Ảnh hưởng của ngoại lực stern gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần

Lí do chọn đề tài Ngưng tụ Bose-Einstein BEC là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

LẠI THÚY LINH

ẢNH HƯỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN-GERLACH

LÊN TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực

hiện khóa luận tốt nghiệp này

Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy tôi trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như trong công việc sau này Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Lại Thúy Linh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” được hoàn

thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ

Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 04 năm 2015

Sinh viên

Lại Thúy Linh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 3

TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 3

1.1 Hệ hạt đồng nhất 3

1.1.1 Khái niệm hệ hạt đồng nhất 3

1.1.2 Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng nhất Nguyên lý Pauli 3

1.2 Thống kê Bose-Einstein 5

1.3 Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein 10

1.4 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein 14

CHƯƠNG 2 18

ẢNH HƯỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN-GERLACH LÊN TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN 18

2.1 Lực Stern-Gerlach 18

2.1.1 Khái niệm spin 18

2.2.2 Thí nghiệm Stern-Gerlach 20

2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii khi tính đến lực Stern-Gerlach 22

2.3 Lời giải trong gần đúng Thomas-Fermi 25

KẾT LUẬN 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trong một thể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser Đó

là BEC từ khí Bose Sau đó không lâu BEC từ khí Fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định Phát kiến BEC đã mở ra ra một giai đoạn phát triển như

vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực nghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử Thực vậy, ngưng tụ Bose-Einstein được tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống kê Bose-Einstein, vì thế nó được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rất đặc biệt: là một chất lỏng lượng tử với tính chất kết hợp rất cao như các tia laser

Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên thực nghiệm các BEC 2 thành phần từ phân tử khí gồm 2 thành phần khí khác nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương tác giữa 2 thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn Đây chính

là một môi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần khi chịu tác dụng của ngoại lực Stern-Gerlach và bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, tôi chọn đề

tài “Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt

nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu ngoại lực Stern-Gerlach để tìm hiểu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Anhxtanh hai thành phần

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu “Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” xuất phát từ hệ hạt đồng nhất,

thống kê Bose- Einstein là những hạt có spin nguyên, lực Stern-Gerlach, phương trình Gross-Pitaevskii khi tính đến lực Stern-Gerlach, lời giải trong gần đúng Thomas-Fermi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lực Stern-Gerlach

Phương trình Gross-Pitaevskii khi tính đến lực Stern-Gerlach

Lời giải trong gần đúng Thomas-Fermi

Nghiên cứu “Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần”

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu

Phương pháp giải tích toán học

Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên

6 Cấu trúc khóa luận

Chương 1: Lý thuyết chung về ngưng tụ Bose- Einstein

Chương 2: Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng nhất

1.1.1 Khái niệm hệ hạt đồng nhất

Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin không phân

biệt với nhau thì ta có một hệ N hạt đồng nhất Trong một hệ như thế ta có thể

phân biệt được các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa

độ và xung lượng của từng hạt Hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng nhất

1.1.2 Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng nhất Nguyên lý Pauli

trong trạng thái đó, khi đó  và E được xác định là hàm riêng và trị riêng

tương ứng của toán tử ˆH , tức là được xác định bằng cách giải phương trình

Hàm sóng sX X1, 2, ,X n gọi là đối xứng nếu nó không đổi dấu khi

ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý

 1, , , ,   1, , , , 

s X X i X k  s X X k X i

Hàm sóng sX X1, 2, ,X n gọi là phản đối xứng, nếu nó đổi dấu khi

ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý

ta có thể thiết lập hàm sóng của hệ có tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng

Ta kí hiệu N là số hạt ở trạng thái 1 n1, N là số hạt ở trạng thái 2 n2 Đối với hệ các hàm boson hàm sóng phải có dạng tính đối xứng đã chuẩn hóa

là kí hiệu lấy tổng theo mọi hoán vị n và i n , k N N1, 2, ,N s là số

các hạt ở trong các trạng thái lƣợng tử n n1, 2, ,n s , N là tổng số hạt của hệ và

thỏa mãn điều kiện

1 2   s 

Ví dụ

Xét trường hợp hệ gồm hai hạt (N = 2), giả sử mỗi hạt có thể nằm trong

trạng thái 1 hoặc 2 Khi đó hàm sóng đối xứng của hệ là

nhận thấy rằng nếu hoán vị hai chỉ số bất kỳ n i và n k thì định thức trên sẽ đổi

dấu và do đó hàm sóng cũng đổi dấu Nếu một hạt hoặc nhiều hạt ở cùng trong một trạng thái thì định thức sẽ chứa 2 hoặc nhiều cột giống nhau, do đó 0

a  tức là ở trạng thái đó thì hệ không tồn tại Hàm sóng (1.5) thỏa mãn nguyên lý cấm của Pauli “trong mỗi trạng thái đơn hạt chỉ có tối đa một hạt fecmion”

1.2 Thống kê Bose-Einstein

Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở

trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt Xuất phát từ phân bố chính tắc lượng tử

1exp

trong đó E k là năng lượng của hệ ở trạng thái k,  và  là các thông số của

phân bố, g k là độ suy biến của mức năng lượng E k

Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có

ở đây, l là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, n là số chứa đầy mức l

tức là số hạt trong hệ có cùng năng lượng l

Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0  với xác suất khác nhau Độ

suy biến g k trong (1.6) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau

về phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị E k Vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng

Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng

01

!

l l l

g N

N n ,  là thế nhiệt động lớn,  là thế hóa học

Sở dĩ có thừa số 1

!

N xuất hiện trong công thức (1.8) là vì có kể đến tính

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt

Một là vế phải của (1.10) có thể coi là hàm của các n nên ta có thể đoán l nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n 0 hạt nằm trên mức 0, n hạt l

nằm trên mức l, nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy, và ta viết lại nó nhƣ sau

! !



G n n

Ta đi tìm g k

Trong phân bố Macxoen-Bonzoman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt đều sẽ cho ta các trạng thái mới trừ các phép hoán vị của các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng 1 Do đó số tổng cộng các

trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N!

chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho

n n ,

thay giá trị của g vào (1.9) ta thu được (1.12) Để tính trị trung bình của các k

số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng  trong công thức (1.10) chỉ số l, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình

như không phải chỉ có một thế hóa học  mà có cả một tập hợp thế hóa học

1.3 Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein

Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Macxoen-Bonzoman Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại) Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng  0, do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E0 Còn đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ 0

0



T K các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức

fermi, do đó năng lượng của cả hệ khác không (E 0)

Việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn, …) được gọi là các hạt bozon hay khí bose Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose-Einstein Số hạt trung bình

có năng lượng trong khoảng từ    d bằng 

Theo quan điểm lượng tử, các hạt bozon chứa trong thể tích V có thể

xem như các sóng đứng Đơ-Brơi Áp dụng công thức

 m V

Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả

dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g 2s1 Do đó số các mức năng lượng trong khoảng    d là 

Nhận thấy nếu số hạt N là số cho trước thì phương trình (1.28) sẽ cho ta

xác định thế hóa học  Thật vậy, số hạt trung bình dn  chỉ có thể là một

số dương, do đó theo (1.27) điều kiện đó sẽ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.27)

luôn dương Tức là  0để cho giá trị của exp  

11

1

11

d d

N

T T

e

N T

d kT

e

2 0

(1.29)

Vì  0 và  0 nên   0, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở

vế phải (1.29) luôn luôn dương với mọi giá trị của  , vì vậy  0

T Từ các

tính chất  0 và  0



T của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng

(giá trị âm nhiều đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T 0 nào

đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không max 0

Xác định nhiệt độ T 0

Chọn  0 và   0 Khi đó phương trình (1.28) trở thành

0 0

22

nên từ (1.30) và 0 kT , ta đƣợc 0

2/3 2

k g mk V

  (1.31) Đối với tất cả các khí boso quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ Ví dụ nhƣ 4

T nên  không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0 T T thì 0  0 Với nhiệt độ T T0 số hạt có năng lƣợng

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải đƣợc

đoán nhận vật lý một cách đặc biệt Khi T<T 0 thì NNchỉ ra rằng số hạt

toàn phần N chỉ có một phần số hạt Ncó thể phân bố theo các mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.22), tức là

hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ

Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T 0, một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (mức năng lượng không) và các hạt còn lại

sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật 1

Trạng thái mới này của vật chất lần đầu tiên được dự đoán vào năm 1924 bởi nhà vật lý, toán học Ấn Độ Satayendra Nath Bose, ông cho rằng sự phân

bố nhiệt của các photon không phải là phân bố Maxwell Boltzmann mà là phân bố Plank Albert Einstein mở rộng điều này với một hệ lớn hạt bose không tương tác và trình bày ý cơ bản của một ngưng tụ Bose-Einstein vào năm 1925 Ông nhận ra rằng một phần lớn của các hạt chiếm trạng thái năng

vào năm 1938, F.London đề xuất các phương pháp gần đúng đầu tiên để thực hiện một BEC bằng cách sử dụng chất siêu lỏng 4He Tuy nhiên, sự tương tác giữa các hạt trong 4He vẫn mạnh hơn một hệ khí lý tưởng đã được nghiên cứu bởi A Einstein Kết quả lý thuyết và thực nghiệm cho thấy các phần nhỏ của các hạt ngưng tụ trong chất siêu lỏng 4He ít hơn khoảng 70% ở nhiệt độ không Lý thuyết đầu tiên của tương tác khí bose trong lĩnh vực BEC được xây dựng vòa năm 1947 bởi Bogoliubow

Những tiến bộ trong kĩ thuật như làm lạnh và giam nguyên tử (làm lạnh bằng laser, làm lạnh bằng bay hơi, bẫy nguyên tử bằng laser, từ trường, điện trường) đã cho phép thực nghiệm quan sát được hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein trong các hệ khí liti, kali và natri Ngưng tụ Bose-Einstein đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trong một thể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser Đó là ngưng tụ Bose-Einstein từ khí bose Sau đó không lâu ngưng tụ Bose-Einstein từ khí fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định Phát kiến về ngưng tụ Bose-Einstein

đã mở ra một giai đoạn phát triển như vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực nghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boso, trong trường hợp này là

các nguyên tử Rubidi Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng

vị trí Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng

Đầu những năm 1970 tại phòng thí nghiệm nhiệt độ thấp ở Đại học Cornell, Lee, Osheroff và Richardson đã phát hiện thấy rằng một đồng vị của heli (He) là heli-3 có thể trở thành siêu lỏng tại một nhiệt độ chỉ khoảng hai phần nghìn độ trên độ không tuyệt đối Chất lỏng lượng tử siêu lỏng này khác hẳn với chất lỏng lượng tử siêu lỏng mà người ta phát hiện thấy vào những năm 1930 ở nhiệt độ khoảng hai độ (cao hơn một nghìn lần) trong một đồng

vị khác của heli là heli-4 Chất lỏng lượng tử mới (heli-3) có những tính chất rất đặc biệt chẳng hạn như các định luật lượng tử của vật lý vi mô thỉnh thoảng cũng trực tiếp chi phối dáng điệu của các vật vĩ mô

Nguyên tử heli-4 là một bose và chúng tuân theo thống kê Bose-Einstein Trong các điều kiện nào đó, chúng ngưng tụ ở trạng thái có năng lượng nhỏ