Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 do Ngô Quang Minh biên soạn cung cấp cho các bạn những kiến thức về lý thuyết chuỗi. Nội dung bài giảng bao gồm những bài sau: Bài 1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số; bài 2 Chuỗi số dương; bài 3 Chuỗi số có dấu tùy ý.

Trang 1

Ø Chương Chương 7 7 Lý Lý thuyết thuyết chuỗi chuỗi

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ

1.1 Định nghĩa

• Cho dãy số có vô hạn các số hạng u u1, , , , 2 u n

Biểu thức

1

n



được gọi là chuỗi số

• Các số u u1, , , , 2 u n là các số hạng và u được gọi là n

số hạng tổng quát của chuỗi số

§1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số

§2 Chuỗi số dương

§3 Chuỗi số có dấu tùy ý

………

• Tổng n số hạng đầu tiên S n     được u1 u2 u n gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số

Ø

• Nếu dãy  S n n¥ hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là

1 n

nu S

Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ

VD 1 Xét sự hội tụ của chuỗi nhân 1

1

n

n aq 



 với a  0

Giải

• q  : 1 S n na   chuỗi phân kỳ

• q  : 1 S n u1.11q q n a.11q q n

Với q  thì 1 S    chuỗi phân kỳ n

1

n

naq 



 hội tụ   q 1

VD 2 Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

1 ( 1)

n n n



Giải Ta có:

n

S

n n



                

Với q  thì 1

1

S

q

 chuỗi hội tụ

Ø

1

ln 1





 

  

Giải Ta có: ln 1 1 ln(n 1) lnn

n

 

S n  ( ln1 ln 2) ( ln 2 ln 3)     ( ln 3 ln 4) [ ln    nln(n 1)]

ln(n    chuỗi phân kỳ 1)

1







1 1 1

1

n

 chuỗi hội tụ

Ø

n

S

n

1

n

      chuỗi phân kỳ

Ø

1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ

• Nếu chuỗi

1 n

nu



 hội tụ thì lim n 0

n u

  , ngược lại nếu lim n 0

n u

  thì

1 n

nu



 phân kỳ

4 4

n



Giải Ta có:

4

u

Ø

Trang 2

5 4

n

n n



Giải Ta có:

5

1

u

n

1.3 Tính chất

• Nếu

1 n, 1 n

n u n v

  hội tụ thì:

n u v n u n v

• Nếu

1 n

n u



 hội tụ thì:

n u n u

    

 

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi

nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng

§2 CHUỖI SỐ DƯƠNG

2.1 Định nghĩa

•

1 n

nu



 được gọi là chuỗi số dương nếu u n0,  n

Khi u n 0,  thì chuỗi số là dương thực sự n

2.2 Các định lý so sánh

Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương

1 n, 1 n

n u n v

0

0 u n v n,  n n

• Nếu

1 n

n v



 hội tụ thì

1 n

n u



 hội tụ

• Nếu

1 n

n u



 phân kỳ thì

1 n

n v



 phân kỳ

1

1 2n

n n





Giải Ta có: 1 1 , 1

.2n 2n n

Do

1

2n

n





 hội tụ nên

1

1 2n

n n





 hội tụ

VD 2 Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa

1

n n





 bằng cách

so sánh với

1

ln 1





 

  

Ø

Giải Xét hàm số f t( ) t ln(1 ta có: t)

1t

t



1 ln 1 1 0, n 1

 



      

Do

1

ln 1





 

  

 phân kỳ nên

1

n n





 phân kỳ

Ø

Định lý 2

Cho hai chuỗi số

1 n, 1 n

nu nv

0

n

u  và v  với n đủ lớn và lim n 0 n

v

• Nếu k  thì 0

1 n

nu



 phân kỳ

1 n

nv



 phân kỳ

• Nếu k   thì

1 n

n u



 hội tụ

1 n

nv



 hội tụ

• Nếu 0 k   thì

1 n, 1 n

nu n v

  cùng tính chất

Ø

VD 3 Xét sự hội tụ của chuỗi số 1

1

2 ( 1) 3

n n n

n n









so sánh với

1

2 3

n n





 

 

 



Giải Ta có

1

.3

n n

n

n 

 

     

 

Do

1

2 3

n n





 

 

 

 hội tụ nên

1 1

2 ( 1) 3

n n n

n n









Chú ý

Chuỗi

1

n n







 hội tụ khi   và phân kỳ khi 1   1

Ø

Trang 3

5 1

1

n

n n







Giải Ta có

2

n

Do

3

1





 hội tụ nên

5 1

1

n

n n







Cách khác

5

Ø

Do

3

1 2

n n





 hội tụ nên

5 1

1

n

n n







Ø

2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ

2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert

Cho chuỗi số dương

1 n

n u



 và lim n 1

u

• Nếu D  thì chuỗi hội tụ 1

• Nếu D  thì chuỗi phân kỳ 1

• Nếu D  thì chưa thể kết luận 1

1

1 1 1 3

n n





 

  

Giải Ta có:

1 1

1

n



     

     

Ø

2 2

n

     chuỗi hội tụ

2 1

5 ( !) (2 )!

n n





Giải Ta có:

1

1 5 ( 1)!( 1)! 5 ! !:

n n



2

(2n n2)(2n 1) 4

Ø

2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương

1 n

nu



 và lim n

n

• Nếu C  thì chuỗi hội tụ 1

• Nếu C  thì chuỗi phân kỳ 1

• Nếu C  thì chưa thể kết luận 1

2

1

1 2

n n





 

 

2

n n

n

u         chuỗi hội tụ

Ø

13

n n n n







Giải Ta có:

3

n

n n

u     chuỗi phân kỳ

Ø

Trang 4

2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy

Cho hàm số f x liên tục, khơng âm và giảm trên nửa( )

khoảng [ ;k ), k ¥ Khi đĩ:

n k f n k f x dx

 hộ i tụ  hộ i tụ.

3 2 1

1





Giải Ta cĩ:

3 2

1

dx

x



 phân kỳ  chuỗi 3 2

1





 phân kỳ

3 2

1 ln





Giải Ta cĩ:



2

1 ln





 hội tụ

§3 CHUỖI SỐ CĨ DẤU TÙY Ý

VD 1

1

( 1)n







1 1

( 1) 2

n n n n











 là các chuỗi đan dấu

3.1 Chuỗi đan dấu

a) Định nghĩa Chuỗi số

1( 1)n n

 được gọi là

chuỗi số đan dấu nếu u n  0, n

b) Định lý Leibnitz

Nếu dãy { }u n n¥ giảm nghiêm ngặt và u  thì chuỗi n 0

1( 1)n

n

 hội tụ Khi đĩ, ta gọi là chuỗi Leibnitz

Ø

1

( 1)n









Giải Dãy 1

n u n

 giảm ngặt và 1 0

n   chuỗi hội tụ

1 1

( 1) 2

n n n n











Giải

1

u       khơng cĩ kết luận

Đặt

1

( 1) 2

n n



Ø

• Với

2 1

2 :

n k v    

• Với

2 2

2 1 :

n k v      

Do lim n

n v



 nên

1

0

n



   phân kỳ

Ø

2

( 1) ( 1)

n n







 

Giải

( 1)

n

 

•

2

1 1

n n



 là chuỗi điều hịa nên phân kỳ

•

2

( 1) 1

n n







 là chuỗi Leibnitz nên hội tụ

Vậy chuỗi

2

( 1) ( 1)

n n







 

Ø

Trang 5

3.2 Chuỗi có dấu tùy ý

a) Định nghĩa

• Chuỗi

1 n, n

n u u

 ¡ được gọi là chuỗi có dấu tùy ý

•

1 n

n u



 được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

1 n

n u



 hội tụ

•

1 n

n u



 được gọi là bán hội tụ nếu

1 n

n u



 hội tụ và

1 n

n u



 phân kỳ

VD 5 Chuỗi số

1

( 1)n







 là bán hội tụ

Ø

b) Định lý

Nếu

1 n

n u



 hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý

1 n

nu



 hội tụ

2 1

cos( )n n

n n





Giải

Do

2

1

n u n

 và

2 1

1

n n





 hội tụ nên

2 1

cos( )n n

n n





Vậy chuỗi số đã cho hội tụ tuyệt đối

1 1

( 1) ( 2) 3

n n







Ø

Giải Ta có:

Do

1

3 3

n n

n

 

  nên

1 1

( 2) 3

n n n









Vậy

1 1

( 1) ( 2)

3

n n







Ø

Chuỗi

1

( 1)

3

n







 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	279,92 KB