Trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách mạch

Điều này có ý nghĩa lớn là tạo lên một dạng vật chất mới trong đó cac hạt bị giam chung trong trạng thái ở mức năng lượng thấp nhất, đã mở ra nhiều triển vọng nghiên cứu trong vật lý.. N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

ĐÀO THỊ DỊU

TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo

T.S Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn em để

em có thể hoàn thành khóa luận này

Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy

tôi trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản

trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như trong công việc sau này

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với

phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu

sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các

bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Đào Thị Dịu

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai

thành phần phân tách mạnh” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và

nghiêm khắc của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ

Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 4

1.1 Hệ hạt đồng nhất 4

1.1.1 Nguyên lý đồng nhất 4

1.1.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng 4

1.1.3 Nguyên lý Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu 5

1.2 Thống kê Bose-Einstein 7

1.3 Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein 11

1.4 Thực nghiệm về Bose- Einstein 18

1.4.1 Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium 18

1.4.2 Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý 20

1.4.3 Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polariton 22

CHƯƠNG 2 TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH 26

2.1 Toán tử Hamilton 26

2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii 27

2.2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 27

2.2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 29

2.3 Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh 30

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

lý thyết hạt và sự chuyển động của các phân tử Ông cũng nghiên cứu các tính chất nhiệt học của ánh sáng và đặt cơ sở cho lý thuyết lượng tử ánh sáng Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng quát để miêu tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ

Einstein đã công bố hơn 300 báo cáo khoa học và hơn 150 bài viết về những chủ đề khác nhau, ông cũng nhận được nhiều bằng tiến sĩ danh dự trong khoa học, y học và triết học từ nhiều cơ sở giáo dục đại học ở Châu Âu

và Bắc Mỹ Những thành tựu tri thức lớn lao của ông đã khiến nhân loại gọi ông là nhân tài

Một trong những thành tựu khoa học của ông đó là ý tưởng về BEC bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và tạo nên một trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu

nguyên tử - tức là một BEC Mãi đến năm 1980 khi kỹ thuật laser đã đủ phát triển để làm siêu lạnh các nguyên tử tới nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện được

Ngày 5 tháng 6 năm 1995, một nhóm cách nhà vật lý tại phòng thì nghiệm JILA (Đại học Colorado cùng Viện Tiêu Chuẩn và Công nghệ Quốc gia NIST) đứng đầu là Carl Wieman và Eric Cornell lần đầu tiên thành công trong việc tạo nên BEC gồm 2000 nguyên tử ribidium 87 được làm siêu lạnh trong một bẫy từ sử dụng laser Sau đó Wolfgang Kettle (Viện công nghệ Massachusetts cũng tạo ta được BEC từ 500000 nguyên tử sodium 23 Ba nhà vật lý trên được ngải Nobel Vật Lý năm 2001

Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới (BEC- Bose- Einstein condensate) từ những nguyên tử lạnh năm 1995 Điều này có ý nghĩa lớn là tạo lên một dạng vật chất mới trong đó cac hạt bị giam chung trong trạng thái ở mức năng lượng thấp nhất, đã mở ra nhiều triển vọng nghiên cứu trong vật lý Đây là một lĩnh vực khoa học có hướng phát triển mạnh mẽ trong tương lai và được ngành vật lý chúng ta quan tâm

Chính vì lí do trên mà em chọn “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh” làm đề tài nghiên cứu khóa

luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những đóng góp của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần

trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu “Trạng thái cơ bản của khí ngưng tụ Bose-Einstein hai thành

phần phân tách mạnh” xuất phát từ hệ các hạt đồng nhất, thống kê

Bose-Einstein đối với các boson là nhưng hạt có spin nguyên, phương trình

Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian và không phụ thuộc vào thời gian

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương trình Gross-Pitaevskii

Ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách mạnh

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách và tra cứu tài liệu

Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học Phương pháp nghiên cứu lí luận

NỘI DUNG CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

N i

n i

i ˆ , , , ˆ 2

ˆ ˆ

1

2 1

tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài

Hàm sóng của hệ phải thỏa mãn phương trình Schrodinger

1.1.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng

của hệ N hạt đồng nhất là 1, ,i, , j N,t i, j Nếu thế

i P j

i P P j

i j

i

Pij      ij ij  ij  

a) Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm phản đối xứng)

P ˆija   a,

b) Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm đối xứng)

P ˆijs  s,

Tính đối xứng và phản đối xứng của một hạt là tích phân chuyển động Các thí nghiệm đã chứng tỏ rằng, tính chất đối xứng và phản đối xứng của các hàm sóng liên quan đến tính chất nội tại của các hạt Các hạt có các hàm

các hạt fermi hay các fermion, tuân theo thống kê Fermi-diac Các Boson là các hạt có spin nguyên, các fermi là các hạt có spin bán nguyên

1.1.3 Nguyên lý Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu

Đối với Fermion có một nguyên lý cấm do Pauli đữa ra Nguyên lý này được phát biểu như sau:

"Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực L1,L2,L3,S z bất kỳ đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt, thì trong hệ Fermion không thể có hai hạt có trạng thái được đặc trưng bởi 4 số L1,L2,L3,S z giống nhau"

Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng của các Fermion

Ta giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống nhau

Pˆ  i, j  j,i  i, j ,

a a

ở đây Hˆ l là toán tử Hamilton cho hạt thứ ll  1 , 2 , ,N, n l là tập hợp các

l n

n n

1

3 2

1

!

1

2 2

2

1 1

1

N N

n

n n

n

n n

n a

Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có

suy biến gk trong (1.7) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác

hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng

N n

n W

!

1 ,

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt

n W

l

l l

Từ đây ta lại có hai nhận xét về công thức (1.11) như sau:

thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng

 , ,  exp  , , 

0 1

0

0 0

n n G n

N n

n n W n n

l

l l

n n

k

n n

k k

Hai là đại lượng Gn0, n1 ,  xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các

trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ ) các hạt Đối với hệ Boson và hệ Fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn

tả cùng một trạng thái lượng tử Do đó đối với các hạt Boson và Fermion ta có

1 0 ,

1 0

n n n

n

Trong phân bố Mắcxoen-Bônxơman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa

độ của các hạt đều sẽ cho ta các trạng thái mới trừ các phép hoán vị của các

khi đó

!1

0 n n

N

g k 

các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta

hình như không phải chỉ có một thế hóa học  mà có cả một tập hợp thế

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như

n Z

l

l l l

1

1 0 0

l

l l k

k k

n n G n

l l l

l l l

n

n Z

l l

công thức (1.21) được xác định từ điều kiện

1.3 Trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein

Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC - Bose-Einstein condensation) là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không

một tỷ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở mức độ vĩ mô Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô Hiện tượng này được Einstein dự đoán vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên

Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ hà hấp thụ của các vật đen tuyệt đối Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất Những lỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí

Bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose-Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi

là các boson Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau Einstein chứng minh rằng khi lành lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất

Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau

Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu

Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk) Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghiiej Massachusetts tạo ra được ngưng

tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ Vì vậy

mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001

Các hạt trong vật lý được chia làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và lớp các fermion Boson là những hạt có ''spin nguyên'' (0,1,2, ), fermion là những hạt có spin ''bán nguyên'' (1/2,3/2 ) Các hạt boson tuân theo thống kê Bose- Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fecmi- Dirac Ngoài

ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lý ngoại trù Pauli, ''hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng tử''

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boso, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidi Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.

Ở nhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất gióng nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi cả thống

kê B-A và thống kê F-D đều tiệm cận đến thống kê M-B ở nhiệt độ phòng)

Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion ( chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại) Thật vậy vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không

K

fermion, do đó năng lượng của cả hệ khác không (E # 0)

Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không ( ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó

các electron và nucleon là chẵn, ) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose Đối với khí lý tưởng, theo công thức của thống kê Bose- Einstein Số hạt

1exp

)()

Theo quan điểm lượng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem

như các sóng đứng Debrolige Áp dụng công thức

2 ) (

2

V dk k k dN

2

2

2

m dp

p

m p





Khi đó (1.26) có dạng



Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả

dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g= 2s +1 Do đó số các mức

2

2 )

2 3

1 2

2 )

N

kT

Nhận thấy nếu số hạt N là sô s cho trước thì phương trình (1.29) sẽ cho ta

số dương, do đó theo (1.28) điều kiện đó sẽ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.28)

0

0 0

1

1

) (

1

1 1

1

) (

1

1

1

1 1

e

d e

e

T d

e

kT e

kT

d e

e kT

d e

d e

T

d e

d e

T N

T N

T

kT kT kT

(1.30)

2 3

1 2

2 )

2 3

1 2

2 ) (

2 / 3

1 2

) 2 (

dx e

x Vg

2 / 3 0 3

2 2 / 1

2 / 3 0 2 / 3

1 2

) (

1

x Vg

m dx

e

x Vg

/ 2

2 0

0

31 , 3

(1.32) Đối với tất cả các khí boson quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ Ví dụ

2 2 / 1

2 / 3 3

2

2 / 3

1 2

) (

1 2

) 2 ( ) 0

e

x Vg

mkT d

e

Vg m

3 / 2

0

3 / 2

0

')

N hay T

T N

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được

hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N' có thể phân bố theo các mức năng

lượng một cách tương ứng với công thức (1.23), tức là :

1 )

31 , 2 (

'

1 2

) ( 1/2 2 3 3/2

2 / 3

e

Vg m dn

đi, chẳng hạn như tất cả các số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa

là chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta gọi đó là pha ngưng tụ

nằm ở mức năng lượng thấp nhất ( mức năng lượng không) và các hạt còn lại

sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật

lượng được gọi là "sự ngưng tụ bose" Ở nhiệt độ không tuyệt đối (T=0) tất cả

các hạt boson sẽ nằm trên mức không

1.4 Thực nghiệm về Bose- Einstein

1.4.1 Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium

Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một

hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản Với việc chọn erbium, đội nghiêm cứu đứng đầu là Frencesca Ferlaino thuộc Viện Vật lí