Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 Ngô Quang Minh

Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 của Ngô Quang Minh. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về phương trình vi phân (phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân cấp 2). Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Trang 1

Ø Chương Chương 8 8 Phương Phương trình trình vi vi phân phân

§1 Phương trình vi phân cấp 1

§2 Phương trình vi phân cấp 2

………

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

1.1 Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1

• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng

tổng quát F x y y  (*) Nếu từ (*) ta giải được( , , ) 0

theo y thì (*) trở thành y f x y( , )

• Nghiệm của (*) có dạng y y x ( ) chứa hằng số C được

gọi là nghiệm tổng quát Khi thế điều kiện y0y x( )0

cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm

tổng quát ta được giá trị C cụ thể và nghiệm lúc này 0

được gọi là nghiệm riêng của (*)

Ø

VD 1 Cho phương trình vi phân y   (*) x 0 Xét hàm số

2 2

x

y  , ta có: C

0

y   thỏa phương trình (*) x

Suy ra

2 2

x

y  là nghiệm tổng quát của (*) C

Thế x2,y vào 1 2

2

x

y  , ta được: C

2

x

C    y  là nghiệm riêng của (*) ứng với

điều kiện đầu y(2) 1

Ø

Ø Phương pháp giải

Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:

f x dx g y dy C

Giải Ta có:

1.2 Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản

1.2.1 Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly

Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:

f x dx g y dy 

VD 2 Giải phương trình vi phân

Ø

ln(1x2) ln(1 y2) 2 C

1

ln (1 x )(1 y ) lnC

Vậy (1x2)(1y2) C

dx

(dy 2) xdx

y y



    



VD 3 Giải phương trình vi phân y xy y(  2)

Ø

ln y 2 x2 C y2 C e.x2

Giải

2

1 1

x



3 3



1 ln 3 1 2ln 1

3

6

1

x

C y y





3 1 ( 1)6 3y

VD 4 Giải ptvp x y2( 1)dx(x31)(y1)dy 0

Ø

dx

1





lny 1 lnx C lny 1 lnCx

  y 1 Cxy (*)

Thay 1, 1

2

x  y vào (*) ta được y  1 xy

VD 5 Giải ptvp xy   thỏa điều kiện y y2 y  (1) 12

Trang 2

Chẳng hạn, hàm số:

( , )

2x y3

f x y

x y



 là đẳng cấp bậc 0, 2

( , )

5

f x y

x y



 là đẳng cấp bậc 1, 2

f x y  x  xy là đẳng cấp bậc 2

1.2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

a) Hàm đẳng cấp hai biến số

• Hàm hai biến f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu ( , )

với mọi k  thì ( , )0 f kx ky k f x y n ( , )

Ø

Ø Chương Chương 8 8 Phương Phương trình trình vi vi phân phân b) Phương trình vi phân đẳng cấp

• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng:

( , ) (2)

y f x y

Trong đó, f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0 ( , )

Phương pháp giải Bước 1. Biến đổi (2)   y     y x

Bước 2. Đặt u y y u xu

Bước 3.(2) ( )

( )du dx



    (đây là ptvp có biến phân ly) ( )u u 0 x

Ø

Giải

2

x

 



     

 

Đặt u y y u xu

2



1



         

VD 6 Giải phương trình vi phân

y

xy

 

Ø

x





Vậy y x C e  y x

1

yx y  u xu u ux

2

VD 7 Giải phương trình vi phân y x y

x y

 

 với điều kiện đầu y  (1) 0

Ø

arctgu1 ln(12 u2) ln x C

2

lnx x y arctg y C

x x



Thay x1,y vào (*) ta được 0 C  0

Vậy

2

y arctg x

x

Ø

• Nghiệm tổng quát của (3) là u x y( , ) C

Nhận xét

/( , ) ( , ), ( , )/ ( , )

u x y P x y u x y Q x y

1.2.3 Phương trình vi phân toàn phần

• Cho hai hàm số P x y Q x y và các đạo hàm riêng ( , ), ( , ) của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện

/ /, ( , )

x y

Q P x y  Nếu tồn tại hàm ( , )D u x y sao cho

( , ) ( , ) ( , )

du x y P x y dx Q x y dy thì phương trình vi phân có dạng:

( , ) ( , ) 0 (3)

P x y dx Q x y dy 

được gọi là phương trình vi phân toàn phần

Trang 3

Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được:

u x y( , )P x y dx( , )  ( , )x y C y( ) (3c)

Trong đó, C y là hàm theo biến y ( )

Phương pháp giải

Bước 1. Từ (3) ta có /

x

u  (3a) và P /

y

u  (3b) Q

Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được:

y y

u   C y (3d)

Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C y ( )

Thay C y vào (3c) ta được ( , )( ) u x y

Ø

Giải

1)

đpcm

2) Ta có:

x y





VD 8 Cho phương trình vi phân:

(3y 2xy2 )x dx(x 6xy3)dy (*) 0 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần

2) Giải phương trình (*)

Ø

( )a  u (3y22xy2 )x dx

3xy2x y x2  2 C y( )

u y/6xy x 2 C y( ) (c)

So sánh (b) và (c), ta được:

C y  C y  y

Vậy (*) có nghiệm 3xy2x y x2  23y C

Giải Ta có:

/

1 ( ) ( )

x

y y

   



  



VD 9 Giải ptvp (x y 1)dx(e yx dy)  0

Ø

2

x

a  u  x y  dx    xy x C y

u y/ x C y( ) (c)

So sánh (b) và (c), ta được:

C y  e C y  e

Vậy phương trình có nghiệm

2

x     xy x e C

Ø

(phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Bước 1. Tìm biểu thức A x( )ep x dx( )

Bước 2. Tìm biểu thức B x( )q x e( ) p x dx( ) dx

Bước 3. Nghiệm tổng quát là y A x B x ( ) ( ) C

1.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

( ) ( ) (4)

y p x y q x

• Khi q x  thì (4) được gọi là phương trình vi phân ( ) 0

tuyến tính cấp 1 thuần nhất

Ø

Chú ý

• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0

• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng: y C x e ( )p x dx( )

Nhận xét ( ) ( ). ( ) ( ) .

( )

p x dx q x

A x



VD 10 Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm

nghiệm tổng quát của y 2y x 4 lnx x dưới dạng:

A y C x( )2

x

 ; B y C x( )3

x

C y C x( )

x

 ; D y C x( )

x

Trang 4

2

( ) ( ) p x dx ( ) dx x C x

x



Giải Ta có: p x( ) x q x2, ( ) 0

3 2

( ) p x dx x dx x

A x e e e

B x( )3 q x e( ) p x dx( ) dx0

3

x

y Ce

  là nghiệm tổng quát của phương trình

VD 11 Giải phương trình vi phân y x y2  0

thỏa điều kiện 9

3

x

y    e

Ø

Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng

3

x

y  e

Giải Ta có: p x( ) cos , ( ) x q x e sinx

A x( )ecosxdxesinx

cos sin

B x e e dx x Vậy y e  sinx(x C )

VD 12 Giải phương trình y ycosx e  sinx

Ø

• Khi   hoặc 0   thì (5) là tuyến tính cấp 1 1

• Khi p x( )q x( ) 1 thì (5) là pt có biến phân ly

Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)

Bước 1. Với y  , ta chia hai vế cho y0 :

(5) y p x( ) y q x( )



y y p x y( ) 1  q x( )

1.2.5 Phương trình vi phân Bernoulli

• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:

( ) ( ) (5)

y p x y q x y 

Ø

Bước 2. Đặt z y 1     z (1 )y y , ta được:

(5)   z (1 ) ( )p x z   (1 ) ( )q x

(đây là phương trình tuyến tính cấp 1)

Đặt z y  1  z y y  2, ta được:

VD 13 Giải phương trình vi phân y y xy2

x

   với điều kiện đầu x1,y 1

Ø

A x e x B x  x e dx  x

2 1

y

Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm x y2 2xy  1 0

Giải y2xy x y 3 4y y  42xy 3 x3

Đặt z y  3  z 3y y  4

3

pt  z xz x  z xz  x

VD 14 Giải phương trình vi phân y 2xy x y 3 4

Ø

A x e e ,

B x( ) 3 x e3 6xdx dx  3x e dx3 3x2

1 3 2 3 2 (3 )2 1 32(3 2 1)

3

y

Trang 5

• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:

1

yf x  y  f x dx  x C

  y  ( )x dx C x 1   ( )x C x C1  2

VD 1 Giải phương trình vi phân y  x2

§2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

2.1 Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản

2.1.1 Phương trình khuyết y và y’

• Phương trình vi phân khuyết y và y có dạng:

( ) (1)

y f x

Ø

Ø Chương Chương 8 8 Phương Phương trình trình vi vi phân phân Giải

3

1 3

x

yx  y x dx C

       

VD 2 Giải ptvp y  với e 2x y(0) 74, (0)y  32

1

1 2

ye  y e  (a) C

Thay 0, (0) 3

2

x  y  vào (a) ta được C  1 1

2 x

y e

2

1

4 x

Ø

Ø Chương 2 Phương trình vi phân Chương 2 Phương trình vi phân

Thay 0, (0) 7

4

x y   vào (b) ta được C   2 2

Vậy phương trình có nghiệm riêng 1 2 2

4 x

y e   x

• Đặt z y đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1

VD 3 Giải phương trình vi phân y x y

x



  

2.1.2 Phương trình khuyết y

• Phương trình vi phân khuyết y có dạng:

( , ) (2)

yf x y

Ø

Ø Chương Chương 8 8 Phương Phương trình trình vi vi phân phân Giải Đặt z y ta có:

y x y z 1z x



    

1 ( ) dx x

3

dx x

B x xe dx x

1

C

      Vậy 3

9

y x C x C

1

y

x



 với điều kiện y(2) 1, (2) y   1

Ø

Giải Đặt z y ta có:

1

pt z x z x x 

A x( )ex dx 1  , x 1

2

dx x

B x x x e dx  x

1

1 ( 1) 2

y x  x C 

     

Ø

2

Trang 6

• Đặt z y ta có:

y z dx dy dx z dy

Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly

VD 5 Giải phương trình vi phân 2yy y2 1

Giải Đặt z y y z dz

dy



2.1.3 Phương trình khuyết x

• Phương trình vi phân khuyết x có dạng:

( , ) (3)

yf y y

Ø

2

1

 2

2 2

1

y z



   z2 1 Cy (*)

Đạo hàm hai vế (*) theo x :

2zzCyyC  y C x C

y C x C x C

VD 6 Giải phương trình vi phân y2 (1 2 ) 0y  y 

với điều kiện (0) 0, (0) 1

2

Ø

Giải Đặt z y yz dz dy

pt z dz 2 (1 2 ) 0z y

dy

dz 2(2y1)dy z 2y2  (a) 2y C

2

C

 

dx



2

(2 1)

y y

Ø

Thay x 0,y  vào (b) 0   C 1 Vậy phương trình có nghiệm (x1)(2y   1) 1 0

Ø

Ø Trường hợp 1

Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k k 1, 2

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2

1 k x, 2 k x

y e y e

và nghiệm tổng quát là y C e 1k x1 C e2 k x2

Phương pháp giải Xét phương trình đặc trưng của (4):

2

1 2 0 (5)

k a k a 

2.2 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính

với hệ số hằng

2.2.1 Phương trình thuần nhất

• Phương trình thuần nhất có dạng:

1 2 0, , 1 2 (4)

ya ya y a a  ¡

Ø

Phương trình (5) có nghiệm kép thực k

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1e kx, y2xe kx

và nghiệm tổng quát là y C e 1 kxC xe2 kx

Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp

k     i

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:

1 xcos , 2 xsin

y e x y e  x

và nghiệm tổng quát là:

 1cos 2sin 

x

y e C   x C  x

Trang 7

VD 7 Giải phương trình vi phân y2y3y 0

Giải Phương trình đặc trưng:

2

k     k k k  

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:

3

y e y e

và nghiệm tổng quát là 3

1x 2 x

y C e C e

VD 8 Giải phương trình vi phân y6y9y 0

k      (nghiệm kép) k k

Ø

y e y xe

và nghiệm tổng quát là 3 3

y C e C xe

VD 9 Giải phương trình vi phân y 16y 0

1,2

k   k  i k   i

     0, 4 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:

1 cos 4 , 2 sin 4

và nghiệm tổng quát là y C 1cos 4x C 2sin 4x

Ø

VD 10 Giải phương trình vi phân y2y7y 0

Giải Phương trình đặc trưng k2   có: 2k 7 0

2 1,2



     1, 6

1 xcos 6 , 2 xsin 6

và nghiệm tổng quát:

 1cos 6 2sin 6 

x

Ø

Giải Phương trình đặc trưng k2   có: k 1 0

2

3 3

2i



1, 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát:

2

1cos 3 2sin 3

x

y e C  x C x

VD 11 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

0

y   y y

Ø

• Để tìm C x1( ) và C x2( ), ta giải hệ Wronsky:

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )



a) Phương pháp giải tổng quát

• Nếu (4) có hai nghiệm riêng y x y x1( ), ( )2 thì (6) có

nghiệm tổng quát là y C x y x 1( ) ( )1 C x y x2( ) ( ).2

2.2.2 Phương trình không thuần nhất

• Phương trình không thuần nhất có dạng:

1 2 ( ), , a1 2 (6)

Ø

cos

y  y x (a)

Giải Xét phương trình thuần nhất y    (b) ta có: y 0

k           k i

1 cos , 2 sin

   là 2 nghiệm riêng của (b)

Nghiệm tổng quát của (a) có dạng:

1( ).cos 2( ).sin

y C x x C x x

Ta có hệ Wronsky:

cos ( ) sin ( ) 0

1 sin ( ) cos ( )

cos

x





Trang 8

2

sin cos ( ) sin ( ) 0

sin cos ( ) cos ( ) 1



1

2

sin ( )

cos ( ) 1

x

C x

x

C x

   



   

( ) ln cos



    Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:

ln cos 1cos  2sin

Ø

VD 13 Cho phương trình vi phân:

2

y y y x e (*)

1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là y x e 2 x 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*)

b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT

Ø Phương pháp cộng nghiệm

• Định lý

Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất

(6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6)

Ø

Giải

1) VT(*) ( x24x2)e x 2(2x x e 2)x 2x e2 x

 (2 x e2)x VP(*) đpcm

2) Xét phương trình thuần nhất y2y2y (**): 0

2

1,2

k    k k   i

Suy ra (**) có nghiệm tổng quát:

x

y e C x C x

Vậy (*) có nghiệm tổng quát là:

2

x x

y x e e C x C x

Ø

VD 14 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:

2sin 2 4 cos2

y y x x, biết 1 nghiệm riêng là y cos2x

Giải Phương trình y  có: y 0

2

k    k k k   0

y y

   có nghiệm tổng quát y C 1C e2 x Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

1 2 x cos2

y C C e  x

Ø

Ø Phương pháp chồng chất nghiệm

• Định lý

Cho phương trình vi phân:

1 2 1( ) 2( ) (7)

Nếu y x1( ) và y x2( ) lần lượt là nghiệm riêng của

ya ya y f x ,

thì nghiệm riêng của (7) là:

Ø

VD 15 Tìm nghiệm tổng quát của y y 2cos2x (*)

Cho biết y  và y 1 y y cos2x lần lượt có nghiệm riêng y1  , x 2 2 cos2 1 sin2

Giải Ta có:

2

y y x y  y x Suy ra (*) có nghiệm riêng là:

2 cos2 1 sin 2

Trang 9

Mặt khác, phương trình thuần nhất y  y 0

có nghiệm tổng quát là y C 1C e2 x

Vậy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là:

x

Ø

Ø Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình

vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Xét phương trình ya y1 a y f x2  ( ) (6)

và ya y1 a y2 0 (4)

• Trường hợp 1:f(x) có dạng e αx P n (x)

(P x là đa thức bậc n) n( )

Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng:

( )

n

(Q x là đa thức đầy đủ bậc n) n( )

Ø

Bước 2. Xác định m:

1) Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng

của (4) thì m  0

2) Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng

của (4) thì m  1

3) Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

của (4) thì m  2

Bước 3. Thế m x ( )

n

y x e Q x  vào (6) và đồng nhất thức

ta được nghiệm riêng cần tìm

Ø

VD 16 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân:

y y y e x 

Giải Ta có f x( )e x3x( 2 , 1) 2

2

3, ( )P x x 1

Suy ra nghiệm riêng có dạng:

m x

y x e Ax Bx C

Do   là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 3

k    nên k m  1 Suy ra nghiệm riêng có dạng y xe Ax 3x( 2Bx C )

Ø

Thế y xe Ax 3x( 2Bx C vào phương trình đã cho, )

đồng nhất thức ta được:

Vậy nghiệm riêng là 3 1 2 1 9

x

y xe  x  x 



Ø

VD 17 Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

y y y xe  e

Giải Xét phương trình y2y y xe x (1)

Ta có f x( )xe x,  1, ( )P x1  x

Dạng nghiệm riêng của (1) là y1x e Ax B m x(  )

Do   không là nghiệm của phương trình đặc trưng 1

k    nên k m  0 y1 e Ax B x(  )

Trang 10

Xét phương trình y2y y 2ex (2)

Ta có f x( ) 2 ex,   1, ( ) 2P x0 

Nghiệm riêng của (2) có dạng y Cx e m x

Do    là nghiệm kép của phương trình đặc trưng 1

k    nên k m  2 2

y Cx e

Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy ra nghiệm riêng

của phương trình đã cho có dạng:

2

y y  y e Ax B Cx e

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	471,36 KB