giải các phương trình vi phân: y’’- 4y’+4y = 8e2x
Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/
) 2 (
2 2
∞
=
+
− n n
n n
n
1
3 ) 2 .(
6 4 2
) 1 2 .(
5 3
∞
=
n
n n
n n
x
n 1( 1)
4
3 ) 1 (
0 3
1
− +
−
∑∞
+
Câu III: 1/ cho hàm số y = 2
2
4 4 3
x
x
Tìm các ñiểm cực trị và tiệm cận của hàm số y
2/ Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x2y3 Tính dz(1,1) và (1,1)
2
y x
z
∂
∂
∂
Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫
+ +
0 3 x2 y2
dxdy
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các ñường x2+y2=
1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥0), y=x, y = x 3
2/ Cho 2 hàm P(x,y) = e mx[xSin(3y)+ y Cos(3y)], Q(x, y) =emx[xcos(3y)-ysin(3y)] trong ñó m là hằng số Tìm m ñể biểu thức P(x,y)dx +Q(x,y)dy là vi phân toàn phần Với m vừa tìm, tính tích phân
γ
dy mx y y x Q dx my x
y
x
P( , ) ( , ) trong ñó (γ ) là ñường gấp khúc nối 3 ñiểm O(0, 0), A(2, 0), B(1, 1) lấy theo chiều dương (ngược chiều kim ñồng hồ)
B Phần riêng:
Câu Va: 1/ Tìm cực trị của hàm số z = 2x2- 4xy + y4+2
x x
∫
∞
+ +
0 3
) 1 )(
1 (
1
α , α là tham số Tìm giá trị α nguyên dương bé nhất ñể tích phân suy rộng này hội tụ Với α vừa tìm ñược, tính tích phân này
Câu Vb: 1/ Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số y = ln[(3-x)(x-1)2+1] trên ñoạn [0,2]
2/ Tính giới hạn
2 1/
3 0 1 lim
3
x
x
x x
→
+ −
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2007
A Phần chung
Câu I: 1/ Giải các phương trình vi phân a/ 0
2
2 3
=
−x dy dx
y
, y(4)=2
b/ y’ - x x
x
y
cos
2/ Giải phương trình vi phân: y’’+2y’-3y= (6x + 1)e3x
Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/
) 1 (
2 2 1
∞
=
∑ + n n
n
1
2
5
! ) 1 2 .(
5 3 1
9 4
∞
=
n
2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑∞
+
04 2.4 3 1
) 3 (
n n
n
n x
Trang 6Câu III: 1/ Cho hàm số y = x2 −6x+10, x ≥ 0 Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận của hàm số y
2/ Cho hàm u = u(x, y)= ln (x2+3y2) Tính u (1,1) u (1,1)
2(1,1) (1,1)
Câu IV: 1/ Tính tích phân ( 2 2)
arctan
D
x +y dxdy
∫∫ với D là hình tròn: x2+y2 ≤3 2/ Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q x y ( , ) = − − (1 x y e ) −y Tìmhàm h(x), h(0) = 1 ñể biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó Với h(x) vừa tìm, tính tích phân
L
dy y x Q x h dx y
x
P
x
h( ) ( , ) ( ) ( , ) trong ñó L là nữa ñường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều ñi
từ ñiểm A(0, -3) ñến ñiểm B(0, 3)
B Phần riêng:
Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1
2/ Xét tích phân suy rộng
2 4 80
1 1
dx
∞
∫ Chứng minh tích phân suy rộng này hội tụ Tính giá trị tích phân này
Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= x(x-1)2(12-5x) trên ñoạn [1,3]
2/ Tính giới hạn
3 7
( 1) ( 2) ( 4) lim
( 5)
x x
x
+
→+∞
+
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2008
A Phần chung
Câu I: 1/ Giải các phương trình a/ y’+ x
x
x x
y
, sin 6 3
3
= >0 b/ (5xy2+4y)dx+(5x2y+4x)dy=0
2/ Giải phương trình vi phân: y’’-2y’-3y=-30cos3x
Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của ∑∞ ( )
=
+
1
n
n
n v
) 1 4 (
1 4
1
+
−
=
n n n
n
n
! )
1 3 .(
10 7 4
)
2 .(
6 4 2
n n
n n v
n n
+
=
2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑∞ ( )( )
+ +
0 5 2 6 1
1 2
n
n
x n
5
10 6
2
≥
−
+
−
x
x x
y Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận cuả hàm số y
2/ Cho hàm u = u(x,y) = 6x2 + y2 Tính
2
2 u(2,1) 3 u(2,1), 4 u (2,1) 5 u(2,1)
Câu IV: 1/ Tính tích phân 2 2.ln( 2 2)
D
x +y x +y
∫∫ dxdy với D là miền 1 ≤ x2+y2≤e2 2/ Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thoả mãn ñiều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó Với h(y) vừa tìm, tính tích
L
dy y x Q y h dx y x P y
h( ) ( , ) ( ) ( , ) trong ñó L là ñường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều ngược kịm ñồng hồ từ ñiểm A(3,0) ñến B(0,2)
B Phần riêng
Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị của hàm số z = x3+3xy+2y2
Trang 72/ Xét tích phân suy rộng dx
x
x m
∫
∞
+
1 31 2
1
Tìm ñiều kiện về m ñể tích phân suy rộng này hội tụ
Tính giá trị tích phân này khi m =
3 7
Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số y = 3x4 – 8x3 – 6x2 +24x+ 2 trên ñoạn [-2, 1]
x t
dt e x g b x x
3
0
) ( ,
) (
) (
lim
0 g x
x f
x > +
nhận giá trị hữu hạn Với b vừa tìm ñược, hãy tính giá trị giới hạn trên
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2009
A Phần chung
Câu I: 1/ Giải các phương trình a/ y' 3y 2e x x2x 3, 0
x
= + >
b/ (e xsiny+5y dx) (+ e xcosy+5x dy)
2/ Giải phương trình vi phân: y''+6y'+9y=12e3x(3x−2)
Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của ( )
n
∞
4.8.12 (4 )
u
n n
+
(4 1)
n n n
n v
n
+
−
= +
2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ( )
1 0
2 (2 1)
n n
n n
n x n
∞
+
=
− ⋅ ⋅ −
∑
+
Câu III: 1/ Cho hàm số
2
1 1
x y
+
= + + Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận của hàm số y
2/ Cho hàm u = u(x,y) = sin
1
x y
+
π +
∂ ∂ và
2 2
u x
∂
∂ khi x= π/ 3,y=0
Câu IV: 1/ Tính tích phân x2 y2
D
e + dxdy
∫∫ với D là miền 1≤x2+y2 ≤ln 32 2/ Cho P x y( , )= +(x 2) sin , ( , )y Q x y =xcosy Tìm hàm h(x) sao cho h(1)=e và biểu thức h(x)P(x,y)dx+ h(x)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó Với h(x) vừa tìm, tính tích phân [ ( ) ( , ) ( ) ( , ) ]
L
h x P x y dx+h x Q x y dy
9π x +64y = π25 , chiều ngược kịm ñồng hồ từ ñiểm 1,
2
A π
−
ñến B 1,2
π
B Phần riêng
Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị của hàm số z= +(1 xy x)( +y)
2/ Xét tích phân suy rộng
dx
+∞
∫ + − Tìm ñiều kiện về m ñể tích phân suy rộng này hội tụ Tính giá trị tích phân này khi m = 1
Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số 2 1
3
x y x
−
= + trên ñoạn [-2, 0]
0 sin
3
( ) x, ( ) ln(1 sin )
x
f x =e g x = ∫ + t dt Tìm b ñể
0
( ) lim ( )
x
f x
g x
→ − nhận giá trị hữu hạn Với b vừa tìm
ñược, hãy tính giá trị giới hạn trên