Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 Ngô Quang Minh

Mời các bạn cùng nắm bắt những kiến thức về phép tính tích phân hàm một biến số (tính tích phân bất định, tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định, tích phân suy rộng) thông qua bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 do GV. Ngô Quang Minh biên soạn sau đây.

Trang 1

§1 Tích phân bất định

§2 Tích phân xác định

§3 Ứng dụng của tích phân xác định

§4 Tích phân suy rộng

………

§1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1.1 Định nghĩa

• Hàm số F x( ) được gọi là một nguyên hàm của ( ) trên

khoảng ( ; )a b nếu ( ) F x f x( ), x ( ; )a b

Ký hiệu  f x dx( ) (đọc là tích phân)

Nhận xét

• Nếu F x là nguyên hàm của ( )( ) f x thì ( ) F x  cũng là C

nguyên hàm của f x ( )

Tính chất

1) k f x dx k f x dx k ( )   ( ) , ¡ 2)  f x dx( ) f x( )C

3) d f x dx( ) f x( )

4) [ ( )f x g x dx( )] f x dx( ) g x dx( )

Ø

Ø Chương Chương 5 5 Phép Phép tính tính tích tích phân phân hàm hàm một một biến biến số số

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ

1) a dx ax C   , a¡

2)

1

, 1 1

x

x dx   C   



3) dx lnx C



5) e dx e x  x C; 6)

ln

x

a



7) cosxdx sinx C ; 8) sinxdx cosx C

9)

2 tan

cos

2 cot sin



Ø

11)

2dx 2 1 arctanx C



12)

2dx 2 arcsinx C a, 0

a



13)









sindx x  x2 C



 



   



Ø

VD 1 Tính

2

4

dx I

x





A 1ln 2

4 2 x

x



 ; B I 14ln 22x x C;

C 1ln 2

x

 ; D I 12ln x x22 C

Giải

2

x x









Ø

Giải Biến đổi:



   



VD 2 Tính

dx I



 

Trang 2

1.2 Phương pháp đổi biến

a) Định lý

Nếu f x dx F x( )  ( )C với  khả vi thì: ( )t

( ( )) ( ) ( ( ))

f t t dt F t  C



VD 3 Tính

ln 1

dx I





Giải Đặt ln 1

2 ln 1

dx

 Vậy I 2dt  2t C 2 lnx 1 C

Ø

VD 4 Tính

2

3 ln

dx I





Giải Đặt t lnx dt dx

x

2

ln arcsin arcsin

3

t



VD 5 Tính

3

( 3)

dx I

x x





Giải Biến đổi

2

3 3( 3)

x dx I

x x





Ø

Đặt t x 3 dt 3x dx2



3 3

9 t t3 C 9 x x 3 C

Ø

Ø Chương Chương 5 5 Phép Phép tính tính tích tích phân phân hàm hàm một một biến biến số số 1.3 Phương pháp từng phần

a) Công thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x dx u x v x   u x v x dx

hay udv uv vdu

VD 6 Tính I x xdxln

Giải Đặt

2

ln

 

 



2

Ø

VD 7 Tính

2x x

I  dx

Giải Biến đổi I x.2x dx

x x

u x

du dx v



 

 



ln 2 ln 2

x

ln 2 ln 2

Ø

VD 8 Tính Icos3xe dxsinx

Giải Biến đổi I (1 sin ) 2x esinxcosx dx Đặt tsinx I (1t e dt2)t

Đặt

1

t t

v e

dv e dt



Chú ý

Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần

Trang 3

 I e t(1t2)2te dt t

e t(1t2)2 ( )t de t

e t(1t2) 2 te t2e dt t

 e t t( 1) 2  C esinx(sinx1)2 C

b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp

• Đối với dạng tích phân P x e dx( )x

 , ta đặt:

( ), x

u P x dv e dx  

• Đối với dạng tích phân P x( )lnx dx, ta đặt:

ln , ( )

u x dv P x dx

………

Ø

0 1 n 1 n

x    a x x  x  b

Lấy điểm  k [x k1; ]x k tùy ý (k1,n)

Lập tổng tích phân: 1

1 ( )( )

n

k k k

k f x x 



§2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2.1 Định nghĩa. Cho hàm số f x xác định trên [ ; ]( ) a b

Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

Ký hiệu là b ( )

a

I  f x dx

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

1

max( lim ) 0

k k

k x x

I



 

là tích phân xác định của f x trên đoạn [ ; ]( ) a b

Ø

Tính chất

1) b ( ) b ( ) ,

k f x dx k f x dx k

2) b [ ( ) ( )] b ( ) b ( )

f x g x dx  f x dx g x dx

3) a ( ) 0; b ( ) a ( )

f x dx  f x dx  f x dx

4) b ( ) c ( ) b ( ) , [ ; ]

f x dx f x dx f x dx c a b

5) ( ) 0, [ ; ] b ( ) 0

a

f x   x a b   f x dx

Ø

6) ( ) ( ), [ ; ] b ( ) b ( )

f x g x  x a b  f x dxg x dx

a b  f x dx  f x dx

8) m f x ( )M x a b, [ ; ]

a

m b a f x dx M b a

9) Nếu f x liên tục trên đoạn ( ) [ ; ]a b thì

[ ; ] : b ( ) ( )( )

a

c a b f x dx f c b a

Ø

Ø Chương Chương 5 5 Phép Phép tính tính tích tích phân phân hàm hàm một một biến biến số số 2.2 Công thức Newton – Leibnitz

Nếu f x liên tục trên ( ) [ ; ]a b và ( ) F x là một nguyên hàm

tùy ý của f x thì: ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a a

f x dx F x F b F a



Trang 4

Nhận xét

1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1

2) Hàm số f x liên tục và lẻ trên ( ) [ ; ]  thì:

( ) 0

f x dx







3) Hàm số f x liên tục và chẵn trên [ ; ]( )   thì:

0

( ) 2 ( )

f x dx f x dx





Ø

Đặc biệt

f x dx f x dx

  nếu f x( ) 0,  x ( ; )a b

4) Để tính b ( )

a

f x dx

 ta dùng bảng xét dấu của f x để ( ) tách f x ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ ( )

Ø

VD 1 Tính

3

2

dx I



 

Giải Biến đổi

3

2

1 4 ( 1)

dx I

x



 

Đặt t x    1 dt dx

2 2

2

0 0

1 arctan

4

I

t





Ø

VD 2 Tính

0

cos

I x x dx

Giải Đặt  u x dv cosx dx du dx v, sinx

 



0

VD 3 Tính

1

1.sin



Giải Do hàm số f x( ) x21.sin3x liên tục và lẻ trên đoạn [ 1; 1] nên I  0

Ø

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2( ) 1( )

b

a

S  f x f x dx d 2( ) 1( )

c

S  g y g y dy

a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát

3.1 Tính diện tích S của hình phẳng

Ø

VD 1 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

các đường y x và 2 y x 4

A 1 15

S  ; B S 152

C 4 15

S  ; D S  158

Giải Hoành độ giao điểm:

x x   x x

4



Trang 5

Cách khác

Hoành độ giao điểm x2x4   x 1,x 0

2



1

2 4

0

4

15

các đường x y và 2 y x  2

Giải Biến đổi:

Tung độ giao điểm:

y     y y y

2 2

1 1



          



Ø

các đường y e  , x 1 y e 2x và 3 x 0

A ln 4 1

2

 ; B ln 4 12 ; C 1 ln 2

2

 ; D ln 2 1

2



Giải Hoành độ giao điểm: e x  1 e2x 3

2x x 2 0 x 2 ln 2

ln2

ln 2

0 0

1

2

S e  e dx  e   e x



1 ln 4 ln 4 1

Ø

VD 4 Tính diện tích hình elip

2 2

:x y 1

S

a b 

Giải Phương trình tham số của elip là:

cos , [0; 2 ] sin

t

 

 

b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số

Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình

( ), ( )

x x t y y t  với t    thì: [ ; ]

( ) ( )

S  y t x t dt







Ø

2

sin ( sin ) sin

Sb t a t dt ab  t dt

2

0

1 cos2

2 t

Ø

3.2 Tính độ dài l của đường cong

a) Đường cong có phương trình tổng quát

Cho cung »AB có phương trình y f x x a b ( ), [ ; ] thì:

» b 1 [ ( )]2

AB a

l   f x dx

VD 5 Tính độ dài cung parabol

2

x

y  từ gốc tọa độ

O(0; 0) đến điểm 1;1

2

M 



 

 

Trang 6

Giải Ta có:

l  y dx  x dx

1

0

2x x x x 

       

2 1 ln 1 2 

Ø

Cho cung »AB có phương trình tham số

( ) , [ ; ] ( )

x x t

t

y y t

 

 

» [ ( )]2 [ ( )] 2

AB

l  x t y t dt



b) Đường cong có phương trình tham số

Ø

VD 6 Tính độ dài cung C có phương trình:

2 2

1

, 0; 1

t

  

     

  



Giải Ta có:

1

0

[ ( )] [ ( )]

l x t y t dt

1

0

     

Ø

VD 7 Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi

ln , 0

y x y , x1,x e  quay xung quanh Ox

3.3 Tính thể tích vật thể tròn xoay

a) Vật thể quay quanh Ox

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi

y f x y ( ),  , 0 x a  , x b  quay quanh Ox là:

2

[ ( )]

b a

V  f x dx

Giải

1 1

e

V   x dx  x x x  

Ø

VD 8 Tính V do

2 2

( ) :E x y 1

a b  quay quanh Ox

Giải Ta có:

3

a a

b

a 

Ø

b) Vật thể quay quanh Oy

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi

x g y ( ), x  , y c0  và y d  quay quanh Oy là:

2

[ ( )]

d c

V   g y dy

VD 9 Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi

2

y x x y  quay xung quanh Oy

Trang 7

Giải Parabol y2x x 2

được viết lại:

y x x  x   y



0

V     y   y dy



0 0

VD 10 Dùng công thức (*) để giải lại VD 9

Chú ý

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi

( )

y f x , y  , 0 x a  và x b  quay xung quanh Oy

còn được tính theo công thức:

2 b ( ) (*)

a

V  xf x dx

Giải

2

V   x x x dx      





………

Ø

§4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

• Khái niệm mở đầu

Cho hàm số f x( ) 0,  x a b[ ; ] Khi đó, diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x ( ) và trục hoành là:

( )

b a

S f x dx

Ø

Cho hàm số f x( ) 0,    (b  ) Khi đó, x a[ ; )

diện tích S có thể tính được cũng có thể không tính được

Trong trường hợp tính được hữu hạn thì:

( ) blim b ( )

S f x dx  f x dx

Ø

4.1 Tích phân suy rộng loại 1

4.1.1 Định nghĩa

• Cho hàm số f x xác định trên [ ;( ) a  , khả tích trên )

mọi đoạn [ ; ] (a b a b )

Giới hạn (nếu có) của b ( )

a

f x dx

 khi b   được gọi

là tích phân suy rộng loại 1 của f x trên [ ;( ) a  )

Ký hiệu là: ( ) lim b ( )

b

f x dx f x dx







Ø

• Định nghĩa tương tự:

( ) lim ( ) ;

a a

f x dx f x dx







( ) lim b ( )

b a a

f x dx f x dx







• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói

tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ

• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là

khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó)

Trang 8

VD 1 Khảo sát sự hội tụ của tích phân

1

dx I

x





 

Giải

• Trường hợp α = 1:

1 1

lim b lim ln b

dx

x

 



      (phân kỳ)

• Trường hợp α khác 1:

1 1

1

dx

x





 





1 lim  1 1 1 ,1 1



  



    



Ø

Vậy

§ Với   : 1 I  11 (hội tụ)

§ Với   : I   (phân kỳ) 1

Ø

VD 2 Tính tích phân

0

2

(1 )

dx I

x







2

1

dx I

x









Giải

0 0

1 (1 )

a

dx I

x x



Giải

2

1

b

b a

a

dx

x





lim arctan lim arctan 2 2

b b a a   

       

Ø

Chú ý

• Nếu tồn tại xlim ( )F x   , ta dùng công thức: F( )

( ) ( )a

a

f x dx F x





• Nếu tồn tại lim ( ) ( )

x F x F

   , ta dùng công thức:

( ) ( )

f x dx F x 







• Tương tự:

( ) ( )

f x dx F x







Ø

4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ

a) Tiêu chuẩn 1

• Nếu 0f x( )g x( ),    và x a[ ; )

( )

a

g x dx



 hội tụ thì ( )

a

f x dx



 hội tụ

• Các trường hợp khác tương tự

Ø

VD 4 Xét sự hội tụ của tích phân 10

1

x

I  e dx

Giải Với x   thì [1; )

10

x  x    x e e

10

Mặt khác,

1 1

1

    

Vậy tích phân đã cho hội tụ

Trang 9

VD 5 Xét sự hội tụ của tích phân

1

cos 3

x

I  e x dx

Giải

cos 3

  (hội tụ)  hội tụ I

b) Tiêu chuẩn 2

• Nếu ( )

a

f x dx



 hội tụ thì ( )

a

f x dx



 hội tụ (ngược lại không đúng)

c) Tiêu chuẩn 3

• Cho f x g x liên tục, luôn dương trên [ ;( ), ( ) a  )

và lim ( )

( )

x

g x

  Khi đó:

Ø Nếu 0 k   thì:

( )

a

f x dx



a

g x dx



 cùng hội tụ hoặc phân kỳ

Ø Nếu k  và 0 ( )

a

g x dx



 hội tụ thì ( )

a

f x dx



 hội tụ

Ø

Ø Nếu

( )

a

k

g x dx



  





 phaâ n kyø thì ( )

a

f x dx



 phân kỳ

2 3

dx I





 

Giải Đặt

21 3

( )

f x



  , g x( ) 13

x

 ta có:

3

2 3

1

dx x



 hội tụ  hội tụ I

Ø

1 1 sindx

I   x x

Giải Ta có:

1 sin x x :x x  và 1 dx x



 phân kỳ

Vậy I phân kỳ

Chú ý

Nếu f x( ):g x x  ( ) ( ) thì

( )

a

f x dx



a

g x dx



 có cùng tính chất

Ø

VD 8 Điều kiện của  để 3

1 ln 1

dx I









 hội tụ là:

A   ; B 3 3

2

  ; C   ; D 2 1

2

 

Giải Đặt t lnx

1

I

•

1

3

dt

t

 là tích phân thông thường nên hội tụ

Ø

• Do

3

1

t :t nên:

I hội tụ

3

dt t









 hội tụ



     

Trang 10

VD 9 Điều kiện của  để 2 4

1

( 1)

I



 



Giải

• Với   : 4 2 4 2

( 1)

• Với   : 4 2

1 2

dx I

x







: hội tụ  hội tụ   ¡ I

Ø

Ø Chương Chương 5 5 Phép Phép tính tính tích tích phân phân hàm hàm một một biến biến số số 4.2 Tích phân suy rộng loại 2

4.2.1 Định nghĩa

• Cho hàm số f x xác định trên [ ; )( ) a b và không xác định

tại b, khả tích trên mọi đoạn [ ; a b     ] ( 0) Giới hạn (nếu có) của b ( )

a

f x dx



 khi   được gọi là 0

tích phân suy rộng loại 2 của f x trên [ ; )( ) a b

Ký hiệu:

0

( ) lim ( )

f x dx f x dx





Ø

• Định nghĩa tương tự:

0

( ) lim ( )

a

f x dx f x dx







  (suy rộng tại a);

0

( ) lim ( )

f x dx f x dx







  (suy rộng tại a, b)

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói

tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ

Ø

VD 10 Khảo sát sự hội tụ của

0

b dx

x

 

Giải

• Trường hợp α = 1:

lim b dx lim ln b ln lim ln

 



        

• Trường hợp α khác 1:

1

dx

x



 



Ø

0

1

b b



 



  



        

    



Vậy

§ Với   : 1 1

1b

I  

  (hội tụ)

§ Với   : I   (phân kỳ) 1

Ø

1 3

2 1

6

3

1 9

dx I

x





A

3

I   ; B 

3

I  ; C 

6

I  ; D I   

Giải

1

1 3

3 1 2

6

(3 ) arcsin 3

3

1 (3 )

d x

x





Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1,07 MB