phân tích mối quan hệ chi phíkhối lượnglợi nhuận tại công ty tnhh sản xuất bao bì nam việt

Không gian vector con và không gian thương Trong chương này nghiên cứu về không gian vector con, không gian thương, tổ hợp tuyến tính, không gian con sinh bởi một hệ vector, tổng và tổng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

MSSV: 1100009 Lớp: SP Toán K36

Cần Thơ 5/2014

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian dài nghiên cứu em đã hoàn thành luận văn của mình Đó là kết quả của sự cố gắng của bản thân em trong những năm tháng trên giảng đường đại học, sự hướng dẫn tận tình của quý Thầy Cô trong những năm vừa qua

Để ghi nhớ công ơn trên em xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô trường Đại học Cần Thơ, Khoa Sư phạm và bộ môn Toán học đã truyền đạt cho em những kiến thức và kinh nghiệm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy Th.S Trang Văn Dể đã tận tình chỉ dẫn cho em trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Em cũng chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các anh chị đi trước và bạn bè đặc biệt là các bạn lớp sư phạm Toán học khóa 36 đã giúp em rất nhiều trong quá trình nghiên cứu đề tài

Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô và các bạn dồi dào sức khỏe và công tác tốt

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng cũng không tránh khỏi hạn chế và thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quí báo của quý Thầy Cô và bạn bè để đề tài được phong phú và hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn ! Trân trọng

Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Linh Chi

Mục lục

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Đối tượng nghiên cứu 4

3 Mục đích nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Các bước nghiên cứu 4

6 Nội dung nghiên cứu 4

NỘI DUNG 6

Chương 1 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTOR 6

1.1 Nhận xét mở đầu 6

1.2 Định nghĩa 6

1.3 Các ví dụ 7

1.4 Các tính chất đơn giản 10

Chương 2 KHÔNG GIAN VECTOR CON VÀ KHÔNG GIAN THƯƠNG 12

2.1 Không gian vector con 12

2.1.1 Định nghĩa 12

2.1.2 Định lí 12

2.1.3 Các ví dụ 12

2.2 Tổ hợp tuyến tính của các vector 16

Ví dụ 2.14 Trong không gian các ma trận vuông cấp hai M 2( ), cho 4 vector sau 17

2.3 Không gian con sinh bởi một tập 20

2.4 Tổng và tổng trực tiếp của các không gian con 21

2.5 Không gian thương 22

Chương 3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 24

3.1 Định nghĩa 24

3.1.1 Định nghĩa hệ phụ thuộc tuyến tính 24

3.1.2 Định nghĩa hệ độc lập tuyến tính 24

3.1.3 Các ví dụ 24

3.2 Các tính chất 41

3.2.1 Các tính chất đơn giản 41

3.2.2 Các định lí 42

3.3 Hệ tương đương 44

3.3.1 Định nghĩa 44

3.3.3 Định lí 45

3.3.4 Hệ quả 46

Chương 4 HẠNG CỦA HỆ VECTOR 48

4.1 Định nghĩa 48

4.2 Các tính chất của bộ phận độc lập tuyến tính tối đại 48

4.3 Định lí 49

4.4 Định lí (Kronecker – Capelli) 50

Mục lục

Chương 5 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTOR 53

5.1 Cơ sở của không gian vector 53

5.1.1 Định nghĩa 53

5.1.2 Sự tồn tại của cơ sở 56

5.2 Số chiều của không gian vector 57

5.2.1 Định nghĩa 57

5.2.2 Định lí 58

5.2.3 Số chiều của không gian tổng 65

5.2.4 Số chiều của không gian thương 72

Chương 6 TỌA ĐỘ VÀ ĐỔI CƠ SỞ 73

6.1 Tọa độ của vector 73

6.1.1 Định lí 73

6.1.2 Định nghĩa 73

6.1.3 Mệnh đề 76

6.2 Ma trận chuyển 77

6.2.1 Định nghĩa 77

6.2.2 Định lí 79

6.3 Công thức đổi tọa độ 79

KẾT LUẬN 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

ra các ví dụ và bài giải cụ thể để các em khóa sau có thể hiểu rõ hơn về không gian vector

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu trong luận văn này là về không gian vector và một số tính chất có liên quan

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là giúp em nâng cao kiến thức, đặc biệt là về không gian vector Bên cạnh đó, việc nghiên cứu sẽ thúc đẩy tinh thần học hỏi, từ đó giúp em có sự đam mê toán học nhiều hơn Ngoài ra, qua việc thực hiện luận văn này,

sẽ giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tạo một nền tảng kiến thức cần thiết cho việc học tập sau này

4 Phương pháp nghiên cứu

* Sưu tầm, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài;

* Phương pháp tổng hợp, khái quát hóa dùng để trình bày các kiến thức dưới dạng định lí, mệnh đề;

* Phương pháp hệ thống hóa được sử dụng để sắp xếp các kiến thức theo một trình tự phù hợp

5 Các bước nghiên cứu

Bước 1: Chọn đề tài Bước 2: Sưu tầm tài liệu từ GVHD và thư viện Bước 3: Tham khảo các tài liệu có được Bước 4: Xây dựng đề cương

Bước 5: Viết nháp dưới sự hướng dẫn của GVHD Bước 6: Hoàn chỉnh đề tài và chuẩn bị báo cáo

6 Nội dung nghiên cứu

Chương 1 Khái niệm về không gian vector Trong chương này thì nêu định nghĩa về không gian vector và một số tính chất đơn giản của không gian vector Đưa ra một số ví dụ về không gian vector

Chương 2 Không gian vector con và không gian thương Trong chương này nghiên cứu về không gian vector con, không gian thương, tổ hợp tuyến tính, không gian con sinh bởi một hệ vector, tổng và tổng trực tiếp Trong từng phần có từng ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn

Mở đầu

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Trong chương này nghiên cứu về hệ độc lập tuyến và hệ phụ thuộc tính và đưa ra một số ví dụ về hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Từ đó nêu ra các tính chất đơn giản của hệ Trong chương này còn nghiên cứu về vấn đề hai hệ tương đương Và trong chương cũng đưa ra rất nhiều ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn và đặc biệt

có thêm những bài toán trong các kì thi Olympic sinh viên

Chương 4 Hạng của hệ vector Trong chương này nghiên cứu về hạng của hệ vector nhưng trước hết nghiên cứu

về bộ phận độc lập tuyến tính tối đại trong hệ vector Trong chương này cũng đưa ra một số ví dụ để hiểu rõ hơn

Chương 5 Cơ sở và Số chiều của không gian vector Trong chương này nói về khái niệm cơ sở và chiều của không gian vector Đặc biệt số chiều của không gian tổng và số chiều của không gian thương Và cũng đưa ra rất nhiều ví dụ cụ thể

Chương 6 Tọa độ và đổi cơ sở Trong chương này nghiên cứu về tọa độ của một vector trong một hệ nào đó và cách đổi tọa độ của một vector từ hệ này sang hệ khác Để làm được điều đó ta có thêm khái niệm ma trận chuyển Và cũng đưa ra rất nhiều ví dụ cụ thể

Chương 1 Khái niệm về không gian vector

gian vector trên K (hoặc K – không gian vector) nếu trong V đã xác định một phép toán cộng

 

: ,

sao cho thỏa các điều kiện sau:

(i): Tập V cùng với phép cộng là một nhóm Abel Với mọi x y z, , V

1) xy  z x yz; 2) có một phần tử V thỏa mãn điều kiện: xx; 3) với mỗi x V có một phần tử, kí hiệu bởi x cũng thuộc V thỏa mãn điều kiện:

 

x x  ; 4) xy yx;

(ii): Với mọi a b, ,1K và mọi x y V,  , ta có:

5) a x yaxay; 6) a b x  axbx

7)  ab xa bx ; 8) 1xx

Nếu V là không gian vector trên trường K thì các phần tử của V được gọi là các

vector, còn các phần tử của K được gọi là các vô hướng

Chương 1 Khái niệm về không gian vector

Khi K   , V được gọi là không gian vector thực Khi K   , V được gọi là

không gian vector phức

Không gian vector còn được gọi là không gian tuyến tính

1.3 Các ví dụ

Ví dụ 1.1

(1) Gọi 2 là tập các vector hình học trong mặt phẳng có chung gốc hay là tập các vector hình học tự do trong mặt phẳng trong đó ta đồng nhất các vector bằng nhau (tức là các vector cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài ta xem là một) Trong 2 ta xét phép cộng vector theo quy tắc tam giác và phép nhân vector theo một số thực thông thường là một không gian vector

(2) Tập 3 các vector OA OB OC, ,

  

… chung gốc O trong không gian (mà ta học ở trường phổ thông) hay các vector hình học tự do trong không gian (trong đó ta đồng nhất các vector bằng nhau) cùng với phép cộng hai vector và phép nhân một vector với một số thực là một không gian vector thực

(3) Giả sử K là trường tùy ý Khi đó K là một không gian vector trên chính nó đối với phép cộng và nhân trên K

(4) Trường số thực  là một không gian vector trên trường số thực  và cũng là không gian vector trên trường số hữu tỉ 

(5) Trường số phức  là một không gian vector trên trường số phức  và trên trường số thực  và cũng là không gian vector trên trường số hữu tỉ 

(6) Tập hợp   gồm chỉ một vector không là một không gian vector trên mỗi

trường K, với các phép toán tầm thường

, ,

(7) Giả sử K là một trường số, tập hợp K x  của các đa thức ẩn x với hệ số trong

K, cùng với phép cộng hai đa thức và phép nhân đa thức với một số, là một K - không gian vector

(8) Tập hợp M m n,  K tất cả các ma trận cấp m n trên trường K cùng với phép toán cộng ma trận và phép nhân một phần tử thuộc K với ma trận là một không gian vector trên trường K

(9) Giả sử K là một trường Tập hợp K n  a a1 , 2 , ,a na1 K i,  1, 2, ,n cùng với hai phép toán được định nghĩa như sau:

Chương 1 Khái niệm về không gian vector

K là một không gian vector trên trường K

Từ đây trở đi, mỗi khi nói đến không gian n

K ta hiểu rằng hai phép toán trong đó

đã được định nghĩa như trên

Ví dụ 1.2 Dùng định nghĩa của không gian vector để chứng tỏ rằng:

a) Trên tập các số thực dương   ta xác định hai phép toán như sau Phép cộng: xyxy

Chương 1 Khái niệm về không gian vector

Vậy Tập   2  a b 2 ,a b  là một - không gian vector

Ví dụ 1.3 Giả sử V và W là các K – không gian vector Khi đó, ta xét V W với hai phép toán được định nghĩa như sau:

Chương 1 Khái niệm về không gian vector

Tương tự như ví dụ 1.2 ta dễ dàng kiểm tra V W thỏa 8 tiên đề của không gian vector với phần tử trung hòa là  0, 0 và phần tử đối của v w,  là  v, w

Vậy V W là một không gian vector

Không gian V W ta còn gọi là tích trực tiếp của các không gian V và W

Ví dụ 1.4 Gọi Ca b,  là tập các hàm số liên tục trên đoạn a b  ,  Xét

Vậy Ca b,  là một không gian vector

Ví dụ 1.5 Định nghĩa hai phép toán cộng và nhân trên tập V  x y,   y0

Tương tự như ví dụ 1.2 ta kiểm tra V thỏa 8 tiên đề của không gian vector với

phần tử trung hòa là  0,1 và phần tử đối của x y,  là x,1

1.4 Các tính chất đơn giản Định lí 1.1 Giả sử V là một không gian vector trên trường K, kí hiệu  là vector

không của V Khi đó:

(1) V chỉ có một vector không  duy nhất Với mỗi x V , có duy nhất một vector đối là x sao cho x  x Hiệu của hai vector x y V,  , kí hiệu xy, được định nghĩa như sau: xy  x  y

(2) Với mọiaK, ta có a.  (3) Với mọi x V , ta có 0x

(4) Với mỗi xV,   xx (5) Với x V và aK ax,  khi và chỉ khi a 0 hoặc x (6) Với xV và aK, ta có: a x   ax ax

Chương 1 Khái niệm về không gian vector

(7) Với mọi aK, mọi x y V,  , ta có a x yaxay (8) Với mọi a b, K, mọi xV ta có a b x  ax bx

Chứng minh

(1) Giả sử  và ' là những vector không của V Theo điều kiện 3) trong định

nghĩa, vì  là vector không nên   ' ' Tương tự , vì ' là vector không nên

'

  Vậy  ' Hay vector không  là duy nhất

Giả sử x V có những phần tử đối là x và x' Theo điều kiện 3) trong định nghĩa, x  x xx' Do đó áp dụng các điều kiện 1) và 2) ta có :

' '

Cộng 0.x vào vế đầu và vế cuối ta được: 0.x

Nếu x 0 thì theo điều kiện 5) ta có:

a  a   a a 

Cộng a. vào vế đầu và vế cuối ta được:  a.

"  "Giả sử a x  Nếu a 0 thì theo điều kiện 7) và 8) ta có:

(6) Vì  ax là vector đối của ax nên nhờ tính chất (1), ta cần chứng minh a x

và ax đều là vector đối của ax

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

Chương 2 KHÔNG GIAN VECTOR CON VÀ KHÔNG GIAN THƯƠNG 2.1 Không gian vector con

2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Giả sử V là một không gian vector trên trường K Tập con A khác rỗng của V được gọi là không gian vector con của V (hay không gian con của V) nếu

A cùng hai phép toán trên V là một không gian vector trên trường K

Như vậy muốn chứng minh AV là một không gian con của V ta phải chứng minh rằng bản thân A với hai phép tính: cộng vector với nhân vector với một số đã định nghĩa trong V cũng thõa mãn 8 tiên đề của không gian vector Định lí sau giúp

cho việc chứng minh AV là một không gian con của V đơn giản hơn

2.1.2 Định lí Định lý 2.1 Giả sử A là tập con khác rỗng của không gian vector V trên trường K

Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) A là không gian con của V

(ii) Với mọi aK và mọi x y, A, ta có x y A và axA (iii) Với mọi a b, K và mọi x y, A ta có ax by A

Chứng minh

(iii) Hiển nhiên, theo định nghĩa của không gian con

(iiiii) Ta có axA by, A, do đó ax by A (iiii) Vector V chính là vector không của A Thật vậy, với mọi x y, A ta có

    Mặt khác với mọi xA, ta có   x  1 x 0yA với mọi yA

Phép toán cộng trong V thu hẹp vào A hiển nhiên có tính chất kết hợp và giao hoán

Do đó A là nhóm Abel Các điều kiện còn lại là đúng một cách hiển nhiên Vậy A là không gian vector trên K

2.1.3 Các ví dụ

Ví dụ 2.1

(1) Với mỗi không gian vector V, khi đó V và tập   là những không gian con

của V Các không gian con này được gọi là các không gian con tầm thường của V

(2) Đường thẳng số thực  là một - không gian vector con của mặt phẳng phức 

(3) Giả sử K x  là không gian vector các đa thức ẩn x trên trường K và K n x

là tập hợp gồm các đa thức 0 và các đa thức bậc không quá n Khi đó K n x là không gian con của không gian K x  Ta gọi K n x là không gian vector các đa thức trên

trường K có bậc không quá n

(4) Trong không gian vector K n trên K, với mọi số nguyên dương mn, ta xét tập con A a a1 , 2 , ,a ma iK i,  1, 2, ,m Khi đó A là không gian con của n

K

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

Ví dụ 2.2 Mỗi phần tử của 2 là một cặp số ux y1 , 1 biểu diễn bằng một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy Xét W là tập điểm thuộc đường thẳng đi qua gốc tọa độ,

Vậy W là không gian con của  2

Ví dụ 2.3 Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn ở dạng ma

trận Ax 0 Gọi W là tập nghiệm của hệ Mỗi nghiệm là một bộ n số thực

1 2

n

n

x x x x

Vậy W là một không gian con của n

Ví dụ 2.4 Trong  - không gian vector M2  , xét tập con:

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

Vậy A là không gian con của M2 

Ví dụ 2.5 Trong  - không gian vector M2  , gọi A là tập các ma trận dạng

Y p

 Chứng minh B là không gian con của M2 

Dễ thấy  BM2 

Lấy

0 0

x X

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

Ví dụ 2.6 Trong - không gian  2, xét tập con:

Vậy B là không gian con của - không gian vector n

Ví dụ 2.7 Tập hợp các đa thức bậc chẵn thuộc  x có phải là một không gian con của  x không?

Giải

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

Gọi D 2n là tập hợp các đa thức bậc chẵn thuộc  x

Ta có: D2n   ,D2n   x

Lấy P x Q x ,  D2n, a b,  

Ta thấy a P x.  b Q x.  D2nVậy tập hợp các đa thức bậc chẵn thuộc  x là một không gian con của  x

2.2 Tổ hợp tuyến tính của các vector Định nghĩa 2.2 Giả sử V là không gian vector trên trường K và x x1, 2, ,x n là các

vector tùy ý thuộc V Vector

1

n

i i i i



tuyến tính của các vector x x1, 2, ,x n trên K

Khi đó ta cũng nói vector x biểu thị tuyến tính được qua các vector x x1, 2, ,x n

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

1 1

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

1 3

a a

Vậy u là một tổ hợp tuyến tính của u u u1; 2; 3

Ví dụ 2.15 Trong không gian 3 cho các vector x1 1, 2, 3 ,   x2 0,1, 3  

a) Vector x 2, 3, 3   có biểu thị tuyến tính được qua hệ x x1 , 2 không? b) Tìm m để y1, , 3m   biểu thị tuyến tính được qua hệ x x1 , 2

Giải

a) Giả sử x 2, 3, 3   biểu thị tuyến tính được qua hệ x x1 , 2 Khi đó ta có:

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

Ví dụ 2.16 Trong không gian 4 cho các vector x 1 1,1,1,1 , x 2 2, 3, 1, 0 ,  

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

Hệ phương trình (*) luôn có nghiệm Vậy yêu cầu bài toán luôn thỏa

2.3 Không gian con sinh bởi một tập Định lí 2.2 Giả sử  A i i

 là một họ tùy ý khác rỗng các không gian con của không

gian vector V trên trường K Khi đó tập hợp

1

m i i



được gọi là giao của các không gian con A i

Chứng minh Ta có A i, với mọi i  , do đó A hay A   Giả sử aK

và x y, A, do A i là không gian con của V, với mọi i  , nên x y A i và axA i với mọi i  , do đó x y A và axA Vậy A là không gian con của V

Định nghĩa 2.3 Giả sử S là một tập tùy ý của không gian vector trên trường K

Không gian con A của V được gọi là bao tuyến tính của tập hợp S nếu S A và A là không gian con bé nhất (theo quan hệ bao hàm của V chứa S)

Bao tuyến tính của tập S, kí hiệu là L(S) hay <S> và còn được gọi là không gian

con sinh bởi tập S

Định lý 2.3 Với mọi tập con S của không gian vector trên trường K đều tồn tại bao

tuyến tính L(S)

Chứng minh Giao A của tất cả các không gian con của V chứa S là một không

gian con của V chứa S Hiển nhiên đó là không gian con bé nhất của V chứa S Vậy ta được L(S) = A

Định lý 2.4 Giả sử V là không gian vector trên K và S x x1 , 2 , ,x nV Khi đó

tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S là một không gian con của

V Không gian đó chính là bao tuyến tính L(S) của tập S



Nếu B là không gian con tùy ý của V và S B thì a x i iB i, 1, 2, ,n, do đó

1

n

i i i

2,1

x S y

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

Vậy không gian con sinh bởi tập A là L x ,x 1, 1  

2.4 Tổng và tổng trực tiếp của các không gian con Định nghĩa 2.4 Giả sử A A1, 2, ,A n là các không gian con của không gian vector V trên trường K Tất cả các vector thuộc V có dạng x1x2 x n, trong đó

x x  x , trong đó x iA i i,  1, 2, ,n và được kí hiệu là A A1A2 A n

Định lí 2.5 Tổng AA1A2 A ncủa các không gian con A A1, 2, ,A n của

không gian vector V trên K là một không gian con của V và

1

n i i

Chứng minh Vì   A i với mọi i1, 2, ,n nên    A, nghĩa là

A   Giả sử xx1x2 x n và y y1y2 y n là các phần tử tùy ý thuộc A,

trong đó x y i, iA i i, 1, 2, ,n Ta có xyx1 y1  x2 y2 x ny n Vì A i là

không gian vector con của V nên x iy iA i với mọi i1, 2, ,n, do đó x y A Với mọi phần tử aK ta có axax1ax2 ax nA với mọi i1, 2, ,n Vậy A là không gian con của V Giả sử B là không gian con của V sao cho

1

n i i



nhiên ta có A i A với mọi i1, 2, ,n do đó S A Giả sử vector xx1x2 x n

với x iA i là phần tử thuộc vào A Vì A i B nên x iB với mọi i1, 2, ,n do đó

xB, suy ra AB Vậy A là không gian con bé nhất chứa S, hay A = L(S)

Định lí 2.6 Giả sử A A1A2 A n là tổng của các không gian con A A1, 2, ,A n của không gian vector trên trường K Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

(i) AA1A2 A n (ii) A iA1 A2  A i1 A i1  A n    ,i 1, 2, ,n (iii) Đẳng thức x1x2 x n  với x iA i i, 1, 2, ,n xảy ra khi và chỉ khi

(iiii) Nếu xx1x2 x n và yy1y2 y n với mọi x y i, iA i thì

x1 y1  x2 y2 x ny n Hiển nhiên x iy iA i với mọi i1, 2, ,n, do đó

0

x y  hay x i y i với mọi i1, 2, ,n Vậy sự biểu diễn của x thành tổng các

vector A i là duy nhất Do đó ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.5 Giả sử A và B là các không gian con của không gian vector V trên

trường K và V  AB Khi đó ta nói B là bù trực tiếp của A và ngược lại A là bù trực tiếp của B

Nếu V AB thì ta cũng nói V phân tích được thành tổng trực tiếp của các không gian con A và B

Hệ quả Không gian vector V trên K phân tích được thành tổng trực tiếp của các

không gian A và B của nó khi và chỉ khi V  AB và AB 

2.5 Không gian thương Định nghĩa 2.6 Giả sử V là không gian vector trên K và A là không gian con của

V Trong V ta xác định một quan hệ  như sau:

Với mọi x y V x,  , y khi và chỉ khi x y A Quan hệ  là một quan hệ tương đương Thật vậy, với mọi xV, xx và

xxA, tức là  phản xạ Giả sử x y V,  và xy, khi đó yx vì

y  x xy A, tức là  đối xứng Với mọi x y z, , V , nếu xy và yz thì

xz vì x z xy  yzA, như vậy  bắc cầu Kí hiệu x là lớp tương đương chứa x đối với quan hệ tương đương  Khi đó xxy yA x A Tập thương

Chương 2 Không gian vector con và Không gian thương

V/ của V theo quan hệ tương đương  được kí hiệu V /A Như vậy

/

V A xxA x V Trong tập thương V A/ ta định nghĩa hai phép toán như sau:

gian vector trên trường K và gọi là không gian vector thương của không gian V theo không gian con A hay không gian thương của V trên A

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Chương 3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 3.1 Định nghĩa

Giả sử V là không gian vector trên trường K và Sx x1 , 2 , ,x nlà một hệ (hay một tập) hữu hạn các vector x iV i, 1, 2, ,n

3.1.1 Định nghĩa hệ phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 3.1 Hệ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các phần tử

tính; nói cách khác, nếu

1 1 2 2 n n

a x a x  a x  thì a1a2 a n0Trong trường hợp hệ S  x i i là hệ vô hạn các vector x iV, với mọi i  , thì hệ

S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con hữu hạn   0 , hệ  

0

i i

x  là hệ

độc lập tuyến tính Hệ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến

tính, nghĩa là tồn tại một tập con hữu hạn   0 sao cho hệ vector  

0

i i

x  là hệ phụ thuộc tuyến tính

Dưới đây ta chỉ xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính đối với hệ hữu hạn vector

 Đặt biệt: Trong - không gian vector n, cho hệ Sx x1 , 2 , ,x m trong đó:

, , ,

n n

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3.2 Xét xem hệ  i j i, , 1, 0 , j0,1 trong 2 là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

Vậy hệ  i j, độc lập tuyến tính trong  2

Ví dụ 3.3 Cho x1, 2 , y 1,1 trong  2 Hỏi hệ x y,  có độc lập tuyến tính không?

Vậy hệ x y,  độc lập tuyến tính trong  2

Ví dụ 3.4 Trong không gian 3 xét 3 vector sau:

1 1, 2, 3 , 2 3, 4, 1 , 3 5, 8, 7

Hệ vector x x x1 , 2 , 3 là phụ thuộc tuyến tính vì ta có 2x1x2x3

Hệ vector x x1 , 2 là hệ độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử ta có a x1 1a x2 2, thế thì:

Hệ trên xảy ra khi và chỉ khi a1a2  0

Ví dụ 3.5 Trong không gian vector n

K trên trường K, hệ vector S e e1 , 2 , ,e n, trong đó e1 1, 0, , 0 , e2 0,1, 0, , 0 , , e n 0, 0, ,1 là hệ độc lập tuyến tính

Ví dụ 3.6 Trong không gian vector 3Hai vector cùng phương là phụ thuộc tuyến tính

Hai vector không cùng phương là độc lập tuyến tính

Ba vector đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính

Ba vector không đồng phẳng là độc lập tuyến tính

Bốn vector bất kì là phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3.7 Xét không gian vector  4 Xét ba vector x1 1, 0, 0, 0 , x2 0,1, 0, 0 ,

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

0 0

0 0

0 0

0 0

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

0 2

0 0

0 0

0 0

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

0 0

a a

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Vậy hệ A B C, ,  phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3.14 Trong  - không gian vector M2  , cho các vector sau:

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

 

1 2

Vậy hệ phụ thuộc tuyến tính khi a5,b 12

Ví dụ 3.16 Cho V là K – không gian vector và hệ u v w, , V Chứng minh rằng hệ

u v w, ,  độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ uv v, w w u,   độc lập tuyến tính

Giải

  Ta có hệ u v w, ,  độc lập tuyến tính Cần chứng minh hệ uv v, w w u,  

độc lập tuyến tính Giả sử có:

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Giải

Giả sử a f1 1a f2 2 a f n n 0,a iK, i 1, 2, ,n (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:

 

2

a e a e  a e Lấy đạo hàm hai vế của (2) theo x ta được:

Tương tự như thế cho đến a  n 0

Ta tìm được a i0,  i 1, 2, ,n Vậy hệ f1 x , f2 x , ,f n x  độc lập tuyến tính

Ví dụ 3.18 (đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học sư phạm TP.HCM năm 2013)

a) Cho x x1, 2, ,x n là n vector khác không của không gian vector V và  :V V

là một phép biến đổi tuyến tính thỏa  x1 x1 , x k x k x k1 ,k 2, 3,

Chứng minh rằng hệ vector S n x x1 , 2 , ,x n độc lập tuyến tính b) Chứng minh rằng hệ vector x1 , x2 , , x n  độc lập tuyến tính trong không gian các hàm liên tục trên 

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Giả sử a x1 1a x2 2 a x n n 0,a iK, i 1, 2, ,n(1) Lấy  hai vế của (1) ta được:

a x a x a x  a x a x  (2) Lấy (1) trừ (2) ta được:

2 1 3 2 n n1 0

a x a x  a x Theo giả thiết qui nạp ta được a2a3 a n 0a x1 1 0 a10Vậy hệ S n x x1 , 2 , ,x n độc lập tuyến tính

Ví dụ 3.19 Trong không gian các hàm liên tục C 0,1 , chứng minh rằng hệ vector

 2 

x x nx n

Giải Cách 1:

1

1 2 1 . .

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3.20 Trong không gian các hàm liên tục C 0,1 , chứng minh rằng hệ vector

x 1,x 2, ,x 2014 là độc lập tuyến tính, với  1, 2, ,2014 là các số thực phân biệt cho trước

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Giải

Lấy A là một hệ con của I Giả sử:

sin 1 , sin 2 , , sin k 

Đặt maxa a1 , 2 , ,a kn

Xét hệ A' 1, sin , sin 2 , , sinx x nx A Chứng minh bằng phương pháp qui nạp

 Khi n 0: A '  1 độc lập tuyến tính Vậy hệ A' độc lập tuyến tính khi n 0

 Khi n 1: giả sử hệ A'1,sin ,sin 2 , ,sinx x n1x độc lập tuyến tính

 Ta chứng minh đúng với n

Giả sử a0a1sinx a 2sin 2x a nsinnx0 với a a a0, ,1 2, ,a   n

Xét f x a0 a1 sinxa2 sin 2x a nsinnx

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Giải

Lấy A là một hệ con của I Giả sử:

cos 1 , cos 2 , , cos k 

Đặt maxa a1 , 2 , ,a kn

Xét hệ A'1, cos , cos 2 , , cosx x nx A Chứng minh bằng phương pháp qui nạp

 Khi n 0: A '  1 độc lập tuyến tính Vậy hệ A' độc lập tuyến tính khi n 0

 Khi n 1: giả sử hệ A' 1, cos , cos 2 , , cosx x n 1x độc lập tuyến tính

Giả sử a0a1cosx a 2cos 2x a ncosnx0 với a a a0, ,1 2, ,a   n

Xét f x a0 a1 cosxa2 cos 2x a ncosnx

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3.23 (đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học xây dựng Hà Nội năm 2014)

Chứng minh rằng hệ các vector Ssin , cos , sin 2 , cos 2 , , sinx x x x nx, cosnx là độc lập tuyến tính trong không gian vector các hàm liên tục trên đoạn 0, 2

Giải

Đặt S n 1, sin , cos , sin 2 , cos 2 , , sinx x x x nx, cosnxS

Chứng minh S n độc lập tuyến tính bằng phương pháp qui nạp

 Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n, tức là chứng minh

1, sin , cos , sin 2 , cos 2 , , sin , cos 

k k

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

0

k k

Ta có hệ sin , cosx x  1, sin , cosx x

Mà hệ 1, sin , cosx x độc lập tuyến tính (theo ví dụ 3.23.) nên hệ P1 độc lập tuyến tính

Chương 3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

2

3

0 2 3

4

0 3

0

0 4

0 0

0 0

4 0 4