Bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh thông qua phương pháp giải bài tập toán ở cấp phổ thông trung học

Xét về mặt hình thức: Nội dung và phương pháp tìm lời giải các bài tập toán có vai trò gì trong việc rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình dạy và học?. Phân tích tìm lờ

LỜI CẢM ƠN

Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo TS Nguy ễn Quang Hòe thầy đã tận

tình chỉ bảo, giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình

Em xin trân trọng cảm ơn tất cả quý thầy cô trường Đại học Quảng Bình đặc biệt là các thầy cô giáo trong khoa Khoa học Tự nhiên đã góp ý, bổ sung và góp phần quan trọng cho sự hoàn thiện khóa luận

Em xin trân trọng cảm ơn tất cả quý thầy cô trường THPT Lệ Thủy đặc biệt

là thầy giáo Nguyễn Ngọc Ninh thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình trong thời gian em thực tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên khoa Khoa học Tự nhiên Trường Đại học Quảng Bình đã động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành tốt khóa luận này.Đồng thời cũng xin cảm ơn các em học sinh lớp 10A4, 10A10 trường THPT Lệ Thủy đã cùng tôi học tập nghiên cứu để

có kết quả thực nghiệm trong khóa luận này

Đồng Hới, tháng 05 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Duyến

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

IV.PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2

V CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

VI.Ý NGHĨA CỦA KHÓA LUẬN 3

VII CẤU TRÚC KHÓA LUẬN 3

PHẦN II NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 4

§1.NỘI DUNG CỦA VIỆC BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY CHO HỌC SINH 4

I Phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh 4

II Bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh 9

§2 NỘI DUNG CỦA VIỆC DẠY CÁC BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH Ở CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG TRUNG HỌC 11

I Nội dung cơ bản của việc dạy các bài tập toán cho học sinh 11

II.Việc tìm lời giải các bài tập toán có nhiều khả năng để phát triển tư duy cho học sinh 11

CHƯƠNG II MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở CẤP PHỔ THÔNG TRUNG HỌC 12

§1 BIỆN PHÁP 1 KHAI THÁC TRIỆT ĐỂ CÁC GIẢ THIẾT CỦA BÀI TOÁN 12

I Nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài toán 12

II Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lượng có trong bài toán để tìm đường lối giải 18

§2 BIỆN PHÁP 2 PHÂN TÍCH BIẾN ĐỔI ĐỒNG THỜI GIẢ THIẾT VÀ KẾT LUẬN 22

I Làm gần gũi giả thiết và kết luận bởi việc định hướng các phép biến đổi giả thiết bằng cách dựa vào những điều kiện quan sát và phân tích được ở kết luận 22

quan sát được từ việc phân tích giả thiết để làm cho kết luận ngày càng gần với

giả thiết hơn hoặc là chứng minh kết luận mà bài toán đòi hỏi là đúng đắn 24

III Phân tích và biến đổi đồng thời cả giả thiết và kết luận, cả điều đã cho và điều mà bài toán đòi hỏi, làm cho chúng đồng thời xích lại gần nhau hơn 26

§3 BIỆN PHÁP 3 CHUYỂN HÓA NỘI DUNG BÀI TOÁN 30

I Chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức thành bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 30

II Chuyển bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số về bài toán chứng minh bất đẳng thức 32

III Chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số về bài toán tìm miền giá trị của hàm số 34

IV Chuyển việc chứng minh các bất đẳng thức, giải các bất phương trình, nghiên cứu các phương trình về việc xác định tính chất của hàm số 36

V Chuyển việc tính số trị của các biểu thức lượng giác về việc lập phương trình lượng giác 37

§4 BIỆN PHÁP 4 CHUYỂN HÓA HÌNH THỨC BÀI TOÁN 38

I Nội dung của biện pháp 38

II Ví dụ minh họa 38

§5 BIỆN PHÁP 5 LỰA CHỌN CÁC CÔNG CỤ ĐỂ GIẢI TOÁN 39

I Nội dung của biện pháp 39

II Ví dụ minh họa 39

§6 BIỆN PHÁP 6 CHUYỂN ĐỔI ẨN SỐ, SỐ PHƯƠNG TRÌNH, BẬC CỦA ẨN , BẬC CỦA PHƯƠNG TRÌNH 42

I Nội dung của biện pháp 42

II Ví dụ minh họa 42

§7 BIỆN PHÁP 7 VẬN DỤNG CÁC THAO TÁC: KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰ 44

I.Nội dung của biện pháp 44

II Ví dụ minh họa 44

§8 BIỆN PHÁP 8 GỢI Ý HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 46

I Nội dung của biện pháp 46

II Ví dụ minh họa 46

THỰC TIỄN 48

I Nội dung của biện pháp 48

II Ví dụ minh họa 48

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 49

§1 CÁC YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƯỢC ĐỐI VỚI VIỆC DẠY BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH 50

§2 CÁC YÊU CẦU CẦN ĐẠT ĐƯỢC CỦA CÔNG VIỆC BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN 51

I Rèn luyện khả năng phân tích bài toán 51

II Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải 53

III Rèn luyện khả năng chọn lựa phương pháp và công cụ 57

§3 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 60

PHẦN III KẾT LUẬN 70

I Xét về mặt nhận thức 70

II Những kết luận về phương pháp tư duy 70

III Những kết luận về mặt tác dụng tư tưởng và tác động tâm lý 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Xuất phát từ mục đích đào tạo học sinh trong nhà trường phổ thông “Tập trung nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo, coi trọng giáo dục đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, khả năng lập nghiệp” (Nghị quyết Đại hội XI của Đảng) Từ đó có một vấn đề lớn đặt ra cho sự nghiệp giáo dục, đào tạo xác định được mục tiêu chiến lược “ Nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây dựng nền văn hóa

và con người Việt Nam ” Trong vấn đề này việc bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học là một việc quan trọng và trách nhiệm của giáo viên là phải thực hiện sao cho tốt

Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành thí nghiệm Đối với môn toán, việc giải bài tập được xem là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào thực

tế, vào những trường hợp cụ thể Bài tập môn toán không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới Tuy nhiên,

để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao,

từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực

Là một giáo viên dạy toán trong tương lai, em rất quan tâm đến vấn đề dạy học là rèn luyện năng lực tư duy và phương pháp suy luận cho học sinh khi ra trường nhận nhiệm vụ

Vì những lý do trên, em chọn đề tài: “Bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học

sinh thông qua phương pháp giải bài tập toán ở cấp phổ thông trung học”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Tìm ra một số biện pháp nhằm bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh trong quá trình giải bài tập toán Từ đó giúp học sinh có hứng thú và có sự say mê trong việc giải bài tập toán

- Trang bị cho bản thân phương pháp dạy học tích cực để vận dụng tốt vào công việc giảng dạy sau này.

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh

và cơ sở lí thuyết của dạy học giải bài tập toán học

- Vận dụng các biện pháp dạy học giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua phương pháp giải bài tập toán

- Đưa ra các ví dụ minh họa cho các biện pháp

- Thực nghiệm sư phạm nhằm rút kinh nghiệm để vận dụng vào việc dạy học sau này

IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu các tài liệu về dạy học giải bài tập toán, và các tài liệu đổi mới dạy học nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

- Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 và tham khảo các sách bài tập khác

- Tìm hiểu tài liệu thông qua internet

V CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các phương pháp nghiên cứu đặt ra trong đề tài này là:

1 Xét về mặt hình thức:

Nội dung và phương pháp tìm lời giải các bài tập toán có vai trò gì trong việc rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình dạy và học?

2 Xét về phương pháp tư duy:

a Phân tích tìm lời giải các bài tập toán có rèn luyện cho học sinh khả năng

tư duy chính xác, nghiêm túc, chặt chẽ trong phạm vi của một vấn đề hay không?

b Phân tích tìm lời giải các bài tập toán có rèn luyện khả năng tư duy nhạy

bén và linh hoạt cho việc học toán của học sinh không?

c Phân tích tìm lời giải các bài tập toán có giúp ích gì cho việc phán đoán và

tìm các khẳng định cho các phán đoán để đi đến việc giải các bài toán?

3 Xét về mặt tác dụng tư tưởng và tác động tâm lý:

- Công việc phân tích tìm lời giải các bài tập toán có đóng góp được gì trong việc nâng cao hiệu quả của việc học toán cho học sinh?

- Việc tìm lời giải các bài tập toán có mở mang được trí tuệ một cách tự giác, tự tin và lạc quan cho học sinh không?

VI Ý NGHĨA CỦA KHÓA LUẬN

1 Đối với học sinh

- Giúp học sinh học tốt môn Toán, đặc biệt là việc giải các bài tập toán Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải quyết bài tập

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng các phương pháp đó để giải bài tập

- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải quyết các dạng bài tập

2 Đối với bản thân

Đề tài đã giúp em làm quen dần với phương pháp nghiên cứu khoa học Đồng thời, bằng việc hệ thống các biện pháp bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán bản thân em có thêm nhiều kiến thức và kinh nghiệm làm cơ sở và nền tảng cho công tác giảng dạy sau này

Ngoài ra, đề tài này có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên dạy toán, đặc biệt là các giáo viên mới ra trường

VII CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo nội dung khóa luận được chia làm 3 chương

CHƯƠNG I: Dành cho việc trình bày các cơ sở lý luận của đề tài đó là trình bày những nội dung về vấn đề bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh và nội dung của việc dạy học giải bài tập toán

CHƯƠNG II: Tập trung chủ yếu vào một số biện pháp thông dụng, khi tìm tòi, phân tích tìm lời giải các bài tập toán có khả năng rèn luyện tư duy cho học sinh Việc làm sáng tỏ các biện pháp đó cũng như sự minh họa các quá trình phân tích được thể hiện trong các bài toán cụ thể

CHƯƠNG III : Dành cho việc đánh giá các yêu cầu cần đạt được của các

công việc: dạy toán, học toán, trình bày các giáo án và kết quả dạy thực nghiệm

PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

§1 NỘI DUNG CỦA VIỆC BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT TƯ DUY

CHO HỌC SINH

I Phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh

1 Phát triển các thao tác tư duy

Trong quá trình học tập môn toán học sinh luôn thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,… Vì vậy trong dạy học toán, giáo viên phải chú ý phát triển cho học sinh những thao tác này

1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp

Phân tích là chia cái toàn thể ra thành từng thành phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay từng khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để nhận thức sâu vào từng phần, từng khía cạnh

Ngược lại với phân tích, tổng hợp là hợp lại các phần riêng lẻ của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau của cái toàn thể

Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Nếu không tiến hành tổng hợp mà chỉ dừng lại ở phân tích thì sự nhận thức sự vật và hiện tượng sẽ phiến diện, không nắm được các sự vật và hiện tượng đó một cách đầy đủ và chính xác được Chúng là hai thao tác cơ bản của quá trình tư duy

Năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức toán học

Ví dụ: Khi học tập khái niệm, học sinh phải biết phân tích các dấu hiệu

bản chất của khái niệm, phát hiện những mối liên hệ (tổng hợp) giữa các khái niệm với nhau Khi học định lí, học sinh phải biết phân tích giả thiết và kết luận của định lí, mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận,… mối liên hệ giữa định lí này với các định lí khác,… Khi giải bài tập, học sinh phải nhìn bao quát (tổng hợp) để nhận được dạng bài toán (biết bài toán loại nào); phải biết phân tích cái đã cho và cái phải tìm, tìm ra mối liên hệ giữa chúng; phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ khác nhau (xét riêng các trường hợp góc nhọn, vuông, tù,…), giải các bài toán đơn giản đó, rồi tổng hợp lại để được lời giải bài toán đã cho

1.2 Phát triển năng lực so sánh

So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật (hay hai hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau

Giáo viên nên chú ý hướng dẫn học sinh so sánh những khái niệm định

lí, quy tắc mới học với những khái niệm, định lí, quy tắc đã biết Nhờ thấy được sự giống nhau và khác nhau giữa chúng nên học sinh nắm vững, hiểu biết sâu sắc hơn và có hệ thống hơn về kiến thức toán học

1.3 Phát triển năng lực trừu tượng hoá và khái quát hoá

Trừu tượng hoá là sự trừu xuất (lãng quên) những dấu hiệu không bản chất và tách riêng những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tượng và hiện tượng

Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hoá Trừu tượng hóa cho phép ta đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng cần nhận thức Vì vậy, trong dạy học toán, phải luôn chú ý phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh

Để phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh, cần nắm vững mối liên hệ chặt chẽ giữa tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng: từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn

Ví dụ: Khi dạy học về khái niệm góc, giáo viên cần đi theo con

đường cụ thể (1) – trừu tượng (2) – cụ thể (3)

Cụ thể (1)

-Hình tạo bởi kim phút và kim giờ trong đồng hồ

-Hình tạo bởi hai cạnh của ê-ke

-Hình tạo bởi hai cạnh bàn

Trừu tượng (2) Góc là hình tạo bởi hai tia chung gốc

Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần luyện tập cho học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện tượng, phát hiện mối liên hệ bản chất của sự vật mà hình thức bên ngoài rất đa dạng

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, đặc biệt hoá,… Do đó, khi có điều kiện giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những thao tác trí tuệ này

Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh họa qua

ví dụ: tìm công thức tính sin 3x theo những hàm số lượng giác của đối số x Trước tiên, thao tác phân tích làm biến đổi sin 3x thành sin(2x + x) Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin 3x với công thức sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Việc khớp trường hợp riêng sin(2 x+x)vào biểu thức tổng quát sin(a+b)là một sự khái quát hóa

Tiếp theo việc khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công thức sin(a+b) sin cos= a b+sin cosb a cho trường hợp a=2 , x b= để đi đến công x

thức sin(2x+x) sin 2 cos= x x+sin cos 2x x Thao tác phân tích lại diễn ra khi

tách riêng sin 2x và cos 2x trong công thức trên để biến đổi thành:

sin 2x=2sin cos ; cos2x x x=cos x−sin x

Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành 3sin cosx 2x−sin3x

Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phát sin3x với kết quả biến đổi

3sin cosx x−sin x là một sự tổng hợp dẫn tới:

sin 3x=3sin cosx 2x−sin3x

Sơ đồ sau đây minh họa quá trình tư duy vừa trình bày:

Khái quát hóa

Tổng hợp Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới chỉ ở dạng tiềm năng Nếu giáo viên có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như:

- Hãy viết sin 3x dưới dạng thích hợp với công thức biến đổi lượng giác

nào đó? (kích thích phân tích, khái quát hóa);

- Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức

sin(2x + x)? (khuyến khích đặc biệt hóa)

2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

Tư duy không tách rời ngôn ngữ, tư duy diễn ra dưới hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người và ngược lại ngôn ngữ được hình thành và phát triển nhờ tư duy Vì vậy, rèn luyện tư

Việc rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác qua dạy học môn toán được thực hiện theo ba hướng liên hệ chặt chẽ với nhau:

- Nắm vững các thuật ngữ toán học và các kí hiệu toán học (ngôn ngữ toán học)

- Phát triển khả năng định nghĩa và phân chia các khái niệm

- Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, hợp logic

Giáo viên luôn coi trọng việc giáo dục học sinh sử dụng chính xác ngôn ngữ trong môn toán Đặc biệt là biết sử dụng đúng các phép toán logic: và, hoặc, nếu… thì…, khi và chỉ khi, có ít nhất một, với mỗi,…

Giáo viên cần thường xuyên uốn nắn những sai lầm của học sinh về mặt thiếu chính xác trong sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học Cần chống thói quen không tốt là sử dụng các kí hiệu toán học một cách tuỳ tiện, chẳng hạn như: “Đây là hai việc ≠ nhau”; hay “Anh có = lòng không?” (Hoàng Chúng, 1995)

3 Phát triển tư duy độc lập và tư duy sáng tạo

Tư duy độc lập biểu hiện ở khả năng tự mình phát hiện được vấn đề cần phải giải quyết, và tự bản thân có thể đề ra phương án giải quyết khi gặp một trở ngại hay tìm ra được lời giải đáp cho các vấn đề gặp phải; không đi tìm lời giải sẵn Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy, luôn đề cao sự đánh giá mọi tư tưởng và ý kiến của người khác, có tinh thần hoài nghi khoa học, luôn tự vấn: “vì đâu?”, “tại sao?”,… Tư duy sáng tạo luôn suy nghĩ tìm tòi những điều mới, nó luôn gắn liền tính độc lập, tính phê phán và tính linh hoạt của tư duy Tính linh hoạt của tư duy biểu hiện ở các mặt chính yếu sau đây:

Khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để nghiên cứu và giải quyết vấn đề, dễ dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, khắc phục thái độ rập khuôn theo mẫu định sẵn, máy móc, suy nghĩ theo lối mòn

Khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược với cách đã biết

Khả năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau.Để bồi dưỡng phẩm chất tư duy cho học sinh, trong dạy học toán cần chú ý tập duyệt cho học sinh “ suy luận có lí”, dự đoán thông qua quan sát, so sánh,

đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự…Chú ý đến mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung, cái cụ thể và cái trừu tượng; quy nạp và suy diễn trong khi giảng dạy toán học

II Bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh

Thông qua quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý giúp học sinh từng bước nhận biết được và nắm được hai phương pháp thường dùng trong nghiên cứu toán học là: phương pháp cụ thể – trừu tượng, phương pháp qui nạp – suy diễn

1 Phương pháp cụ thể – trừu tượng

Toán học là một khoa học có tính trừu tượng cao độ Tuy nhiên, sự hình thành và sự phát triển của toán học thường được xuất phát từ mối quan hệ giữa

cụ thể và trừu tượng: không có cái cụ thể cảm tính thì không thể có cái trừu tượng và không có cái trừu tượng thì không thể có cái cụ thể trong tư duy (cái đến sau những cái trừu tượng)

Ngược lại, trong quá trình giải quyết một đề tài thì càng nắm vững những

lí luận trừu tượng, hiện đại, khái quát bao nhiêu thì có nhiều công cụ sắc bén

để phát hiện ra cái cụ thể bấy nhiêu

Trong dạy học toán trong nhà trường phổ thông, “việc tăng cường khả năng cho học sinh vận dụng kiến thức lí thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn là biện pháp phù hợp với qui luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và cái trừu tượng” (Đavưđốp, 1973) Nhưng giáo viên cũng không thể nào không quan tâm khía cạnh: từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, giáo viên phải chú ý dùng phép tổng quát hoá, khái quát hóa để trình bày nhiều vấn đề toán học như: từ một tính chất trong tam giác vuông đặt vấn đề mở rộng sang tam giác bất kỳ; từ nhiều vấn đề cụ thể dường như rất khác nhau như bài toán tìm vận tốc tức thời và bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm mà khái quát lên thành khái niệm đạo hàm Từ một số bài toán cụ thể trong chương trình giáo viên gợi ý học sinh

mở rộng và khái quát hoá thành những bài toán tổng quát hơn với những cách giải tổng quát hơn

2 Phương pháp qui nạp – suy diễn

Toán học khác với các khoa học khác ở phương pháp của nó Trong khi các nhà vật lý, hoá học, sinh học,… cần có phòng thí nghiệm với rất nhiều máy móc, dụng cụ, có khi rất phức tạp thì nhà toán học, trong đại đa số

trường hợp, hầu như chỉ cần sách báo, bút với tờ giấy hay một viên phấn với cái bảng Toán học dùng phương pháp suy diễn logic mà không dùng phương pháp thí nghiệm để chứng minh các định lí vì hai lí do:

i Có khả năng áp dụng suy diễn logic vào những đối tượng đã được trừu tượng hoá thành thuần tuý số lượng và hình dạng không gian

ii Không có khả năng làm thí nghiệm để trực tiếp xem các định lí hình

học trong không gian n chiều (n > 3) là đúng hay không, vì không gian thực tế

chỉ có ba chiều

Tư duy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của qui nạp cũng không phải là không quan trọng Qui nạp lại liên hệ mật thiết với suy diễn: qui nạp giúp xây dựng giả thuyết toán học, tri thức thu được bằng qui nạp thì không đầy đủ, không hoàn chỉnh, có tính chất

dự đoán; các kiến thức ấy biến thành tri thức chân thực cần phải chứng minh bằng suy diễn

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, giáo viên phải dạy học sinh biết trình bày lời giải một bài toán hay chứng minh một mệnh đề toán học một cách chặt chẽ bằng suy luận diễn dịch, nhưng cũng phải chú ý bồi dưỡng khả năng tìm tòi sáng tạo, khả năng dự đoán, biết vận dụng các phép suy luận qui nạp để phát hiện ra cách giải một bài toán, để dự đoán một qui tắc, một kết quả

§2 NỘI DUNG CỦA VIỆC DẠY CÁC BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH

Ở CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

I Nội dung cơ bản của việc dạy các bài tập toán cho học sinh

Trong quá trình giải các bài tập có hai nội dung: Tìm ra lời giải các bài

toán và Giải các bài toán Hai nội dung đó có khi được tiến hành đồng thời nhưng có khi tách thành hai quá trình.Tuy vậy về mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau, độc lập với nhau(tuy có quan hệ hỗ trợ cho nhau), mỗi nội dung có một nhiệm vụ riêng biệt trong việc rèn luyện học sinh giải toán Người thầy giáo dạy toán cũng như người học sinh học toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và mối liên hệ giữa hai nội dung đó

Như vậy có nghĩa là bài toán sẽ được coi là không hoàn chỉnh nếu quá trình giải vụng về, có sai sót.Và một người giải toán phải hiểu rằng, làm một bài toán là phải hoàn thành trọn vẹn các khâu, chứ không phải đi tìm phương pháp

mà thôi, lại có nhiều bài toán, đường lối giải không phải là khó có khi đã rất rõ

mà cái khó chủ yếu là kỹ thuật giải, do vậy đòi hỏi người giải toán phải có sự sáng tạo, tư duy

II Việc tìm lời giải các bài tập toán có nhiều khả năng để phát triển tư duy cho học sinh

Vì các lý do sau đây:

1 Khi chưa tìm được phương hướng phù hợp để giải bài toán thì chưa có

thể có lời giải tốt cho bài toán dù học sinh đó có kỹ thuật cao,dù có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính cần thiết

2 Lao động trong khâu thực hiện các thao tác khi đã có phương pháp là lao

động có tính chất kỹ thuật còn lao động để tìm tòi lời giải bài toán là lao động sáng tạo.Đây là các điều kiện thuận lợi nhất cho việc phát triển tư duy của học sinh

3 Khâu rèn luyện phương pháp cho học sinh để tìm tới lời giải bài toán

chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập và sang tạo của học sinh

CHƯƠNG II MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG PHẨM CHẤT

TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở CẤP PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

Nội dung trong phần này tôi xin trình bày một số biện pháp thông dụng và chủ yếu để giúp học sinh tư duy trong quá trình giải toán Đồng thời sau nội dung mỗi biện pháp được giới thiệu là việc trình bày các ví dụ minh họa mà lời giải của các ví dụ là sự thể hiện của việc vận dụng các biện pháp đó

§1 BIỆN PHÁP 1 KHAI THÁC TRIỆT ĐỂ CÁC GIẢ THIẾT CỦA

BÀI TOÁN

I Nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài toán

Các đặc điểm về dạng của bài toán là phần hình thức của bài toán đó Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức của bài toán về thực chất là việc khám phá các đặc điểm trong nội dung của bài toán Chính vì thế, nhiều bài toán có được lời giải hay là nhờ vào việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng bài toán

1 Trước hết các đặc điểm đó thể hiện ở mối liên hệ giữa các số có mặt trong bài toán đó

Ví dụ 1 Giải bất phương trình

( 5 2 6+ ) (x + 5 2 6− )x ≥10 (1)

Phân tích tìm lời giải: Để ý rằng (5 2 6 5 2 6+ )( − )= 1

Cho nên hai số hạng trong vế trái của bất phương trình đã cho là hai đại lượng nghịch đảo của nhau Vì thế nếu ta đặt:

Ví dụ 2 Giải phương trình

2 tan( x−sinx)+3 cot( x−cosx)+ = (1) 5 0

Phân tích tìm lời giải: Để ý đến 3 số có mặt trong phương trình là 2, 3 và 5 Có

lẽ chúng ta hãy nên nghĩ đến điều hiển nhiên 2 3 5+ = và một điều quan trọng là

để ý đến mối liên hệ giữa tan x, cot x với sin , cos x x chính là tan =sin

cos

x x

x; cos

2(tanx−sinx 1) 3(cot+ + x−cosx+1) 0= (với điều kiện sin cosxx ≠ ) 0

Là phương trình tích và giải được

Lưu ý rằng, nếu không để ý đến đặc điểm đã nêu trên thì phương trình đã cho vô cùng khó giải

2 Đặc điểm của bài toán thể hiện ở mối liện hệ giữa các nhóm số hạng tham gia trong bài toán

Mối liên hệ có khi thể hiện rõ ràng dễ thấy nhưng cũng có khi ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều phép biến đổi và có cách nhìn tinh tế mới phát hiện được

Ví dụ 3 Giải phương trình

sinx+cos +sin cosx x x=1 (1)

Phân tích tìm lời giải: Trước hết xét liên hệ giữa 2 nhóm chứa ẩn sinx+cosxvà sin cosx x Chúng có mối liên hệ với nhau cho bởi hệ thức

(sinx+cosx)2= +1 2sin cosx x

Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, hãy đặt ẩn phụ:

sin cos 2 sin

Khi đó: sin cos 2 1

Cách khác: Bây giờ, nếu ta để ý rằng hàm số sin ,cosx x có thể biểu diễn

được qua tan

2

x t

= (với điều kiện cos 0

Khi đó phương trình (1) trở thành:

2 2

Nhận xét: (Dấu hiệu để giải bài toán bằng cách chứa ẩn phụ)

Đối với các bài toán (Giải phương trình, bất phương trình) mà biểu thức của nó có thể phân thành các nhóm số hạng và giữa chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì có thể giải được bằng cách chọn ẩn phụ

Tuy vậy cũng phải lưu ý rằng, có những bài toán khi đã sử dụng ẩn phụ, các biểu thức còn lại trong bài toán đó vẫn còn chứa ẩn ban đầu( ở ví dụ 4,

h ta nghĩ ngay đến việc xem x và h a là đường cao của 2 tam

giác có chung cạnh đáy BC đó là BOC∆ và BAC∆

Phân tích tìm lời giải:

Ta không thể nghĩ đến việc giải hệ đã cho bằng phương pháp thế (vì đây là

hệ các phương trình bậc cao đối với x, y, z) Chỉ cần để ý đến các vế trái của hệ

ta thấy ngay các thừa số x+y y, +z z, + được lặp lại hai lần, vì thế bằng cách x

nhân các phương trình đã cho theo từng vế thu được:

Ví dụ 8 Giải phương trình

2

x− + −x =x − x+

Phân tích tìm lời giải: Nhận thấy rằng rất khó khi dùng các phép biến đổi

để tìm ra sự liên hệ giữa hai vế với nhau Bằng cách đánh giá giá trị hai vế của phương trình, ta tìm được giá trị của đối số để giá trị hai vế đồng thời bằng nhau

Nếu có các giá trị đó là nghiệm của phương trình:

Thuộc tập xác định 2≤ ≤ của phương trình x 4

Từ đó: x− +2 4−x ≤ dấu đẳng thức xảy ra khi 2 x= 3

Từ đó suy ra x= là nghiệm duy nhất của phương trình 3

II Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lượng có trong bài toán để tìm đường lối giải

Các đại lượng có trong bài toán trước hết phải kể đến là các đối số, các tham số trong các bài toán đại số, số học và lượng giác, các yếu tố tạo nên hình

trong bài toán hình học Các đại lượng đặt ra không thể là ngẫu nhiên, tùy tiện

mà chính là sự biểu hiện các mối liên hệ giữa các yếu tố để tạo nên bài toán

Có nhiều bài toán những hệ thức, những biểu thức đưa vào kèm theo một số các điều kiện Nếu ta khai thác triệt để và đúng hướng các điều kiện đó chắc chắn sẽ dẫn tới việc xác định đúng hướng để giải bài toán

Ví dụ 9 Cho tứ giác ABCD mà AD = BC Đường thẳng đi qua trung điểm

M và N của hai cạnh AB và CD cắt AD và BC kéo dài tương ứng E và F

Ở bài toán này ta phải so sánh E1 và F1với một hoặc hai góc bằng nhau Muốn vậy, ta kẻ từ N và M các đường thẳng song song với BC và AD tương ứng Chúng cắt nhau ở I Trước hết ta thấy: E1=IMN và F1=INM

Như vậy nếu E1=F1thì tam giác IMN cân và do đó IM = IN

Lại do IM // AD và IN // BC điều này làm cho ta nghĩ đến vai trò của I chính là điều mong muốn IM = IN có liên quan như thế nào đến gải thiết AD = BC Điểm I với điều kiện IM = IN là cầu nối giữa giả thiết và kết luận

Điểm I đó phải thỏa mãn tính chất IM = IN và IM // AD, IN // BC

Điểm I đó phải là trung điểm của BD

Từ đó ta có lời giải sau:

Nối BD, gọi I là trung điểm của BD, kẻ IM và IN Tam giác IMN cân vì :

Phân tích tìm lời giải:

Cách 1: Do x2− + và x 1 x2+ + luôn luôn dương với mọi x, cho nên x 10

y> với mọi x Ta xét hàm số y (vì khi đó hàm y và 2 y đồng thời có giá trị 2

Cách 3 : Do y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương, ta có thể dùng

bất đẳng thức côsi, khi đó ta được:

§2 BIỆN PHÁP 2 PHÂN TÍCH BIẾN ĐỔI ĐỒNG THỜI GIẢ THIẾT VÀ

I Làm gần gũi giả thiết và kết luận bởi việc định hướng các phép biến đổi giả thiết bằng cách dựa vào những điều kiện quan sát và phân tích được ở kết luận

1 Nội dung các bài toán này thường đặt ra dưới dạng tổng quát sau

Từ (A) hãy suy ra (B) ( ( )A ⇒( )B )

Trong đó (A) và (B) là các điều kiện đã cho; có khi người ta đặt (B) ở dạng khẳng định nhưng cũng có khi (B) còn ở dạng tìm tòi, nghi vấn

Quá trình suy luận theo phương pháp này được mô tả như sau:

( )A ⇒( )A1 ⇒( )A2 ⇒ ⇒A n (B)

( Trong đó (A) đã cho còn A A1, , 2 A n tìm được qua các phép biến đổi ( ⇒ ))

Hai khả năng có thể xảy ra:

- An chính là (B) Khi đó chính là bài toán (A) ⇒ (B) kết thúc

- An chưa phải là (B) Khi đó, thay cho bài toán (A) ⇒ (B) ta chỉ giải bài toán (An) ⇒ (B), dễ hơn bài toán đã cho vì An gần (B) hơn so với (A)

Điều đáng lưu ý đây là mỗi phép biến đổi phải định hướng đúng đắn bởi những quan sát có ích từ kết luận ; không thể biến đổi một cách chung chung, thiếu mục đích

Nhược điểm của một số học sinh là do thiếu định hướng nên sau một số biến đổi bài trở nên phức tạp hơn, đôi khi lại trở về đích ban đầu Muốn có những định hướng đúng, người giải toán phải biết cách phân tích các đặc điểm của kết luận để từ đó đề xuất các phép biến đổi ( )⇒ được xem là đúng hướng nếu phép biến đổi đó giả thiết gần gũi hơn với kết luận

2.Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC không vuông.Chứng minh rằng nếu góc

45

B = ° thì: (1 cot+ A)(1 cot+ C)=2

Phân tích tìm lời giải:

Ta hãy xuất phát từ giả thiết 45B = ° để đi tới kết luận Quá trình phân tích

và biến đổi như sau :

⇒ + = − + ( Vì trong kết luận có chứa hàm cot)

cotA cotC cot cotA C 1

⇒ + + = ( Vì biểu thức phải chứng minh không có dạng phân thức)

cotA cotC cot cotA C 1 2

2 mà không nhân 2 vế của phương trình với 2 được)

(1 cot+ A)(1 cot+ C)=2 Chính là kết luận

Lời giải bài toán thì đơn giản và cũng có thể giải cách khác Điều muốn nói

ở đây là mọi phép biến đổi ( các ⇒ ) đều được định hướng một cách chính xác (đều giải thích vì sao lại có phép biến đổi nằm trong dấu ngoặc) Quan sát quá trình trên ta có thể nhận thấy rằng cứ sau mỗi phép biến đổi thì ta càng nhích gần hơn từ giả thiết đến kết luận để cuối cùng đi tới kết luận

Ví dụ 2 Chứng minh rằng trong một tam giác, bất đẳng thức sau đây đúng:

II Phân tích và biến đổi kết luận (yêu cầu bài toán đòi hỏi) bởi những hợp

lý qua quan sát được từ việc phân tích giả thiết để làm cho kết luận ngày càng gần với giả thiết hơn hoặc là chứng minh kết luận mà bài toán đòi hỏi

là đúng đắn

1 Nội dung

Các bài toán phổ biến được dùng phương pháp này là

Bài toán: hay từ A) suy ra B)

Quy trình suy luận như sau:

Ta thay B) bởi B1), ), , )B2 B n , mà B1), ), , )B2 B n ngày càng gần A hơn so với B Mỗi phép biến đổi từ B đến 1) B chỉ có thể là: n) ⇔ hoặc ⇒ Nói chính xác hơn, quy trình đó được mô tả dưới đây:

Khi đó, nếu B n)là A) thì bài toán kết thúc

Nếu B n) chưa phải là A) thì thay vì giải bài toán A) ⇒ B) ta giải bài toán: ) n)

A ⇒B dễ hơn bài toán đã cho vì B n) gần A) so với B)

Có thể đặt ra câu hỏi sau đây: Tại sao lại không biến đổi A) để đi từ A) đến B) mà lại là quá trình ngược lại? Có thể trả lời câu hỏi đó như sau:

Có những bài toán mà phép biến đổi từ A) đến B) là những phép biến đổi

“ngược” (phức tạp): Trong khi đó các phép biến đổi từ B) đến A) lại là những phép biến đổi “xuôi” (giản đơn)

Các phép biến đổi được xem là ngược chẳng hạn:

2.Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Chứng minh rằng trong tam giác ABC, bất đẳng thức sau đúng:

a b−c +b c−a +c a−b + abc>a +b +c

Phân tích tìm lời giải:

Trước hết do a, b, c là 3 cạnh của tam giác, nên ta có bất đẳng thức sau

là đúng

( )

0

0 *0

00

00

0 (*)0

Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC nhọn và có bán kính

đường tròn ngoại tiếp R = 1 thì:

2 2 2 8 (1)

a +b +c >

Phân tích tìm lời giải:

Từ giả thiết của bài toán ta suy ra CosA, CosB, CosC đều dương và do đó : CosA.CosB.CosC > 0 (*)

Ta có thể nhận thấy rằng, các phép biến đổi để từ (*) đi tới (1) là khó khăn phức tạp Ta hãy từ (1) làm cho (1) ngày càng gần gũi và cuối cùng đi tới (*), bằng các phép biến đổi sau ta có :

( )1 ⇔Sin A2 +Sin B2 +Sin C2 > 2

( Thay a= 2R sinA = 2sinA)

2 2

III Phân tích và biến đổi đồng thời cả giả thiết và kết luận, cả điều đã cho

và điều mà bài toán đòi hỏi, làm cho chúng đồng thời xích lại gần nhau hơn

1 Nội dung

Trong một bài toán đã cho giả thiết và kết luận phải có mối quan hệ với nhau Việc bắc cầu chỉ từ một phía: từ bên này sang bên kia hoặc từ bên kia sang bên này đôi khi không cho ta hướng giải bài toán Chúng đòi hỏi người giải toán phải đồng thời quan sát kết luận để định hướng đúng phép biến đổi cho giả thiết rồi phải căn cứ vào giả thiết đã có để định hướng đúng phép biến đổi kết luận Mặt khác phép biến đổi từ hai phía này sẽ giúp ta luôn chọn được phép biến đổi

“ Xuôi chiều”

Các bài toán thường vận dụng phương pháp suy luận này là:

Hãy từ (A) suy ra (B)

Hoặc chứng minh (A) ⇔ (B)

Qui trình suy luận diễn ra như sau:

- Với bài toán : (A) ⇒ (B)

1, , , , , , ,2 k 1 2 l

A A A B B B và cả A0 tìm được sau mỗi phép biến đổi

Điều đáng lưu ý ở đây là việc chọn A0 sao cho:

- A0 nằm trong quãng đường suy luận từ A đến B

- Khi biến đổi A xuôi về A , B ngược về 0 A để cho giả thiết kết luận gặp 0

nhau ở A thì các phép biến đổi phải là những phép biến đổi “ xuôi chiều” đơn 0

giản Phương pháp suy luận này không giống với phương pháp quen thuộc sau:

Để chứng minh (A) ⇔ (B) ta chứng minh A C

Điều khác biệt thể hiện ở chỗ:

- Cách chọn “ điểm dừng ” A0 của quá trình suy luận

- Nội dung các phép biến đổi tương đương để làm cho giả thiết và kết luận xích lại gần nhau, đồng thời phải được định hướng đúng bởi việc quan sát liên tiếp cả giả thiết và kết luận

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Gọi a, b, c là độ dài các cạnh và x, y, z là độ dài các đường phân

giác trong của tam giác nhọn ABC∆

Hãy chứng minh: 1 1 1 1 1 1 (1)

x+ y+ z > a+b+c

Phân tích tìm lời giải:

Để chứng minh bất đẳng thức (1), do cấu tạo của nó ta có thể nghĩ ngay đến điều sau đây:

Quan sát vế trái của (1) và vị trí các đại lượng x, y, z; a, b, c ở hình dưới hợp lí hơn cả là ta nghĩ đến việc chứng minh:

2

(2)2

∆ ∆ ∆ mà mối liên hệ giữa các tam giác đó xét về mặt định lượng có thể dễ nhận thấy là: S ABC =S ABA1 =S AA C1 (*) ( S là kí hiệu diện tích của tam giác)

Cho nên ta hãy sử dụng đẳng thức đólàm khởi đầu cho việc chứng minh bất đẳng thức (2a)

Ta hãy xét tính hợp lí của suy nghĩ đó

Trước hết bất đẳng thức (*) chứa diện tích các tam giác, có nghĩa là đẳng thức đó có chứa b, c, x và sin , sinA α ( với 1

2A

α = ) và cosα Lại do việc (*)

có chứa các hàm sin , cos , sin Aα α Vì vậy ta có điều kiện để chuyển đẳng thức thành bất đẳng thức

Với suy luận trên, ta bắt đầu từ đẳng thức (*)

( )

( )

Bài toán được giải quyết

Cũng phải nói thêm rằng có lời giải này bắt đầu từ việc sử dụng hệ thức đúng (*)

§3 BIỆN PHÁP 3 CHUYỂN HÓA NỘI DUNG BÀI TOÁN

Trong hệ thống các bài tập toán có nhiều bài liên quan với nhau Mối quan

hệ đó trong những điều kiện nào đó ta có thể chuyển từ việc giải bài toán này qua việc giải bài toán khác( có nội dung khác nhau)

I Chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức thành bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x

5 ( )5 1

1 (1)

16

Phân tích tìm lời giải:

Ta nhận thấy rằng bất đẳng thức (1) đúng với mọi x, nếu ta chứng minh được hàm số : y=x5+(1−x)5 có giá trị nhỏ nhất là 1

16 Như vậy đã chuyển được bài toán chứng minh bất đẳng thức thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số( chú ý rằng bài toán được thay thế là bài toán điều kiện đủ đối với bài toán đã cho)

Ta sẽ dùng công cụ đạo hàm để giải bài toán đã cho

Ví dụ 2 Tìm giá trị của tham số a để bất đẳng thức sau đúng với mọi x

2a− +4 a(3 sin− 2x)3+cos2x<0 (1)

Phân tích tìm lời giải:

Đặt u=sin2x với 0≤ ≤ , bất đẳng thức (1) với ẩn x chuyển thành bất u 1đẳng thức ẩn u có dạng sau :

2a− +3 a(3−u)3− <u 0 (2)

Bài toán đã cho chuyển thành bài toán :

Tìm mọi a để bất đẳng thức (2) thỏa mãn với mọi u mà 0≤ ≤ u 1

Có thể nhận thấy rằng do bất đẳng thức có bậc ba nên các công cụ về tam thức bậc hai không có hiệu lực

Ta có thể giải bài toán bằng các cách sau :

Từ đó ta suy ra để thỏa mãn bài toán thì : a< fmin

Có thể nhận thấy rằng khi u= thì đồng thời ta thu được tử số có giá trị 0nhỏ nhất và mẫu số đạt giá trị lớn nhất và khi đó f u( )đạt giá trị nhỏ nhất

Cách 2 :

Gọi y=2a− +4 a(3 sin− 2x)3+cos2x

Trước hết ta tìm mọi trị lớn nhất của y và tìm a để cho ymax < 0

Khi a< ta có : 20 a< 0

− +4 cos2x< với mọi 0 x⇒ < với mọi x y 0

a(3 sin− 2x)< với mọi x 0

Bài toán thỏa mãn

Khi a= ta có : 0 y= − +4 cos2x≤ − < với mọi x 3 0

Bài toán thỏa mãn

Khi a> ta có : 20 a− là hằng số nên có giá trị lớn nhất là 24 a− và đạt 4

được tại mọi x , cos x có giá trị lớn nhất là 1 và đạt được khi 2 cos2x= ( hay 12

sin x= ), 0 a(3 sin− 2x)3có giá trị lớn nhất là 27a và đạt được khi sin2x= (hay 02

a< thỏa mãn bài toán

II Chuyển bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số về bài toán chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1 Chứng minh giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P x y( , )=x2+xy+ y2−3(x+ y) 3+ bằng 0

Phân tích tìm lời giải:

Ta thấy rằng ( , )P x y là đa thức hai biến số Bài toán cực trị của hàm hai biến số khá phức tạp và vượt ra ngoài chương trình phổ thông trung học Ở đây ta tìm

cách chuyển hóa nội dung bài toán

Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh : P x y( , )min = 0

Từ định nghĩa của giá trị nhỏ nhất, yêu cầu đó có thể phát biểu dưới dạng :

Chứng minh rằng với mọi ,x y thì ( , ) 0P x y ≥ và tồn tại ( , )x y để dấu đẳng thức xảy ra

−

Phân tích tìm lời giải:

Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi ,x yvà tồn tại ,

Chẳng hạn cho hàm số u của các biến

Nếu ta chứng minh được với mọi giá trị của các biến mà:

) ) )

Phân tích tìm lời giải:

Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức u chuyển thành bài toán:

Tìm mọi giá trị của u sao cho hệ:

Từ phương trình đầu ta có: x= −3y+ (với u tùy ý), thay giá trị x đó vào u

phương trình sau ta thu được phương trình:

3(− y+u)2+ −( 3y+u y) +4y2=3