Rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ cho học sinh phổ thông miền núi lai châu

Với đặc điểm của học sinh ở Lai Châu, chúng tôi thấy cần thiết phải cógiải pháp phù hợp để rèn luyện cho các em kĩ năng giải phương trình, hữu tỉ -một trong những kĩ năng cơ bản làm nền

Trường Đại học Sư phạm Hà Nôi

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toánnói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiệnnay Để thực hiện yêu cầu này, nhất thiết phải đổi mới nội dung và phươngpháp dạy học các môn học Định hướng đổi mới phương pháp dạy họcđãđược chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước vàngành Giáo dục nước ta

Rèn luyện kĩ năng là một mục tiêu quan trọng trong dạy học môn Toán.Đặc biệt là đối với thực tiễn dạy học toán hiện nay ở trường phổ thông miềnnúi Vấn đề rèn luyện kĩ năng luôn luôn được sự quan tâm của các nhà nghiêncứu và giáo viên phổ thông

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học Toán ở Lai Châu, một số giáo viên vẫngặp khó khăn, lúng túng khi thực hiện rèn luyện kĩ năng cho học sinh Trongnhững nguyên nhân, có thể kể đến còn có những giáo viên chưa thật sự nắmvững lý luận dạy học Toán, nói riêng là vấn đề dạy học môn Toán như thế nào

để rèn luyện tốt những kĩ năng toán học cần thiết cho học sinh Mặt kháctrong thực tế vẫn cần thiết những kĩ thuật cụ thể để giáo viên tiến hành rènluyện kĩ năng cho học sinh qua môn Toán, nói riêng là trong dạy học phươngtrình, bất phương trình hữu tỉ ở bậc trung học

Với đặc điểm của học sinh ở Lai Châu, chúng tôi thấy cần thiết phải cógiải pháp phù hợp để rèn luyện cho các em kĩ năng giải phương trình, hữu tỉ -một trong những kĩ năng cơ bản làm nền tảng để giải các phương trình, hệphương trình, bất phương trình ở trường phổ thông

Từ những lí do trên chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ cho học sinh phổ thông miền núi Lai Châu".

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

a Mục đích nghiên cứu

Xây dựng một giải pháp để rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉcho học sinh phổ thông miền núi tỉnh Lai Châu

b Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu tổng hợp những lý luận liên quan đến vấn đề nghiên cứu;+ Tì

m hiểu thực tiễn rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ ở trường phổ thôngmiền núi;

+ Xây dựng biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải phương trìnhhữu tỉ cho học sinh phổ thông miền núi Lai Châu;

+ Thử nghiệm sư phạm

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng và thực hiện những biện pháp sư phạm đề xuất trong đềtài thì có thể rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ cho học sinh phổthông miền núi ở Lai Châu

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu lý luận vềphương pháp dạy và học

+ Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn: Tiến hành dự giờ, trao đổi,tham khảo ý kiến đóng góp của đồng nghiệp có kinh nghiệm, tìm hiểu thựctiễn giảng dạy phần phương trình, bất phương trình trong chương trình môntoán phổ thông

+ Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Thử nghiệm thiết kế và dạy họcmột số giáo án nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề xuất + Phương pháp thống kê toán học: Xử lý kết quả điều tra thực trạng vàthực nghiệm sư phạm

5 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luậnvà tài liệu tham khảo, dự kiến luận văn đượctrình bày trong 3 chương:

Chương 1 - Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 - Những biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ cho học sinh trung học ở Lai Châu

Chương 3 - Thử nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ KĨ NĂNG TRONG DẠY HỌC TOÁN

1.1.1 Khái niệm về kĩ năng

Có nhiều quan niệm khác nhau về kĩ năng:

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kĩ năng là khả năngvận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết mộtnhiệm vụ mới” [19, tr.131]

Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các

dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để pháthiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công nhữngnhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149]

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định “Kĩ năng là khả năng vận dụngnhững kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [44,tr.426]

“Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong

đó khả năng được hiểu là sức đã có về mặt nào đó để có thể làm tốt một việc

gì [1] “Kĩ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linhhoạt sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau” [6]

Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kĩ năng là sự thành thạo, sự dễdàng, hoặc khéo léo có được thông qua đào tạo hoặc trải nghiệm Có 3 thành

tố cơ bản của kĩ năng là kết quả (effectivienss), sự chắc chắn/ ổn định(consistency) và hiệu quả (efficency)

Từ các quan niệm về kĩ năng cho ta thấy có hai loại quan niệm về kĩnăng: (1) Xem xét nghiêng về mặt kỹ thuật của hành động, coi kĩ năng là mộtphương tiện thực hiện hành động mà con người đã nắm vững, theo đó người

có kĩ năng là người nắm vững tri thức về hành động và thực hiện hành độngtheo đúng yêu cầu đặt ra; (2) Xem xét kĩ năng nghiêng về năng lực của con

người, là biểu hiện của năng lực con người chứ không đơn thuần là mặt kỹthuật của hành động Loại quan niệm này chú ý tới kết quả của hành động.Coi kĩ năng là năng lực thực hiện một công việc có kết quả với chất lượng cầnthiết trong một thời gian nhất định, trong những điều kiện, tình huống mới.

Từ những quan niệm trên có thể hiểu: Kĩ năng là sự thực hiện thànhthạo và có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng những tri thức,những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụthể

Tri thức là cơ sở của kĩ năng khi tri thức đó phản ánh đầy đủ thuộc tínhbản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách làcông cụ của hành động Tức là “Kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả mộthành động nào đó theo mục đích nào đó, trong những điều kiện nhất định”.Nếu tạm thời tách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng biệt thì tri thức thuộcphạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kĩ năng thuộc phạm vi hànhđộng, thuộc về khả năng “biết làm” Không phải có tri thức là tự khắc có kĩnăng tương ứng Con đường đi từ chỗ có tri thức “biết” đến chỗ có kĩ năngtương ứng “biết làm” là con đường tập luyện hay rèn luyện

Rèn luyện kĩ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trítuệ “Khó có thể phân biệt rạch ròi đâu là rèn luyện kĩ năng, đâu là phát triểntrí tuệ”

Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kỹ xảo Trong quátrình hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đihoặc thay đổi Kĩ năng thực hiện một hoạt động nào đó có thể mất đi sau mộtthời gian đồng thời cũng có thể được tái hình thành (thường thì sau một thờigian ngắn hơn thời gian hình thành kĩ năng đó)

Theo như đã trình bày, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tuỳ theonội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện

kĩ năng tương ứng Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng là rất phong phú và

nó phụ thuộc vào nhiều tham số như: kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rènluyện kĩ năng, mức độ chủ động, tích cực của học sinh vv Con đường tốtnhất và đảm bảo tính sư phạm là sự tham gia hoạt động và bằng hoạt độngchủ động, tích cực, độc lập của học sinh Muốn kiến thức là cơ sở của kĩ năngthì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ thuộc tính bản chất, được thử tháchtrong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động

Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng: Sự dễ dàng hay khókhăn trong sự vận dụng kiến thức là tuỳ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểunhiệm vụ, dạng bài tập tức là tìm kiếm phát hiện những thuộc tính và quan hệvốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định Chonên sự hình thành kĩ năng ảnh hưởng của các yếu tố sau đây:

• Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hoá hay bị chephủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hìnhthành kĩ năng

• Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng Vìthế tạo tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp học sinh trong việc hình thành

• Giúp học sinh biết cánh tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đề cho, yếu tốphải tìm và mối quan hệ giữa chúng

• Giúp học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tậpcùng dạng, các đối tượng cùng loại.

• Xác lập được mối quan hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiếnthức tương xứng

1.1.2 Kĩ năng trong môn Toán ở trường phổ thông.

a Vai trò của kĩ năng trong môn Toán

Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việctruyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốnthực hiện được phải dựa trên mục đích này Và kiến thức về một mặt nào đó

sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào cácngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kĩ năng thực hiệncác hoạt động tương ứng

Việc rèn luyện kĩ năng hoạt động nói chung, kĩ năng toán học nói riêng

là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này

đã được nhiều tác giả đề cập như:

“ Suy nghĩ tức là hành động ” ( J Piaget)

“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant)

“ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh)

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng kháiniệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thànhthạo vào việc giải bài tập

Dạy toán là dạy kiên thức, kĩ năng tư duy và tính cách cho học sinh(Nguyễn Cảnh Toàn) Việc hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho họcsinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán,giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thờirèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó, bồidưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh

Sự hình thành kĩ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thaotác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập,trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.

Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau như:

Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri

thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toánliên quan theo mức độ tăng dần

Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định

hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó

Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với

- Kĩ năng vận dụng vào đời sống

b Một số kĩ năng trong môn Toán

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinhphải nắm vững kiến thức,có kĩ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giảitoán Tuỳ theo nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêucầu rèn luyện kĩ năng tương ứng

Trong phạm vi môn Toán ở trường phổ thông, có thể đề cập đến những

kĩ năng cần thiết của học sinh khi giải toán là:

1 Kĩ năng tính toán và biến đổi đồng nhất: Bên cạnh việc rèn luyện tư

duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện

kĩ năng tính toán vì nó có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việchọc tập hiện tại và cuộc sống thực tiễn Trong hoạt động thực tế ở bất

kỳ các lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán: tính đúng, tínhnhanh, tính hợp lý

2 Kĩ năng tiến hành những hoạt động hình học (đọc và vẽ hình, đo đạc,

): Đây là kĩ năng cần thiết và cần phải rèn luyện cho học sinh mộtcách cẩn thận Đặc biệt với kĩ năng vẽ hình, vẽ đồ thị, học sinh phảihình thành và rèn luyện thói quen vẽ chính xác theo quy ước và phùhợp với quy tắc biểu diễn hình, vẽ cẩn thận đẹp

3 Kĩ năng nhận dạng và thể hiện khái niệm và định lý: Học sinh được

rèn luyện kĩ năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán Nênhướng dẫn học sinh thực hiện giải toán theo quy trình giải toán củaPôlya: Tìm hiểu nội dung bài toán; Xây dựng chương trình giải; Thựchiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

4 Kĩ năng vận dụng các quy tắc, phương pháp toán học: Về mặt kĩ

năng này thì yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máymóc

5 Kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy trí tuệ: chuyển từ tư duy thuận

sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều: là mộtđiều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận dụng tri thức, đồngthời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của Toán học Bêncạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều vàngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liêntưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởngthuận

6 Kĩ năng suy luận và chứng minh: Theo Hoàng Chúng, để học sinh có

kĩ năng chứng minh Toán học, giáo viên cần phải tiến hành: Hình

thành động cơ chứng minh; Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh

7 Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá, tìm sai lầm trong lời giải: “Con người

phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (Polya).Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm củalời giải là một thành công của người học Toán Trên thực tế, có nhiềuhọc sinh kể cả học sinh khá giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán Do vậy

mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiệnnhững sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tíchđược những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó Qua đó học sinhcũng cần được rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câuchữ, ký hiệu, vẽ hình chính xác,….Việc hình thành và rèn luyện kĩnăng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh góp phần nâng cao kếtquả học tập

1.1.3 Vai trò của kĩ năng giải toán

Có thể nói, bài tập toán chính là "mảnh đất" để rèn luyện kĩ năng toán Do

đó, để rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạtđộng giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thểhơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh cầnquan tâm chú trọng những vấn đề sau:

*Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho họcsinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán

*Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bàitập, các đối tượng cùng loại

*Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiếnthức tương ứng.

Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho học sinh, khắc phục ảnh hưởngtiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:

+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ dó so sánh các cáchgiải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức

+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán 

Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từngbài Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm

ẩn sâu trong bài toán

+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán Họcsinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và cácbước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương phápsẵn Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo

Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tíchđặc điểm phương trình Phương trình ở dạng tích nên có thể biến đổi thànhdạng tỷ lệ:

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rènluyện kĩ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng khảnăng tư duy giải toán cho học sinh

Ngoài ra Toán học có vai trò rất quan trọng trong đời sống và các đối với

các nghành khoa học “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của Toán học” (K Marx).

Môn Toán có vị trí rất quan trọng trong nhà trường phổ thông Nó có khảnăng to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ chung mà bất kì môn học nào cũng

có, thông qua đặc điểm của bộ môn mình, phối hợp với các bộ môn khác vàcác hoạt động khác trong nhà trường mà góp phần thực hiện mục tiêu giáodục phổ thông, trong đó “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh pháttriển toàn diện về đạo, đức trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, và các kĩ năng cơ bảnphát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cáchcon người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm côngdân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao độngtham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.(Chương 2 Điều 27 mục 1- LuậtGiáo Dục, 2005)

Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩnăng bởi vì môn Toán là môn học công cụ, có đặc điểm và vị trí đặc biệttrong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà trườngphổ thông, vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kĩnăng, bởi vì kĩ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động.

Trong môn toán, tiến hành phát triển kĩ năng của học sinh có những tácdụng sau đây:

Kĩ năng tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các

kĩ năng toán học Khi các hoạt động được tách bạch các bước, được thực hiệnqua quy tắc có cấu trúc điều khiển thuật toán, học sinh sẽ thấy rõ hơn tri thứccần học, ghi nhớ tốt hơn, thực hiện vận dụng cũng thuận lợi và có kết quảhơn

Tiến hành các hoạt động kĩ năng có thể dẫn đến hình thành thói quen,tri thức phương pháp để giải quyết mọi vấn đề, góp phần hình thành năng lựcgiải quyết vấn đề ở học sinh trong học tập cũng như trong cuộc sống

1.2 Tình hình dạy và học phương trình hữu tỉ ở trường phổ thông miền núi

1.2.1 Nội dung mạch kiến thức về phương trình hữu tỉ ở trường phổ thông

Trong chương trình toán ở trường phổ thông, phương trình hữu tỉ đượcđưa ra xuyên suốt từ cấp tiểu học đến hết bậc phổ thông Tuy nhiên ở tiểuhọc, học sinh được làm quen một cách ẩn tàng với việc giải chúng

Tìm số tự nhiên a, biết a  2 7.

Tìm 2 số khi biết tổng và hiệu

Các bài toán về vận tốc, quãng đường

Ở trường trung học cơ sở, lớp 6, lớp 7 học sinh được giải các bài toángiải phương trình dạng phức tạp hơn tiểu học

 

Lớp 8: Học sinh được học khái niệm phương trình, ẩn số, nghiệm củaphương trình, tập xác định, hai phương trình tương đương, nhưng chưa đượchọc phương trình hệ quả Các dạng phương trình đã được học:

Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức

Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lớp 9: Học sinh được học về phương trình bậc nhất hai ẩn số, hệ haiphương trình bậc nhất hai ẩn Tiếp đó học sinh được học phương trình bậc hai

và một số phương trình quy về bậc hai, giải bài toán bằng cách lập phươngtrình Đồng thời, học sinh còn được củng cố hoạt động giải phương trình hữu

tỉ khi học phương trình vô tỷ ở dạng đơn giản

Lớp 10: Tổng kết và nâng cao các kiến thức về phương trình đã đượchọc ở trung học cơ sở, cụ thể:

Học sinh được học định nghĩa phương trình và các khái niệm có liênquan, định nghĩa phương trình tương đương, phương trình hệ quả, các phépbiến đổi tương đương Các dạng phương trình được học:

Phương trình bậc nhất,phương trình đưa về bậc nhất đối với một hàm

số lượng giác.

Phương trình bậc hai, phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Lớp 12: Tuy học sinh không trực tiếp học về phương trình hữu tỉ,nhưng các em vẫn phải giải những phương trình hữu tỉ khi học giải phươngtrình mũ, phương trình lôgarit

1.2.2 Đặc điểm của học sinh phổ thồng miền núi Lai Châu

Các em học sinh miền núi thường có lòng tự trọng cao, nếu các em gặpphải những lời phê bình nặng nề, gay gắt hoặc khi kết quả học tập kém, quáthua kém bạn bè một vấn đề nào đó trong sinh hoạt hàng ngày, bị dư luận, bạn

bè chê cười, dẫn đến các em dễ xa lánh thầy, cô giáo nhà trường và bạn bèhoặc bỏ học

Nếu giáo viên không hiễu rõ thì có thể cho rằng các em hay tự ái Từ đógiáo viên phải nhiệt tình và cần thiết để tìm ra phương hướng và đưa ra nhữngbiện pháp giải quyết những thắc mắc của các em

Về mặt nhận thức:

Học sinh miền núi Lai Châu chủ yếu là học sinh thuộc những dân tộcthiểu số vùng cao (Thái, Mông, Dao, Hà Nhì, Giáy, ) Do điều kiện đặc biệtkhó khăn về giao thông, điều kiện học tập khó khăn, kéo theo hạn chế lớn vềphát triển kinh tế, văn hóa, Chính vì vậy, học sinh miền núi Lai Châu bịhổng kiến thức và yếu cả kĩ năng ngay từ các lớp dưới (ở Tiểu học và trunghọc cơ sở) Mặt khác khả năng nhận thức và kĩ năng tư duy của các em cũngcòn nhiều hạn chế Điều đó ảnh hưởng không nhỏ tới kĩ năng giải toán củacác em nói chung, nói riêng là đối với việc giải phương trình hữu tỉ

1.2.3 Tình hình dạy học phương trình ở các trường phổ thông miền núi Lai Châu

Thông qua khảo sát thực tiễn tình hình học tập của học sinh và sự traođổi trực tiếp với các thầy cô giảng dạy môn toán ở các trường trung học miềnnúi Lai Châu về việc dạy và học phương trình hữu tỉ, tôi nhận thấy việc dạyphương trình có một số vấn đề sau:

Về phía giáo viên:

Giáo viên có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu để nắm vững các kiếnthức về phương trình Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy do phải đảm bảo

sự cân đối về thời gian giảng dạy cho từng mục tiêu nên việc rèn luyện

năng lực tìm đoán cho học sinh trong việc giải bài tập nói chung, giảiphương trình nói riêng có rất ít thời gian thực hiện.

Tuy nhiên, có một bộ phận không nhỏ giáo viên chưa thấy hết đượctầm quan trọng, vai trò của việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉđối với kĩ năng phương trình, hệ phương trình, bất phương trình nói chung

Đối với phương trình không có thuật toán, phần lớn giáo viên chỉ đưa

ra lời giải chứ không dạy cho học sinh cách tìm ra lời giải Đồng thời hầu hếtgiáo viên chỉ dừng lại ở những phương trình không có thuật toán trong sáchgiáo khoa Việc mở rộng ra các dạng toán khác có, nhưng rất hạn chế

Việc dạy những phương trình không có thuật toán phong phú hơn rấtnhiều Tuy nhiên việc trang bị tri thức phương pháp về năng lực tìm đoánchưa được đầy đủ và chưa mang tính quy mô

+) Về phía học sinh:

Do kiến thức về phương trình đã được học ở lớp dưới và được rènluyện ít, nên với chủ đề này phần lớn các em học sinh hứng thú học tập.Nhiều em rất thành thạo giải những phương trình có thuật toán, song vớinhững phương trình không có thuật toán thì các em gặp phải những khó khăn:

- Trong việc tìm lời giải (thể hiện cụ thể ở việc các em không nhận ra được dạng phương trình và không thể hiện được quy tắc, phương pháp giải chúng).

- Trong việc áp dụng quy tắc giải cũng còn những lúng túng,dẫn đến sai lầm trong lời giải

Vì vậy việc rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh trong việc dạyhọc toán nói chung và dạy học giải phương trình hữu tỉ nói riêng là một trongnhững nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông Điều đó góp phần đàotạo các em học sinh trở thành những người lao động có năng lực giải quyếtvấn đề, tự chủ, sáng tạo trong công việc, đáp ứng được những yêu cầu về

nhân lực trong thời kì công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước và hội nhậpquốc tế.

1.2.4 Những kĩ năng cơ bản của học sinh trong giải phương trình hữu tỉ

Có nhiều kiểu phân chia kĩ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức,từng nội dung môn học Nhưng tập trung lại cần rèn cho học sinh các kĩ năng

cơ bản như: kĩ năng nhắc lại, kĩ năng nhận thức, kĩ năng hoạt động chân tay,

kĩ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele) Đây là những kĩ năngkhông chỉ được rèn luyện khi giải toán phương trình mà còn được rèn luyệntrong suốt chương trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và tất cả các mônhọc Tất nhiên sự phân chia này chỉ có tính chất tương đối, khi dạy học tathường rèn luyện kĩ năng ở dạng “phức hợp’ tức là trên một nội dung kiếnthức cụ thể, ta không chỉ rèn một loại kĩ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kĩ năng cóthể là hỗn hợp của nhiều loại kĩ năng cơ bản Chẳng hạn kĩ năng vẽ đồ thị baogồm cả kĩ năng nhận thức, kĩ năng hoạt động chân tay và kĩ năng xử sự Vì để

vẽ được đồ thị người ta không những cần phải biết vẽ như thế nào (kĩ năngnhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ được đồ thị (kĩ năng hoạtđộng chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kĩ năng xử sự) Đối với chủ

đề phương trình ta cần rèn luyện cho học sinh những kĩ năng thuộc về nhóm

kĩ năng nhận thức và vận dụng

Căn cứ vào những kĩ năng giải toán đã phân tích ở mục trên, vận dụngđối với nội dung phương trình hữu tỉ, chúng tôi quan tâm đến những kĩ năngsau đây:

Kĩ năng 1: Kĩ năng tính toán với các số và biến đổi biểu thức:

Trước hết cần phải nói rằng học toán gắn liễn với tính toán, tính chínhxác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên để học tốt mônToán Đồng thời kĩ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tế củađời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật

Khi giải phương trình, nói riêng là phương trình hữu tỉ, học sinh cần phảitính toán với các số và biến đổi biểu thức (cộng, trừ, nhân, chia, rút gọn các

đa thức, phân thức, )

Đặc biệt đối với các bài toán phương trình bất phương trình chứa tham

số mức độ yêu cầu cao, vừa khó vừa trừu tượng, tầng lớp nhiều, chỉ cần tínhtoán, biến đổi sai một bước sẽ dẫn đến kết quả sai Do đó cần rèn luyện chohọc sinh có khả năng tính toán với số, biến đổi biểu thức một cách thành thạo.Tham khảo những tài liệu về rèn luyện kĩ năng trong môn Toán, chúngtôi thấy cần rèn luyện khả năng tính toán theo những hướng sau:

+ Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kĩ năng tính toán cần thiết cảtrong trường hợp không máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ướcchừng

+ Về mặt tính viết, tập trung vào những kĩ năng biến đổi, tính toán cơbản, mà không cần thiết phải bỏ công sức cho học sinh tập luyện tính toántrên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp

+ Từ bỏ việc tính toán với những phương tiện đã lỗi thời (bàn tính, bảng

số, thước tính, )

+ Rèn kĩ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanh rấtphù họp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số khôngcần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đưa về hằng đẳngthức (tính nhanh)

Trong giải phương trình hữu tỉ, việc tìm tập xác định (còn gọi là miềnxác định) của phương trình chẳng qua chính là việc đi tìm tập hợp các giá trịcủa ẩn làm cho những biểu thức hữu tỉ có trong phương trình là có nghĩa Đây

là một trong những kĩ năng cơ bản và quan trọng trong quá trình giải phươngtrình hữu tỉ

Để học sinh có kĩ năng tìm tập xác định, giáo viên phải thường xuyên đặt

ra yêu cầu, hướng dẫn các em tiến hành hoạt động tìm tập xác định của nhữngbiểu thức hữu tỉ có trong phương trình đã cho Từ đó tạo ra thói quen và khảnăng để học sinh khi giải phương trình thì bước đầu tiên là tìm tập xác định

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

23

2

x x

x

Hướng dẫn hocj sinh tìm tập xác định:

Đây là một phương trình chứa ẩn ở mẫu, có rất nhiều học sinh khi tiếnhành giải phương trình này lại không chú ý đến tập xác đinh của phươngtrình Dẫn đến việc kết luận nghiệm của phương trình bị sai Vì vậy giáo viêncần hướng dẫn học sinh tìm tập xác định của phương trình Trong phươngtrình đã cho thì tập xác định chính là điều kiện xác định của phương trình.Điều kiện xác định của phương trình: x 2 0  x2

Vậy tập xác định của phương trình: D \ {2}

Kĩ năng 3: Kĩ năng giải những phương trình hữu tỉ cơ bản

Nhận dạng và giải thành thạo các phương trình đã ở dạng cơ bản:

Mọi x R    ( , ) đều là nghiệm của (2) nghĩa là M=R

2 Phương trình bậc hai;

Đối với phương trình bậc hai dạng ax 2 + bx + c = 0 (a 0)cần rènluyện cho học sinh tính và thực hiện thành thạo công thức tính  hoặc 'vàbiết kết luận các trường hợp xảy ra  hoặc '

+) Nếu  0 hoặc  ' 0 phương trình vô nghiệm

+) Nếu  0 hoặc  ' 0 phương trình có nghiệm kép 1 2

Đặc biệt các trường hợp nhẩm được nghiệm (a + b + c = 0 phương

trình có hai nghiệm phân biệt x1 1, x2 c

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu cần rèn luyện cho học sinh các kĩnăng như: Tìm tập xác định (điều kiện xác định của phương trình), Quy đồngkhử mẫu, biến đổi đưa về dạng quyen thuộc đã có cách giải

4 Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối (đối với những biểu thức

hữu tỉ)Đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối cần rèn luyệncho học sinh thành thạo cách khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

Khi học phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai, tác giảnhận thấy cần rèn cho học sinh các kĩ năng như:

+ Giải và biện luận thành thạo phương trình bậc nhất, phương trình bậchai

+ Giải được các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai Phương trình có

ẩn ở mẫu số, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứacăn, phương trình đưa về phương trình tích

Ví dụ :

Khi học về “phương trình bậc hai”, có thể yêu cầu học sinh theo cácmức độ sau:

1 Nhắc lại dạng và các bước giải phương trình bậc hai theo công thức

nghiệm tổng quát (kĩ năng nhớ - tái hiện tri thức)

2 Thực hiện giải phương trình (kĩ năng thể hiện quy tắc, phương pháp)

Mặc dù những kĩ năng này yêu cầu học sinh vận dụng khi giải phươngtrình theo dạng mẫu, đã có sẵn thuật giải nhưng giáo viên không được coi nhẹviệc rèn luyện kĩ năng này vì:

Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắmđược

Thứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ caohơn

Kĩ năng 4: Kĩ năng nhận dạng phương trình

Để học sinh có thể giải được phương trình hữu tỉ thì trước hết các emphải nhận dạng được phương trình đã cho thuộc loại nào?

Ở những dạng quen thuộc là việc rèn luyện kĩ năng có những phươngtrình quen thuộc mà học sinh đã được biết cách giải nhưng cần phải rèn luyện

kĩ năng biến đổi phương trình, có thể biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệquả Cần lưu ý khi biến đổi hệ quả sau khi tìm nghiệm của phương trình thìcần phải thử lại nghiệm rồi mới kết luận nghiệm của phương trình đãcho Chẳng hạn khi học về phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậchai Thì cần rèn cho học sinh các kĩ năng như:

+ Giải và biện luận thành thạo phương trình bậc nhất, phương trình bậchai

+ Giải được các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai Phương trìnhchứa ẩn ở mẫu, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình đưa

về phương trình tích

Ví dụ: Khi học về “phương trình bậc hai”, có thể yêu cầu học sinh theo

các mức độ sau:

1 Nhắc lại dạng và các bước giải phương trình bậc hai theo công thức

nghiệm tổng quát (kĩ năng nhắc lại)?

2 Thực hiện giải phương trình x4  5x2 6 0 (kĩ năng thể hiện quy tắc, phương pháp)

3 Giải và biện luận phương trình 2x4  (m 3)x2 3m0

Có thói quen kiểm tra khi kết luận nghiệm (kĩ năng kiểm tra lời giải, phát hiện sai lầm).

4 Quá trình giải phương trình phần lớn là biến đổi để đưa về các phương

trình ở dạng đơn giản, cơ bản mà đã có sẵn cách giải

Kĩ năng 5: Kĩ năng áp dụng những quy tắc, phép biến đổi tương đương

Kĩ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi đồngnhất, các phép biến đổi tương đương.Các phép biến đổi đồng nhất các biểuthức là thao tác tư duy nhằm xác định sự đồng nhất giữa các đối tượng là biểuthức Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức liên quan chặt chẽ với phân tích,tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản nhưngvẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng.Ngoài ra để giải một phương trình hữu tỉ, thong thường ta biến đổiphương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn Cácphép biến đổi như vậy được gọi là phép biến đổi tương đương. 55

Ví dụ 3: Giải phương trình:

2 2

60

2 2

60

Các phép biến đổi tương đương các phương trình: Phép biến đổi

tương đương là phép biến đổi để đưa một phương trình,một bất phương trìnhhay một hệ phương trình về một phương trình,một bất phương trình hay một

hệ phương trình mới đơn giản hơn.Có 2 phép biến đổi tương đương để giảimột phương trình:

Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức

Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểuthức luôn có giá trị khác 0

Để giải một bất phương trình bằng phép biến đổi tương đương,ta cũng

có 2 phép biến đổi:

Cộng hay trừ 2 vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức thì dấu củabất phương trình được bảo toàn và bất phương trình mới tương đương với bấtphương trình ban đầu

Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểuthức luôn có giá trị khác 0 thì dấu của bất phương trình được bảo toàn nếu đó

là hằng số hay biểu thức mang giá trị dương,còn dấu của bất phương trình đổichiều nếu đó là hằng số hay biểu thức mang giá trị âm và bất phương trìnhmới tương đương với bất phương trinh ban đầu

Đặc biêt, nếu 2 vế của bất phương trình không âm thì khi bình phương 2

vế của bất phương trình ta được bất phương trình mới tương đương với bấtphương trình ban đầu

Kĩ năng 6: Kĩ năng kết luận nghiệm

Sau một quá trình tiến hành giải phương trình hữu tỉ, học sinh cần phảikết luận tập hợp nghiệm của phương trình ban đầu

Trong đó, có thể xảy ra những tình huống mà ở đó học sinh đã phân chia

Giải: Điều kiện của phương trình là: x 0 và x 1

Nhân hai vế của phương trình với x x ( 1) ta đưa tới phương trình hệ quả

Phương trình cuối có hai nghiệm là x 0 và x 2

Ta thấy x 0 không thỏa mãn điều kiện của phương trình ban đầu, đó lànghiệm ngoại lai nên bị loại, còn x 2 thỏa mãn điều kiện và là một nghiệmcủa phương trình ban đầu

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 2

Mặc dù những kĩ năng này yêu cầu học sinh vận dụng khi giải phươngtrình theo dạng cơ bản, đã có sẵn thuật giải nhưng giáo viên không được coinhẹ việc rèn luyện kĩ năng này vì:

Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắmđược

Thứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ caohơn

Như vậy rèn luyện cho học sinh kĩ năng tư duy toán học vận dụng nhữngcái đã biết vào những cái chưa biết để giải phương trình Giáo viên cầnrèn luyện cho học sinh khả năng xây dựng các bước gải phương trình đâycũng chính là bước đầu giúp học sinh có những kĩ năng định hướng tốt vềlời giải bài toán và giải bài toán chính xác, khoa học.

1.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Qua những nội dung đã đề cập ở trong chương 1, dựa trên cơ sở lí luận

kĩ năng giải phương trình hữu tỉ chúng ta thấy: Nếu vận dụng tốt các lí luậnnày vào giảng dạy không những phát huy được sự độc lập suy nghĩ của họcsinh mà còn kích thích được hứng thú, óc tìm tòi của học sinh trong quá trìnhhọc tập, nó giúp học sinh phát triển được năng lực toán học, một thành tố cơbản của học sinh khá giỏi toán

Bên cạnh đó, người giáo viên phải áp dụng phương pháp dạy học tíchcực, khoa học và hợp lí, mang lại cho học sinh sự say mê môn toán, tìm thấytrong toán niềm vui lớn trong học tập Qua đó giáo dục các em những phẩmchất đạo đức tốt đẹp khác

Những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn ở chương 1 sẽ làm cơ sởcho giải pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu tỉ cho học sinhđược trình bày ở chương 2

CHƯƠNG 2 - MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM RÈN LUYỆN

KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỶ CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG MIỀN NÚI LAI CHÂU

2.1 Nội dung phương trình hữu tỉ ở bậc phổ thông

2.1.1 Phương trình hữu tỉ ở THCS

Ở chương trình THCS nội dung phương trình hữu tỉ được đề cập đến

trong chương trình lớp 8 và được trình bày ở chương 3 Bao gồm ‘‘Phương trình bậc nhất một ẩn’’ ; Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất một ẩn » ; «Phương trình tích’’ ; ‘Phương trình chứa ẩn ở mẫu’ ; ‘Giải bài toán bằng cách lập phương trình’’ Trong chương trình lớp 9 thì phương trình hữu tỉ được đề cập đến trong chương 4, với các bài như : Phương trình bậc hai một ẩn’ ; ‘Hệ thức Vi-ét’ ; ‘Giải bài toán bằng cách lập phương trình’.

+ Những dạng phương trình hửu tỉ ở THCS :

Ở chương trình lớp 8 học sinh đã được học

Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình tích

Phương trình chữa ẩn ở mẫu

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

+ Phương pháp giải đối với từng dạng

Theo sách giáo khoa môn Toán lớp 8 tập 2 trang 9 có nói rằng : Từ một phương trình , dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ 1 : Giải phương trình : 3x  9 0

Phương pháp giải :

3x 9 0  3x9 (Chuyển -9 sang vế phải và đổi dấu)

 x3 (Chia cả hai vế cho 3)

Kết luận : Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Trong thực hành ta thường trình bày lời giải một phương trình như sau :

Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

Đối với dạng toán này, ta chỉ xét các phương trình mà hai vế của chúng là haibiểu thức hữu tỉ của ẩn, không chứa ẩn ở mẫu và có thể đưa được về dạng

Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia:

2x5x12 3Thu gọn và giải phương trình

Số  b2 4acđược gọi là biệt thức của phương trình (3)

+) Nếu  0 thì (3) vô nghiệm

Khi đó ax 2 + bx +c = a(x – x 1 )(x-x 2 )

* Phương trình quy về phương trình bậc hai

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Trong các bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình thì ta có thểphân loại thành các dạng như sau :

Dạng toán liên quan đến số học

Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng

Dạng toán về tỉ lệ chia phần

Dạng toán có chứa tham số

* Các giai đoạn giải một bài toán

Giai đoạn 1 : Đọc kĩ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán

Giai đoạn 2 : Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình Tức là chọn ẩnnhư thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn như thế nào cho thỏa mãn

Giai đoạn 3 : Lập phương trình Dựa vào các quan hệ của ẩn số và các đạilượng đã biết, dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình,biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về dạng đã biết cáchgiải

Giai đoạn 4 : Giải phương trình Vận dụng các kĩ năng giải phương trình đãbiết để tìm nghiệm của phương trình

Giai đoạn 5 : Nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải củabài toán Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bàitoán, với thực tiễn xem có phù hợp không ? Sau đó trả lời bài toán

Giai đoạn 6 : Phân tích biện luận lời giải Phần này thường được dùng để mởrộng cho học sinh tương đối khá, giỏi Sau khi học xong có thể gợi ý cho họcsinh biến đổi bài toán thành bài toán khác bằng cách : Giữ nguyên ẩn số thayđổi các yếu tố khác Giữ nguyên các giữ kiện thay đổi các yếu tố khác Giảibài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

2.1.2 Phương trình hữu tỉ ở THPT

Trong phạm vi của luận văn này, để bám sát chương trình sách giáokhoa, và để phù hợp hơn với học sinh miền núi Lai Châu chúng tôi chỉ tậptrung vào những bài toán về phương trình hữu tỉ sau đây:

1 Phương trình hữu tỉ cơ bản (phương trình đa thức và phương trình chứa

ẩn ở mẫu).

2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

+ Phương pháp giải những dạng phương trình hữu tỉ ở THPT:

* Phương trình hữu tỉ cơ bản

b x a

Bước 1: Xác đinh hệ số a, b, c

b x

a b x

Biến đổi tổng quát là:

( ) ( )

(2)( ) 0

(1)

( ) ( )

(3)( ) 0

- Cách 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách bình phương hai vế

Dạng tổng quát là

2( ) 2( )( ) ( )

Đối với dạng toán này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh một số cách sau:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Khi đó: (*)

( ) ( )0

( ) ( )0

f x g x x

Cách 1 Ta nhận thấy phương trình dạng (3) đều chứa dấu giá trị tuyệt đối ở

hai vế không âm với mọi x, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối ở phương trình

dạng này bằng cách bình phương hai vế Từ đó giải phương trình dạng (3)được quy về việc giải phương trình dạng f x2( )g x2( )

Cách 2 Sử dụng định nghĩa để phá dấu giá trị tuyệt đối

Phương trình trùng phương: ax4bx2  c 0 (2) đối với phương trình

ở dạng này có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt t x 2 0

Khi học về phương trình trùng phương, có rất nhiều học sinh đã quên cáchgiải bài toán ở dạng này Nhiều học sinh lung túng không biết giải như thếnào

nên giáo viên cần hướng dẫn các em thật cẩn thận và tỉ mỉ Theo chúng tôicần hướng dẫn các em tiến hành các bước giải như sau:

Giải

- Bước 1: Đặt x2 t điều kiện t 0

- Bước 2: Đưa phương trình đã cho về dạng

t  t 

- Bước 3: Giải phương trình ẩn t

Khi đưa được về phương trình bậc hai ẩn t giáo viên có thể hướng dẫn

3 5

1 ( )2

3 5

4 ( )2

Vậy phương trình có hai nghiệm x 2 và x 2

Cách 2: Dựa vào đinh lí Viét

- Nếu a b c  0 phương trình có hai nghiệm x1 1, x2 c

Vậy phương trình có hai nghiệm x 2 và x 2

2.2 Một số biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải phương trình hữu

tỉ cho học sinh miền núi Lai Châu

Nếu a0,b0 thì phương trình (1) có vô số nghiệm

Nếu a0,b0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu a0,b0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x b

a



Qua đó có thể kết luận về nghiệm của phương trình (1) như sau:

+ Phương trình (1) vô nghiệm 0

0

a b

+ Phương trình (1) có nghiệm

000

a b a

Khi các hệ số a và b có chứa tham số thì bài toán trở thành giải và biệnluận phương trình chứa tham số hoặc một số câu hỏi liên quan như: tìm tham

số để phương trình vô nghiệm, phương trình có nghiệm đúng với mọi x,phương trình có nghiệm duy nhất, phương trình có nghiệm, Như vậy họcsinh phải phân tích và đưa ra phương pháp giải cụ thể đối với từng câu hỏimột cách logic

b Phương trình bậc hai một ẩn ax2 bx c 0 (2)

+ Khi a=0 thì phương trình (2) có dạng bx + c = 0 đây là một phương trìnhbậc nhất đã biết cách giải

+ Khi a 0 thì phường trình (2) là phương trình bậc hai một ẩn với

2 4

  

Nếu  0 thì phương trình (2) vô nghiệm

Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2

Qua đó có thể hình thành các bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai có

số nghiệm cho trước như:

Cho phương trình: ax2 bx c 0 (2)trong đó a,b,c có chứa tham số

1 Để phương trình (2) vô nghiệm thì 0

4 Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thì 0

a b c

c Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

* Phương trình chưa ẩn ở mẫu

Đối với học sinh Lai Châu bài toán phương trình chứa ẩn ở mẫu là một bàitoán khó, vì học sinh không nhớ được cách giải các em đã được học Mặc dùcác em đã được làm quen và đã biết cách giải

Thực tế rất nhiều học sinh ở Lai Châu không biêt giải bài toán này Do các

em không nhớ bài toán phương trình chứa ẩn ở mẫu cũng như cách giải

chúng Do vậy giáo viên cần nhắc lại cho học sinh cách giải bài toán dạngnày Có thể hướng dẫn học sinh từng bước như sau:

Bước 3: Giải phương trình (2)

(2) 4x 12x 8 4x  10x6x 15  4x2  4x212x10x 6x15 8

16

Do việc khử mẫu nên phương trình có thể không tương đương với

phương trình đã cho Vì thế, cần thử lại xem giá trị 23

16

x có là nghiệm củaphương trình (1) hay không Nên cần kiểm tra lại xem có thỏa mãn điều kiệnban đầu hay không

Ta thấy 23

16

x thỏa mãn điều kiện nên 23

16

x là nghiệm của phương

trình (1) Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: 23

16

T  

Qua ví dụ này giáo viên cần hình thành các bước giải phương trình chứa

ẩn ở mẫu như sau: