Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý đường cong jordan

... hiểu lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan Tôi hi vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Lý thuyết đồng điều kỳ dị hy... khoa học, giảng tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao... nghiên cứu Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh định lý liên quan đến định lý đường cong Jordan nhằm xây dựng tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN LÊ PHƯƠNG THẢO

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN

ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Lê Phương Thảo

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Đóng góp của đề tài 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 : NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 4

1.1 PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN 4

1.2 THỨ PHÂN TRỌNG TÂM 8

1.3 ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH VÀ XẤP XỈ ĐƠN HÌNH 11

1.4 PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ 13

1.5 NHÓM ABEL TỰ DO, MODULE TỰ DO 15

1.6 KHÔNG GIAN TOPO 18

1.7 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG 18

1.8 ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH 20

1.8.1 Các định nghĩa 20

1.8.2 Các phép biến đổi xích và các xích đồng luân 30

1.8.3 Đồng cấu cảm sinh 34

1.8.4 Đồng điều tương đối 37

CHƯƠNG 2 : ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 42

2.1 ĐƠN HÌNH KỲ DỊ VÀ XÍCH KỲ DỊ 42

2.1.1 Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị 42

2.1.2 Đồng cấu biên Phức kỳ dị 44

2.1.3 Nhóm tương đối, dãy khớp dài 52

2.2.TÍNH BẤT BIẾN CỦA ĐỒNG LUÂN ĐỐI VỚI THỨ PHÂN TRỌNG

TÂM… 61

2.3 ĐỊNH LÝ KHOÉT 66

CHƯƠNG 3 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 86

3.1 ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG CONG JORDAN VÀ MỞ RỘNG 86

3.2 ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN MIỀN 100

KẾT LUẬN 102

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 103 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

và hy vọng tìm ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục đích nghiên cứu

Nêu các định nghĩa, các tính chất của lý thuyết đồng điều kì dị và ứng dụng chúng để chứng minh “tổng quát hóa đường cong Jordan, định lý bất biến của miền”

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết đồng điều kỳ dị

Phạm vi nghiên cứu là các không gian Topo và Topo đại số

2

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức

4.2 Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan

- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

Tham gia các buổi thảo luận để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu

5 Đóng góp của đề tài

1 Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu lý thuyết đồng điều kỳ dị

2 Chứng minh chi tiết và làm rõ mộ số định lý mà phải dùng đến topo đại số mới giải quyết được

6 Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương:

Chương 1: Những kiến thức cơ bản

Trình bày những kiến thức về đại số như phạm trù, hàm tử, phép biến đổi

tự nhiên và về topo như tính liên thông, liên thông đường, topo thương, phép đồng nhất và phép dán, nhóm topo, các ví dụ về không gian topo như quả cầu, mặt cầu, mặt xuyến, các nhóm topo cổ điển cơ bản về các phức đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, đồng luân và đồng điều đơn hình

3

Chương 2: Lý thuyết đồng điều kỳ dị

Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi các ánh

xạ liên tục giữa các phức đơn hình, đơn hình kỳ dị, xích kỳ dị

Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị

Trình bày những chứng minh định lý khái quát đường cong Jordan và định lý bất biến của miền

4

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN

được gọi là một đơn hình k – chiều hay k – đơn hình

Ta ký hiệu  p0, ,p k, trong đó p0, ,p là các đỉnh của đơn hình k 

dim k là chiều của đơn hình 

Nhận xét 1.1.1 Mỗi đơn hình là một tập đóng, compact Với mọi

(i) Nếu K thì mỗi mặt của  cũng thuộc K

(ii) Nếu , K thì hoặc     hoặc  là một mặt chung

của  và 

Định nghĩa 1.1.3 Đa diện con

Cho ( , K K là một đa diện, ) LK Nếu L cũng là phức đơn hình thì L được

gọi là phức đơn hình con của K Khi đó, ( , ) L L được gọi là đa diện con của

đa diện ( , ) K K , với L là giá của L

Nhận xét 1.1.2 Cho K là một phức đơn hình và   L K Khi đó, L là phức đơn hình con của K khi và chỉ khi với mọi đơn hình L , mỗi mặt

một phức đơn hình con của K

Nhận xét 1.1.4 Nếu K,K là một đa diện thì  0

K là một phức đơn hình con của K và được gọi là tập hợp các đỉnh của đa diện K,K 

Với mỗi đơn hình K, đặt ( )F  là tập hợp tất cả các mặt của  Khi đó,

, ( )F   là một đa diện con của K,K 

Định nghĩa 1.1.4 Cho( , ) K K là một đa diện K Hợp của tất cả các mặt

thật sự của  ký hiệu là Bd.

6

Định nghĩa 1.1.5 Cho ( , ) K K là một đa diện, x K Khi đó, K được

gọi là giá của x , ký hiệu ( ) x , nếu  là đơn hình có chiều nhỏ nhất chứa x

( )x

 là duy nhất và có thể biểu diễn dưới dạng ( )x  K,x

Nhận xét 1.1.5 Cho K với ( , )K K là một đa diện, x K Khi đó,

được gọi là hình sao của , p ký hiệu là Stp

Nhận xét 1.1.8 Stp là một tập mở chứa p và không chứa bất kỳ đỉnh nào

khác của đa diện ( , ).K K

Định lý 1.1.1 Cho p p0, 1, ,p n là các đỉnh của đa diện ( , K K Khi đó )

(i) n 0

i Stp i   khi và chỉ khi p p0, 1, ,p là một đơn hình của n K

(ii) Nếu  p p0, 1, ,p nlà một đơn hình của K thì 0

n

i Stp i là tập hợp gồm tất cả các điểm x K mà ( ) x nhận  làm mặt

Ta nhận xét rằng nếu p p0, 1, ,p là các đỉnh của đa diện t K thì với

mỗi xK , x được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng xt i0i( ) ,x p i

trong đó i 0,1 , với i1, t

Ta có i( )x  0,1 nếu p i( ).x Khi đó, i( )x được gọi là tọa độ của

x đối với p Ngược lại, ( ) 0 x  nếu p ( ).x

7

Hàm số  i:  0,1 , với mỗi K , được gọi là hàm tọa độ trọng

tâm của  Ta có i là hàm liên tục

Nhận xét 1.1.9 Với mọi đỉnh p của đơn hình trong i K, ta có

Do cách biểu diễn là duy nhất nên  j 0,1, ,l sao cho p i v j

Do đó ( )i x j Vì ( ) x là đơn hình có số chiều nhỏ nhất chứa x nên

Định lý 1.1.2 Cho ( , ) K K là một đa diện trong không gian n

, Y là không gian topo bất kỳ và , f g là hai ánh xạ liên tục từ Y vào K Nếu với mỗi

Cho một phân tích đơn hình K của ,K chúng ta sẽ xây dựng một phân tích

đơn hình K khác của , K được gọi là thứ phân trọng tâm của K

Định nghĩa 1.2.1 Cho đơn hình  p p o, 1, ,p n trọng tâm của  là một điểm, ký hiệu b hay [ ] được xác định như sau

0

11

n

i i

Nếu   p i thì trọng tâm của  trùng với chính nó

Xét đa diện ( , )K K và  là một đơn hình của K Ta biết rằng ( , ( )) F  là một đa diện con của ( ,K K Ta đặt ) 1

Sd là tập hợp các đơn hình mà tất cả các đỉnh là trọng tâm của tất cả các mặt của  hay 1

Sd gồm tất cả các đơn hình

Định nghĩa 1.3.2 Cho : f KL là ánh xạ liên tục Một ánh xạ đơn hình

 từ ( , K Sd r K vào ( , )) L L với r0 được gọi là một xấp xỉ đơn hình của f nếu ( f Stp)St( )p với mọi đỉnh pSd r K

12

Định lý 1.3.1 Cho : f KL là một ánh xạ liên tục Khi đó, tồn tại xấp xỉ

đơn hình : ( , K Sd rK)( , )L L của f với r đủ lớn và mỗi xấp xỉ đơn

hình của f đều đồng luân với f

Chứng minh Cho  0 là số Lebesgue của phủ mở  1 0

f x  x cùng thuộc một đơn hình trong L Vậy ,f  đồng luân

Nhận xét 1.3.1 Các xấp xỉ đơn hình của f nói chung không duy nhất mà

phụ thuộc vào r và việc chọn ( ) p là đỉnh của L, với mỗi đỉnh p của r

Sd K

Với mỗi r cố định, cho hai xấp xỉ đơn hình , : r

Sd

  KL

hay giá của ( )f x nhận (p0), ( ), , ( p1  p n) làm mặt

Do đó, giá của ( )f x chứa ( ), x ( )x hay ( ), x ( )x cùng thuộc một đơn hình trong L nên hai ánh xạ ,  là hai ánh xạ contiguous

Một phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu

 Mỗi vật của phạm trù C đều là một vật của phạm trù P

 Mỗi cấu xạ của phạm trù C đều là một cấu xạ của phạm trù P

 Các xạ đồng nhất của phạm trù C đều là một xạ đồng nhất của

phạm trù P

 Hợp thành gf của hai cấu xạ , f g trong phạm trù C đều trùng với

hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm trù P

Một phạm trù con C của phạm trù P được gọi là đầy nếu A B,  C  A B, P, với mỗi cặp , A B trong phạm trù C

Định nghĩa 1.4.3 Vật khởi đầu, vật tận cùng

Mỗi vật A trong phạm trù P được gọi là vật khởi đầu nếu với mọi vật

X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A đến X

Một vật A trong phạm trù P được gọi là vật tận cùng nếu với mọi vật

X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X đến A

Định nghĩa 1.4.4 Hàm tử

Cho hai phạm trù P P,  Một hàm tử hiệp biến H từ phạm trù P đến phạm

trù P , ký hiệu  H :PPlà một cặp ánh xạ gồm ánh xạ - vật và ánh xạ - cấu xạ

 Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù P, một vật

của phạm trù P, ký hiệu là ( ).H A

 :

X  f A  Ahữu hạn, A A f x: ( )  0, x A A\ 

với mọi , f gX , ta định nghĩa phép cộng trên X như sau

 f g x  f x g x ,  x A Khi đó, X cùng với phép cộng lập thành một nhóm Abel

Chứng minh Ta chứng minh phép cộng được xác định đúng đắn trên X

Với mọi ,f gX suy ra tồn tại A A1, 2 A A A; 1, 2 hữu hạn sao cho ( ) 0

H(A)

H(C)

H(B) ( )f

H

(gf)

H H ( )g

Định nghĩa 1.5.1 Nhóm Abel tự do

Nhóm Abel X được xác định như trên được gọi là nhóm Abel tự do sinh bởi

A

17

Định nghĩa 1.5.2 Giả sử R là một V module,   S R Khi đó, S được gọi là cơ sở của R nếu mỗi phần tử của R đều được biểu diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S

Hệ quả 1.5.1 Cho R là một V module Nếu S là cơ sở của R thì S là hệ sinh độc lập tuyến tính

Chứng minh Do mỗi phần tử của Rđược biểu diễn tuyến tính qua các phần

tử của S nên S là hệ sinh

Đặt Sx x1, 2, ,x n Giả sử tồn tại  1, 2, ,nV sao cho

Khi đó, X cùng với phép cộng và phép nhân ngoài lập thành một

V Module

Định nghĩa 1.5.2 Module tự do

Module X được thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi A

18

1.6 KHÔNG GIAN TOPO

Không gian topo là một cặp ( , ) X T , trong đó X là một tập hợp, T là một họ các các tập con của X thỏa mãn

1.7 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG

Định nghĩa 1.7.1 Không gian liên thông

Không gian topo X được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập mở

A và B khác  của X sao cho A  B ,X  A B

Nói cách khác, không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại một tập con thực sự A  vừa đóng vừa mở của X

Ví dụ 1.7.1 là không gian liên thông

Mệnh đề 1.7.1 Tập M của không gian topo X liên thông khi và chỉ khi không

tồn tại các tập mở A, B trong X sao cho

Suy ra M không phải là tập liên thông (theo mệnh đề 1.7.1)

Điều này trái với giả thiết Vậy X liên thông

Hệ quả 1.7.1 Giả sử A là tập liên thông của X, A B  A Khi đó B là tập liên thông

Chứng minh Vì A là tập liên thông trù mật của không gian B, cho nên B liên

thông

Nhận xét 1.7.1 Nếu A liên thông thì A cũng liên thông

Định nghĩa 1.7.3 Không gian liên thông đường

Cho E là không gian topo, E liên thông đường nếu với mọi x, y thuộc E, tồn tại ánh xạ :[0,1] E liên tục sao cho (0) x, (1)  y

Ví dụ 1.7.2 là không gian liên thông đường

Chứng minh Ta xét ánh xạ f :[0,1] sao cho với mọi x[0,1] thì

f(x) = (b – a)x + a, với mọi , a bR

Nhận thấy f liên tục và f(0) = a, f(1) = b

Suy ra là không gian liên thông đường

Mệnh đề 1.7.2 Ảnh của một không gian liên thông đường qua ánh xạ liên tục

là không gian liên thông đường

Chứng minh Giả sử f X: Y liên tục, X liên thông đường Ta đi chứng minh f(X) liên thông đường

Cho ,u v f X( ), tồn tại ,x yX sao cho u = f(x) và v = f(y)

Vì X liên thông đường nên tồn tại một cung :[0,1] X sao cho (0) x và (1) y

 

20

Khi đó f  :[0,1] f X( )là một cung (vì f và  liên tục, do đó f  cũng

liên tục) nối u và v, vì u f x( ) f( (0)) (f )(0) v (f )(1)

Mệnh đề 1.7.3 Cho E, F là hai không gian liên thông đường Khi đó

E F cũng là không gian liên thông đường

Nhận xét 1.7.2 Nếu X là không gian liên thông đường thì X là không gian

liên thông

Chứng minh

Vì X là liên thông đường nên với mọi , a bX , tồn tại :[0,1]f X liên tục

sao cho f(0) = a, f(1) = b

Ta có [0,1] là khoảng đóng nên liên thông

Vì f liên tục nên theo mệnh đề 1.7.2 thì ảnh liên tục của một tập liên thông là liên thông nên suy ra f([0,1]) liên thông trong X

Có f(0) = a, f(1) = b suy ra tập liên thông này có chứa hai điểm a và b

Cho nên theo hệ quả 1.7.2 thì X liên thông

Nhận xét 1.7.3 Một không gian liên thông chưa chắc đã liên thông đường

1.8 ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH

1.8.1 Các định nghĩa

Cho K là một phức đơn hình hữu hạn với các đỉnh được sắp thứ tự tuyến tính Khi đó, mỗi đơn hình q q0, , ,1 q có thể được viết duy nhất thành n

p p0, 1, ,p với n (p0  p1    p n) và được gọi là n – đơn hình định hướng

Định nghĩa 1.8.1.1 Với mỗi n0, nhóm Abel tự do C n( )K sinh bởi các n – đơn hình định hướng của K được gọi là nhóm các xích n - chiều của K Rõ ràng, C n( )K 0 nếu ndimK

Với mỗi n1, toán tử biên :C n( )K C n1( )K là đồng cấu xác định trên

mỗi phần tử sinh bởi công thức 0, 1, , ( 1) 0, 1, , , ,

n i



Ảnh của n1:C n1( )K C n( )K được ký hiệu là B n( )K và được gọi

là nhóm các n – biên và nhóm thương H n( )K Z n( )K B n( )K được gọi là

nhóm đồng đều thứ n của K Các phần tử của H n( )K được gọi là các lớp đồng đều, zB n( )K là lớp đồng đều của n – chu trình Z Hai n – chu trình

,

z z cùng thuộc một lớp đồng đều được gọi là đồng đều Điều này xảy ra khi

và chỉ khi z z B n( )K hay tồn tại (n+1) – xích c n1 mà z z n1(c n1) Lưu ý rằng, H n( )K 0 nếu ndimK và H n( )K Z n( )K nếu ndimK

Abel bất kỳ hay trường G

Cho G là một nhóm Abel hay một trường cố định, tổng hữu hạn hình

n i i

c g  với g iG là một nhóm Abel C n(K, G) và là không gian

vector nếu G là một trường

với quy ước rằng 1 g g và ( 1) g  g

Sau đó, thác triển n lên C n(K, G) bằng cách đặt

đồng điều H n(K,G) được gọi là các nhóm đồng điều của K trên G

Nếu G là một trường thì H n(K,G) là thương của một không gian

vector nên H n(K,G)cũng là một không gian vector trên trường G Các nhóm

đồng điều theo định nghĩa phụ thuộc vào tam giác phân và thứ tự các đỉnh

Ví dụ 1.8.1.1 Cho K là một phức đơn hình liên thông thì H0(K, G)G

Một phức đơn hình liên thông là phức đơn hình thỏa mãn luôn tồn tại

đường đi giữa hai điểm bất kỳ Điều này tương đương với nếu có hai đỉnh bất

kỳ p p , tồn tại dãy 1- đơn hình 0, n 1p p0, 1, 2 p p1, 2, ,n p n1,p n

p nối được với p 0

Tồn tại i31,2, ,n  \ i i1, 2 mà p0 nối được với

Ngược lại, giả sử các ,p p i j nối được với nhau, ta chứng minh K liên

thông

, ,

26

Bổ đề 1.8.1.1 Cho G G,  là các nhóm giao hoán; H H, lần lượt là các nhóm con của , G G; :GG; là đồng cấu nhóm thỏa ( ) H H Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm

Hơn nữa, nếu  là đẳng cấu và ( ) H H thì  là đẳng cấu và  được gọi

là đồng cấu cảm sinh bởi 

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh  xác định đúng đắn

27

Bổ đề 1.8.1.2 Cho , X X là các không gian vector trên trường ; G Y Y,  lần lượt là các không gian vector con của , X X Nếu :X X là ánh xạ tuyến tính và ( )Y Y thì

cũng là ánh xạ tuyến tính Nếu  là đẳng cấu và ( ) Y Y thì  cũng là đẳng cấu

Chứng minh Theo bổ đề trên, ta chứng minh được  xác định đúng đắn Ta chứng minh  là một ánh xạ tuyến tính

i n

1.8.2 Các phép biến đổi xích và các xích đồng luân

Cho K L là hai phức đơn hình ,

Định nghĩa 1.8.2.1 Một họ   n các đồng cấu

n C n G C n G n

 K,  L,   Sao cho n1n1    n n1, n 0

được gọi là một biến đổi xích hay một ánh xạ xích

Sử dụng bổ đề 1.8.1.1, 1.8.1.2 để chứng minh rằng các đồng cấu n cảm sinh các đồng cấu n:H n(K, G)H n(L, G)

Cho   n là một biến đổi xích, n:C n(K, G)C n(L, G) và

Ta nói , là các xích đồng luân nếu D tồn tại

Nhận xét rằng, đồng luân xích là quan hệ tương đương

Ngoài ra, nếu , :C(K,G)C(L,G) là các ánh xạ xích đồng luân và

, :C( G) C ( G)

   L,   P, là các ánh xạ xích đồng luân thì    , là các ánh xạ xích đồng luân từ (C K,G) vào C(P,G)

Cho ,  đồng luân, ta thấy rằng ,  :H(K,G)H(L,G) là cùng một ánh xạ Thật vậy,  z Z n(K,G),n( )z n( )z  n1D z n( )B n(L,G) nên ( )

D g

Do đó, tồn tại c n1C n1(K ,G) thỏa c n1 c n

Đặt D g( n)c n1 thì D g( n) c n gn Sd#(gn) D g( n) nên D g( n) D g( n) gnSd #g n và D g( n) có giá nằm trong ( n)

35

f H K, G H L, G đối với mỗi ánh xạ liên tục f K: L

Bổ đề 1.8.3.1 Cho ánh xạ : f KL liên tục, hai xấp xỉ đơn hình

K nên  là xấp xỉ đơn hình của f

Do đó  , contigous nên         hay       nên

 K P là xấp xỉ đơn hình của gf nên ( ) gf  ()Sdm  g f 

Bổ đề 1.8.3.2 Cho K là một đa diện Giả sử  , : 0,1  0,1 là hai ánh xạ liên tục mà   và ( id)(id) : H(P I) H(PI) Khi đó, với mỗi đa điện P , các ánh xạ đồng luân , : f g KP cảm sinh