lời mở đầu nghiên cứu về định lý KKM - Fan

trình bày về lời mở đầu nghiên cứu về định lý KKM - Fan

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết KKM, mang tên ba nhà toán học nổi tiếng người Balan : Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz, là một lý thuyết quan trọng; được phát triển khá hoàn thiện và đẹp đẽ và vẫn đang được quan tâm xây dựng; có ý nghĩa sâu rộng trong nhiều lĩnh vực toán học quan trọng như giải tích hàm, giải tích phi tuyến; tối ưu hóa, toán kinh tế và nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực toán học khác Định lý quan trọng nhất

và là cơ sở là định lý KKM Năm 1984, Ky Fan đã mở rộng định lý này, đánh đấu một

bước mới và dẫn tới một trong các định lý được áp dụng nhiều nhất trong hai thập

niên vừa qua trong các lĩnh vực toán học nói trên Định lý này được cộng đồng toán học quốc tế gọi là định lý KKM-Fan Do vai trò trung tâm của nó nên người ta tập trung tìm hiểu quan hệ với các kết quả dạng khác và phát hiện ra rằng nó có nhiều dạng phát triển khác hẳn nhưng tương đương Trong đó quan trọng nhất là một số định lý điểm bất động Giả thiết chính của định lý là ánh xạ phải thỏa tính chất được gọi là ánh xạ KKM Tính chất này cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu

và mở rộng

Các vấn đề trên đã lôi cuốn chúng tôi hình thành một luận án mang tính tổng quan này Chúng tôi cố gắng hệ thống lại từ nhiều bài báo, kể cả các bài mới nhất

và các bài của seminar ở Bộ môn Tối ưu và Hệ thống, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh thành một hệ thống vấn đề theo cách tiếp cận và

lý giải của chúng tôi

Đầu tiên chúng tôi hệ thống lại một số định nghĩa mở rộng của khái niệm ánh xạ

KKM Tiếp đến chúng tôi trình bày Định lý KKM-Fan và các kết quả tương đương Cuối cùng chúng tôi tập hợp lại các áp dụng trong một vấn để trung tâm của mọi lý thuyết toán học là điều kiện tổn tại nghiệm của lớp bài toán đang xét Chúng tôi để cập đến các điều kiện đủ tổn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân và tựa biến phân, bài toán cân bằng và tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân và tựa biến phân Cần nói thêm rằng, các bài toán vừa nêu đã được xếp theo thứ tự tổng quát dần Bất đẳng thức biến phân được phát triển từ bốn thập niên vừa qua, bài

toán cân bằng từ hơn mười năm nay còn bài toán bao hàm thức biến phân chỉ mới được định nghĩa vài năm nay Đây là các lớp bài toán hiện đại và mới được nghiên cứu rất mạnh ở nhiều nơi trên thế giới

Chúng tôi hy vọng rằng sự tìm hiểu tổng quan ở luận án này sẽ tạo điều kiện cơ

sở vững vàng cho chúng tôi tiếp tục nghiên cứu trong đội hình chung của seminar

bộ môn nói trên để có được các kết quả nghiên cứu của chính mình trong thời gian không lâu tới đây