Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD.. Tính diện tích phần hình phẳng nằm trong đờng tròn C và nằm ngoài ∆ ABC.. Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A, vuụng gúc với d1 và cắt d2.
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
Mụn thi: TOÁN, Khối A và B
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= − +x3 mx2 +(m+4)x+3 (1)
1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ trị của m để hàm số (1) đồng biến trờn khoảng (0;3).
Cõu II (2,0 điểm)
1) Giải phương trỡnh 3cot2x+2 2 sin2x= +(2 3 2 cos ) x
2) Giải hệ phương trỡnh 2 2 2
− + + =
− = +
Cõu III (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn
1 3 2
2
dx x
−
−
− +
−
∫
Cõu IV (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành, AB = 5, BC = 6, AC = 9; SA
= SB = SC =27
4 Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD.
Cõu V (1,0 điểm) Cho , ,a b c>0 thỏa món 15 12 12 12 10 1 1 1 2011
+ + = + + +
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
2 2
2
1 2
2 5
1 2
2 5
1
a ca c
c bc b
b ab a
P
+ +
+ + +
+ + +
=
PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B)
A Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu VI.a (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ ABC biết A(2; 1 ,− ) B(− −4; 1 ,) C( )2;6 Gọi (C) là đờng tròn ngoại tiếp ∆ ABC Tính diện tích phần hình phẳng nằm trong đờng tròn (C) và nằm ngoài ∆ ABC 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x: −2y+2z− =1 0 và các đờng thẳng
− − Tìm các điểm M ∈ ∆1,N∈ ∆2 sao cho MN//( )P và
cách ( )P một khoảng bằng 2.
Cõu VII.a (1,0 điểm)
Cho hai số phức z và 1 z thỏa món 2 z1 =3, z2 =4, z1−z2 = 37 Tỡm số phức 1
2
z z z
= .
B Theo chương trỡnh nõng cao
Cõu VI.b (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hóy xỏc định tọa độ đỉnh C của tam giỏc ABC biết rằng hỡnh chiếu vuụng gúc của C trờn đường thẳng AB là điểm H(-1; -1), đường phõn giỏc trong của gúc A cú phương trỡnh x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B cú phương trỡnh 4x + 3y - 1 = 0
2) Trong khụng gian Oxyz, cho điểm A (1; 2;3) và hai đường thẳng 1: 2 2 3
2
:
− Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A, vuụng gúc với d1 và cắt d2
Cõu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh
2
2
2 2
log (2 ) log (3 2 ) 0
− − =
………Hết………
Họ và tờn thớ sinh:………Số bỏo danh:……… Chữ kớ của giỏm thị 1:……….Chữ kớ của giỏm thị 2:………
Trang 2I 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= − +x3 x2+5x+3 1,00
1) TXĐ: ¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn lim , lim
b) Đạo hàm
= −
= − + + = ⇔
=
2
1
3
x
x
0,25
c) BTT
y
+∞
0
256 27
−∞
0,25
d) Tính đơn điệu và cực trị
Hàm số đồng biến trên khoảng 5
1;
3
−
, nb trên ( −∞ − ; 1 ) và 5
; 3
+∞
Hàm số đạt cực đại tại 5 256
,
3 CD 27
x = y = Hàm số đạt cực tiểu tại x = − 1, yCT = 0
0,25
3) Đồ thị
1 '' 6 2, '' 0
3
y = − + x y = ⇔ = ⇒ x Điểm uốn I 1 128
;
3 27
Đồ thị là đường cong trơn, một nét cắt trục Ox tại (-1; 0) và (3; 0)
Cắt trục Oy tại (0 ; 3)
0,25
2 Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (0;3) 1,00
2
y = − x + mx m + + , y ' 0 = có nhiều nhất 2 nghiệm nên
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) ⇔ ≥ ∀ ∈ y ' 0, x (0;3) 0,25
2
2 1
x
x
−
+ (Do hàm số
2
( )
2 1
x
f x
x
−
= + liên tục trên đoạn [0;3]) [0;3]
max ( )
m ≥ f x
0,25
2
2
2 1
x
[0;3]
23 max ( ) (3)
7
f x = f = ≤ m Vậy 23
7
II 1 Giải phương trình 3cot2 x+2 2 sin2x= +(2 3 2 cos ) x 1,00
ĐK: sin x ≠ ⇔ ≠ 0 x m m π , ∈ ¢
2
x = ⇔ = + x π k k π ∈ ¢
pttt 2 2 0 = (không TM) 0,25
2
x ≠ ⇔ ≠ + x π k k π ∈ ¢
Chia hai vế cho cos x ta dược 0,25
Trang 32 2
Đặt 2
cos sin
x t
x
3t 2 3 2 3t (2 3 2)t 2 2 0
t
2 3 2
t t
=
⇔
=
2 2
1
x x
=
= ⇒ = ⇔ + − = ⇔
= −
2 , 3
⇔ = ± + ∈¢
0,25
2 2
1
cos
2
sin
x x
x
x
=
= −
1
4 2
x= ⇔ = ± +x π k π k∈¢
Vậy pt có các nghiệm là
2 , 3
2 , 4
π π
π π
= ± + ∈
⇔
= ± + ∈
¢
¢
0,25
2
Giải hệ phương trình ( 2 7)2 1 0 2
− + + =
− = +
0
1
x y
x
+ =
TH 2 y ≠ 0 Hệ 2
2 2
1
1
x x
x x
− + + =
⇔
− = +
0,25
Đặt a x 1 , b x
14 21
ab
⇔ + = ⇔ = 0,25 2
III
Tính tích phân
1 3 2
2
dx x
−
−
− +
−
I =
Đặt t = x+ ⇒ = − ⇒2 x t2 2 dx=2 , ( 2) 0, ( 1) 1tdt t − = t − =
0,25
I
2
Tính đc
1
2
Tính được
1
2
8
t
− − = − ÷ = −
3
Trang 4Gọi H là hỡnh chiếu của S trờn ABCD
SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒
H là tõm đường trũn ngoại tiếp tam
giỏc ABC bỏn kớnh R
0,25
ABC
ABC
Tam giỏc SAH vuụng tại H nờn 2 2 27
4 2
V
2 2 5
1 2
2 5
1 2
2 5
1
a ca c
c bc b
b ab a
P
+ +
+ + +
+ + +
áp dụng bất đẳng thức Côsi đối với 3 số thực dơng x, y, z ta có:
z y x z y
9 1
1
1 , (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
2 2
2 2
5a + ab+ b = a+b + a−b ≥ a+b Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b.
0,25
+ +
≤ +
≤ + + ab b a b a a b a
1 1 1 9
1 2
1 2
2 5
1
2
Tương tự, cộng lại ta được
+ +
≤
c b a
3
1
0,25
Ta cú
2 2
2 2
1 1 1 3
1 1 1 1
+ +
≥ + +
c b a c
b
a Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c.
Và
2
1 1 1 3
1 1 1 1
+ +
≤ + +
c b a ca
bc
ab Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c.
Kết hợp với giả thiết ta đợc: 15 1 1 1 2 10 1 1 1 2 2011
+ + ≤ + + +
hay 1 1 1 6033
5
a+ + ≤b c
0,25
Dấu “=” xảy ra 1 1 1 6033 1 6033
5
a b c
a b c
= =
+ + =
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 6033
3 5 đạt đợc khi 1 6033
0,25
C
D S
H
Trang 5+ Ta có AB = 6, AC = 7, BC = 85 suy ra ∆ ABC vuông tại A.
+ Do đó đờng tròn ngoại tiếp (C) có tâm I là trung điểm của cạnh BC và
bán kính là 85
BC
+ Diện tích hình tròn (C) là 2
1
85
4
+ Diện tích ∆ ABC là 2 1 1.6.7 21
+ Suy ra diện tích cần tính là 1 2 85 84
4
0,25 VI.a 2 Tìm các điểm M ∈ ∆1,N∈ ∆2 sao cho MN//( )P và cách ( )P một khoảng bằng 2 1,00
Phơng trình tham số của ∆1 là :
1 2
3 3 2
= +
= −
=
.
M thuộc ∆1 nên M (1 2 ;3 3 ;2+ t − t t)
0,25
( )
( )2
3
d M P
− = − =
+ − + + Với t1 = 1 ta đợc M1(3;0; 2) ;
+ Với t2 = 0 ta đợc M2(1;3;0)
0,25
+ ứng với điểm M1, điểm N1 cần tìm là giao điểm của ∆2 với mặt phẳng
đi qua M1 và // (P) , gọi mặt phẳng này là (Q1), Phơng trình (Q1) là:
(x− −3) 2y+2(z− = ⇔ −2) 0 x 2y+2z− =7 0 (1).
Phơng trình tham số của ∆2
5 6 4
5 5
= +
=
= − −
(2) Thay (2) vào (1) ta đợc: −12t−12 0= ⇔ = −t 1 Suy ra N1(− −1; 4;0)
0,25
+ ứng với điểm M2, tơng tự ta đợc N2(5;0; 5− )
Vậy M1(3;0; 2) , N1(− −1; 4;0) và M2(1;3;0) , N2(5;0; 5− ) 0,25
2
1 2 37 1 2 37 ( 1 2)( 1 2) 37
z − z = ⇔ − z z = ⇔ z − z z − z =
( z z z )( z ) 37 z z z z z z z z 37
0,25
1 1 2 1 2
16 16
z z z z z
z z
2 1 1
2 1
2 2 1 2 1
z z
Thế (2) và (3) vào (1) ta được
2
z
Chỳ ý Cú thể giải theo cỏch sau: (Theo chương trỡnh nõng cao)
Giả sử A z ( ), ( )1 B z2 Khi đú OA = 3, OB = 4, AB = − z1 z2 = 37
OA OB
Trang 61 2 1 2
z
z z
z
VI.b 1 Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC 1,00
Đường thẳng ∆ đi qua H và vuông góc với đường phân giác trong AD góc A có pt
2 0
x y + + = ∆ cắt AD tại I và cắt AC tại H’ ⇒ − I( 2;0), H'( 3;1) − 0,25 Đường thẳng AC đi qua điểm H’ và vuông góc với đường cao BE có pt là
Đường thẳng CH đi qua điểm H và có vtpt HA (6;8) uuur = có pt 3 x + 4 y + = 7 0 0,25
10 3
3 4
VI.b 2 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 1,00
1
d có vtcp u ur1 = (2; 1;1) − d2 có ptts
1
1 2 1
= −
= +
= − +
0,25
x − = y − = z −
VII.b Giải hệ phương trình
2
2
2 2
log (2 ) log (3 2 ) 0 (1)
− − =
1,00
ĐK: 2x y+ ≠0, 3x−2y>0
(1) ⇔2log 22 x y+ −2log (32 x−2 ) 0y = ⇔log 22 x y+ =log (32 x−2 )y 0,25
+ = − − =
TH 1 x=3y thế vào (2) ta được 2
(L)
= ⇒ =
− − = ⇔
= − ⇒ = −
0,25
TH 1 y=5x thế vào (2) ta được
2
(TM)
(TM)
+ + = ⇔
Vậy hệ có các nghiệm (3;1), 85 2681; 425 5 2681
0,25
