Khóa luận tốt nghiệp toán định thức và ứng dụng trong giải toán

Với bản thân, qua việc nghiên cứu đề tài em đã hệ thống cũng như ôn tập lại những kiến thức đã học về định nghĩa và một số tính chất củađịnh thức, các phương pháp tính định thức, đặc biệ

Lời cảm ơn

Trước tiên, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô giáo - TS LêThị Hoài Thu - người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thựchiện khóa luận tốt nghiệp

Em cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô Trường Đại họcQuảng Bình, đặc biệt là các thầy cô giáo trong khoa Khoa học tự nhiên đãdạy dỗ em trong suốt thời gian ngồi trên ghế nhà trường, chính nhờ sự dạy

dỗ đó em đã học được rất nhiều điều bổ ích cho chuyên ngành của mình

và trong cuộc sống

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, các anh chị khóa trước,tập thể lớp ĐHSP Toán K53, bạn bè xung quanh và tất cả mọi người luônđộng viên giúp đỡ em trong những lúc khó khăn, sự động viên đó đã giúpbản thân em ngày càng cố gắng học tập và hoàn thành tốt khóa học củamình

Em xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Định thức 6

1.2 Một số tính chất của định thức 7

2 Một số phương pháp tính định thức 9 2.1 Phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột 9

2.2 Phương pháp biến đổi sơ cấp 11

2.3 Phương pháp quy nạp 15

2.4 Phương pháp truy hồi 19

2.5 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức 23 2.6 Phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức 28 2.7 Phương pháp sử dụng đa thức 32

2.8 Phương pháp biến đổi tất cả các phần tử của định thức 34

2.9 Phương pháp Rank one updates 35

3 Một số ví dụ minh họa về ứng dụng của định thức 37 3.1 Giải hệ phương trình tuyến tính 37

3.2 Xét tính suy biến của ma trận và tìm ma trận nghịch đảo 40 3.3 Tính hạng ma trận 45

3.4 Chứng minh sự độc lập tuyến tính của một hệ hàm 473.5 Chứng minh một số đẳng thức 503.6 Định thức qua các trò chơi 56

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Khái niệm định thức lần đầu tiên được đưa ra trong một bức thư củaLeibniz gửi cho một người bạn năm 1693 Hàm định thức xuất hiện đầutiên năm 1720 trong một công trình của nhà toán học Anh Maclaurin.Công thức tổng quát được tìm thấy bởi nhà toán học Thụy Sĩ Cramertrong một công trình về đường cong xuất bản năm 1750 Người đầu tiênđịnh nghĩa và nghiên cứu những tính chất cơ bản của định thức là LanVandermonde Năm 1771, ông chứng minh được quy tắc Cramer và qua

đó tìm thấy một số tính chất của định thức như triệt tiêu khi hai dònghay hai cột bằng nhau, định thức đổi dấu nếu đổi chỗ hai dòng hay haicột Tuy nhiên ông chỉ tính được định thức mang tên mình cho trường hợp

n = 3 năm 1774 Công thức khai triển định thức theo dòng và cột được nhàtoán học Pháp Laplace phát hiện năm 1772 Tên gọi định thức xuất hiệnlần đầu tiên trong một bài báo của Gauss năm 1801 về các dạng bậc hai.Người đầu tiên nghiên cứu định thức một cách hệ thống là nhà toán họcPháp Cauchy Ông phát hiện công thức định thức tích hai ma trận năm

1812 Ông cũng là người phát hiện công thức định thức Vandermonde năm

1815 Cùng với các nhà toán học trên, Jordan, Sylvester, William RowanHamilton, Hermann Grassmann, Ferdinaned Georg Frobenius và John vonNeumann là những tên tuổi gắn liền với sự phát triển của lý thuyết địnhthức, ma trận

Định thức và ma trận là những kiến thức cơ bản của Đại số tuyến tính

Nó có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích, toán kinh tế Ngoài ra nócòn có ứng dụng trong vật lý, tin học Với mong muốn tìm hiểu về địnhthức và ứng dụng của nó, em đã chọn và nghiên cứu đề tài khóa luận "Địnhthức và ứng dụng trong giải toán"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, logic về định nghĩa vàmột số tính chất của định thức ma trận, một số phương pháp tính địnhthức và một số ví dụ minh họa về ứng dụng của định thức

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của khóa luận là lý thuyết định thức matrận

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáotrình về các vấn đề cần nghiên cứu như: định thức, các phương pháp tínhđịnh thức, ứng dụng của định thức

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến của các giảng viên hướngdẫn và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán, Khoa Khoa học tự nhiên,Trường Đại học Quảng Bình

5 Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn

Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngànhToán, đặc biệt là những bạn đam mê thi Olympic Toán và học toán caocấp Với bản thân, qua việc nghiên cứu đề tài em đã hệ thống cũng như

ôn tập lại những kiến thức đã học về định nghĩa và một số tính chất củađịnh thức, các phương pháp tính định thức, đặc biệt có được cái nhìn vềđịnh thức, về những ứng dụng của nó

Chương 1

Định thức và một số tính chất của định thức

Tích này chạy trên mọi cặp số {i, j} ⊂ {1, 2, , n}

Định nghĩa 1.1.3 Cho ma trận vuông A = (aij)n×nvới các phần tử trongtrường K Định thức của A được kí hiệu bởi det A hoặc |A|, là phần tử sauđây của trường K

σ∈S n

sgn(σ)aσ(1)1aσ(2)2· · · aσ(n)n

iii) Nếu thêm vào một cột của ma trận một tổ hợp tuyến tính của cáccột khác thì định thức của nó không thay đổi.

Tính chất 1.2.5 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tửtrên đường chéo chính

Tính chất 1.2.6 Giả sử A, B ∈ Mn(K) Khi đói) det(AB) = det(A) det(B).

ii) A khả nghịch nếu và chỉ nếu det A 6= 0 Hơn nữa

det(A−1) = (det A)−1

Tính chất 1.2.7 (Định thức của ma trận chuyển vị)

det(At) = det A, ∀A ∈ Mn(K)

Chương 2

Một số phương pháp tính định thức

Biểu thức định nghĩa của định thức cấp n hoàn toàn không tiện lợi trongviệc tính định thức với n ≥ 4 Để tính định thức, nhất là các định thứccấp cao, ta cần sử dụng linh hoạt các tính chất của chúng, kết hợp với việc

hạ cấp định thức nhờ vào định lí Laplace, công thức khai triển định thứctheo dòng hay theo cột Các phép biến đổi sơ cấp cũng cho ta một phươngpháp tính định thức rất hiệu quả và thường dùng các phương pháp sau

Khi thấy một dòng (hay cột) trong định thức có nhiều số 0 thì nên khaitriển định thức theo dòng (hay cột) đó Cơ sở của phương pháp này là định

lý Laplace

Định lý 2.1.1 (Khai triển Laplace) Giả sử đã chọn ra k dòng (tương ứng

k cột) trong một định thức cấp n (1 ≤ k < n) Khi đó, định thức đã chobằng tổng của tất cả các tích của các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng(tương ứng k cột) đã chọn với phần bù đại số của chúng

Hệ quả 2.1.2 Cho A = (aij)n×n là một ma trận vuông cấp n trên K Khi

đó ta có

(1) Công thức khai triển theo dòng i

−4 2 9

=2(−1)2+1.1

(khai triển theo cột thứ nhất)

= 2(−1)3+1

−5 0

... triển theo dòng thứ hai)

= −2(6.9 − 2.3) − 20(7.2 + 4.6) = −856

Ví dụ 2.1.4 Tính định thức D =