Khóa luận tốt nghiệp toán phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau ở trường THCS

Phương pháp 9: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác.... Phương pháp 13: Sử dụng tính chất góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuy

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô đã dành thời gian quý báu của mình để đọc và góp ý cho khóa luận của tôi

Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình tôi thực hiện khóa luận này

Đồng Hới, tháng 06 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Lê Thị Hiền

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu: 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẮNG NHAU 3

1 Phương pháp 1: Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau 3

2 Phương pháp 2: Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân 7

3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất trung điểm 8

4 Phương pháp 4: Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc 9

5 Phương pháp 5: Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng 10

6 Phương pháp 6: Dùng tính chất bắc cầu 12

7 Phương pháp 7: Có cùng độ dài 14

8 Phương pháp 8: Sử dụng tính chất của đẳng thức, hai phân số bằng nhau 15

9 Phương pháp 9: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác 17

10 Phương pháp 10: Sử dụng tính chất, định nghĩa về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt 19

11 Phương pháp 11: Sử dụng kiến thức về diện tích 21

12 Phương pháp 12: Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm của đường tròn 25

13 Phương pháp 13: Sử dụng tính chất tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.27 14 Phương pháp 14: Quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn 28

CHƯƠNG II - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU 31

1 Phương pháp 1: Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau 31

2 Phương pháp 2: Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân 31

3 Phương pháp 3 : Các góc của tam giác đều 33

4 Phương pháp 4: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc 34

5 Phương pháp 5: Có cùng số đo 36

6 Phương pháp 6: Sử dụng tính chất bắc cầu trong quan hệ bằng nhau 36

7 Phương pháp 7: Hai góc đồng vị, so le trong, so le ngoài 37

8 Phương pháp 8: Hai góc đối đỉnh 39

9 Phương pháp 9: Sử dụng tính chất hai góc cùng bù, cùng phụ với một góc khác 41

10 Phương pháp 10: Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng 42

11 Phương pháp 11: Sử dụng tính chất về góc của tứ giác đặc biệt 44

12 Phương pháp 12: Sử dụng tính chất về góc của tứ giác nội tiếp 45

13 Phương pháp 13: Sử dụng tính chất góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau 48

PHẦN III: KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

Để học sinh có thái độ tích cực khi học môn toán thì người giáo viên cần phải tìm tòi, nghiên cứu, sáng tạo các phương pháp dạy học có tính ứng dụng cao Có như vậy mới phát huy tối đa vai trò của người dạy cũng như người học Với người giáo viên, để kích thích học sinh đam mê, thích thú học bộ môn Toán là công việc gian nan vất vả nhưng đầy hứng thú

Trong thực tế tiềm năng về Toán học, đặc biệt là khả năng giao tiếp và giải quyết các vấn đề về hình học của học sinh chưa được phát huy một cách toàn diện và triệt để Đó không phải là lỗi hoàn toàn của người thầy và càng không phải do lỗi của học sinh mà do người giảng dạy chưa có một phương pháp phù hợp để truyền thụ kiến thức nói chung Đề tài này tôi muốn đề cập đến

“ Phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau ở trường THCS” bởi vì từ kết quả của phương pháp này ta có thể suy ra nhiều quan hệ hình học khác Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng lĩnh hội kiến thức, phương pháp mà người giáo viên truyền thụ cho mà phần lớn do các em tích cực vận dụng và không ngừng sáng tạo, rút ra bài học kinh nghệm cho bản thân, chịu khó học hỏi và tham khảo các loại sách

Là một sinh viên sắp ra trường tôi nhận thấy cần phải xây dựng các phương pháp phù hợp để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau từ đó học sinh vận dụng và giải các bài tập đạt hiệu quả cao nhất Xuất

phát từ lý do trên tôi không ngừng học hỏi để trở thành một giáo viên đủ khả năng truyền thụ kiến thức cho các em, đó cũng là lý do tôi chọn đề tài này

2 Mục đích nghiên cứu:

Hình thành những phương pháp chứng minh “Hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau” nhằm giúp học sinh chủ động, sáng tạo trong việc học Toán, góp phần nâng cao chất lượng Giáo dục, cũng như tạo cho học sinh những năng lực thích hợp với những thay đổi trong thực tiễn để học sinh hòa nhập vào cuộc sống lao động, với môi trường nghề nghiệp Hình học tạo cho học sinh có năng lực hành động, năng lực ứng xử, hình thành những diễn đạt bằng lời nói, bằng viết, kích thích trí tưởng tượng,

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:

- Đề xuất một số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

- Đưa ra một số ví dụ cụ thể để thấy rõ việc nắm chắc các phương pháp có

thể giải quyết dễ dàng một bài toán chứng minh

4.Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu: tập hợp và tham khảo các tài liệu liên quan đến đề tài kết hợp nghiên cứu, trao đổi và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

PHẦN II: NỘI DUNG

3 Các trường hợp bằng nhau của tam giác

a) Trường hợp 1: (cạnh – cạnh – cạnh) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

b) Trường hợp 2: (cạnh – góc – cạnh) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

c) Trường hợp 3: (góc – cạnh – góc) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

4 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

a) Trường hợp 1: hai cạnh góc vuông (cạnh – góc – cạnh): Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

b) Trường hợp 2: cạnh huyền – góc nhọn (góc – cạnh – góc): Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

c) Trường hợp 3: cạnh huyền – cạnh góc vuông (cạnh – cạnh – cạnh): Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

Ví dụ 1: Cho ∆ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm AC Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB Chứng minh rằng A là trung điểm MN

Giải:

E K

B

C

A M

Suy ra: AM = BC (hai cạnh tương ứng)

∠ Mak = ∠ CBK (hai góc tương ứng)

Suy ra: AN // BC

Từ MA // BC, AN // BC nên M, A, N thẳng hàng

AM = BC, AN = BC nên AM = AN

Vậy A là trung điểm của MN => Đpcm

Ví dụ 2: Cho ∆ABC Vẽ về phía ngoài ∆ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với

AH, EN vuông góc với AH Chứng minh rằng:

a) DM = AH

b) MN đi qua trung điểm của DE

Giải:

1 1

O

M N

H

A D

E

a) Xét ∆ADM và ∆BAH vuông có:

AD = BA (gt)

∠ ADM = ∠ BAH ( cùng phụ ∠ MAD)

Do đó: ∆ADM = ∆BAH (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: DM = AH ( hai cạnh tương ứng)

b) Xét ∆ENA và ∆AHC vuông có:

EA = CA (gt)

∠ NEA = ∠ HAC ( cùng phụ với góc EAN)

Do đó : ∆ENA = ∆AHC (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: EN = AH (hai cạnh tương ứng)

Suy ra: DO = EO, MO = NO

Vậy MN đi qua trung điểm của DE

Ví dụ 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B Qua A vẽ cát tuyến chung CAD và EAG (C, E thuộc (O), D, G thuộc (O’)) sao cho AB là phân giác của ∠CAG Chứng minh: CD = EG

∆ CBD vµ ∆ EBG cã ∠BDC = ∠BGE, ∠C = ∠E

=> ∠CBD = ∠EBG

L¹i cã: ∠BDG = ∠BAG ( 2 gãc nh− trªn cïng ch¾n cung BG)

∠BGD = ∠ BAC (cïng bù víi ∠BAD)

Hình thang cân ABCD (AB // DC) có hai cạnh bên: AD = BC

Ví dụ 1: Cho ∆ABC Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D, E Chứng minh rằng: DE = BD + CE

Giải:

1

2 1

1

2 2

Mà BI là tia phân giác góc B => ∠ B1 = ∠ B2

Suy ra: ∠ I1 = ∠ B2 => ∆DBI cân => BD = DI (1)

Ta có: IE // BC => ∠ I2 = ∠ C1

Mà CI là tia phân giác góc C => ∠ C2 = ∠ c1

Suy ra: ∠ I2 = ∠ c2 => ∆EIC cân => IE = EC (2)

a) Ta có: ∆ABC cân nên AB = AC => BD = EC, BD // EC

=> Tứ giác BDEC là hình thang cân

b) Ta thấy: BD = DE <=> ∠ B1 = ∠ E1

<=> ∠ B1 = ∠ B2 (vì ∠ B2 = ∠ E1, DE // BC)

DE = EC <=> ∠ D1 = ∠ C1

<=> ∠ C1 = ∠ C2 (vì ∠ D1 = ∠ C1, DE // BC)

Như vậy nếu BE, CD là các đường phân giác của ∆ABC thì DB = DE = EC

3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất trung điểm

♦ Kiến thức:

Tính chất của trung điểm của 1 đoạn thẳng:

- Mỗi 1 đoạn thẳng có duy nhất 1 trung điểm

- Trung điểm nằm giữa và cách điều 2 đầu mút

Ví dụ 1: Cho tam giác có 3 góc nhọn ABC và một điểm O bất kì trong tam giác

đó Ba điểm D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA Ba điểm M, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC Chứng minh rằng: DE = QM, MP = EF, DF = PQ

Ta có: D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA nên DE, EF, FD

là các đường trung bình của ∆ABC

DE =

2

1AC, EF = 12 AB, DF = 12 BC (1)

Mặt khác: M là trung điểm của AO

P là trung điểm của BO

Q là trung điểm của CO

Nên MP = 12 AB, PQ = 12 BC, QM = 21 AC (2)

Từ (1), (2) suy ra: DE = QM, MP = EF, DF = PQ

4 Phương pháp 4: Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc

đến hai cạnh của góc

♦ Kiến thức:

- Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều

hai cạnh của góc đó

- Định lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của

góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó

Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ hai đường phân giác của hai góc ngoài tại

B, C và chúng cắt nhau tại K Gọi D, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ

K xuống AB và AC Chứng minh rằng: KD = KF

Giải:

F D

K

B

C A

Ta có :

K thuộc tia phân giác của ∠CBD => KD = KE (1)

K thuộc tia phân giác của ∠ BCF => KE = KF (2)

Gọi A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến a, b, c

Xét hai góc trong cùng phía E và F:

- Do I thuộc tia phân giác góc E nên IA = IC (1)

- Do I thuộc tia phân giác góc F nên IC = IB (2)

Từ (1), (2) suy ra: IA = IB = IC tức là I cách đều ba đường thẳng a, b, c

5 Phương pháp 5: Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một

đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng

Oy lµ ®−êng trung trùc cña AB ⇒OA = OB (1)

Ox lµ ®−êng trung trùc cña AC ⇒ OA = OC (2)

Giải:

=> AP = AB (®pcm)

Giải :

O

B

D A

Giải:

9 Phương pháp 9: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông,

đường trung bình trong tam giác

♦ Kiến thức

- Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:

+ Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ấy

- Tính chất đường trung bình trong tam giác:

+ Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song

song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba

+ Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB ( D thuộc AB) qua D kẻ đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng CB tại E Chứng minh BD = 12 EC

Giải:

1 2 1

K E

D

A

Gọi K là trung điểm của EC

Tam giác vuông EDC vuông tại D có KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

DK = EC2 và DK = KC

Vậy tam giác KDC cân tại K => ∠D1 = ∠C2

Mà ∠C1 = ∠C2 ( do CD là phân giác góc ACB)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE Gọi M, N theo thứ

tự là trung điểm của BE, CD Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD,

CE Chứng minh rằng:

MI = IK = KN

Giải:

N M

+ Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi

+ Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau

Suy ra:

• Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau

• Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

- Hình thoi:

+ Hình thoi là Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

+ Hai đường chéo vuông góc nhau

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD,

AB Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở E, F Chứng minh rằng

DE = EF = FB

Giải:

F

E K

∆ABE có AK = KB, KF //AE nên EF = FB (2)

B

C

∆ACD có HG là đường trung bình nên HG // CD

∆BCD có EF là đường trung bình nên EF // CD

Suy ra: GH // EF // CD (1)

∆BCA có HE là đường trung bình nên HE // AB

∆BAD có GF là đường trung bình nên GF // AB

Vậy EG = FH ( tính chất đường chéo của hình chữ nhật)

11 Phương pháp 11: Sử dụng kiến thức về diện tích

ABE = SSADE

ABE => SAEC = SADE

A

B

Gọi F là trung điểm của AC do Q, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

=> QF, FN lần lượt là đường trung bình của tam giác CAD và tam giác ABC, nên:

QF // DC, QF = DC2

FN // AB, FN = AB2

Suy ra: FN + QF = AB+DC2

Mà NQ ≤ FN + QF => NQ ≤ AB+DC2

b) NQ = AB+DC2

=> Q, F, N thẳng hàng, AB và CD cùng song song với đoạn thẳng ấy nên

AB // CD Vậy tứ giác ABCD là hình thang

Vậy ∆OEH = ∆OFK ( EH = FK, ∠H = ∠K = 900, ∠OEH = ∠OFK)

=> OE = OF Hay O là trung điểm của EF

12 Phương pháp 12: Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm của đường tròn

♦ Kiến thức:

- Định lí: Trong một đường tròn

Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O Hai dây cung MN và PQ cắt nhau ở A nằm ngoài đường tròn và MN = PQ Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ

O xuống MN, PQ Chứng minh rằng: AN = AQ

Giải:

Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ CD Ta có AB = CD nên OH = OK Do đó OI là tia phân giác của góc BID

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C,

D Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB Chứng minh rằng: MN = NH

Giải:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

- Định lí 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Ví dụ 1: Trên dây cungAB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F Chứng minh rằng AE = FB

Giải:

3

1 2

F E

O

B

Ta có:

Tam giác AOB là tam giác cân vì OA = OB => ∠A =∠B

∆AOC = ∆BOD (c - g - c ) vì OA = OB, ∠A = ∠B, AC = DB

Từ đó suy ra ∠O1 = ∠O2 => cung AE = cung FB