Khóa luận tốt nghiệp phân loại một số dạng phương trình thường gặp ở bậc trung học phổ thông và phương pháp giải

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường chúng ta thấy chuyên đề về phương trình, bất phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt các năm học của học sinh, bắ

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường chúng ta thấy chuyên đề về phương trình, bất phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt các năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết” dành cho học sinh lớp dưới đến việc cụ thể hóa vấn đề phương trình và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở cấp hai Đến bậc phổ thông và chuyên nghiệp kiến thức về phương trình càng chuyên sâu, đa dạng đồng nghĩa với độ khó khăn

và phức tạp hơn Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh phải nắm bắt được và có kĩ năng giải một cách thành thạo Qua giải phương trình học sinh nắm được kiến thức cơ bản như tập hợp, quan hệ thứ tự, tập hợp số…

Tuy nhiên vấn đề về phương trình lại là một trong những vấn đề khó, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để giải bài toán phương trình Đó là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh khi gặp các bài toán về giải các loại phương trình trong học tập cũng như với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi Hơn nữa, có nhiều dạng phương trình nên việc tập hợp, phân loại, hệ thống cũng khiến cho các em gặp khó khăn

Bản thân em là người giáo viên dạy toán tương lai muốn hoàn thành nhiệm

vụ của mình thì ngay từ khi đang là sinh viên cần phải biết nỗ lực tìm tòi kiến thức, tổng hợp cho bản thân mình những kinh nghiệm làm hành trang cho tương lai Từ khó khăn của bản thân và của học sinh trong việc học và giải phương trình em đã tìm kiếm tài liệu cũng như tổng hợp kiến thức để làm đề tài “ Phân loại một số dạng phương trình thường gặp ở bậc trung học phổ thông và phương pháp giải ” mong rằng sẽ hình thành kiến thức, tạo nền tảng giúp cho các em học sinh có điều kiện giải các bài Toán mà không bị sai lầm, góp phần đổi mới và nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giới thiệu phân loại một số dạng phương trình thường gặp ở bậc trung học vận dụng một số phương pháp giải phương trình bằng những ví dụ cụ thể.Trên

cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, cung cấp cho học sinh kiến thức tổng quát về các loại phương trình đồng thời tìm ra

những phương pháp giải một số phương trình một cách hiệu quả nhất

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các loại phương trình thường gặp ở bậc trung học phổ thông và một số phương pháp Thể hiện trên nhiều học sinh khác nhau: học sinh khá, giỏi và học sinh trung bình về môn toán

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Đưa ra một số phương trình thường gặp ở bậc trung học phổ thông và cách giải để từ đó tổng quát lên dạng và đưa ra phương pháp giải

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

-Phương pháp nghiên cứu lý luận

-Phương pháp phân tích, tổng hợp

-Phương pháp thống kê, phân loại

-Nghiên cứu sách: sách giáo khoa, sách tham khảo về phương trình

-Tham khảo internet: diendantoanhoc.net; tailieu.vn; vn.math.com;

violet.com

-Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn; giáo viên ở trường thực tập

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Để dể dàng trong việc giải toán người giải phải biết phân dạng, phân tích để khai thác hết giả thiết, các điều kiện yêu cầu của đề bài, thể loại bài toán, để từ

đó định hướng cách giải Đại bộ phận học sinh chúng ta không hiểu rõ sự quan trọng cần thiết của việc phân tích và nhận định hướng giải, nhiều em không học

lí thuyết mà vận dụng ngay, không giải được thì chán nản, bỏ không giải và giở sách giải ra chép vv

Trong quá trình học tập và tìm hiểu, ta thấy các dạng phương trình đa dạng và phong phú mà ta phải vận dụng nhiều kĩ năng biến đổi đại số như sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng, dùng các phép biến đổi tương đương và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử Công cụ giải phương trình không đồi hỏi cao xa cái quan trọng là học sinh phải n ắm vững kiến thức, phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trường hợp cụ thể của từng vấn đề Đặc biệt là yêu cầu đối với học sinh khá, giỏi; phải biết hết sức sáng tạo, linh hoạt trong khi giải phương trình, biết đặc biệt hóa và tổng quát hóa những vấn đề cần thiết

I NGUỒN GỐC SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Lý thuyết phương trình đại số có lịch sử rất lâu đời Từ năm 2000 trước Công Nguyên, người Ai Cập đã biết giải các phương trình bậc nhất, người Babylon đã biết giải các phương trình bậc hai và tìm ra được những bảng đặc biệt để giải phương trình bậc ba.Tất nhiên các hệ số của phương trình được xét đều là những số đã cho nhưng cách giải của người xưa chứng tỏ rằng họ cũng đã biết đến các quy tắc tổng quát.Trong nền toán học của người Hi Lạp, lý thuyết phương trình đại số được phát triển trên cơ sở hình học, liên quan đến việc phát minh ra tính vô ước của một số đoạn thẳng.Vì lúc đó, người Hi Lạp chỉ biết các

số nguyên dương và phân số dương nên đối với họ phương trình x2 = 2 vô nghiệm Tuy nhiên, phương trình đó lại giải được trong phạm vi các đoạn thẳng

vì nghiệm của nó là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1

Đến thế kỷ VII, lý thuyết phương trình bậc nhất và bậc hai được các nhà toán học Ấn Độ phát triển, họ cho ra đời phương pháp giải phương trình bậc hai bằng cách bổ sung thành bình phương của một nhị thức Sau đó, người Ấn Độ cũng ứng dụng rộng rãi các số âm, số Ả Rập với cách viết theo vị trí của các chữ số Đến thế kỷ thứ XVI, các nhà toán học La Mã là Tartlia (1500 - 1557), Cardano (1501 - 1576) và nhà toán học Ferrari (1522 – 1565) đã giải được các phương trình bậc ba và bậc bốn

Đầu thế kỷ XIX, nhà toán học người Nauy Henrik Abel cho rằng không thể giải phương trình tổng quát bậc ba lớn hơn bốn bằng phương pháp toán học thông thường của đại số.Không lâu sau đó, nhà toán học người Pháp Évariste Golois đã hoàn tất công trình lý thuyết về phương trình đại số của loài người

II ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Cho hai hàm số của n biến phức x1, x2, , xn là f (x1, x2, , xn) và

g (x1, x2, , xn) Ta gọi tập hợp n số phức x = ( x1, x2, , xn) thuộc Cn là một điểm trong không gian phức n chiều Cn Khi đó các hàm số f (x1, x2, , xn) và

g (x1, x2, , xn) được gọi là các hàm một biến f(x), g(x) trongCn

Trong toán học, một phương trình là một cách viết thể hiện hai hàm số bằng nhau đối với một số giá trị (hoặc không có giá trị nào) của các biến số Viết một cách tổng quát một phương trình là:

f(x1,x2, ,x i)=g(x1,x2, ,x i) ( )1

h(x1,x2, ,x i)= 0 ( )2

Các giá trị của các biến số ở đó hai giá trị hàm số bằng nhau được gọi là nghiệm số của phương trình.Việc tìm ra các nghiệm số của phương trình gọi là giải phương trình.Nghiệm số, nếu tồn tại, có thể tìm thấy bằng biến đổi toán học

và biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản hoặc tìm thấy dưới dạng số bằng phương pháp số, ngay cả khi không thể biểu diễn bằng hàm toán học cơ bản Cần chú ý phân biệt phương trình với đẳng thức, sự thể hiện rằng giá trị hai hàm số luôn bằng nhau với mọi biến số

III PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH

Tùy theo f(x) và g(x) là biểu thức toán học loại gì mà phương trình được gọi tên theo loại đó

Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức đại số thì (1) là phương trình đại số, trong trường hợp trái lại thì (1) là phương trình siêu việt

Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức đại số hữu tỉ (đa thức hoặc phân thức hữu tỉ) thì (1) gọi là phương trình đại số hữu tỉ Ðặc biệt, nếu f(x) và g(x) đều là đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) thì (1) được gọi là phương trình đa thức hoặc phương trình đại số nguyên Nếu trái lại, ít nhất một trong hai biểu thức f(x) hoặc g(x) là phân thức hữu tỉ thực sự và biểu thức còn lại là đa thức thì (1) được gọi là phương trình phân thức

Nếu ít nhất một trong hai biểu thức f(x) hoặc g(x) là đại số vô tỉ (tức là có chứa căn số của ẩn) và biểu thức còn lại là hữu tỉ thì (1) được gọi là phương trình vô tỉ

IV PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Cho hàm số f(x), ngoài đối số ra còn có các chữ số a, b, c … nếu trong việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c … như là đã biết thì chúng được gọi là tham số, hay thông số, hay tham biến Giả sử a = α, b = β , c = γ là tập hợp giá trị bằng số nào đó của các chữ a, b, c … Nếu thay các giá trị đó vào hàm

số f thì ta được f(x, α, β,…, γ ) xác định một hàm số nào đó của đối số x thì α,

β ,…, γ được gọi là hệ thống giá trị thừa nhận được của các tham số

Nếu f(x, α, β,…, γ ) không có nghĩa với mọi giá trị bằng số của x trên trường số

đã cho thì α, β ,…, γ là một hệ thống giá trị không thừa nhận được của các tham

số

Phương trình f(x, a, b, …,c) với ẩn số x và các tham số a, b, …, c được gọi là phương trình chứa tham số Khi có một hệ thống giá trị thừa nhận được của tham số, phương trình này trở thành phương trình cụ thể:

f(x, α, β ,…, γ ) = 0

với ẩn số x và không chứa tham số nữa và tập nghiệm của nó hoàn toàn xác định Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả các nghiệm của nó với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận được của các tham số

Chẳng hạn a = 2, b = 0 là các giá trị không thừa nhận được của các tham số

V PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Các định nghĩa

Để cho gọn, ta viết P1( )x , P2( )x để chỉ hai phương trình hay hai hệ phương

trình, tuyển phương trình một ẩn hay n ẩn

Định nghĩa 1: P2( )x được gọi là hệ quả của P1( )x trên S nếu tập nghiệm M1của

( )x

P1 là tập con của tập nghiệm M2 của P2( )x

Ta có M1={ }2 , M2 ={− 1 , 2}, do đó M1⊂M2, vậy P1( )x ⇒P2( )x

Định nghĩa 2: Giả sử P1(x),P2(x) là hai phương trình một ẩn hay n ẩn.P1(x)

vàP2(x) được gọi là tương đương nếu M1=M2 Nói khác đi, P1(x) vàP2(x) là tương đương trên S khi và chỉ khi P1(x) vàP2(x)là hệ quả của nhau

x

4 1 0

= +

x

2 1 0

= +

n

x (n>3)

Trên Q và R là tương đương ( vì đều vô nghiệm, M1=M2 =M3= ∅) Nhưng trên

C chúng không tương đương vì

i n

k n

VI CÁC ĐỊNH LÍ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Qúa trình giải một phương là quá trình biến đổi phương trình đó để đến một phương trình đơn giản hơn mà ta dã biết cách giải Nếu các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình thì phương trình đã cho được biến đổi tương đương, còn nếu làm thay đổi miền xác định của phương trình thì có thể tập hợp nghiệm của phương trình đã cho cũng đã bị thay đổi Để hiểu rõ hơn

ta dựa vào các định lí sau

Định lí: Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu h(x) có nghĩa trong miền xác định

của phương trình đã cho thì :

f(x) = g(x) ⇔ f(x) + h(x) = g(x) + h(x) (1)

Chứng minh:

Trong (1) cho x một giá trị a nào đó thuộc miền xác định của phương trình f(x) = g(x), thì ta có :

f(a)= g(a) ⇔ f(a)+ h(a) = g(a)+ h(a)

là một mệnh đề luôn luôn đúng, là một tính chất của đẳng thức.Vậy (1) là hằng đúng

Hệ quả 1: Có thể chuyển các hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình,

nhưng phải đổi dấu của nó

Thật vậy, nếu ta cộng vào hai vế của phương trình

Hệ quả 2: Mọi phương trình đều có thể đưa về dạng mà vế phải bằng không

Vì thế, ta luôn có thể kí hiệu phương trình là F(x) = 0

Định lí 2 Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu biểu thức h(x) có nghĩa và khác

không trong miền xác định của phương trình đã cho thì

f(x) = g(x) ⇔f(x).h(x) = g(x).h(x)

Chứng minh: Tương tự như chứng minh ở định lí 1

Định lí 3 Nếu nâng hai vế của một phương trình lên lũy thừa bậc lẻ thì ta

được một phương trình tương đương với phương trình đã cho ( trên trường số thực )

f (2)

Nghĩa là a cũng là nghiệm của phương trình:

[f( )a ]2k+1=[g( )a ]2k+1 (3)

Đảo lại, nếu a là nghiệm của phương trình (3), tức là đẳng thức (2) đúng thì

ta có f(a) = g(a), do đó a là nghiệm của phương trình (1)

CHƯƠNG II PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP

VÀO GIẢI TOÁN

I PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC THPT

Nếu , phương trình vô nghiệm

12

253

12

15+

+

=

m

m x

+

=

m

m x

- Nếu , phương trình vô nghiệm

Bài 2 Giải phương trình

được gọi là tam thức bậc hai đối với biến x

Ðể phương trình (1) ta biến đổi như sau (phương pháp đề xuất bình phương đủ):

a) Nếu , phương trình (1) có hai nghiệm thực là:

b) Nếu , khi đó (1) có một nghiệm kép là:

c) Nếu phương trình (1) vô nghiệm trên R, nhưng có hai nghiệm phức liên hợp trên C là:

Chú ý: Nếu b là số chẵn, b = 2b’ thì = 4(b’2 - ac)

Ðặt b’2 – ac = ’ và gọi biệt thức thu gọn Khi đó nếu ’ , phương trình

có hai nghiệm thực (phân biệt hoặc kép) là:

Giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (1) ta có định lí thuận và đảo sau đây của Viét, là trường hợp riêng quan trọng của định lí Viét

Ðịnh lí Viét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1, x2 thì:

a

b x

= + 2

1

a

c x

x1. 2 = Đảo lại, nếu hai số x, y thỏa mãn x + y = S và x.y = P thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai X2 – SX + P = 0

Từ đó suy ra một hệ quả rất thông dụng:

A Phương trình bậc hai khuyết

+) Phương trình bậc hai khuyết có các dạng sau:

1 nếu a và c trái dấu, vô nghiệm nếu a và c cùng dấu

Phương pháp giải: Bằng cách lập biệt số ∆ và ∆’(với b là số chẵn) rồi xét theo ba trường hợp như trên

Vậy nghiệm của phương trình là và 1

c) Tìm m có một nghiệm bằng ba nghiệm kia

d) Viết phương trình bậc hai có nghiệm là x12và x22, trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình (*)

Do đó:

Thay x1, x2 vào (b) ta được:

Kết hợp với điều kiện ban đầu (câu a) ta thấy hai giá trị này của m đều thỏa mãn d)

trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện

− 2(m 3)

m

−

Giá trị không thỏa mãn điều kiện

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm

Bài tập vận dụng

Cho phương trình có hai nghiệm c và d, phương trình

có hai nghiệm a và b Tính a, b, c, d biết rằng các số đó đều khác 0

Ðiều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

Ta đã biết phương trình bậc hai có nghiệm khi

và chỉ khi Từ đó suy ra phương trình bậc hai

có nghiệm thường có các cách sau:

Cách 1: Chứng tỏ rằng

Bài tập Cho phương trình x2 – 2(2a – 1)x + a – 3 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của

3

2 4 3

) 1 2 ( 2

2 1

2 1 2

1

2 1

x x a

a x x a

x x

a x

4 3

2 4 4

3

2 4

1 2

2 1

2 1

1 2

2 1

2 1

x x

a x x

a x x

x x

a x x

a x x

⇔ (2a + 1)(2a – 3) = a – 3

⇔ 4a2 – 5a = 0 ⇔ a = 0 và a =

4 5

Vậy có hai giá trị của a thỏa a = 0 ; a =

4 5

Bài 2 Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm:

Bài 3 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm với mọi a và b:

Mặt khác, theo giả thiết nên

Mâu thuẫn với Vậy ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm

Bài 2 Giải

Với phương trình vô nghiệm

Với phương trình có nghiệm

Với phương trình là bậc hai, nó có nghiệm nếu tức

2 2 2

2

≥+

Ví dụ 1 Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của phương trình sau là số

hữu tỉ:

Giải

+)Với phương trình có nghiệm

+)Với ta phải có là số chính phương, tức là

Giả sử a, b, c là các số nguyên lẻ Do nên phương trình là bậc hai Xét

sẽ chứng minh rằng không là số chính phương

Do a, b, c lẻ nên A còn B (Với A, B nguyên), do đó

không là số chính phương (vì số chính phương lẻ chia cho 8 phải dư 1)

Nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Ví dụ Tìm các số nguyên n để các nghiệm của phương trình sau là những số

- Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Quy đồng hai vế của phương trình rồi khử mẫu

- Giải phương trình vừa nhận được

- So sánh điều kiện và kết luận

Như vậy, ta đã khử mẫu trong phương trình (1)

Giải phương trình (1a)

- Ta thấy thỏa mãn ĐKXĐ nên nó là nghiệm của (1) Vậy tập nghiệm

1

S

Chia tử và mẫu của phân thức cho x

Chú ý:Ta thường dùng phương pháp trên đối với các phương trình có dạng sau:

d cx ax

nx d

bx ax

mx

= + +

+ +

2

2 2

2

= + +

+ + + + +

+ +

c qx ax

c px ax c nx ax

c mx ax

c) Dạng 3: 22 2 = 0

+ +

+ + +

+ +

c qx ax

px c

nx ax

c mx ax

-Thêm cùng một biểu thức vào hai vế để tạo thành bình phương đúng -Ðặt hai ẩn phụ rồi tìm liên hệ giữa chúng

Cũng có thể đặt 4x2−9x+ = , tìm được y = 0 hoặc y = 7x Từ đó tìm được x 7 y

b) Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt y 2x 3

− ±

Bài 2

a) Chia hai vế cho +1 ≠ 0

x x

Giải phương trình (1a)

+) Nếu (1a) vô nghiệm thì (1) vô nghiệm

+) Nếu (1a) có 1 nghiệm, 2 nghiệm thì (1) có 1 nghiệm, 2 nghiệm

-Nếu c > 0: Ta có: f(x) =c ⇔f(x) = c2 (1b)

Giải phương trình (1b) Suy ra nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ Giải phương trình sau

a) x2+ x5 +6 =0

b) 2 3 1 5

= +

− x x

Giải

a)Ta có: 2 5 6 0

= +

+ x

= +

3

x x

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1= − 3 và x2 = − 2 b)Ta có: 2 3 1 5

= +

− x

= +

105 3

x x

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

2

105 3

+) Điều kiện: g( ≥x) 0 (2a)

+) Bình phương hai vế của phương trình (2)

[ ( ) ]2

) (x g x

f = (2b) +) Giải phương trình (2b) chọn nghiệm thỏa điều kiện (2a), suy ra

nghiệm của phương trình (2)

Ví dụ Giải phương trình sau 2x− 1 = 8 −x

0 8

x x

8

x x x

−

≤

0 65 18

8

2

x x x

x x

0 ) (

x g

x f

(3a)

+) Bình phương hai vế phương trình (3):

0 ) (

0 ) (

x g x f

x g

x f

Ví dụ Giải phương trình sau

2x+3= 4x−7

Giải

Ta có:

7 4 3

≥

−

≥ +

7 4 3 2

0 7 4

0 3 2

x x

x x

x x

0 ) (

x g

x f

(4a) Nếu hệ (4a) có nghiệm thì hệ (4) có nghiệm

0 ) (

x g

x f

(4b) +) Bình phương hai vế phương trình (4), ta có

Sơ đồ cách giải

( ) ( ) ( ) ( )

2

) ( ) ( 2 0

0 0

) ( ) (

c x g x f x g x f

x g

x f c

x g x

2 2

) ( 4

0 0

0 ) (

) ( ) ( )

( ) ( 2

0 0

x g x f c x g x f

x g x f c

x g

x f

x g x f c x g x f

x g

x f

0 1 2

0 1

2

x x

x x

0 3 27 2 1 1

3 27 1 2 1 2

2 1 1

x x

x x x x

x x

x x

x

5 145

5

9 1 0 725 150

9 1

−

≤

≤

x x

x

x x

x

x

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=5

• Dạng 5: f(x) + g(x) =h(x) (5)

+) Điều kiện:

( ) ( ) ( )

x h

x g

x f

(5a)

+) Bình phương hai vế của phương trình (5), ta có:

f( )x +g( )x + 2 f( ) ( )x g x =[h(x)]2

[ ( )] ( ) ( ) )

( )

(

x g x f x h x g x

0 ) (

0 ) (

x h

x g

x f

(6a)

+) Bình phương hai vế của phương trình (6), ta có:

f( )x +g( )x + 2 f( ) ( )x g x =h(x) ⇔ 2 f( ) ( )x g x =h( )x − f( )x −g( )x (6b) Trở lại dạng 1, giải tiếp theo dạng 1

0

x g

x f

(7a) +)Đặt y= f(x) + g(x) ,y≥ 0

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

x g x f x g x f

( ) (

2

x g x f y x g x

( ) (

2

x g x f y x g x

f

+) Giải phương trình bậc hai theo y Chọn nghiệm y thích hợp Thay vào (7b) Suy ra nghiệm của (7)