Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 của Ngô Quang Minh trình bày về phép tính vi phân hàm hai biến với những nội dung cơ bản như khái niệm cơ bản, đạo hàm riêng vi phân, cực trị của hàm hai biến số. Mời các bạn tham khảo.

Trang 1

Ø Chương Chương 6 6 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm hai hai biến biến

§1 Khái niệm cơ bản

§2 Đạo hàm riêng – Vi phân

§3 Cực trị của hàm hai biến số

………

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Các định nghĩa

a) Miền phẳng

• Trong mặt phẳng Oxy, hình phẳng D giới hạn bởi các

đường cong kín được gọi là miền phẳng

Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là

biên của D, ký hiệu D hay 

Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với

biên ở vô cùng

Ø

• Miền phẳng D kể cả biên D  được gọi là miền đóng,

miền phẳng D không kể biên D  là miền mở

• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1

đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi

là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b)

Ø

b) Lân cận của một điểm

• Khoảng cách giữa 2 điểm M x y , 1 1( , )1 M x y là: 2 2( , )2

d M M M M  x x  y y

• Hình tròn S M  mở có tâm ( , )

( , )

M x y , bán kính   được 0

gọi là một lân cận của điểm M

Nghĩa là:

0 0 0( , ) ( , ) ( 0) ( 0)

M x y S M   x x  y y  

M



•

Ø

Ø Chương Chương 6 6 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm hai hai biến biến c) Hàm số hai biến số

• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D  ¡ 2 Tương ứng f D  ¡ cho tương ứng mỗi ( , ): x y D

với một giá trị z f x y( , ) ¡ duy nhất được gọi là hàm số hai biến số x y ,

• Tập D  ¡ được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm 2

số, ký hiệu D Miền giá trị của hàm số là: f

 ( , ) ( , ) f

G  z f x y ¡ x y D

VD

• Hàm số f x y( , ) 3 x y2 cosxy có 2

f

D  ¡

Ø

• Hàm số z 4  có MXĐ là hình tròn đóng x2 y2

tâm O(0; 0), bán kính R  2

• Hàm số zln(4 x2 y2) có MXĐ là hình tròn mở

tâm O(0; 0), bán kính R  2

Chú ý

• Trong trường hợp xét hàm số f x y mà không nói gì ( , )

thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm

2

( , )

M x y  ¡ sao cho ( , ) f x y có nghĩa

• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số (xem giáo trình)

1.3 Hàm số liên tục (xem giáo trình)

Ø

§2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

2.1 Đạo hàm riêng

a) Đạo hàm riêng cấp 1

• Cho hàm số f x y xác định trên miền mở ( , ) D  ¡2 chứa điểm M x y Cố định 0 0( , )0 y , nếu hàm số 0 f x y( , )0

có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng 0

theo biến x của hàm số ( , ) f x y tại ( , )x y 0 0

Ký hiệu: f x y hay x( , )0 0 /

0 0 ( , )

x

f x y hay f x y x( , ).0 0

 Vậy

0

( , ) ( , )





Trang 2

Chú ý

• Nếu f x là hàm số một biến x thì ( ) /

x f df

f x dx

• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự

• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại ( , )x y là: 0 0

0

( , ) ( , )

f x y

y y









Ø

VD 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

f x y x  x y  y  xy tại ( 1; 2)

Giải f x y x/( , ) 4 x39x y2 2 3y f x/( 1; 2)   46

f x y y/( , ) 6x y3 6y23xf y/( 1; 2) 39 

VD 2 Tính các đạo hàm riêng của

2

2 21 ln

1

x z

x y





 

Giải Ta có zln(x2 1) ln(x2  Suy ra: y2 1) /

z

1

z

x y

 

 

Ø

VD 3 Tính các đạo hàm riêng của zcos x y tại ( ; 4)

Giải

/

8

x

 



           ,

/

32

y



Ø

VD 4 Tính các đạo hàm riêng của f x y z( , , )e x y2 sinz

Giải / ( )2 / x y2 sin 2 x y2 sin

f  x y e z xye z

/ ( )2 / x y2 sin 2 x y2 sin

f  x y e z x e z

/ x y2 cos

z

f e z

Ø

b) Đạo hàm riêng cấp cao

• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số f x y , x/( , ) f x y y/( , )

được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f x y ( , )

Ký hiệu: 2  

2 2

x

f

x x

 

     

 

 

2

2 2

y

f

y y

 

     

 

x y f xy  f x y f 2

f        y x





 

y x f yx  f y x f 2

f

x y

 

      







 





Ø

• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn

2 có định nghĩa tương tự

VD 5 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:

( , ) y

f x y x e x y  tại ( 1; 1)y 

Giải Ta có

y x

y y





Trang 3

  2

2

y x

y

y y





    

2

//

( 1;1) 6 2 ( 1;1) 3 6

x

xy

y

    





      



Ø

VD 6 Cho hàm số ( , )x5 y4 x y4 5 Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f x y(5)3 2(1; 1) là:

A f x y(5)3 2(1; 1) 480  ; B f x y(5)3 2(1; 1)  480;

C f x y(5)3 2(1; 1) 120  ; D f x y(5)3 2(1; 1)  120

Giải f x/5x44x y3 5f x//2 20x312x y2 5 f x///3 60x224xy5f x y(4) 3  120xy4 f x y(5)3 2  480xy3f x y(5) 3 2(1; 1) 480   A

Ø

• Định lý Schwarz

Nếu hàm số f x y có các đạo hàm riêng ( , ) f  và xy f  yx

liên tục trong miền mở D  ¡ thì 2 f xy f yx

Hermann Amandus Schwarz

(1843 – 1921)

Ø

VD 7 Đạo hàm riêng (m n m 2 )n2 ( 2)

x y x

z   m của z e 2x y là:

A ( 1) 2 n m n x y e2  ; B ( 1) 2 m m n x y e2  ;

C ( 1) 2 m m x y e2  ; D ( 1) 2 n m x y e2 

Giải Ta có ( 2 )2 ( )

m n m n

x y x x y

z   z  / 2 2x y

x

z  e  // 2 22 2x y

x

   ( )m m 2m x y2

x

2

(m m 1) 2m x y2 (m m 2) 2m x y2

(m n m n) ( 1) 2n m x y2

x y

Ø

2.2 VI PHÂN

2.2.1 Vi phân cấp 1

a) Số gia của hàm số

• Cho hàm số f x y xác định trong lân cận ( , ) S M ( , )0

của điểm M x y Cho x một số gia x0 0( , )0  và y một

số gia  , khi đó hàm ( , )y f x y có tương ứng số gia:

Ø

Ø Chương Chương 6 6 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm hai hai biến biến b) Định nghĩa

• Nếu trong lân cận S M  với số gia x( , )0  ,  mà số y

gia  tương ứng có thể viết được dưới dạng f

trong đó A B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm ,

0 0( , )0

M x y và hàm ( , ) f x y , không phụ thuộc  x, y

thì đại lượng A x B y.   được gọi là vi phân của hàm

số f x y tại điểm ( , ) M x y 0 0( , )0

• Khi đó, f x y được gọi là khả vi tại điểm ( , ) M x y 0 0( , )0

Ký hiệu: df    A x B y

Trang 4

Nhận xét

f f x x y f x y A x O x

/

0 0 0

x

f A A f x y x

 



0 0 0

y

     

Suy ra df x y( , )f x y x/( , ). x f x y y/( , ). y

• Xét f x y( , ) x df x y( , )  x dx  x

Tương tự, dy  y

Vậy df x y( , )f x y dx f x y dy x( , )  y( , )

Ø

Ø Chương Chương 6 6 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm hai hai biến biến c) Định lý

• Nếu hàm số f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận ( , ) nào đó của ( , )x y và các đạo hàm riêng này liên tục 0 0 tại ( , )x y thì 0 0 f x y khả vi tại ( , ) ( , )x y 0 0

VD 8 Cho hàm f x y( , )x e2 x y  Tính (1; 1)y5 df 

Giải

x y



Vậy df(1; 1) 3  e dx2 (e25)dy

Ø

VD 9 Tính vi phân cấp 1 của hàm z e x y2 sin( )xy2

Giải / 2 sin( 2) 2cos( 2) x y2

x

z  x xy y xy e 

/ sin( 2) 2 cos( 2) x y2

y

z   xy  xy xy e 

Vậy dz2 sin(x xy2)y2cos(xy e2) x y2dx

  sin(xy2) 2 cos( xy xy e2) x y2dy

Ø

Ø Chương Chương 6 6 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm hai hai biến biến 2.2.2 Vi phân cấp 2

• Giả sử f x y là hàm khả vi với ,( , ) x y là các biến độc

lập Các số gia dx x dy,   tùy ý độc lập với y

,

x y nên được xem là hằng số đối với , x y Vi phân của

( , )

df x y được gọi là vi phân cấp 2 của ( , ) f x y

Ký hiệu và công thức:

d f d df f dx  f dxdy f dy  

Chú ý

• Nếu x y là các biến không độc lập (biến trung gian) , ( , )

x x   , y y   thì công thức trên không còn ( , ) đúng nữa Sau đây ta chỉ xét trường hợp x y độc lập ,

Ø

VD 10 Cho hàm số f x y( , )x y2 3xy23x y3 5

Tính vi phân cấp hai df2(2; 1)

Giải Ta có:

x

y





6 +2 60 (2; 1) 460

Vậy d f2 (2; 1) 34  dx2340dxdy460dy2

Ø

VD 11 Tính vi phân cấp 2 của hàm f x y( , ) ln( ) xy2

Giải Ta có

2

xy

Vậy d f2  x dx 2 22y dy 2 2

Trang 5

2.3 Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)

• Hàm z x y xác định trên ( , ) 2

z

D  ¡ thỏa phương trình

( , , ( , )) 0, ( , ) z

F x y z x y  x y   (*) được gọi là D D

hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*)

Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:

x z x y z y

FF z  FF z  

Vậy x, y  0 

F F



        

Ø

Giải Ta có F x y z( , , )xyzcos(x y z  )

/ / /

x y z



      

 



z

xy x y z 

 

   , / sin( )

z

xy x y z 

 

VD 12 Cho hàm ẩn z x y thỏa phương trình: ( , )

xyz x y z  Tính z z x/, /y

Ø

Giải Ta có F x 2   y2 z2 2x 4y  6z 2

/

/ /

3

y

y z

z z



      

VD 13 Cho hàm ẩn z x y thỏa phương trình mặt cầu: ( , )

x        Tính y z x y z /

y

z

Ø

§3 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

3.1 Định nghĩa

• Hàm số z f x y ( , ) đạt cực trị thực sự tại M x y0 0( , )0 nếu với mọi điểm M x y khá gần nhưng khác ( , ) M thì 0

hiệu  f f x y( , )f x y( , )0 0 có dấu không đổi

• Nếu   thì f 0 f x y là giá trị cực tiểu và ( , )0 0 M là 0 điểm cực tiểu của z f x y ( , )

• Nếu   thì f 0 f x y là giá trị cực đại và ( , )0 0 M là 0 điểm cực đại của z f x y ( , )

Ø

VD 1 Hàm số

( , )

f x y x  y xy x  

2 ( , ) 0, ( , )

    ¡ nên đạt cực tiểu tại (0; 0)O

Ø

Ø Chương Chương 6 6 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm hai hai biến biến 3.2 ĐỊNH LÝ

a) Điều kiện cần

• Nếu hàm số z f x y( , ) đạt cực trị tại M x y và 0 0( , )0

tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:

• Điểm M x y thỏa 0 0( , )0 / /

( , ) ( , ) 0

f x y f x y  được gọi là điểm dừng, M có thể không là điểm cực trị 0

Trang 6

b) Điều kiện đủ

Giả sử zf x y( , ) có điểm dừng là M và có đạo hàm 0

riêng cấp hai tại lân cận của điểm M 0

Đặt A f M x//2( ), 0 B f M xy//( ), 0 C f M y//2( )0

• Nếu



đạt cực tiểu tại M 0

• Nếu



đạt cực đại tại M 0

• Nếu AC B 20f x y( , ) không đạt cực trị tại M 0

• Nếu AC B 20 thì ta không thể kết luận

Ø

Ø Chương Chương 6 6 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm hai hai biến biến 3.3 Phân loại cực trị

• Trong không gian Oxyz ,

xét mặt cong S chứa

đường cong ( )C

• Chiếu S lên mpOxy

ta được miền D  ¡ 2

và đường cong phẳng ( ) : ( , ) 0 x y 

Ø

• Khi đó, điểm P S1 là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so

với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu

1

M  là được gọi là điểm cực trị tự do của hàm D

( , )

f x y xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( ) )

• Tương tự, điểm P2( )C là điểm cao nhất (hay thấp

nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình

chiếu M   là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc2 ( )

bởi ( ) : ( , ) 0 x y  của hàm ( , )f x y

Ø

3.4 Cực trị tự do

Cho hàm số ( , ) xác định trên D Để tìm cực trị (tự

do) của f x y , ta thực hiện các bước sau: ( , )

• Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận

• Bước 1. Tìm điểm dừng M x y bằng cách giải hệ: 0 0( , )0

/

( , ) 0 ( , ) 0

x y

f x y





( , ), xy( , )

x

A f x y Bf x y , //2

( , )

y

Cf x y  AC B

Ø

VD 2 Tìm điểm dừng của hàm số z xy (1  x y)

Giải Ta có

x

y

2

x xy x

    



x y x y

x xy x



     Vậy hàm số có 4 điểm dừng:

1(0; 0), 2(0; 1), 3(1; 0), 4 1 1;

3 3

 

Ø

Giải

/ /

x y

   



   

 M( 2; 1) là điểm dừng

2

//

( 2; 1) 2 0

( 2; 1) 2

x xy y

A z

B z

C z







Vậy M ( 2; 1) là điểm cực tiểu và z CT  3

VD 3 Tìm cực trị của hàm z x 2 y2 4x  2y 8

Hình 1

Trang 7

1(0; 0), 2(1; 1)

Do z//x2 6 ,x z xy//  3,z//y2  nên: 6y

• Tại M : 1 A C 0,B     3 0

1

M

 không là điểm cực trị

• Tại M : 2 A C  6 0,B     3 0

Vậy M2(1; 1) là điểm cực tiểu và z   CT 3

Giải Ta có z x/3x23y0,z y/3y23x 0

VD 4 Tìm cực trị của hàm số z x 3 y3 3xy 2

Hình 2

Ø

VD 5 Tìm cực trị của z3x y y2  3 3x23y2 2

Giải.

/

x y



1(0;0), 2(0;2), 3(1;1), 4( 1;1)

Do z//x2  6y 6, z xy//6 , x z y//2 6y nên: 6

• Hai điểm M M không là điểm cực trị 3, 4

• Điểm M là điểm cực đại và 1 z  C Đ 2

• Điểm M là điểm cực tiểu và 2 z   CT 2

Hình 3

Ø

VD 6 Cho hàm số z xy 50 20 ( 0,x y 0)

Khẳng định đúng là:

A z đạt cực tiểu tại (2; 5) M và giá trị cực tiểu z  39

B z đạt cực tiểu tại (5; 2) M và giá trị cực tiểu z  30

C z đạt cực đại tại (2; 5) M và giá trị cực đại z  39

D z đạt cực đại tại (5; 2) M và giá trị cực đại z  30

Giải Ta có / /

Ø

2 2

50 20

x y xy

 



   2

20

xy



   



Vi phân cấp hai: //2 / //2

xy

Hình 4

Ø

• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f x y ta dùng ( , )

phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange

3.5 Cực trị có điều kiện

• Cho hàm số f x y xác định trên lân cận của điểm( , )

0 0( , )0

M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) 0 x y 

Nếu tại M hàm 0 f x y đạt cực trị thì ta nói ( , ) M là 0

điểm cực trị có điều kiện của f x y với điều kiện ( , )

( , ) 0x y

Ø

Ø Chương Chương 6 6 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm hai hai biến biến a) Phương pháp khử

• Từ phương trình ( , ) 0x y  ta rút x hoặc y thế vào

( , )

f x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến

VD 7 Tìm điểm cực trị của hàm z x y 2 thỏa điều kiện:

3 0

x y  

Giải x y       3 0 y x 3 z x33x2

Ta có z 3x26x   0 x 2,x  0

• x      đạt cực đại tại điểm 2 y 1 z M 1( 2; 1)

• x     đạt cực tiểu tại điểm 0 y 3 z M2(0; 3)

Hình 5

Trang 8

b) Phương pháp nhân tử Lagrange

Tại điểm cực trị ( , )x y của f , gọi x// y//

f f

    

  là

nhân tử Lagrange Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:

• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange):

( , , ) ( , ) ( , )

L x y  f x y  x y

• Bước 2. Giải hệ: L/x 0, L/y0, L/0

 điểm dừng M x y ứng với 0 0( , )0  0

• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M x y ứng với 0 0( , )0  : 0

0

d L M L dx  L dxdy L dy

Ø

Các vi phân dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: ,

0 0

2

0

( ) ( ) 0 (2)





• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:

Ø Nếu d L M 2 ( ) 00 thì f x y ( , )đạt cực tiểu tại M 0

Ø Nếu d L M 2 ( ) 00 thì f x y ( , )đạt cực đại tại M 0

Ø Nếu d L M 2 ( ) 00 thì M 0không là điểm cực trị

Ø

Joseph-Louis Lagrange

(1736 – 1813)

Ø

VD 8 Tìm điểm cực trị của hàm số f x y( , ) 2 x y với điều kiện x2y2 5

Giải Lập hàm Lagrange:

x y   x y x   y

Tìm điểm dừng:

/ /

x y

     



Ø

1

1 (2; 1),

1

4

x

M y

M

 



   



Vi phân cấp hai d L x y2 ( , ) 2 ( dx2dy2)

d L M  dx dy  M là điểm cực đại

d L M dx dy  M là điểm cực tiểu

Hình 6

Ø

VD 9 Tìm điểm cực trị của hàm z xy thỏa điều kiện

1

x y 

Giải Ta có

( , , ) x8 y2 1

L x y    xy    



L  y   L    x y   

Trang 9

Vi phân cấp hai 2 ( , ) 2 2 2

4

d L x y dx  dxdy dy

2

d L M   dx  dxdy dy (*)

Mặt khác, d x y( , )4x dx ydy

 d M( ) 01  dx 2dy 0

(2; 1), 2

( 2; 1), 2

M M

 



Ø

(*)d L M( ) 8dy  0 M là điểm cực đại

• Tại các điểm M M M ta làm tương tự 2, 3, 4

Cách khác (dùng trong trắc nghiệm)

2

d L M   dx  dxdy dy

 2

1

     là điểm cực đại

Hình 7

………

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	1,12 MB