Silde bài giảng cấu trúc rời rạc phần đại số boole

Các kết quả của đại số Boole có thể được dịch trực tiếp thành mệnh đề và ngược lại... – Biến x được gọi là biến Boole nếu nó chỉ nhận giá trị từ B– Một hàm đi từ Bn B được gọi là hàm Bo

Chương 6:

Đại số Boole

Mở đầu

• Đại số Boole đưa ra các phép toán làm việc với tập {0, 1}

• Các phép toán thường dùng trong đại số Boole:

– Phép lấy phần bù được định nghĩa bởi : 0 = 1 và

Mở đầu (tt)

• Phép lấy phần bù, tổng và tích Boole tương ứng với các toán tử logic ¬, ∨, ∧, trong đó 0 tương ứng với F (false, sai) và 1 tương ứng với T (true, đúng) Các kết quả của đại số Boole có thể được dịch trực tiếp thành mệnh đề

và ngược lại

Hàm Boole

• Định nghĩa: Cho B = {0,1}

– Biến x được gọi là biến Boole nếu nó chỉ nhận giá

trị từ B– Một hàm đi từ Bn B được gọi là hàm Boole bậc n

• Hàm Boole thường được biểu diễn bằng cách dùng

các biểu thức được tạo bởi các biến và phép toán

Các hằng đẳng thức của đại số Boole

Các hằng đẳng thức của đại số Boole (tt)

Chứng minh các hằng đẳng thức(tt)

• Dùng các hằng đẳng thức đã có để chứng minh các

hằng đẳng thức khác

• Ví dụ: Chứng minh luật hấp thu x(x + y) = x bằng cách

dùng các hằng đẳng thức của đại số Boole

Giải:

x(x +y) = (x+0)(x +y) – luật ?

= x + 0.y – luật ? = x + 0 – luật ?

= 0 – luật?

Tính đối ngẫu

• Đối ngẫu của biểu thức Boole nhận được bằng cách các

tổng và tích Boole đổi chỗ cho nhau, các số 0 và 1 đổi chỗ cho nhau

Ví dụ: Đối ngẫu của biểu thức x 1 + (y +z) là ?

• Một hằng đẳng thức giữa các hàm biểu diễn bởi bởi các biểu thức Boole vẫn còn đúng nếu ta lấy đối ngẫu hai vế của nó

Định nghĩa trừu tượng

của đại số Boole

• Định nghĩa: Đại số Boole là một tập B có hai phần tử 0

và 1 với hai phép toán hai ngôi ∨ và ∧, và một phép

toán một ngôi sao cho các tính chất sau đây đúng với mọi x, y, z thuộc B

Luật đồng nhấtLuật nuốt

) (

) (

) (

0 1 1

0

z y x

z y

x

z y x

z y

x

x x

x x

x x

x x

Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole (tt)

Luật giao hoán

Luật phân phối

) (

) (

) (

) (

)

(

z x y

x z

y

x

z x y

x z

y

x

x y y

x

x y y

x

Biểu diễn các hàm Boole

• Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc)

Ví dụ: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau:

1 0 1 0 1 0 1 0

0 0

1

0 0 0 0 0

0

1

0 0 0

1

0 0

Biểu diễn các hàm Boole

• Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc)

Ví dụ 1: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau:

1 0 1 0 1 0

0 0

1

0 0 0

0

1

0 0 0

1

Biểu diễn các hàm Boole(tt)

• Ví du 2: Tìm khai triển tổng các tích của hàm F(x, y, z) = (x + y) z

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1

Biểu diễn các hàm Boole(tt)

• Khai triển tích các tổng (dạng hội chuẩn tắc): Lấy đối ngẫu từ khai triển tổng các tích

Ví dụ: Tìm dạng khai triển tích các tổng của hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) ở ví dụ 1

Tính đầy đủ

• Tất cả các hàm Boole đều có thể bằng cách dùng các phép toán Boole , + ,

– Khi đó ta nói tập hợp { , + , } là đầy đủ

x + y

x

(x + y)x

Mạch tổ hợp (tt)

• Ví dụ 2: Một ủy ban gồm ba thành viên phải quyết định

các vấn đề của một tổ chức Mỗi thành viên bỏ phiếu

tán thành hoặc không cho mỗi một đề nghị được đưa ra Một đề nghị được thông qua nếu nó nhận được ít nhất hai phiếu tán thành Hãy thiết kế một mạch cho phép

xác định được một đề nghị có được thông qua hay

không

(Lưu ý: Các mạch mà đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào

chứ không phụ thuộc vào trạng thái hiện thời của mạch,

z y

z

xy xz yz

x y

s c

1 1 0

1 0 1

0 1 1

1 0 0

Bộ cộng (tt)

• Bộ công đầy đủ: Dùng để tính bit tổng và bit nhớ khi

hai bit được cộng cùng với số nhớ từ trước

• Bảng giá trị cho bộ cộng đầy đủ

1 1 1 1 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 1 0 0

Bộ cộng (tt)

• Bộ cộng đầy đủ:

Bộ cộng đầy đủ

x

cout

cin

Bộ cộng (tt)

• Ví dụ: Mạch cộng hai số nguyên dương ba bit (x0 x1 x2)

và (y0 y1 y2)

Bộ nữa cộng

x2

y2

s2

c2 = s3

Cực tiểu hóa các mạch (tt)

• Bản đồ Karnaugh: Cho chúng ta một phương pháp

trực quan để rút gọn khai triển tổng các tích

y y

x x

y y

y y

x x

y y

Cực tiểu hóa các mạch (tt)

• Bảng đồ Karnaugh ba biến:

x x

yz yz yz yz

Cực tiểu hóa các mạch (tt)

• Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaugh rút gọn khai triển tổng

các tích sau:

z y x z

y x yz

x z

y x z

y x z

xy xyz

c

z y x z

y x yz

x z

y x z

y x

b

z y x yz

x z

y x z

xy

a

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

)

)

)

y z

x z

y x yz

x z

y x z

⇒

+ +

+

⇒ x y z x y z x yz x y z x y z

x w z

y x w z

y x w z

y x w yz

x w z

y wx z

wxy